Surveys in Approximation Theory

Surveys in Approximation Theory (SAT), es una publicación periódica (desde 2005) de artículos gratuitos en formato electrónico sobre teoría de aproximación y áreas afines. Los surveys está dirigidos en particular a graduados en matemáticas y en general al personal interesado en la temática. Los surveys están  escritos por especialistas de reconocido prestigio, en un lenguaje accesible y orientados a introducir al lector en esta área, ofreciendo un estado del arte actualizado.

Lúnulas de Hipócrates

Hipócrates de Quios (aprox. 470 - 410 a. C.. a. C.), escribió una obra titulada Elementos para aglutinar todo el saber matemático de su época. Incluida en los libros primero y segundo de la colección que Euclides tituló con igual nombre. En ella la tendencia de abstracción y sistematización de la geometría encontró un fuerte impulso. Partiendo de un sistema de axiomas o verdades a priori, que tenían carácter intuitivo, utilizó por primera vez el conocido esquema Premisa-Teorema-Demostración. Introdujo la designación de figuras geométricas por letras y el método de demostración por el absurdo. Fue el primero en calcular áreas de regiones delimitadas por segmentos curvilíneos no rectos, en relación con el problema de la cuadratura del círculo.
Hipócrates demostró que la lúnula delimitada por los arcos  E y F que aparece en la figura, tiene la misma área que el triángulo ABO. La  demostración consiste en probar que  área de AFBOA (un cuarto de círculo) es igual en el área del semicírculo AEBDA. Restando la zona en forma de medialuna, AFBDA, de ambas, se tiene que el área del  triángulo ABO es área igual de la lunula AEBFA. El centro del círculo al que pertenece el  arco AEB es el punto D, que es el punto medio de la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles ABO. Por lo tanto el diámetro CA  del círculo más grande ABC es raíz de dos  por el diámetro del círculo más pequeño que contiene al  arco AEB. Entonces, el círculo más pequeño tiene la mitad del área del círculo más grande y en consecuencia el semicírculo delimitado por el arco AEB y el diámetro AB  tiene la misma área que el cuarto de círculo AFBOA.

"Sobre Espirales" de Arquímedes y el cálculo de tangentes

En "Sobre Espirales", Arquímedes define su espiral como composición de dos movimientos uniformes, uno rectilíneo y otro circular (Definición 1).

"Si una línea recta que permanece fija en un extremo, se la hace girar en el plano con velocidad constante y, al mismo tiempo, se mueve un punto sobre la recta con velocidad constante comenzando por el extremo fijo, el punto describe en el plano una espiral."

El libro contiene 28 proposiciones distribuidas de la manera siguiente: de la 1 a la 11 son resultados preliminares, de la 13 a la 20 se estudian las tangentes a la espiral y de la 21 a la 28 áreas delimitadas por segmentos de recta y trozos de la espiral. El objetivo del trabajo era el estudio de la espiral como medio para el cálculo del perímetro de la circunferencia y la resolución de  problemas clásico de la matemática griega como la cuadratura del círculo y la  trisección del ángulo. El siguiente problema (relacionado con la proposición 20) es un ejemplo del  talento creativo de Arquímedes y uno de los primeros antecedentes del cálculo diferencial.

Mecanismos de Tchebyshev

A mediados del siglo XIX, Chebyshev realizó un recorrido por varias factorías de construcción de maquinaria en distintos países de europa, interesándose especialmente por  las máquinas de vapor construidas por  James Watt. Dedicó mucha atención al perfeccionamiento del mecanismo, llamado paralelogramo de Watt, que convierte el movimiento circular en rectilíneo. Este mecanismo, fundamental en las máquinas de vapor, resultaba tan imperfecto que la varilla del pistón realizaba un recorrido curvilíneo en vez del rectilíneo deseado,  dando lugar a muchas fricciones que estropeaban las máquinas.  Chebyshev, mediante el desarrollo de los fundamentos de la teoría de polinomios ortogonales y la aproximación de funciones,  resuelve el paralelogramo de Watt y crea  fórmulas generales que permiten la resolución de diversos tipos de mecanismos y problemas.  Fue el creador de  más de 40 mecanismos y máquinas que asombraron a sus contemporáneos por su ingenio.   Además, realizó alrededor  de 80 modificaciones de los mismos.

El sitio Mechanisms by Tchebyshev está dedicado a conservar la memoria de todos aquellos ingenios mecánicos, que Tchebyshev ideó, mediante excelentes animaciones por ordenador, fotografías de sus implementaciones reales y grabados de la época.

Trilogía en Polinomios Ortogonales

Los tres libros que aparecen a continuación, realizados bajo en auspicio de la Escuela Venezolana de Matemáticas (EVM), constituyen una unidad temática sobre aspectos básicos y tendencias actuales en  la teoría de polinomios ortogonales, extensiones y aplicaciones. En ellos el lector encontrará los fundamentos de una de las áreas de la matemática aplicada más activas en las últimas décadas.

1. Polinomios Ortogonales.  Guillemo López Lagomasino y Héctor Pijeira Cabrera, IVIC-EVM, Caracas, 2001.
2. Ortogonalidad y Cuadraturas sobre la Circunferencia Unidad.  Pablo González Vera y  Leyla Daruis Luis, IVIC-EVM, Caracas, 2005. 
3. Polinomios Ortogonales no Estándar. Propiedades Algebraicas y Analíticas.  Francisco Marcellán Español y Yamilet Quintana, IVIC-EVM, Caracas, 2009.

Bibliografía OnLine sobre LaTeX

La  cantidad abrumadora de infromación en formato digital, que disponemos hoy en día, en ocaciones nos dificulta encontrar lo más adecuado a nuestro interés. Sobre la documentación en castellano para la composición de textos científicos con LaTeX  recomiendo utilizar, por usuarios de nivel básico o intermedio, los siguientes documentos:

1. La introducción no-tan-corta a LaTeX2e. Excelente manual de cabecera para LaTeX. Traducción de Carlos Carleos del The Not So Short Introduction to LaTeX2e, de Tobias Oetiker, Hubert Partl, Irene Hyna y Elisabeth Schlegl, apoyado en el Una descripción de LaTeX2e de Tomás Bautista. Es un documento de referencia libre en español para trabajar con LaTeX.
2. Edición de textos científicos LaTeX. Composición, Diseño Editorial, Gráficos, Inkscape, Tikz y Presentaciones Beamer. Texto de  Alexander Borbón  y Walter Mora. Manual actualizado sobre  aspectos básicos e intermedios de la  composición tipográfica LaTeX. Se desarrollan tópicos que tienen que ver con paquetes especiales. Los temas que se han incluido son los tópicos más frecuentes en la edición de libros y artículos sobre matemáticas.
3. The Comprehensive LaTeX Symbol List. La lista completa de símbolos en  LaTeX. Contiene  más de 5.900 comandos para los símbolos comúnmente disponibles en LaTeX. Algunos de estos símbolos están  disponible en todas las distribuciones de LaTeX, mientras que otros  requieren de los paquetes específicos que menciona el documento. Es un documento imprescindible para la composición de textos con LaTeX, disponible en inglés.