Los cuaterniones, octoniones y sedeniones forman parte de una fascinante extensión de los números complejos, los números hipercomplejos. Surgen al intentar responder una pregunta natural: si los números reales pueden ampliarse a los complejos, ¿es posible continuar construyendo sistemas numéricos con propiedades semejantes? La respuesta conduce a una jerarquía de álgebras de dimensión \(2,4,8,16,\ldots\), en la que, a medida que aumenta la dimensión, algunas propiedades algebraicas fundamentales deben sacrificarse.
De los complejos a los cuaterniones
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| Sir W. R. Hamilton (1805-1865) |
Fue el matemático irlandés William Rowan Hamilton quien encontró la respuesta en 1843, aunque no mediante una extensión tridimensional, sino mediante una de cuatro dimensiones. Los cuaterniones tienen la forma \[q=a+bi+cj+dk,\qquad a,b,c,d\in\mathbb{R},\] donde las unidades imaginarias satisfacen \(\quad i^2=j^2=k^2=ijk=-1.\)
De estas relaciones se obtiene, por ejemplo, \(\quad ij=k,\qquad ji=-k,\quad \) y análogamente para los demás productos. Por tanto, la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa: \(\quad ij\neq ji.\) Esta fue una de las primeras grandes sorpresas de la historia del álgebra: era posible construir un sistema numérico en el que \(ab\neq ba.\)
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| Placa conmemorativa en el puente de Broom |
Hamilton descubrió los cuaterniones mientras buscaba una interpretación algebraica de las rotaciones en el espacio. La famosa historia cuenta que, el 16 de octubre de 1843, durante un paseo junto a su esposa por el Royal Canal de Dublín, tuvo la idea fundamental y escribió las relaciones esenciales de los cuaterniones en una inscripción sobre el puente de Broom.
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| Publicación original de Lectoras sobre Cuaterniones de Hamilton en 1853 |
Los cuaterniones encontraron posteriormente aplicaciones extraordinariamente importantes. En matemáticas permiten describir elegantemente las rotaciones tridimensionales, mientras que en física aparecen en diferentes formulaciones relacionadas con la mecánica cuántica y otras teorías matemáticas. En la actualidad son especialmente importantes en gráficos por ordenador, robótica, visión artificial, simulación y control de vehículos y aeronaves, donde permiten representar orientaciones espaciales evitando algunas dificultades de otros métodos, como los ángulos de Euler.
Los octonioness: dimensión \(8\)
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| Arthur Cayley (1821-1895) |
El siguiente paso apareció poco después. En 1845, el matemático John T. Graves, amigo de Hamilton, descubrió un sistema de números de dimensión \(8\), que denominó octaves. Casi simultáneamente, Arthur Cayley desarrolló independientemente una construcción semejante, razón por la que los octoniones también reciben el nombre de números de Cayley.
Un octonión puede escribirse como \(x=a_0+a_1e_1+\cdots+a_7e_7, \qquad a_0,\ldots,a_7\in\mathbb{R}.\) Ellos conservan algunas propiedades extraordinarias de los cuaterniones, pero pierden otras. En particular, su multiplicación tampoco es conmutativa y, además, no es asociativa: \((xy)z\neq x(yz)\) en general.Esto supone un salto conceptual importante. Con los cuaterniones todavía tenemos \((q_1q_2)q_3=q_1(q_2q_3),\) pero esta propiedad deja de cumplirse ahora.
Sin embargo, los octoniones poseen una propiedad intermedia denominada alternatividad. Por ejemplo, \(\quad (xx)y=x(xy),\; y(xx)=(yx)x.\) Esta combinación de propiedades aparentemente contradictorias hace de los octoniones una de las estructuras más interesantes del álgebra.
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| Una de las representaciones más conocidas de la multiplicación de los octoniones utiliza el diagrama de Fano, una estructura geométrica que permite recordar las reglas de multiplicación entre las siete unidades imaginarias. |
El diagrama de Fano se utiliza para definir la multiplicación de las unidades imaginarias de los octoniones \(e_1,\dots,e_7\) (junto con la unidad real 1). Cada punto del plano representa una de estas unidades, y cada línea (incluyendo el círculo central) indica una terna cerrada: si se recorre la línea en el sentido de las flechas, el producto de dos elementos consecutivos da el tercero con signo positivo (\(e_i e_j = e_k\)), mientras que al recorrerla en sentido contrario el producto sale negativo; además, la multiplicación es anticonmutativa (\(e_j e_i = -e_i e_j\)) y cada \(e_i^2 = -1\). De este modo, las siete líneas del plano de Fano generan todas las reglas de multiplicación necesarias para el álgebra de los octoniones.
Los octoniones aparecen en áreas de matemáticas y física mucho más profundas que los cuaterniones. Están relacionados con grupos de Lie excepcionales, geometría diferencial, teoría de representaciones, teoría de cuerdas y determinados modelos de física matemática. En particular, las simetrías asociadas a los octoniones están vinculadas con estructuras excepcionales como el grupo de Lie \(G_2\).
Los sedeniones: dimensión \(16\)
La construcción puede continuar mediante el denominado proceso de Cayley-Dickson. A partir de los reales obtenemos los complejos; a partir de los complejos, los cuaterniones; a partir de los cuaterniones, los octoniones, y a partir de estos, los sedeniones.
Sus dimensiones reales son \(\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{H} \longrightarrow\mathbb{O}\longrightarrow\mathbb{S},\) con dimensiones respectivas \(1,\; 2,\; 4,\; 8,\; 16.\)
Un sedenión tiene, por tanto, la forma \(x=a_0+a_1e_1+\cdots+a_{15}e_{15}, \quad a_i\in\mathbb{R}.\)
Aquí aparece una pérdida todavía mayor de propiedades algebraicas. Los sedeniones no son conmutativos, no son asociativos y, además, no son alternativos. Pero hay una pérdida particularmente significativa: existen divisores de cero no triviales. Es decir, pueden existir sedeniones \(x\neq0\) e \(y\neq0\) tales que \(xy=0.\) Esto no ocurre con los números reales, complejos, cuaterniones ni octoniones.
Su utilidad es principalmente teórica. Sirven para estudiar los límites de las estructuras algebraicas y las propiedades de los espacios hipercomplejos de alta dimensión. De manera muy marginal, se han propuesto modelos en campos como el aprendizaje automático (redes neuronales de sedeniones) para compresión de datos o problemas de previsión de series temporales, aunque su uso en física o ingeniería general sigue siendo anecdótico. Representan el punto donde la construcción sistemática de números hipercomplejos deja de ser útil para la física o la geometría estándar debido a la excesiva pérdida de reglas aritméticas básicas.
La historia puede resumirse mediante la siguiente tabla:
| Sistema | Dimensión | Conmutativo | Asociativo | Divisores de cero |
|---|---|---|---|---|
| \(\mathbb{R}\) | 1 | Sí | Sí | No |
| \(\mathbb{C}\) | 2 | Sí | Sí | No |
| \(\mathbb{H}\) | 4 | No | Sí | No |
| \(\mathbb{O}\) | 8 | No | No | No |
| \(\mathbb{S}\) | 16 | No | No | Sí |
Esta secuencia no es simplemente una colección de curiosidades algebraicas. Revela un fenómeno profundo: cada vez que ampliamos el sistema numérico mediante el proceso de Cayley-Dickson, obtenemos nuevas posibilidades, pero también debemos renunciar a determinadas propiedades.
La historia de los hipercomplejos constituye, en realidad, una historia sobre los límites del concepto de número. Los complejos demostraron que los números podían extenderse más allá de la recta real; Hamilton mostró que era posible sacrificar la conmutatividad para obtener una estructura de cuatro dimensiones; los octoniones llevaron esta idea hasta una estructura no asociativa, y los sedeniones mostraron que, al continuar el proceso, incluso la propiedad de no tener divisores de cero termina desapareciendo.
Así, la sucesión \( \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{H} \longrightarrow\mathbb{O}\longrightarrow\mathbb{S}\) puede contemplarse como un auténtico viaje desde la aritmética familiar hacia algunas de las estructuras más profundas del álgebra moderna. Quizá lo más interesante es que cada paso no consiste simplemente en añadir nuevos números, sino en descubrir qué propiedades estamos dispuestos a perder para obtener una estructura más rica.
El hecho de que aparezcan las dimensiones \(1,2,4,8,16,\ldots\) no significa que las demás dimensiones estén prohibidas. Significa que no forman parte de la sucesión obtenida mediante el mencioado proceso de Cayley-Dickson. Aquí aparece una cuestión mucho más profunda. Si además de tener una estructura algebraica exigimos determinadas propiedades, las posibilidades se reducen drásticamente.
De hecho, el teorema de Hurwitz establece que los únicos álgebras de división normadas reales finito-dimensionales son precisamente \(\mathbb{R},\; \mathbb{C},\; \mathbb{H} \text{ y } \mathbb{O}.\) Por eso los octoniones ocupan una posición especialmente importante: son el último miembro de esta familia que conserva simultáneamente la estructura de un álgebra de división normada. Los sedeniones constituyen el siguiente paso, pero ya presentan divisores de cero.
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