Babilonia, el ultimo eslabón de la preciencia matemática.

Las matemáticas en Babilonia

Mucho antes de que Grecia sistematizara el pensamiento lógico, las llanuras de Mesopotamia se convirtieron en el primer gran "laboratorio de datos" de la humanidad. Gracias a la escritura cuneiforme, los babilonios no solo registraron transacciones, sino que desarrollaron un sofisticado sistema de numeración posicional en base 60. Esta flexibilidad sexagesimal les permitió dominar el cálculo de fracciones con una precisión asombrosa y crear complejas tablas de números para realizar operaciones fundamentales, extraer raíces cuadradas y registrar ternas pitagóricas  siglos antes del nacimiento de Pitágoras.

Este arsenal numérico no era mera curiosidad; era la herramienta principal para una geometría y astronomía aplicadas que les permitía predecir eclipses y delimitar terrenos con rigor matemático. En sus tablillas encontramos la resolución de ecuaciones lineales, de segundo grado y hasta algunas cúbicas, tratadas mediante algoritmos paso a paso que revelan una mente profundamente algebraica. Sin embargo, nos queda una pregunta fascinante: 

¿llegaron a realizar demostraciones formales o su saber era puramente empírico? 

Al explorar su legado, nos asomamos al último y más brillante peldaño de la matemática pre-científica, justo antes de que el rigor deductivo transformara este arte en la ciencia que conocemos hoy.

El sistema de numeración sexagesimal

 El sistema de numeración babilonio, desarrollado hacia el segundo milenio a.C., fue el primer sistema posicional de la historia, lo que significa que el valor de un símbolo dependía de su ubicación en la cifra. A diferencia de nuestro sistema decimal (base \(10\)), ellos utilizaban una base \(60\) (sexagesimal). Para escribir los números del \(1\) al \(59\), empleaban una combinación aditiva de solo dos marcas cuneiformes: un "clavo" (\(\curlyvee\)) para la unidad y la "cuña" hotizontal (\(\prec\)) para la decena.

La gran ventaja de la base \(60\) es su alta divisibilidad, ya que el \(60\) tiene doce divisores (\(1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\)), lo que facilitaba enormemente el cálculo con fracciones sexagesimales sin recurrir a infinitos decimales complejos. Al igual que hoy escribimos \(1.5\) para representar \(1 + \frac{5}{10}\), los babilonios usaban posiciones a la derecha para representar potencias inversas de sesenta: \(\frac{1}{60}, \quad \frac{1}{60^2}, \quad \frac{1}{60^3} \dots \).

El número 2026 en el sistema posicional babilonio se descompone como: \[2026= (33 \times 60^1) + (46 \times 60^0)= \, \prec\! \prec\! \prec\!\! \curlyvee \! \! \!\curlyvee\!\! \! \curlyvee \;\begin{array}{c} \prec\!\prec\!\curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \prec\!\prec\!\curlyvee\! \!\curlyvee\!\! \curlyvee \end{array} \] y en la tablilla de un escriba, veríamos esos dos grupos de símbolos separados por un espacio.Note que si cambiamos de orden los dos grupos de símbolos, entonces:

\[\begin{array}{c}\prec\!\prec\!\curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \prec\!\prec\!\curlyvee\! \!\curlyvee\!\! \curlyvee \end{array} \; \prec\! \prec\! \prec\! \curlyvee \!\curlyvee\!\! \curlyvee \, = (46 \times 60^1) + (33 \times 60^0)=2793. \]

Lograron así una precisión asombrosa en mediciones astronómicas y arquitectónicas. Sin embargo, el sistema presentaba un desafío técnico: durante la mayor parte de su historia carecieron de un símbolo para el cero. Esto generaba ambigüedad, pues el mismo signo podía representar: \(1, \quad 60, \quad \text{o} \quad \frac{1}{60} \) según el contexto. Aunque más tarde introdujeron una marca para indicar un espacio vacío, el sistema babilónico dependía mucho de la interpretación del escriba, funcionando más como una herramienta de cálculo experta que como un lenguaje matemático universal. 

 La aritmética en Babilonia

 Aunque aquí utilizaremos los símbolos habituales para las operaciones aritméticas, los escribas no tenía símbolos para las mismas. 

 Suma y Resta. Como su sistema era aditivo (clavos para unidades, cuñas para decenas), simplemente agrupaban los símbolos. Si superaban 60 en una posición, realizaban un "desplazamiento" hacia la izquierda, igual que hacemos nosotros en base 10. Por ejemplo:

\[ \begin{aligned} 40+25= & \begin{array}{c} \prec\!\prec\\[-.5em] \prec\!\prec \end{array} + \begin{array}{l} \prec\!\curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \prec\,\curlyvee\! \curlyvee \end{array} = \curlyvee \;\; \begin{array}{c} \curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \curlyvee\! \curlyvee \end{array} . \\ 40-25=& \begin{array}{c} \prec\!\prec\\[-.5em] \prec\!\prec \end{array} - \begin{array}{l} \prec\!\curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \prec\,\curlyvee\! \curlyvee \end{array} = \; \prec \! \! \! \! \begin{array}{c} \curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \curlyvee\! \curlyvee \end{array} . \end{aligned} \] 

Multiplicación. Normalmente dependían de tablas precalculadas, pero para números grandes usaban propiedades distributivas o identidades conocidas. Una de sus técnicas favoritas para multiplicar era aprovechar la diferencia de cuadrados:

\[ ab = \frac{(a+b)^2 - a^2 - b^2}{2} \]

Al tener tablas de cuadrados, este método les permitía obtener productos complejos mediante restas y divisiones por 2 (que era una operación trivial para ellos).

División. Esta operación consistía en multiplicar por el recíproco. Los babilonios no dividían; buscaban el recíproco en tablillas. Si querían dividir entre \(x\), buscaban \(1/x\) en su tabla y multiplicaban. Solo tenían recíprocos exactos para los llamados "números regulares" (aquellos cuyos factores primos eran 2, 3 o 5).

 Raíces Cuadradas. El método utilizado era iterativo. Por ejemplo para hallar \(\sqrt{n}\), usaban un método iterativo que promediaba una aproximación inicial \(x\) con \(n/x\):

\[ x_{nuevo} = \frac{x + \frac{n}{x}}{2} \]

Repitiendo este proceso, lograban una precisión asombrosa, como se evidencia en la tablilla YBC 7289.

La casa de las tablillas (Edubba)

Para los babilonios, la casa de las tablillas (Edubba) era  una especie de centro de cálculo integrado por tres pilares: el escriba (la unidad de procesamientol), la tablilla de arcilla (la unidad de almacenamiento) y el sistema sexagesimal (el lenguaje de programación). 

1. El centro de toda operación intelectual era el escriba (Tupsarru). Estos profesionales se formaban en la Edubba (la "Casa de las Tablillas"), que funcionaba como una mezcla de universidad y centro de computación. No solo escribían; eran algoritmos humanos. Eran capaces de resolver problemas que hoy clasificaríamos como álgebra cuadrática o cálculos de interés compuesto.
2.  Si comparamos con la actualidad, las tablillas eran sus discos duros. Tenían "archivos" para todo. En lugar de calcular cada vez, consultaban tablillas con listas de recíprocos, cuadrados, cubos y multiplicaciones. Esto agilizaba el trabajo, tal como una memoria caché.  Llevaban un control estricto de raciones, tierras y movimientos astronómicos.
3.  Su "lenguaje de programación" era la base 60, que hemos descrito anteriormente. 

En resumen, la casa de las tablillas era el área administrativa donde los escribas: 

• Recibían inputs: Datos sobre la cosecha o la posición de Venus.
• Procesaban: Usaban tablas de multiplicar y métodos algorítmicos (paso a paso).
• Generaban outputs: Un informe en arcilla que determinaba cuánta semilla se entregaría o cuándo sería el próximo eclipse.

 

Evidencias de una ciencia milenaria en tres tablillas

 

I.- La tablilla Plimpton 322 es una pieza arqueológica excepcional de la antigua Mesopotamia, grabada en arcilla entre los años 1822 y 1762 a. C. en la ciudad de Larsa (actual Irak). Fue descubierta a principios del siglo XX por el anticuario Edgar James Banks y posteriormente adquirida por el coleccionista George Arthur Plimpton, quien la donó en 1936 a la Universidad de Columbia en Nueva York, donde se custodia actualmente en su Biblioteca de Libros y Manuscritos Raros.

El contenido de la tableta consiste en una tabla de cuatro columnas y quince filas de números escritos en escritura cuneiforme bajo un sistema sexagesimal (base 60). Lo que la hace célebre es que contiene una lista de ternas pitagóricas, es decir, conjuntos de números que cumplen con la relación \(a^2 + b^2 = c^2\). Esto demuestra que los babilonios manejaban conceptos geométricos y algebraicos avanzados más de mil años antes de que el matemático griego Pitágoras formalizara su famoso teorema.

Aunque su interpretación exacta sigue siendo motivo de debate entre los historiadores, se cree que la tableta no era un simple registro contable, sino una herramienta educativa o una tabla trigonométrica primitiva. Su estructura sugiere que era utilizada por escribas para calcular las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo, lo que la convierte en uno de los documentos matemáticos más sofisticados de la antigüedad. 

II.- La tablilla YBC 7289 es un pequeño disco de arcilla del periodo paleo-babilónico (aprox. 1800-1600 a. C.) que representa uno de los logros matemáticos más impresionantes de la antigüedad. Fue descubierta a principios del siglo XX y actualmente se custodia en la Colección Babilónica de la Universidad de Yale (de ahí sus siglas Yale Babylonian Collection) en New Haven, Estados Unidos. Su importancia radica en que muestra un cuadrado con sus dos diagonales trazadas y números grabados en escritura cuneiforme que revelan un cálculo de precisión asombrosa para su época.

El contenido de la tablilla es una aproximación extremadamente exacta de la raíz cuadrada de dos (\(\sqrt{2}\)), expresada en el sistema sexagesimal (base 60). Los escribas babilónicos calcularon este valor con una precisión equivalente a seis decimales modernos, lo que demuestra que no solo conocían la relación entre los lados de un cuadrado y su diagonal mucho antes que Pitágoras, sino que también habían desarrollado métodos iterativos para extraer raíces cuadradas. Es considerada la prueba definitiva de la sofisticación de la geometría y la aritmética babilónicas en el mundo antiguo. 

 

III.- La tablilla Si.427 es un artefacto de arcilla del periodo paleo-babilónico (aprox. 1900-1600 a. C.) que representa el ejemplo más antiguo conocido de geometría aplicada a la topografía. Fue descubierta en 1894 por una expedición francesa en la antigua ciudad de Sippar (actual Irak). Durante décadas permaneció en el Museo Arqueológico de Estambul, en Turquía, hasta que investigaciones publicadas en 2021 revelaron su verdadero propósito como un documento catastral de alta precisión.

El contenido de la tablilla detalla la partición de un terreno tras su venta, utilizando un plano con límites precisos de parcelas. Lo que la hace históricamente única es el uso de ternas pitagóricas (como \(3, 4, 5\)) para trazar ángulos rectos perfectos en los linderos del campo. Este hallazgo demuestra que los babilonios no solo conocían la relación \(a^2 + b^2 = c^2\) siglos antes que Pitágoras, sino que la utilizaban de forma práctica para resolver disputas legales sobre la propiedad de la tierra mediante la agrimensura.

 

¿Hubo demostraciones?

Aunque no tenemos evidencia de "teoremas" con la estructura griega de Hipótesis -> Tesis -> Demostración, los babilonios poseían un pensamiento algorítmico. Sus textos dictaban: "Haz esto, luego aquello, y obtendrás el resultado". Este enfoque práctico fue la base necesaria para que la matemática pasara de ser una herramienta administrativa a una ciencia teórica.

De hecho, la historia de la matemática no es una serie de eventos aislados, sino un relevo de sabiduría a través del Mediterráneo. No es casualidad que los grandes padres del pensamiento griego —figuras como Tales de Mileto, Pitágoras o incluso el propio Demócrito— fueran incansables viajeros que recorrieron estas tierras. Al caminar por los zigurats y consultar las bibliotecas de tablillas, estos sabios "bebieron de las fuentes" del conocimiento caldeo y babilonio. Fue allí donde probablemente aprendieron los secretos de los triángulos, la astronomía y las proporciones que más tarde formalizarían en sus propias escuelas. Al absorber ese pensamiento algorítmico de Oriente, pudieron transformarlo en la lógica deductiva que hoy define nuestra ciencia.

Así, la elegancia de los primeros  teorema griegos no es más que el perfeccionamiento de una receta babilónica que ya funcionaba miles de años antes.

 

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El número \(\pi\) en la Biblia

 El Templo de Salomón: De la Promesa a la Construcción

Aunque el rey David deseaba edificar un templo en honor a Dios, la divinidad le negó esta posibilidad por su pasado como guerrero y la sangre que había derramado. En su lugar, Dios le prometió que sería su hijo, Salomón, un hombre de paz, el encargado de levantar la "casa para Su nombre" (2 Samuel 7:12-13, Reina-Valera 1960). Ante esta revelación, David convocó a su hijo antes de morir para entregarle los planos recibidos por inspiración divina y darle una orden solemne:

    "Hijo mío, yo tuve en mi corazón el propósito de edificar templo al nombre de Jehová mi Dios. Mas vino a mí palabra de Jehová, diciendo... Salomón será su nombre... Él edificará casa a mi nombre"  —1 Crónicas 22:7-10.

Pese a no ser el constructor final, David organizó meticulosamente la logística, dejando materiales y artesanos preparados para que Salomón ejecutara la obra. Según registra 1 Reyes 6:1, la construcción inició en el cuarto año de su reinado, fecha que los historiadores sitúan cerca del 967 o 966 a. C., en pleno apogeo de la monarquía unida de Israel durante la Edad de Hierro II.

Tras finalizar el edificio principal, el relato de 1 Reyes 7 detalla la creación del mobiliario sagrado, destacando el "Mar de Fundición" (v. 23). Esta colosal fuente de bronce, fundida probablemente entre el 960 y 950 a. C., era una proeza de ingeniería: una pieza circular de diez codos de diámetro sostenida por doce bueyes de bronce que miraban hacia los cuatro puntos cardinales. Más que un ornamento, esta fuente simbolizaba la purificación ritual necesaria para que los sacerdotes pudieran presentarse ante la presencia de Dios en el Lugar Santísimo.  

Los versículos  (1 Reyes 7:23) y (2 Crónicas 4:2)

En ambos versículos se describe el "Mar de Fundición", de forma prácticamente calcada:

  "Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un borde al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y ceñído alrededor un cordón de treinta codos."     — 1 Reyes 7:23.

    "También hizo un mar de fundición de diez codos de un borde al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y un cordón de treinta codos lo ceñía alrededor."   — 2 Crónicas 4:2.

 Si aplicamos la fórmula del perímetro de la circunferencia (\(C=\pi×d\)), al dividir el perímetro de la circunferencia entre el diámetro (30/10), obtenemos un valor de \(\pi\approx 3\). En ambos versículos se repite la proporción de 10 codos de diámetro por 30 de circunferencia. Al aparecer en dos libros distintos, queda claro que no fue un error de transcripción de un solo escriba, sino que era la medida oficial registrada para el Templo.

 Como bien sabemos, el valor real de \(\pi\)  es aproximadamente \(3.141592\dots\). Esto ha llevado a algunos críticos a decir que la Biblia "se equivoca",

Las civilizaciones de Mesopotamia, particularmente durante el periodo paleobabilónico (aprox. 1900-1600 a. C.), demostraron una habilidad matemática asombrosa para su época. Aunque en la práctica cotidiana utilizaban el valor de 3 para cálculos rápidos, las tablillas halladas en Susa revelan que sus escribas alcanzaron una aproximación mucho más fina de \(3.125 (3+1/8)\). Este conocimiento no era meramente teórico; los babilonios aplicaban estas proporciones en la planificación de sus monumentos y canales de riego, estableciendo un estándar de ingeniería que influiría en todo el Creciente Fértil durante siglos. 

Por su parte, los egipcios desarrollaron un enfoque geométrico distinto, centrado en el cálculo de áreas para la administración agrícola y la construcción monumental. Según se registra en el Papiro de Ahmes (aprox. 1650 a. C.), los arquitectos del Nilo utilizaban una regla que implicaba un valor de \(\pi\) aproximado a \(3.1604\). Esta precisión fue fundamental para determinar el seked (la pendiente) de las pirámides y el volumen de sus graneros, logrando una eficiencia logística y arquitectónica sin precedentes. 

El nexo con el reinado de Salomón (siglo X a. C.) se manifiesta en la ejecución del "Mar de Fundición", donde el versículo de 1 Reyes 7:23 cita medidas que sugieren un valor de 3. Aunque este número parece menos preciso que los cálculos avanzados de Egipto o Babilonia de siglos anteriores, lo natural es que represente un estándar de ingeniería práctica de la Edad de Hierro. Es probable que Hiram de Tiro, el artesano a cargo, utilizara el valor de 3 como un redondeo técnico suficiente para la fundición en bronce, priorizando la escala y el simbolismo de la obra sobre la exactitud teórica.

La interpretación considerando el factor del  grosor

Mas adelante en el versículo 1 Reyes 7:26 se añade: 

"El grueso de él era de un palmo, y el borde era de la forma del borde de un cáliz o de flor de lis; y cabían en él dos mil batos."

Basado en 1 Reyes 7:23-26, donde el diámetro exterior (\(D_{ext}\)) es de 10 codos y el grosor de la pared (\(G\)) es de 1 palmo.

• Diámetro exterior: \(D_{ext} = 10 \text{ codos}\)
• Grosor de la pared: \(G = 1 \text{ palmo} \approx \frac{1}{6} \text{ codo}\)

El diámetro interior (\(d_{int}\)) se calcula restando el grosor de ambos lados:

\[ d_{int} = D_{ext} - 2G = 10 - 2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 9.666 \text{ codos} \]

La circunferencia interior (\(C_{int}\)) calculada con el valor real de \(\pi\) sería:

\[ C_{int} = \pi \times d_{int} = 3.14159 \times 9.666 \approx 30.36 \text{ codos} \]

 

Donde, hemos considerado que el valor de 30 codos mencionado en la Biblia corresponde, con un margen de error mínimo, a la circunferencia medida por el interior del recipiente. 

 

La interpretación considerando  la Gematría

 

La Gematría es un método hermenéutico (de interpretación) aplicado tradicionalmente a los textos hebreos, en el que se asigna un valor numérico a cada letra del alfabeto. Bajo este sistema, las palabras y frases se convierten en números, lo que permite establecer conexiones entre conceptos que, a simple vista, no parecen tener relación, pero que comparten el mismo valor numérico.

 En el texto hebreo de 1 Reyes 7:23, la palabra para "hilo" o "línea de medida" presenta una anomalía ortográfica. Mientras que se pronuncia Qav, está escrita como Qaveh. La relación entre estas dos formas revela el valor de \(\pi\).

Valores de Gematría. Calculamos el valor numérico de las dos variantes de la palabra:

• Escrito (Ketiv): קוה (Qaveh)
  \(Q (100) + V (6) + H (5) = \mathbf{111}\)
• Leído (Qere): קו (Qav)
  \(Q (100) + V (6) = \mathbf{106}\)

El Factor de Corrección. Si tomamos el valor "aparente" de \(\pi\) que da el texto (30 codos de circunferencia / 10 de diámetro = 3) y lo multiplicamos por la proporción de estos valores de gematría:

\[ \pi_{bíblico} = 3 \times \left( \frac{\text{Gematría de קוה}}{\text{Gematría de קו}} \right) \] \[ \pi_{bíblico} = 3 \times \left( \frac{111}{106} \right) \] 

 Al realizar la operación matemática obtenemos: \( 3 \times 1.0471698... = \mathbf{3.1415094...} \).

En conclusión, el valor real de \(\pi\) es aproximadamente \(3.1415926\). La precisión obtenida mediante esta técnica de gematría tiene un error menor al 0.00003, lo cual sugiere que el texto hebreo original contenía una precisión matemática oculta tras la descripción física simplificada.

 

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