¿Puede la inteligencia artificial sustituir a los matemáticos?

El título de esta entrada es la pregunta del momento. Con frecuencia, alumnos, amigos o familiares me interpelan tras leer titulares sensacionalistas —e incluso fake news— que anuncian que la inteligencia artificial dejará obsoletos a los matemáticos. Toda esta marejada de fascinación, desinformación e inquietud me ha animado a plasmar aquí mi visión personal sobre el tema.

Sabemos que los ordenadores son aparatos extraordinariamente prácticos. Se han vuelto tan indispensables que resulta difícil imaginar una sociedad moderna sin ellos. Sin embargo, casi nadie recuerda —y los propios informáticos a veces lo olvidan— que fueron inventados en gran medida para ayudar a aclarar una profunda cuestión filosófica sobre los fundamentos de las matemáticas.

Todo comienza a principios del siglo XX cuando David Hilbert propuso formalizar por completo el razonamiento matemático. Su ambicioso plan consistía en crear un lenguaje artificial perfecto, con axiomas claros y reglas de deducción precisas, de modo que cualquier demostración pudiera verificarse de forma mecánica e imparcial. Si se lograba, se podría demostrar de una vez por todas que las matemáticas eran consistentes (nunca se demostraría algo falso) y completas (todo lo verdadero sería demostrable). El formalismo no era solo una herramienta técnica: era un proyecto filosófico destinado a poner la matemática sobre bases inquebrantables.

David Hilbert (1862-1943)

Antes de que ese sueño pudiera materializarse, Bertrand Russell descubrió paradojas profundamente perturbadoras en la lógica misma. La más célebre es la paradoja que lleva su nombre: el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. ¿Se contiene este conjunto a sí mismo? Si lo hace, entonces no lo hace; si no lo hace, entonces lo hace. Es el equivalente lógico del barbero de un pueblo que afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos: ¿quién afeita al barbero? Esta paradoja es una versión moderna de la antigua paradoja del mentiroso (“esta frase es falsa”), conocida ya por los griegos. Russell mostró que razonamientos que parecen impecables pueden conducir a contradicciones irresolubles. La crisis era grave: si la lógica misma contenía paradojas, ¿cómo se podía confiar en las matemáticas?

Hilbert respondió con formalismo. Si el lenguaje cotidiano es ambiguo, hay que construir un lenguaje artificial estricto donde las contradicciones no puedan aparecer. Su propuesta se inspiraba en una larga tradición que venía de Leibniz, Boole, Frege y Peano, pero Hilbert quería llevarla hasta el final: formalizar la totalidad de las matemáticas. El formalismo, aunque fracasó como proyecto filosófico para el razonamiento matemático, terminó siendo uno de los grandes regalos del siglo XX… no para la deducción, sino para la programación y la computación.

Kurt Gödel (1906-1978)

En 1931, Kurt Gödel dinamitó el plan de Hilbert. Demostró que incluso limitándose a la aritmética más elemental (los números naturales, la suma y la multiplicación), cualquier sistema formal suficientemente potente es incompleto o inconsistente. Si el sistema solo dice la verdad, entonces no puede decir toda la verdad. Habrá enunciados verdaderos que no podrán demostrarse a partir de los axiomas.

La prueba de Gödel es ingeniosa y profundamente paradójica. Partiendo de la paradoja del mentiroso, construyó una afirmación matemática que, en esencia, dice de sí misma: “Yo no soy demostrable”. Si el sistema pudiera demostrar esa afirmación, estaría demostrando algo falso. Si no puede demostrarla, entonces es verdadera… y el sistema es incompleto. Gödel logró expresar esta autorreferencia dentro de la aritmética mediante una codificación numérica ingeniosa. Curiosamente, al mirar su artículo original con ojos actuales, se observa algo que se parece mucho a la programación en LISP: una gran cantidad de definiciones recursivas de funciones que operan sobre listas. Aunque en 1931 no existían los ordenadores ni los lenguajes de programación, el núcleo del argumento de Gödel ya contenía las semillas de la computación.

Alan Turing (1912-1954)

Cinco años después, en 1936, Alan Turing dio el siguiente paso decisivo. Hilbert había hablado de un “procedimiento mecánico” para verificar demostraciones, pero nunca lo había definido con precisión. Turing lo hizo: inventó la máquina de Turing, un dispositivo abstracto capaz de realizar, casilla a casilla, operaciones sobre una cinta infinitamente larga. Esta construcción mental es el modelo teórico de todos los ordenadores actuales. Turing afirmó que una máquina de este tipo debería ser capaz de efectuar cualquier cómputo que un ser humano pudiera llevar a cabo siguiendo reglas precisas.

Pero entonces se preguntó qué no podría hacer esa máquina. Su respuesta fue el famoso problema de la detención (halting problem): no existe un algoritmo general que, dado un programa cualquiera, decida de antemano si ese programa terminará alguna vez o se quedará girando en un bucle infinito. La demostración es, otra vez, una paradoja. Se construye un programa que se detiene si y solo si no se detiene. El corolario es demoledor: si no se puede decidir por cálculo si un programa se detiene, tampoco se puede decidir por razonamiento formal. Ningún sistema axiomático puede ser completo, porque si lo fuera, proporcionaría un método mecánico para resolver el problema de la detención… y eso es imposible.

Después de la Segunda Guerra Mundial, estas profundas cuestiones filosóficas quedaron un tanto olvidadas. Fue entonces cuando Gregory Chaitin, todavía casi un adolescente, leyó sobre Gödel y Turing y empezó a sospechar algo más radical. Si en la física cuántica el azar es intrínseco e impredecible, ¿no podría haber también aleatoriedad en las matemáticas puras?

Andrey N. Kolmogorov (1903-1987)

A mediados de los años sesenta, de forma independiente, Chaitin y A. N. Kolmogorov desarrollaron lo que hoy se conoce como teoría algorítmica de la información. La idea fundamental es sencilla y poderosa: medir la complejidad de un objeto por el tamaño del programa más corto capaz de generarlo. Un objeto es aleatorio si no se puede comprimir: el programa más breve que lo describe es tan largo como el propio objeto. Esta noción conecta directamente con la entropía de Boltzmann en física: el desorden de un gas requiere una descripción enorme, mientras que un cristal ordenado se describe con poco. También enlaza con la filosofía de la ciencia y la navaja de Occam: 

Ante varias explicaciones posibles de un mismo fenómeno, la más sencilla suele ser la preferible.

 Es decir, la mejor teoría es el programa más corto que predice las observaciones. Si no existe un programa más corto que los datos mismos, entonces los datos son aleatorios e incomprensibles; no hay teoría útil.

En matemáticas, los conjuntos de axiomas que usamos son necesariamente concisos (si no lo fueran, nadie creería en ellos). Pero el universo de verdades matemáticas es infinito. Por tanto, cualquier sistema de axiomas solo puede capturar una fracción minúscula de esa información. La incompletitud de Gödel no es un misterio técnico o una curiosidad paradójica: es natural e inevitable. Existen verdades matemáticas que son, en cierto sentido, aleatorias: no se pueden demostrar a partir de axiomas razonables porque contienen más información de la que esos axiomas poseen.

A pesar de estos límites fundamentales, los matemáticos siguen avanzando de forma espectacular. Los resultados de Gödel, Turing, Kolmogorov y Chaitin podrían generar pesimismo, pero en la práctica no lo hacen: a pesar de la incompletitud y la aleatoriedad, la matemática sigue siendo fértil y productiva.

¿Puede la inteligencia artificial sustituir a los matemáticos?

Gregory Chaitin (1947-)

Los mismos resultados que hemos recorrido —la incompletitud de Gödel, la indecidibilidad de Turing y la aleatoriedad algorítmica de Kolmogorov y Chaitin— tienen consecuencias directas para la inteligencia artificial. Cualquier IA, por avanzada que sea, opera como un sistema computable: manipula símbolos según reglas precisas. Por tanto, hereda los mismos límites: no puede ser completa respecto a las matemáticas, no puede decidir en general si un programa arbitrario terminará, y no puede “descubrir” ni demostrar aquellas verdades que son esencialmente incompresibles. Esto no impide que la IA se convierta en un colaborador extraordinario. Ya lo está haciendo: verifica demostraciones, explora vastos espacios de conjeturas, formaliza razonamientos y acelera cálculos que antes eran prohibitivos. Los matemáticos que sepan utilizarla bien serán mucho más productivos, y ciertas tareas rutinarias o de búsqueda exhaustiva se automatizarán. 

La inteligencia artificial avanzada ya está transformando la práctica de las matemáticas y seguirá haciéndolo de manera cada vez más intensa. Puede ayudar a verificar demostraciones, explorar grandes espacios de conjeturas, encontrar patrones, formalizar razonamientos y acelerar cálculos que antes eran prohibitivos. Herramientas como los asistentes de demostración y los modelos de lenguaje especializados ya actúan como colaboradores muy potentes. En ese sentido, la IA puede amplificar enormemente el trabajo de los matemáticos y, en algunos dominios estrechos y bien formalizados, incluso automatizar partes importantes. Sin embargo, sustituir a los matemáticos es otra cosa. Desde mi punto de vista, hay razones tanto prácticas como fundamentales que lo hacen improbable, como por ejemplo: 

1. Límites teóricos profundos.   Los resultados  que hemos estado discutiendo anteriormente, establecen fronteras inviolables para cualquier sistema formal o computable:
   
   • Ningún sistema axiomático suficientemente potente puede ser a la vez completo y consistente. Siempre habrá verdades matemáticas que el sistema no podrá demostrar.
   •  El problema de la detención es indecible: no existe un algoritmo general que determine si un programa arbitrario termina.
   •  Según la teoría algorítmica de la información, existen verdades matemáticas que son esencialmente aleatorias e incompresibles: contienen más información de la que cualquier conjunto finito de axiomas (o de datos de entrenamiento) puede capturar.

    Una IA, por avanzada que sea, sigue siendo un sistema computable. Opera dentro de esas limitaciones. No puede “saltar” fuera de ellas.

2. La naturaleza creativa e informal de la matemática real. La matemática que hacen los seres humanos no consiste solo en derivar teoremas a partir de axiomas, ella incluyen: 
   • Elegir qué problemas merecen la pena.
   • Inventar definiciones nuevas y fructíferas.
   • Detectar analogías profundas entre áreas aparentemente lejanas.
   • Juzgar la elegancia, la profundidad o el interés de un resultado.
   • Cambiar de paradigma cuando el marco actual se vuelve estéril.

   Estas actividades dependen de intuición, gusto estético, experiencia histórica y, a menudo, de una forma de “comprensión” que no se reduce a la manipulación mecánica de símbolos. Hasta ahora no hay evidencia de que los sistemas de IA actuales (ni los que se vislumbran a medio plazo) posean esa capacidad de forma autónoma y general.

3. El papel de la verificación y la confianza. Incluso cuando una IA produce una demostración correcta, los matemáticos humanos siguen siendo necesarios para:
   • Comprender por qué es correcta.
   • Evaluar su significado.
   • Integrarla en el cuerpo más amplio del conocimiento.
   • Detectar posibles errores conceptuales o supuestos ocultos.

   La confianza en un resultado matemático no se reduce a “el ordenador dice que es verdad”,  requiere comprensión humana.

La IA avanzada no va a sustituir a los matemáticos de la misma manera que las calculadoras no sustituyeron a los físicos o los ingenieros. Lo más probable es que se produzca una simbiosis: los matemáticos que sepan usar bien la IA serán mucho más productivos, y algunos tipos de trabajo rutinario o de búsqueda exhaustiva desaparecerán o se automatizarán. Pero la actividad de hacer matemáticas —crear conceptos, plantear las preguntas profundas y dar sentido a los resultados— seguirá siendo, durante mucho tiempo, una empresa humana (o al menos una empresa en la que la inteligencia humana siga siendo indispensable).

En resumen: la IA puede ser un colaborador extraordinario y, en algunos aspectos, superior. Pero no puede ocupar el lugar del matemático, precisamente porque las matemáticas no son solo un juego formal computable. Contienen elementos de incompletitud, aleatoriedad y creatividad que, según todo lo que sabemos, escapan a cualquier sistema puramente algorítmico.

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Lectura recomendada: 

•  Las paradojas del mentiroso, el barbero o la manos que se dibujan y la paradoja de Russell.

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Los Números Primos Gemelos

Con la colaboración del Profesor Silvio Soler Cárdenas.

Los primos gemelos son pares de números primos que diferencian en exactamente \(2\), como \((3,5)\), \((5,7)\), \((11,13)\), \((17,19)\), \((29,31)\), \((41, 43)\), \((59, 61)\), etc. La conjetura de los primos gemelos afirma que existen infinitos de estos pares.

Algunos hecho y propiedades inmediatas son los siguiente: 

• El par \((2, 3)\) normalmente no se considera un par de primos gemelos, porque su diferencia es \(1\). 
• Como \(2\) es el único primo par, todos los demás primos son impares y una diferencia de \(2\) es la separación mínima posible entre dos primos impares. 
• Salvo el par \((3,5)\), todo par de primos gemelos puede escribirse como \((6n-1,\;6n+1)\). Por tanto, el número situado entre ambos primos es múltiplo de \(6\) . En consecuencia, la suma de los dos primos gemelos es divisible por \(12\), excepto en el caso \((3,5)\).
• El número \(5\) es el único primo que pertenece a dos pares de primos gemelos: \((3,5)\) y \((5,7)\). Esto se debe a que entre tres números impares consecutivos siempre hay uno divisible por \(3\), salvo cuando ese número es el propio \(3\).

Si un número primo no tiene gemelo, se dice que es un primo aislado, es decir es un número primo p para el que ni (p-2) ni (p+2) son primos. Por ejemplo, 23 es un primo aislado porque 21 y 25 son números compuestos.

Euclides demostró que existen infinitos números primos (Proposición 20 del Libro IX de los Elementos) y se cree que pudo ser el primero en plantearse la conjetura de los primos gemelos, pero no existe ningún registros que lo confirme. Fue el matemático francés Alphonse de Polignac quien en 1849, formuló una conjetura con el siguiente enfoque general:

Para todo número par positivo \(k\), existen infinitos pares de primos cuya diferencia es \(k\) .

El caso \(k=2\) es precisamente la conjetura de los primos gemelos.

El primer gran salto 70 años después

Viggo Brun (1885–1978)

En 1915 el matemático noruego Viggo Brun introdujo formalmente el método conocido como la Criba de Brun. Utilizando ese método de cribado, cuatro años más tarde (en 1919), logró probar que la suma de los inversos de los números primos gemelos converge en un valor fijo, originando así la famosa constante de Brun (que se representa con la letra \(B-2\)). La constante es el resultado de la siguiente suma infinita:

\[B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \dots=1.90216058...\]

Para entender por qué el descubrimiento de Viggo Brun fue tan revolucionario, debemos compararlo con los números primos en general:

• Si sumas los inversos de todos los números primos (\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \dots\)), la suma es infinita (diverge). Esto ocurre porque hay muchísimos números primos en el universo numérico.
• Al ver esto, los matemáticos pensaban que con los primos gemelos pasaría lo mismo. Sin embargo, Brun demostró que la suma de sus inversos se detiene en un número fijo (converge).

La criba de Brun funcionaba de la siguiente manera:

• El principio de exclusión: Es una evolución de la clásica Criba de Eratóstenes (el método escolar de tachar múltiplos de 2, de 3, de 5, etc., para encontrar primos).
• Controlar los múltiplos: Brun desarrolló fórmulas avanzadas para aproximar cuántos números quedan sin tachar cuando eliminas los múltiplos de los primeros números primos de forma simultánea para dos expresiones (\(n\) y \(n+2\)).
• Fijar un límite superior: Aunque el método no permitía saber con exactitud si los primos gemelos se acaban o no, sí demostró de forma matemática e irrefutable que la cantidad de primos gemelos menores que un número \(x\) no puede crecer tan rápido como para hacer que la suma total sea infinita.

A pesar de que sabemos que la suma total da un número fijo (cercano a 1.902), la constante de Brun encierra una ironía: todavía no sabemos si hay infinitos primos gemelos o si en algún momento se acaban. Si los primos gemelos fueran finitos, la suma lógicamente se detendría en un número fijo. Pero si son infinitos (como sospechan la mayoría de los matemáticos), la constante de Brun nos dice que aparecen tan poco a menudo que su suma se estabiliza de todos modos.

Después de la criba de Brun, el progreso fue lento y los pasos más importantes fueron:

• En 1923, G. H. Hardy y J. E. Littlewood propusieron una conjetura asintótica precisa sobre la densidad de los primos gemelos, que involucra la constante de los primos gemelos \(\approx 0{,}6601618\ldots\).
• En 1973, Jingrun Chen probó un resultado intermedio fundamental: existen infinitos primos \(p\) tales que \(p+2\) es primo o semiprimo (producto de exactamente dos primos).

Yitang Zhang y el salto desicivo

Yitang Zhang

El salto decisivo llegó en 2013, cuando Yitang Zhang demostró de forma incondicional que¨

\[ \liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n) \le 70\,000\,000. \]

Es decir, existen infinitos pares de primos que diferencian en a lo sumo 70 millones.

Yitang Zhang es un matemático chino-estadounidense conocido por protagonizar una de las historias de superación y éxito tardío más fascinantes de la ciencia moderna. Durante décadas, trabajó en un relativo anonimato académico, asumiendo empleos precarios fuera de la investigación (incluyendo un periodo como contable en una franquicia de sándwiches Subway) y dando clases como profesor adjunto en la Universidad de New Hampshire. Sin embargo, su persistencia dio frutos en 2013, cuando a los 57 años resolvió un problema matemático que llevaba siglos estancado. Su perfil destaca no solo por su genialidad, sino por encarnar la figura del erudito solitario que, impulsado por una profunda pasión pura, alcanzó la fama mundial de la noche a la mañana y demostró que nunca es tarde para revolucionar la ciencia.

El impacto de Zhang

Terece Tao a la edad de 10 años junto
a Paul Edös en 1985

Después del gran avance de Zhang, en el mismo 2013, el celebre matemático Terence Tao (Medalla Fields de 2006) lanza el proyecto colaborativo Polymath8. Un proyecto de colaboración abierta online de matemáticos para mejorar este resultado. El proyecto se dividió en dos partes:

• Polymath8a: se centró en optimizar y refinar las técnicas originales de Zhang (estimaciones de distribución de primos en progresiones aritméticas con módulos suaves, búsqueda de tuplas admisibles, etc.).
• Polymath8b: se inició más tarde, cuando James Maynard introdujo un método de criba multidimensional más potente y flexible.

Gracias a este trabajo colaborativo (principalmente a través del blog de Tao y una wiki), Polymath8a consiguió reducir el bound de Zhang de 70 millones hasta \( 4\,680.\). Fue un esfuerzo técnico muy intenso de optimización de los argumentos de Zhang, y sentó las bases para los avances posteriores.

A partir de ahí el progreso fue rapidísimo:

• James Maynard (y de forma independiente Terence Tao, introdujo un método de criba multidimensional y bajó la cota a \(600\).
• A continuación Polymath8b estableció en 2014 el récord: \[ \liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n) \le 246. \]

  Esta cota se mantuvo como la mejor cota incondicional aceptado durante más de doce años.

La Conjetura de Elliott-Halberstam (formulada en 1968) es una hipótesis muy técnica sobre cómo se distribuyen los números primos en secuencias aritméticas. Nadie ha podido demostrarla aún, pero la gran mayoría de los matemáticos cree que es totalmente cierta. Si los c´lculos de la congetura de los primos gemelos se hacen sin suponer válidad la Conjetura de Elliott-Halberstam se dice que son cotas incodicionales como \(246\), en caso contrario se llaman cotas condicionales. Las cotas condicionales que se han obtenido son las siguientes:

• La cota de \(12\): Fue demostrada originalmente por James Maynard en noviembre de 2013. Al introducir su innovador método de criba multidimensional, probó que si la conjetura de Elliott-Halberstam es cierta, la distancia máxima garantizada entre infinitos pares de primos cae a \(12\).
• La cota de \(6\): Se obtuvo unos meses después, en agosto de 2014. Fue calculada por el proyecto colaborativo Polymath8b (liderado por Terence Tao y en el que también participó Maynard). El grupo combinó las técnicas de Maynard con optimizaciones numéricas masivas, demostrando que bajo la versión generalizada de la conjetura de Elliott-Halberstam, la distancia límite se reduce a \(6\).

Julia Stadlmann

 En agosto de 2026, Julia Stadlmann publicó un preprint que mejora la cota incondicional a \(240\) y este es el primer avance significativo en más de una década. Su trabajo combina el teorema de Bombieri–Vinogradov con estimaciones de equidistribución para módulos suaves.

Poco después aparecieron algunos trabajos (algunos asistidos por inteligencia artificial) que proponen cotas incondicionales de \(236\), \(212\) e incluso \(186\). A fecha de octubre de 2026, ninguno de estos trabajos posteriores ha superado una revisión por pares rigurosa, por lo que el bound establecido sigue siendo \(246\), con el resultado de Stadlmann (\(240\)) como el más sólido y reciente.

 La conjetura de los primos gemelos permanece abierta. Se sabe que hay infinitos pares de primos separados por una distancia acotada (\(\le 246\), y probablemente \(\le 240\)), pero no se ha conseguido aún bajar esa distancia hasta \(2\). El principal obstáculo técnico sigue siendo el llamado problema de paridad de las cribas. Mientras que los métodos que utilizan la conjetura de Elliott-Halberstam solo estan esperando a que alguien demuestre esta conjetura para, que como ya se ha demostrado, las cotas caigan a \(12\) o \(6\).

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