Descartes, Fermat y la Geometría Analítica

Históricamente, el álgebra y la geometría previos al momento que revisaremos, operaron como disciplinas aisladas. El giro decisivo ocurrió en el siglo XVII, cuando René Descartes y Pierre de Fermat integraron ambos mundos de manera independiente, dando origen a la geometría analítica.

Esta transición representó una auténtica revolución conceptual basada en dos pilares:

1.- La traducción algebraica de la forma: Las curvas y figuras geométricas comenzaron a representarse mediante ecuaciones.

2.- La sistematización del espacio: El uso de coordenadas permitió resolver problemas geométricos complejos a través del cálculo algorítmico, eliminando la dependencia exclusiva de la construcción visual clásica.

Este avance se sitúa justo después del periodo analizado en nuestro post sobre la Prostaféresis. Si en aquella etapa el foco fue el perfeccionamiento  los procedimientos de  cálculo, el simbolismo algebraico y la trigonometría, la geometría analítica supuso la consolidación de esas herramientas, convirtiéndose en el antecedente directo y necesario para el nacimiento del cálculo infinitesimal.

Antecedentes

• Cónicas de Apolonio de Perge (s. III a.C.). En su obra Apolonio logró la sistematización definitiva de las secciones obtenidas al cortar un cono con un plano, definiendo y nombrando la elipse, la parábola e hipérbola. Su genialidad residió en demostrar que estas figuras comparten un origen común y en describirlas mediante relaciones geométricas de áreas y segmentos denominadas "síntomas", las cuales operaban como un antecedente geométrico de las ecuaciones modernas. Aunque su método era puramente visual y deductivo, Apolonio dejó establecidas las propiedades intrínsecas de estas curvas, proporcionando el material base que, siglos más tarde, Fermat y Descartes traducirían al lenguaje del álgebra.
• Herón de Alejandría (10-70 d. C.): Implementó el uso de sistemas de coordenadas aplicados a la agrimensura, facilitando la medición y división de terrenos.
• Claudio Ptolomeo (≈ 85-165 d. C.): En su "Geografía", sentó los rudimentos de la longitud y latitud, utilizando coordenadas numéricas para localizar puntos sobre la superficie terrestre.
• Pappo de Alejandría (290-350 d. C.): Introdujo nociones pioneras sobre la aplicación de métodos analíticos (precursores del álgebra) para resolver problemas geométricos.
• Nicolás de Oresme (1323-1382): En "Tractatus de latitudinibus formarum", creó los primeros gráficos de funciones al trasladar al plano el sistema de coordenadas esféricas de los geógrafos. Utilizó los términos longitud y latitud como antecesores directos de las actuales abscisas y ordenadas. 
• Desarrollo de los métodos y el simbolismo algebraico  en la Europa de los siglos XV y XVI.

 A las motivaciones de una economía mercantil y preindustrial que ya comentamos en el post sobre  la Prostaféresis, hay que agregar la gran aceptación de la teoría de secciones cónica y su nexo con problemas prácticos con el movimiento de los planetas (elipse) y la trayectoria de un proyectil (parábola). 

Descartes y Fermat, dos caminos hacia una misma creación

1. Punto de partida y motivación

• René Descartes (La Géométrie, 1637): Su enfoque era pragmático y filosófico cognitivo. No buscaba desarrollar matemáticas de forma aislada, sino demostrar la potencia de su "Método" para resolver problemas. Introdujo el álgebra como una herramienta para simplificar construcciones geométricas complejas.

• Pierre de Fermat (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge, h. 1636): Su enfoque era clásico y mecánico geométrico. Fermat pretendía reconstruir los trabajos perdidos de Apolonio. Su motivación era puramente matemática: demostrar que las propiedades de las curvas griegas podían deducirse de ecuaciones algebraicas simples.

2. La dirección del análisis

• Descartes (Geometría → Álgebra): Partía de un problema geométrico (como el de Pappus) y buscaba la ecuación que lo describiera. Su objetivo primordial era la resolución de ecuaciones mediante la geometría.

• Fermat (Álgebra → Geometría): Partía de una ecuación lineal o cuadrática y demostraba que siempre correspondía a una recta o a una sección cónica. Su enfoque se centraba en el estudio de los lugares geométricos.

3. Notación y Sistema de Coordenadas

• Descartes: Introdujo la convención actual de usar las últimas letras del alfabeto (x, y, z) para las incógnitas y las primeras (a, b, c) para las constantes. Utilizó un solo eje de referencia y segmentos que no eran necesariamente perpendiculares.

• Fermat: Utilizó una notación heredada de Viète (empleando vocales para las incógnitas). Aunque su sistema era conceptualmente más cercano al actual, su obra no se publicó formalmente hasta 1679, lo que limitó su impacto inmediato frente al éxito editorial de Descartes.

Característica	René Descartes	Pierre de Fermat
Obra principal	La Géométrie (1637)	Isagoge (1636, pub. 1679)
Visión	El álgebra como sierva de la geometría.	El álgebra como lenguaje de la geometría.
Ecuaciones	Se centró en curvas de grados superiores.	Se centró en la clasificación de rectas y cónicas.
Impacto	Masivo debido a la imprenta y su fama.	Limitado inicialmente a la correspondencia privada.

A pesar de que el sistema de coordenadas lleva el nombre de "cartesianas", el enfoque de Fermat fue, en ciertos aspectos técnicos, más cercano al espíritu de la geometría analítica moderna. Sin embargo, la audacia de Descartes al publicar sus resultados en vida le otorgó la primacía en la narrativa histórica. Esta dualidad no solo enriqueció la disciplina, sino que dejó el escenario listo para que la siguiente generación de matemáticos diera el salto hacia el cálculo.

Evolución y Consolidación de la Geometría Analítica

• 1704 — Isaac Newton: En su obra "Enumeración de las curvas de tercer orden", utiliza por primera vez los ejes cartesianos tal como los conocemos hoy. Fue pionero en el empleo sistemático de valores negativos tanto en coordenadas como en las raíces de las ecuaciones.
• 1707 — Guillaume de L'Hôpital: En su "Traité analytique des sections coniques", realiza la traducción definitiva de las cónicas de Apolonio al lenguaje formal de la geometría analítica, facilitando su estudio algebraico.
• A. C. Clairaut (1713-1765): Extendió los horizontes de la disciplina al espacio tridimensional mediante la introducción de un sistema de tres ejes coordenados rectangulares (x, y, z).
• 1748 — Leonhard Euler: En el segundo tomo de su "Introductio in analysin infinitorum", redacta el primer tratado de geometría analítica en el sentido moderno, logrando una independencia total de los métodos clásicos de Apolonio. Con Euler, la Geometría Analítica alcanzó prácticamente todo el compendio de contenidos que la conforman en la actualidad, solo faltaba el Álgebra Lineal del siblo XIX para llegar a su forma definitiva.
• S. F. Lacroix (1764-1848): A finales del siglo XVIII, introduce formalmente la denominación de "Geometría Analítica", estandarizando el término que usamos hasta la actualidad.

Diofanto de Alejandría y el Álgebra Sincopada

 

Diofanto de Alejandría (≈200-284 a.C.), a menudo llamado el "padre del álgebra", es una de las figuras más enigmáticas y transformadoras de la matemática antigua. Aunque vivió en el siglo III d.C., su enfoque rompió con la tradición geométrica griega para sentar las bases de lo que hoy conocemos como análisis algebraico. 

Mientras que predecesores como Euclides abordaban los problemas numéricos desde una perspectiva geométrica basada en líneas y áreas, Diofanto revolucionó la disciplina al centrarse puramente en los números. Su obra cumbre, Arithmetica, reúne 130 problemas dedicados a hallar soluciones exactas para ecuaciones tanto determinadas como indeterminadas. De su producción adicional, solo conservamos fragmentos de Sobre números poligonales, mientras que de su tratado Porismas (corolarios) no queda ningún ejemplar; su existencia solo se conoce gracias a las referencias que el propio autor incluyó en Arithmetica.

Antes de Diofanto, las matemáticas se escribían completamente con palabras ("Álgebra Retórica"). Él introdujo una forma de abreviatura o simbolismo  ("Álgebra Sincopada"). Utilizó símbolos específicos para representar la incógnita (que llamó arithmos) y sus potencias. Creó signos para la resta y la igualdad. Esto permitió que las operaciones fueran mucho más compactas y fáciles de seguir, un paso intermedio crucial hacia el "Álgebra Simbólica" moderna.

Ejemplo del uso de síncopes o abreviaturas en Arithmetica

Arithmetica de Diofanto

La Arithmetica de Diofanto se caracteriza por un tratamiento analítico de la teoría de números totalmente disruptivo para su época, centrándose en la búsqueda de los arithmos (el concepto primitiva de nuestras actuales incógnitas). A través de 130 problemas distribuidos en 13 libros de los que se han llegado hasta nosotros 5,  el autor aborda desde ecuaciones de primer grado hasta cuadráticas y casos especiales de cúbicas, estructurando su obra de manera progresiva: mientras el primer libro analiza 25 ecuaciones de una sola incógnita, el resto del tratado se sumerge en sistemas de segundo grado con dos y tres variables. Lejos de proponer algoritmos universales, Diofanto hace gala de un ingenio único al desarrollar métodos particulares y creativos para la resolución de cada desafío, aceptando exclusivamente como solución válida los números racionales positivos.

El problema 8 del libro II de Arithmetica. Descomponer un cuadrado en dos cuadrados.

En la historia de la ciencia, existen momentos en los que una simple anotación cambia el rumbo del conocimiento para siempre. Ese momento ocurrió en las páginas de la Arithmetica de Diofanto de Alejandría, específicamente en su Problema 8 del Libro II. Pero, ¿por qué un ejercicio de hace 1.800 años sigue siendo el más famoso de la historia?

El enunciado de Diofanto es sencillo: "Dividir un número cuadrado dado en dos cuadrados". Aunque suena a geometría, Diofanto lo llevó al terreno del álgebra y fue el primer intento sistemático de analizar las famosas "ternas pitagóricas" de forma puramente algebraica.

La verdadera explosión de fama ocurrió en 1637. El matemático francés Pierre de Fermat estudiaba una edición de la Arithmetica cuando, al llegar a este problema, se le ocurrió una pregunta audaz: ¿Y si el exponente fuera 3, 4 o 500?

Al margen de su libro, escribió en latín:

"Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a la segunda en dos potencias del mismo grado".

Fermat remató con una frase que torturaría a los científicos durante siglos.

"He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla".

Esa pequeña nota dio origen al Último Teorema de Fermat ($x^n+y^n=z^n$). Lo que comenzó como una lectura casual de Diofanto se convirtió en el "santo grial" de las matemáticas. Durante más de tres siglos, las mentes más brillantes del mundo intentaron resolverlo, impulsando en el camino el desarrollo de la teoría de números moderna. No fue hasta 1995 cuando Andrew Wiles logró finalmente demostrarlo.

Solución del problema 8 en  Arithmetica

Si deseamos descomponer 16 en dos cuadrados y suponemos que el primero es un aritmo (x=a), el otro tendrá 16 unidades menos un cuadrado de aritmo (16−a2), por tanto, 16 unidades menos un cuadrado de aritmo son un cuadrado (16−a2=y2).

Formemos un cuadrado de un conjunto cualquiera de aritmos (ka), disminuido en tantas unidades como tiene la raíz de 16 unidades ((ka−4)2), y sea el cuadrado de 2 aritmos menos 4 unidades (sea k=2 y entonces y2=16−a2=(2a−4)2).

Este cuadrado tendrá cuatro cuadrados de aritmo y 16 unidades menos 16 aritmos ((2a−4)2=4a2+16−16a), que igualaremos a 16 unidades menos un cuadrado de aritmo (4a2+16−16a=16−a2).

Sumando a uno y otro lado los términos negativos y restando los semejantes, resulta que 5 cuadrados de aritmo equivalen a 16 aritmos (5a2=16a) y, por tanto, un aritmo vale a=516​; luego uno de los números es a2=25256​ y otro 16−a2=25144​, cuya suma es 25400​, es decir 16 unidades y cada uno de ellos es un cuadrado.

Las Ecuaciones Diofánticas en Arithmetica

Su nombre ha quedado inmortalizado en las ecuaciones diofánticas. Se trata de ecuaciones con coeficientes enteros donde se buscan exclusivamente soluciones que también sean números enteros o racionales. Ejemplo clásico: $ax+by=c$. Estas ecuaciones son fundamentales hoy en día en áreas como la criptografía y la teoría de números.

Las ecuaciones diofánticas en la Arithmetica representan el primer estudio sistemático del análisis algebraico, centrándose en hallar soluciones numéricas exactas —tanto enteras como fraccionarias positivas— para problemas que hoy expresaríamos como ecuaciones polinómicas. A través de sus trece libros, Diofanto transita desde ecuaciones lineales simples hasta complejos sistemas de segundo y tercer grado, utilizando su innovador concepto de arithmos (incógnita) para transformar enunciados verbales en operaciones simbólicas. Su enfoque no buscaba fórmulas generales, sino que desplegaba un ingenioso abanico de métodos particulares para cada caso, sentando las bases de la teoría de números moderna y permitiendo resolver problemas de indeterminación que la geometría clásica no podía abordar. 

El "Epitafio de Diofanto"

Sobre la vida de Diofanto se tienen pocos datos, a excepción de la información que nos aporta el siguiente acertijo. Según se afirma este fue escrito por si mismo en su tumba, horas antes de morir:

¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto y los números pueden mostrar ¡oh milagro! Cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su feliz infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de bellos cubriose su barbilla y la séptima parte de su vida transcurrió en un matrimonio estéril.

Pasaron cinco años más y le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito, que entregó su existencia a la tierra, la cual duró tan solo la mitad de la de su padre.

Se dedicó Diofanto afligido, por entero al álgebra buscando consuelo en la misma, pero su pena era tan profunda que descendió a la sepultura sobreviviendo solo 4 años al deceso de su hijo. Dime ¿ Cuantos años vivió Diofanto?.

Haciendo uso de nuestro simbolismo si x es la cantidad de años que vivió Diofanto se tiene que: 

x = (1/6) x+ (1/12) x+ (1/7) x+ 5+(1/2) x+ 4, es decir x = 84 años.

Desarrollo ulterior de Álgebra Sincopada. 

Tras el hito de Diofanto, el álgebra sincopada actuó como un puente fundamental que permitió la transición hacia la modernidad. Durante siglos, matemáticos árabes como Al-Juarismi refinaron estos métodos, aunque a menudo regresaron a un estilo más retórico para garantizar la claridad de sus algoritmos. No fue sino hasta el Renacimiento tardío, con figuras como François Viète y René Descartes, cuando el sistema de abreviaturas diofánticas evolucionó finalmente hacia el álgebra simbólica que utilizamos hoy. Este proceso consistió en sustituir los síncopes (abreviaturas de palabras) por símbolos abstractos y universales, permitiendo que las matemáticas dejaran de describir operaciones con palabras para convertirse en un lenguaje puramente visual y operativo, capaz de abordar la complejidad del cálculo moderno. 

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