La Yupana, el ábaco Inca

 Las yupanas son uno de los legados más fascinantes de la matemática precolombina, funcionando como las calculadoras o ábacos del Imperio Inca y de las culturas andinas que los precedieron. La palabra proviene del quechua yupay (que significa "contar") y hace referencia a estos dispositivos, que solían ser tableros con casilleros tallados en piedra, madera, arcilla o incluso representados en textiles, donde se colocaban cuentas como granos de maíz o piedras de colores para realizar operaciones aritméticas complejas. Históricamente, su origen está íntimamente ligado a los quipus (los sistemas de cuerdas anudadas); mientras que el quipu funcionaba como el registro o "disco duro" para almacenar los datos, la yupana era el procesador donde se realizaban los cálculos de forma dinámica. 

Diversos modelos de yupanas arqueológicas, descubiertas en excavaciones.

A pesar de su genialidad, el estudio de las yupanas presenta un gran desafío arqueológico debido a la inmensa variedad de modelos que existen y al misterio que rodea a muchos de ellos. No hubo un diseño único: se han descubierto tableros con diferentes distribuciones de cuadrículas, números de casilleros y disposiciones geométricas. El modelo más famoso fue documentado en 1615 por el cronista Guamán Poma de Ayala en su obra Nueva corónica y buen gobierno, el cual muestra una tabla de 5 filas y 4 columnas. Sin embargo, los hallazgos arqueológicos revelan variantes desconcertantes, muchas de las cuales aún no se sabe a ciencia cierta cómo se utilizaban.

La Yupana de Guamán Poma de Ayala, 1615

Al no haber registros escritos de los métodos de cálculo originales —debido a la tradición oral incaica y a la destrucción de conocimiento durante la conquista—, los matemáticos e historiadores actuales han tenido que "hacer ingeniería inversa". Esto ha dado lugar a múltiples teorías y propuestas de interpretación (algunas basadas en el sistema decimal, otras en sistemas de base 5 o base 40, e incluso modelos basados en la sucesión de Fibonacci). Mientras que algunos diseños arqueológicos se han podido descifrar con éxito para realizar sumas y restas, muchos otros modelos de yupanas siguen siendo un enigma, mudos testimonios de una ciencia andina sumamente avanzada cuyo funcionamiento exacto todavía estamos intentando comprender. El resto del post lo dedicaremos a la yupana de Poma de Ayala. 

Estructura de la Yupana de Poma de Ayala

La yupana de Guamán Poma de Ayala es el  principal referente histórico de este instrumento, dibujada por el cronista en su obra de 1615. Se describe brevemente por las siguientes características:

• Es un tablero rectangular organizado en una cuadrícula de 5 filas y 4 columnas (un total de 20 casilleros), dentro de cada casillero se muestran pequeños círculos o sectores para indicar el valor de las fichas colocadas en ella colocar las cuentas.
• En la fila superior hay casilleros con 5 círculos, en la siguiente con 3, luego 2 y, en la fila inferior, casilleros con un solo círculo.
• Aunque el cronista no dejó un manual de uso, los investigadores modernos sostienen que las columnas representan el sistema decimal posicional (unidades, decenas, centenas, etc.), mientras que los círculos internos de cada casillero permitían calcular de forma aditiva y realizar acarreos de manera sumamente visual.

 Nota

 Nota: 1729 es el número de Hardy-Ramanujan.

 

Esta yupana opera bajo el principio fundamental de un sistema posicional decimal y aditivo, donde los movimientos justifican la ejecución de operaciones aritméticas (como la suma, la simplificación y el acarreo) mediante la conservación del valor numérico total. Cada transición ilustra las reglas de dinamización de fichas, las cuales consisten en reducir la complejidad del tablero al fusionar fichas del mismo casillero que completan un valor superior (adición interna, como \(1+1=2\) o \(3+3=6 \rightarrow 5+1\)), o bien al aplicar la regla del acarreo decimal, donde acumular el valor máximo de 10 unidades en cualquier orden posicional se canjea automáticamente por una sola ficha de valor 1 en el casillero inmediato de la izquierda (el orden superior). Así, ya sea reorganizando fichas dentro de un mismo nivel, realizando saltos de columna por desborde, o unificando dos filas de registro en una sola, el argumento matemático unificador es la reagrupación eficiente de cantidades para simplificar la lectura del resultado sin alterar el valor de la cifra original. En la siguiente imagen se ilustran los 8 movimientos básicos de simplificación (dirección azul) y sus inversos los movimientos de expansión (dirección roja):

 La suma

 Se superponen ambas  cantidades en el tablero y se realizan los movimientos de simplificación (dirección azul) necesarios hasta que no quede ningún movimiento pendiente y haya una sola ficha en las celdas utilizadas para expresar el resultado.

 

Nota: 2520 es el menor número que es divisible por todos los números desde 1 hasta 10.

La Diferencia

Se colocan las cantidades en el tablero, de manera que las fichas del minuendo sean de un color (amarillo) y las del sustraendo de otro color (verde). Si dos fichas de colores diferentes se encuentran  en una misma celda se anulan y se retiran ambas fichas del tablero.  Se realizan los movimientos de expansión (dirección roja) necesarios y así formar parejas de fichas del minuendo y el sustraendo para ir eliminándolas hasta que no quede ningún movimiento pendiente y haya una sola ficha del minuendo en las celdas utilizadas para expresar el resultado.

Nota: 6174  es la Constante de Kaprekar.

La Multiplicación

 La multiplicación es realiza como una sucesión  de sumas consecutivas. Para dos factores \(M\) y  \(N\), se tiene que \(M \times N\) es igual a la suma de \(N\) veces \(M\) o equivalentemente su recíproco. Si \(M < N\), suele ser más simple sumar \(M\) veces \(N\). 

La División

 La división con la yupana es un proceso un poco más complejo que los anteriores y consiste en determinar cuántas veces está contenido el divisor dentro del dividendo. Para ello, se realiza un proceso de emparejamiento entre las fichas de ambas cantidades, equivalente a efectuar restas sucesivas. El procedimiento consiste en lo siguiente:

1. Representar las cantidades. Coloca en la yupana las fichas correspondientes al dividendo y al divisor. Es recomendable utilizar colores diferentes para distinguir ambas cantidades con facilidad.
2. Ubicar el divisor. Desplaza hacia arriba, manteniendo su forma original, el conjunto de fichas que representa al divisor. Continúa hasta que la ficha de mayor valor del divisor quede en la misma fila que la ficha de mayor valor del dividendo, asegurándote de que el valor representado por el dividendo siga siendo mayor o igual que el del divisor.
3. Realizar el emparejamiento. Comenzando por la fila de mayor valor:
   
   • Efectúa los movimientos necesarios sobre las fichas del dividendo para que coincidan con las posiciones ocupadas por las fichas del divisor.
   • Cuando todas las fichas de una fila queden emparejadas, retira del tablero ese grupo de fichas del dividendo.
   • Por cada emparejamiento completo, coloca una ficha de control a la derecha del tablero. Estas fichas irán formando el cociente.
4.  Repetir el proceso. Una vez retirado un grupo de fichas del dividendo:
   
   • Baja una fila el bloque que representa al divisor.
   • Repite el procedimiento de emparejamiento y retirada.
   • Continúa hasta que no queden fichas del dividendo o hasta que el valor restante sea menor que el divisor.
5. Obtener el resultado.
   
   • El cociente es el número representado por las fichas de control colocadas a la derecha del tablero.
   • El residuo es el valor que aún representan las fichas del dividendo que no pudieron emparejarse con el divisor.
6. Cálculo de decimales. Si existe residuo y se desea continuar la división:
   
   • Sube las fichas del residuo a la casilla inmediatamente superior, lo que equivale a multiplicar su valor por diez.
   • Continúa aplicando el mismo procedimiento para obtener las cifras decimales del cociente.

El procedimiento en esencia consiste en que cada vez que las fichas del divisor logran emparejarse completamente con una parte del dividendo, se ha encontrado una nueva unidad del cociente. Por ello, dividir en la yupana puede entenderse como contar cuántas veces es posible formar el divisor dentro del dividendo. 

El resultado de la división es: 94/7=13  (valor de las fichas azules exteriores) con resto 3  (valor de la ficha amarilla -dividendo- que queda en el tablero). Es  decir, 97=13 x 7 + 3.

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Bibliografía de consulta.

• Prem, Dhavit (2016). Yupana Inka: Decodificando la matemática inka. Tawa Pukllay: Los 4 juegos sagrados de los inkas. Asociación Yupanki.

 

 

 

 

El sistema de numeración Inca. El Quipu

El Imperio Inca

La civilización inca fue un enorme imperio  que se extendió a lo largo de la costa del Pacífico de América del Sur, alcanzando su máximo apogeo entre los años 1438 y 1532.  Su extensión fue tal que abarcó regiones de los que hoy comprenden partes de Colombia, Ecuador, Perú, Bolivia, Chile y Argentina.

El nombre oficial del imperio en quechua era Tahuantinsuyo (o Tawantinsuyu), que significa literalmente "Las cuatro regiones unidas entre sí". El Tahuantinsuyo se dividía en los cuatro Suyus, que eran las cuatro grandes regiones o divisiones territoriales que componían el Imperio Inca. El centro neurálgico, político y religioso de estos cuatro suyus era la ciudad del Cusco, la "columna vertebral" desde donde se dividía el mundo incaico.

Cada Suyo estaba dirigido por un gobernador de la máxima confianza del Inca, llamado Suyuyuc Apu (o Apocuna), quien usualmente era un pariente directo del monarca. Estos cuatro gobernantes formaban el Consejo Imperial, una especie de gabinete de ministros que asesoraba directamente al Inca en las decisiones más importantes del imperio. Todo este gigantesco territorio estaba perfectamente conectado gracias al Qhapaq Ñan (el Camino Inca), que permitía a los mensajeros (chasquis) llevar información e instrucciones desde el Cusco hacia cualquiera de los cuatro suyus en tiempo récord. 

Los cuatro suyus estaban distribuidos de la manera siguiente:

1. Chinchaysuyo (Norte / Noroeste). El más poblado, rico e importante a nivel económico. Se extendía por la costa y sierra de Perú, Ecuador y el sur de Colombia. Era famoso por su agricultura y el comercio de la concha Spondylus.
2. Collasuyo (Sur / Sureste). El más extenso territorialmente. Ocupaba el altiplano boliviano, el norte de Chile y el noroeste de Argentina. Era una zona clave para la ganadería de llamas y alpacas, y la minería.
3. Antisuyo (Este). Ubicado hacia la ceja de selva y la Amazonía (las montañas "Andes" toman su nombre de este suyo). Era una región difícil de conquistar, proveía al imperio de coca, frutas, plantas medicinales y plumas.
4. Contisuyo (Oeste / Suroeste). El más pequeño de los cuatro. Se extendía hacia la costa sur del Perú, caracterizado por ser una región desértica pero con valles fértiles y una fuerte actividad pesquera.

Los Quipus y el Quipucamayoc

Aunque la escritura a menudo se ve   como un signo de civilización, o al menos como una necesidad para la burocracia a gran escala, el estado inca precolonial operaba ante la aparente ausencia de cualquier sistema de escritura capaz de expresar valores fonéticos. En su lugar, el medio principal para codificar información era un sistema de cuerdas anudadas de diferentes colores, conocido como quipus (palabra que significa nudo), cuyo propósito principal era registrar información numérica para ayudar en la administración del estado inca. Sobreviven entre 500 y 600 quipus incas, aunque no se pueden establecer procedencias precisas para la mayoría de ellos.

El  quipucamayoc (cuyo significado en quechua era responsable del quipu),    era un funcionario dentro de la administración y burocracia del Tahuantinsuyo, que tenía como principal función la interpretación y manejo de los quipus.  Se les ha equiparado a los contadores o tesoreros actuales.

El quipu esta formado por un  conjunto de cuerdas de algodón o lana de colores que consta de una cuerda principal (que va desde los 10 o 20 cm hasta varios metros de longitud) de la cual se suspenden múltiples cuerdas. Estas cuerdas portadoras de números se subdividen en: 

• Cuerda principal (CP), la más gruesa, de la que parten directa o indirectamente todas las demás.
• Cuerdas colgantes (CC), las que penden de la principal hacia abajo.
• Cuerdas superiores (CS), las que se enlazan a la principal, dirigidas hacia arriba. Una de sus utilidades era la de agrupar cuerdas colgantes. Otra, usada con frecuencia, era representar la suma de los números expresados en las cuerdas colgantes.
• Cuerda colgante final (CF), su extremo en forma de lazo, está unido y apretado al extremo de la cuerda principal. Esta cuerda no aparece en todos los quipus.
• Cuerdas secundarias o auxiliares (CA), se unen a otra que esta enlazada a la principal. Se les podía a su vez unir otra cuerda auxiliar. Se ataba a la mitad de la cuerda de la que precedía. 

 La designación de que las cuerdas colgantes penden hacia "abajo" y las cuerdas superiores hacia "arriba" es un artificio; aunque naturalmente cuelgan en lados opuestos de la cuerda principal, no sabemos cómo habrían estado orientadas. En los quipus numéricos, las cuerdas colgantes, superiores y subsidiarias pueden contener una frase-numeral o, más raramente, dos.

a) Nudo largo. Representa los números del 2 al 9 según el número de vueltas. b) Nudo en forma de 8. Representa la unidad, el 1. c) Nudo corto, simple o sencillo. Representaba las decenas, centenas, millares,...

Tres tipos diferentes de nudos codificaban las frases-numerales, como se ve en la Figura. Para codificar un valor en las decenas, centenas o potencias superiores, el hacedor de quipus ataba un número apropiado de nudos simples en línea. Sin embargo, para la potencia de las unidades, se utilizaban dos tipos diferentes de nudos. Para todas las unidades excepto el 1, la cuerda se enrollaba sobre sí misma un número apropiado de veces para el número que se expresaba; el "nudo largo" que se muestra en la Figura representa el 3. Debido a que un nudo largo no se puede hacer con menos de dos bucles, un valor de uno en la posición de las unidades requería el uso de un nudo diferente, un nudo en forma de 8. El uso de diferentes nudos podría parecer que resta valor a la naturaleza puramente posicional del sistema. Sin embargo, debido a que no hay un signo para el cero, esta técnica reducía en gran medida la posibilidad de malinterpretar una cuerda. Si una cuerda contenía seis nudos simples seguidos de dos nudos simples, no podía leerse como 62 sino solo como 620 (o posiblemente 6200). El uso de nudos largos o en forma de 8 en la posición de las unidades hace que sea mucho más fácil saber cuál es la posición de las unidades y, por lo tanto, identificar las posiciones subsiguientes.  

 El sistema utilizado para codificar información es acumulativo-posicional con una base de 10. En cada posición, el valor de esa potencia de 10 se codifica utilizando de uno a más nudos. No existe un signo para el cero; en su lugar, se dejaba un espacio en la cuerda en la posición vacía. La posición de las unidades es la que se encuentra más alejada de la cuerda principal (su extremo suelto), mientras que la potencia más alta se encuentra más cerca de la cuerda principal. Aunque teóricamente un quipu podría expresar cualquier número (porque el sistema es posicional), en la práctica, los números de cinco dígitos son los más altos registrados, y estos son poco frecuentes. A pesar de esta evidente estructura numérica, los quipus a menudo se confunden erróneamente con sistemas no estructurados que utilizan un nudo para un objeto. Los quipus contienen un sistema de notación numérica  posicional,  comparable con los numerales escritos en lugar de con simples marcas de conteo.

Los quipus eran una parte vital del sistema de registro inca; se empleaban en esta función para censos, registros de tributos y funciones administrativas similares. Al notar la frecuencia con la que la cuerda superior equivale a la suma de las cuerdas colgantes, se supone que tales quipus pudieron haber sido parte de un sistema de contabilidad de partida doble.

Los quipus debieron registrar alguna información no numérica; una lista de números puros es prácticamente inútil. De alguna manera, al menos la naturaleza de lo que se estaba contando debió registrarse de alguna forma. Lo más probable es que esto se hiciera con el color la cuerda, para dar contexto a los números. Aunque muchos significados exactos se perdieron tras la conquista, los cronistas españoles y las investigaciones actuales han logrado descifrar la simbología de los colores principales de la administración inca:

• Carmesí (Rojo encendido).    El Inca (el soberano), la realeza o asuntos del Estado.
• Rojo.    El ejército, los guerreros, soldados o asuntos militares.
• Amarillo.    El oro, la producción de este metal o temas relacionados.
• Blanco.    La plata, la paz o censos de población (como hombres solteros en ciertas regiones).
• Pardo / Marrón.     El gobierno, la administración pública o los territorios.
• Verde.    La conquista de nuevos territorios, pueblos vencidos o la agricultura.
• Negro.    El tiempo, los días transcurridos, el calendario o la vejez.
• Gris.    Acontecimientos de guerra o destrucción.
• Morado.    Los curacas (jefes o gobernantes locales).
• Azul.    El agua, los recursos hídricos o deidades del mar/ríos. 

 La cosa no se quedaba en colores puros. Los quipucamayocs (los expertos que leían y hacían los quipus) trenzaban hilos de diferentes colores para crear significados más complejos:

• Cuerdas de dos colores torcidas: Podían indicar una relación entre dos elementos (por ejemplo, si mezclaban celeste y blanco, en algunas zonas servía para registrar a los hombres casados con hijos).
• La clave dependía del tema: Un mismo color podía significar algo distinto si el quipu era militar, agrícola o un censo de población. El contexto lo gobernaba todo.

Aunque la exposición anterior pueda llevarnos a pensar que los quipus se han descifrado por completo, nada más lejos de la realidad. La existencia de otros tipos de nudos, aún sin descifrar, hace suponer que en los quipus se almacenaba otro tipo de información, como calendarios, datos topográficos, entre otros. Por ejemplo: 

Nudo de ojal, con cuatro variantes diferentes, cuyo significado es desconocido. Tampoco se conoce el significados del nudo con mechón de lana, entre otros.

  Los quipus por sí solos no pudieron haber sido utilizados para realizar cálculos aritméticos. Los quipus son aún menos dóciles a la manipulación física que los numerales escritos (que se pueden alinear y tachar). Sabemos, por documentos del siglo XVI, que los quipukamayuq eran responsables no solo de hacer y leer los quipus sino también de calcular los resultados, y que lo hacían utilizando un conjunto de fichas de piedra en una especie de ábaco llamado Yupana al cual dedicaremos un post. 

Representación de un quipucamayoc, según Felipe Guamán Poma de Ayala (aprox. 1535–1616) en su obra Primer nueva corónica y buen gobierno. El dibujo de la izquierda muestra a un contador inca con un quipu entre sus manos y la yupana, o ábaco incaico, aparece a la izquierda.