Carl Runge, el discípulo de Weierstrass que pasó su infancia en La Habana

Carl Runge nació durante una estancia de sus padres en Bremen, Alemania, en 1856. Su padre, Julius, era un comerciante alemán que además ejercía como cónsul danés en La Habana, donde conoció y se casó con Fanny Tolmé, hija de un comerciante inglés. Carl se crió como el tercero de cuatro varones —a los que se sumaban cuatro hermanas— en una atmósfera marcadamente británica. Como su familia residió en La Habana durante aproximadamente dos décadas, Runge pasó allí sus primeros años hasta que en  1863 su familia regresó para asentarse permanentemente en Bremen.

Como dato curioso, en el invierno de 1909-1910, siendo ya un afamado matemático y profesor universitario, viajó a Estados Unidos y aprovechó para realizar un segundo recorrido que incluyó un viaje de regreso a La Habana para visitar los lugares de su infancia. 

 Tras la prematura muerte de su padre en enero de 1864, su madre asumió en soledad la crianza de los ocho hijos. Carl, que siempre mantuvo un vínculo entrañable con ella, mostró desde pronto una inteligencia singular. .A los 19 años, nada más terminar la escuela básica, emprendió un viaje de seis meses junto a su madre en una especie de «peregrinación» por los grandes tesoros culturales de Italia. A su regreso a Alemania, se matriculó en la Universidad de Múnich para estudiar literatura. Sin embargo, el romance con las letras duró poco: tras apenas seis semanas de clases, dio un giro radical a su carrera para entregarse por completo a la física y las matemáticas.

Su etapa universitaria lo llevó a rodearse de los mejores. Tras cursar tres semestres junto a compañeros de la talla de Max Planck, se trasladó a la Universidad de Berlín, que en ese momento era el epicentro de las matemáticas europeas. Allí estudió bajo la tutela directa de Karl Weierstrass y de Leopold Kronecker. En 1880, completó su doctorado bajo la dirección de Weierstrass con una tesis que versó sobre la resolución de ecuaciones algebraicas empleando series numéricas, un tema fuertemente influido por el rigor del análisis complejo que caracterizaba a la escuela de Berlín. 

El joven Carl Runge y su madre 

Runge siempre se consideró un discípulo de Weierstrass. En 1885, con motivo del septuagésimo cumpleaños de Weierstrass, sus antiguos alumnos y colegas le obsequiaron un álbum conmemorativo con sus retratos. La foto registrada con el número 037 corresponde  al joven Carl.

En el Berlín de los años 1880, Carl Runge, discípulo de Weierstrass, destacaba tanto por su brillantez teórica como por su talento para el patinaje. Allí se enamoró de Aimée du Bois-Reymond, cuyo padre le exigió lograr una cátedra para permitir la boda. Tras desarrollar un método de resolución de ecuaciones algebraicas mediante series infinitas y publicarlo en Acta Mathematica (1885) impulsado por Mittag-Leffler, consiguió la cátedra en Hannover en 1886. En 1887 contrajo matrimonio, iniciando una etapa de 18 años en la que tuvo seis hijos y mantuvo una vida familiar llena de música y deporte.

Iris Runge (1888-1966)

Iris, la hija mayor de Carl,  fue una matemática y física, reconocida por ser una de las pioneras del trabajo matemático dentro de la industria. Además de sus contribuciones técnicas en física aplicada y electrónica,  coescribió junto a  Richard Courant (1888–1972), que estaba casado con su hermana Nina Runge, un influyente texto sobre ecuaciones diferenciales y publicó en 1949 una detallada biografía sobre la vida y el legado científico de su padre.  

En Hannover, guiado por su suegro, el célebre fisiólogo Émile du Bois-Reymond, Runge dio un giro hacia la física y la espectroscopia. Junto a Heinrich Kayser buscó descifrar la estructura atómica mediante la luz, y más tarde, con Friedrich Paschen, organizó las líneas del helio de tal forma que la comunidad creyó hasta 1897 que se trataba de dos elementos. Trabajos posteriores con Julius Precht, viajes internacionales y el rechazo de ofertas académicas en EE. UU. consolidaron su relevancia. Sin embargo, sufrió un «vacío» institucional: los matemáticos lo veían como un traidor por dedicarse a la física y los físicos lo consideraban solo un matemático.

Pese al rechazo inicial a su visión del cálculo numérico, en 1904 Max Planck y Felix Klein impulsaron su nombramiento como catedrático en Gotinga en una plaza creada a su medida. Tras jubilarse en 1925, la rama de la matemática aplicada que hoy conocemos como análisis numérico quedó temporalmente huérfana. Murió seis meses después por un ataque al corazón. Recordado por el célebre método de Runge-Kutta, sus allegados evocaban también su vitalidad, inmortalizada cuando celebró su 70.º cumpleaños haciendo la vertical ante sus nietos.

Aimée y Carl Runge con sus hijos en 1903

La Obra Científica de Runge

 1. Análisis Numérico y Matemáticas Aplicadas

Runge creía que una ecuación matemática solo alcanzaba su máximo valor práctico si se podía resolver numéricamente con precisión.

• Método de Runge-Kutta: Desarrollado a finales del siglo XIX junto con Martin Kutta. Es un conjunto de algoritmos iterativos clave para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Sigue siendo la base computacional empleada en ingeniería, físicas de fluidos y simulaciones modernas.
• Fenómeno de Runge: Descubrió un problema fundamental en la teoría de la interpolación de funciones: al intentar aproximar ciertas funciones utilizando polinomios de grado muy elevado en puntos equidistantes, el error cerca de los bordes del intervalo crece drásticamente oscilando en lugar de converger.
• Teorema de Runge: En análisis complejo, estableció un resultado fundamental sobre la aproximación uniforme de funciones holomorfas mediante polinomios.

 

Carl David Runge (1856–1927) y  Martin Wilhelm Kutta (1867–1944)

2. Espectroscopia y Física Atómica

En lugar de limitarse al trabajo de escritorio, Runge trabajó extensamente en laboratorios. Colaboró con físicos emblemáticos como Heinrich Kayser y Friedrich Paschen:

• Líneas Espectrales de los Elementos: Analizó empíricamente la luz emitida por diferentes elementos químicos. Organizó y agrupó las líneas en series espectrales específicas (series principal, primera y segunda subordinada), sentando las bases operativas para entender la estructura atómica que Bohr postularía tiempo después.
• Efecto Zeeman y el Espectro Magnético: Demostró matemáticamente cómo las líneas espectrales se desdoblaban bajo la presencia de campos magnéticos (Efecto Zeeman), encontrando patrones numéricos regulares vinculados al peso y número atómico de los elementos.
• Bandas de Schumann-Runge: Estudio de la absorción de luz ultravioleta por moléculas de oxígeno (O₂), esencial en la física atmosférica moderna.

3. Física Teórica y Astrofísica

• Vector de Laplace-Runge-Lenz: Ayudó a formalizar este vector de conservación en mecánica clásica, el cual describe la forma y orientación fija de las órbitas planetarias (o Keplerianas) sin requerir resolver ecuaciones complejas.
• Astrofísica y Geodesia: Realizó importantes aportes a la espectroscopia astronómica para estudiar la composición de la luz solar y la atmósfera de las estrellas, participando en expediciones internacionales para el estudio de eclipses solares.

Desde su cátedra de Matemática Aplicada en la Universidad de Gotinga, Carl Runge transformó la enseñanza de las matemáticas, impulsando una formación más vinculada a la ciencia, la física y la resolución de problemas. Su influencia se extendió a varias generaciones de científicos, entre ellos a su doctorando Max Born, Premio Nobel de Física y uno de los pioneros de la mecánica cuántica.

Los números de Kaprekar

Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905–1986) nació en Dahanu, cerca de Bombay, India. Se interesó por los números desde muy pequeño. Recibió educación secundaria en Thana y estudió en la instituto Fergusson, en Poona. Asistió a la Universidad de Bombay, recibiendo la licenciatura en 1929. Desde 1930 hasta su jubilación en 1962, trabajó como profesor de matemáticas de educación media en la ciudad de Devlali, India.

Kaprekar se autodefinía como un "adicto a las matemáticas recreativas" y pasaba noches enteras lápiz en mano jugando con combinaciones y propiedades de los números enteros. Escribió sobre temas como decimales con patrones recurrentes, cuadrados mágicos y números con propiedades especiales. Las siguientes clases de números fueron parte de los estudios que realizó.

La Constante de  Kaprekar

En 1949, mientras experimentaba ordenando y restando los dígitos de números de cuatro cifras, descubrió un bucle inevitable. Se dio cuenta de que, sin importar el número inicial que eligiera (siempre que no tuviera las 4 cifras iguales), aplicar repetidamente la sencilla rutina de ordenar sus dígitos de mayor a menor y restarle el orden menor al mayor siempre conducía al número 6174 en un máximo de 7 pasos, a dicho número le llamamos la constante de Kaprekar. La rutina consiste en lo siguiente:

1. Eligir 4 dígitos donde al menos dos sean distintos, por ejemplo 2959.
2. Ordenar los dígitos de mayor a menor (9952) y de menor a mayor (2599).
3. Restarlos, 9 952-2 599=7 353.
4. Repetir el proceso hasta llegar a 6174, 7533-3357=4176, 7641-1467=6174.
5. Una vez que llegas a 6 174, la resta 7641 - 1467=6174 de forma infinita.

Kaprekar , presentó su hallazgo en la Conferencia Matemática de Madrás ese mismo año. La comunidad matemática profesional de la época no lo tomó en serio. Para los académicos indios formados en matemáticas teóricas tradicionales, sus descubrimientos parecían meras trivialidades sin fundamento riguroso. Durante décadas fue ignorado y llamado burlonamente "aficionado", pero él no se desanimó.  Publicaba sus hallazgos en pequeñas revistas locales o pagaba de su propio bolsillo para imprimir sus folletos. El gran giro ocurrió en 1975, cuando el célebre divulgador científico Martin Gardner escribió sobre el trabajo de Kaprekar en su famosa columna de Scientific American. A partir de ese momento, la constante 6174 fascinó a matemáticos e informáticos de todo el mundo que comenzaron a probar el proceso en computadoras  descubriendo el patrón para diferentes números de dígitos: 

• Para 3 dígitos, el "atractor" o constante equivalente es el 495 y el ciclo es de a lo más 5 pasos.
• Para 4 dígitos, es la constante 6174  y el ciclo es de a lo más 7 pasos.
• No existe un único número (o constante) de Kaprekar para números de 5 cifras o más.
• Para números de 5 dígitos, el proceso nunca converge a un único número fijo. En su lugar, dependiendo del número con el que se inicie, la rutina caerá inevitablemente en uno de los siguientes 3 bucles (ciclos de números):  
• Bucle 1 (2 pasos): \(53\,955 \longrightarrow 59\,994 \longrightarrow 53\,955\).
• Bucle 2 (4 pasos):  \(61\,974 \longrightarrow 82\,962 \longrightarrow 75\,933 \longrightarrow 63\,954 \longrightarrow 61\,974\).
• Bucle 3 (4 pasos):  \(62\,964 \longrightarrow 71\,973 \longrightarrow 83\,952 \longrightarrow 74\,943 \longrightarrow 62\,964\).
• Para 6 dígitos. No tiene una única constante; tiene dos números fijos (como 549 945 y 631 764) además de varios bucles.  7 cifras o más: Se forman sistemas de ciclos cada vez más complejos y caóticos. 

En resumen, para que un número de N cifras tenga una "Constante de Kaprekar" pura (un único punto atractor donde caigan todos los números), la matemática detrás del sistema de numeración requiere condiciones muy específicas. En nuestra base 10, los números de  3 o  4 dígitos son las únicas excepciones afortunadas. Para números de 2, 5, 6 o más cifras, la dinámica suele ser más compleja, pues puede haber varios atractores,  aparecer ciclos de varios números y no todos los números terminan en el mismo atractor.

Número de Kaprekar

Un número de Kaprekar en base 10, es un número entero positivo  K  tal que: los dígitos del  número \(K^2\), se pueden separar  en dos partes  \(M\) y  \(N\), donde  \(N\) (la parte de la derecha de  \(K^2\) ) tiene el mismo número de dígitos que  \(K\) y tal que  \(M+N=K\).

Por ejemplo: 

1. Sea \(K=1\), por tanto \(1^2=1\), eligiendo  \(M=0\)  y \(N=1\), se tiene que  \(M+N=1\).
2. Sea \(K=9\), por tanto \(9^2=81\), eligiendo  \(M=8\)  y \(N=1\), se tiene que  \(M+N=9\).
3. Sea \(K=45\), por tanto \(45^2=2025\), eligiendo  \(M=20\)  y \(N=25\), se tiene que  \(M+N=45\). 
4. Sea \(K=297\), por tanto \(297^2=88\,209\), eligiendo  \(M=88\)  y \(N=209\), se tiene que  \(M+N=297\). 
5. Los siguientes 15 números de Kaprekar son 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962 y  77778.
6. Resaltemos que el segundo sumando puede empezar por uno o varios ceros, como ya vimos en el primer ejemplo o  en el caso \(99\,999^2=9\,999\,800\,001\;  \longrightarrow \;99\,998+00\,001=99\,999\).

 Existen infinitos números de Kaprekar y la demostración consiste en probar que todo número de la forma \(10^n-1\), con \(n\) entero positivo, es de Kaprekar. Este resultados también es válido para números en una base arbitraria \(b\),  es decir, el número \(b^n-1\) es de Kaprekar en la base \(b\). Un resultado interesante en binario (base 2) es que todos los números perfectos son números de Kaprekar.   

 Número de Harshad

 En 1953, durante una de sus habituales jornadas de trabajo matemático, Kaprekar comenzó a observar qué sucedía cuando tomaba un número y lo comparaba con la suma de sus propios dígitos. Descubrió que ciertos números tenían una especie de "armonía interna": podían ser divididos exactamente por la suma de sus propios dígitos. Sintió tal fascinación por la elegancia de este hallazgo que decidió bautizarlos en  sánscrito como: Harshad (gran alegría). Para él, estos eran literalmente los "números que traen gran alegría".

Obviamente, los números del 1 al 9 son de  Harshad, pues todo número es divisible por 1 y los múltiplos de 10 también los son, luego esta clase de números es infinita. Los primeros  20 números de de  Harshad son: 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72 y 80.

 Autonúmeros

 Para un entero positivo \(n\) definimos la función generadora \(g(n)=n+\text{suma de sus cifras}\). Por ejemplo:  \(g(16)=16+(1+6)=23\) y  \(g(123)=123+(1+2+3)=129\).

Un autonúmero \(a\) es un número que no tiene ningún generador, es decir, no existe ningún \(n\) tal que \(g(n)=a\). Por ejemplo:

•  20 es un autonúmero. Busquemos si existe algún número que genere \(20\): \(14+(1+4)=19\), \(15+(1+5)=2\), \(16+(1+6)=23\) y  así sucesivamente. No existe ningún número cuya suma con sus propias cifras sea \(20\).
•  23 no es un autonúmero, pues como hemos visto \(g(16)=23\). 

 Lo curioso es que forman una secuencia infinita de números que no tienen "padre" o generador bajo esta regla, como si fueran números que aparecen por sí solos dentro del sistema. Una forma intuitiva de verlo es: un número común puede ser "engendrado" por otro sumándole sus cifras, mientras que un autonúmero es aquel para el que no existe ningún progenitor.

Kaprekar demostró que las matemáticas no solo sirven para resolver problemas complejos, sino también para descubrir patrones sorprendentes escondidos en los números más cotidianos. Desde la famosa constante 6174 hasta los números de Kaprekar o Harshad y los autonúmeros, sus hallazgos siguen fascinando a matemáticos y aficionados por igual, recordándonos que incluso las operaciones más simples pueden revelar una belleza inesperada.