Los números TRANSFINITOS y la hipótesis del continuo.

Desde la Antigüedad, el infinito ha ocupado un lugar especial en el pensamiento humano. Para nuestra intuición, parece representar aquello que nunca termina, aquello que no puede recorrerse por completo ni encerrarse dentro de unos límites. Los números naturales, por ejemplo, no tienen un último elemento: por grande que sea un número, siempre podemos añadirle una unidad y obtener otro mayor. Aunque el infinito se utilizaba en razonamientos sobre sucesiones, límites y geometría, resultaba difícil tratarlo como un objeto matemático susceptible de comparación y clasificación. Sin embargo, durante siglos, los matemáticos contemplaron el infinito con una mezcla de fascinación y perplejidad, tal como refleja una conocida frase de David Hilbert en su ensayo Über das Unendliche (Sobre el infinito), publicado en 1926:

¡El infinito! Ninguna otra cuestión ha conmovido tan profundamente el espíritu humano; ninguna otra idea ha estimulado tan fructíferamente su intelecto y, sin embargo, ningún otro concepto necesita tanto ser aclarado.

Georg Cantor (1845-1918)

Fue en el siglo XIX cuando Georg Cantor emprendió una de las transformaciones conceptuales más profundas de la historia de las matemáticas: demostrar que el infinito podía estudiarse rigurosamente y que no existía una única manera de ser infinito.

La idea decisiva consistió en preguntarse cómo comparar el tamaño de dos conjuntos. Cuando los conjuntos son finitos, el procedimiento parece evidente: contamos sus elementos. Pero ¿qué sucede cuando contienen infinitos elementos? No podemos terminar de contarlos uno a uno, de modo que necesitamos otro criterio.

En este artículo adoptaremos la convención de que los números naturales comienzan en \(1\), es decir, \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\). Decimos que un conjunto \(A\) tiene cardinal \(n\in\mathbb{N}\), si existe una correspondencia biunívoca entre \(A\) y el conjunto \(\{1,2,\ldots,n\}\). En ese caso, \(A\) tiene exactamente \(n\) elementos. El cardinal de un conjunto finito se denota por \(\operatorname{Card}(A)\) o, de forma equivalente, por \(|A|\). Para los conjuntos infinitos, la misma idea de correspondencia permite comparar sus tamaños sin necesidad de contar sus elementos uno a uno. Esa fue la propuesta de Cantor para comparar dos conjuntos infinitos. Si cada elemento de uno puede emparejarse con uno y solo uno del otro, sin que sobre ningún elemento en ninguno de los dos conjuntos, ambos tienen el mismo cardinal, es decir, el mismo tamaño en sentido matemático. Esta idea, aparentemente sencilla, conduce a una conclusión sorprendente: los números naturales y los números pares positivos tienen el mismo cardinal. Podemos emparejarlos mediante la regla que asigna a cada número natural su doble:

\[ \begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & \cdots \end{array} \]

Aunque los números pares positivos constituyen una parte propia de los números naturales, ambos conjuntos tienen el mismo tamaño infinito. Denotamos este cardinal por \(\aleph_0\), que se lee «álef cero»; álef es la primera letra del alfabeto hebreo. Este cardinal es el menor de los cardinales infinitos y se denomina también cardinal transfinito.

Cantor llamó numerables a los conjuntos que pueden ponerse en correspondencia biunívoca con los números naturales. Son numerables los números enteros y también los números racionales, es decir, aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Aunque entre dos números racionales distintos siempre existe otro número racional —y, de hecho, existen infinitos—, todos los números racionales pueden organizarse en una lista infinita en la que cada uno aparezca en alguna posición. 

Por sorprendente que parezca, esto significa que el conjunto de los números racionales tiene el mismo cardinal que el conjunto de los números naturales: \(\aleph_0\). Por sorprendente que parezca, esto significa que el conjunto de los números racionales tiene el mismo cardinal que el conjunto de los números naturales, es decir, \(\aleph_0\). Este fue uno de los primeros resultados obtenidos por Cantor. A continuación, presentamos una demostración intuitiva de la numerabilidad de los números racionales positivos, basada en una idea de Cantor.

Denotemos por \(\mathbb{Q}_+\) el conjunto de todos los números racionales positivos:\(\mathbb{Q}_+=\left\{\frac{p}{q}:p,q\in\mathbb{N}\right\}\). Para organizar estos números, consideremos la suma \(h=p+q\) y agrupemos las fracciones según el valor de \(h\), escribiendo únicamente aquellas que están irreducibles, es decir, cuyo numerador y denominador no tienen divisores comunes distintos de \(1\).

Para \(h=2\), solo tenemos el número racional \(\frac{1}{1}=1\). Para \(h=3\), obtenemos \(\frac{1}{2}\) y \(\frac{2}{1}=2\). Para \(h=4\), aparecen \(\frac{1}{3}\) y \(\frac{3}{1}=3\), ya que \(\frac{2}{2}=1\) representa un número que ya hemos incluido. Para \(h=5\), obtenemos las fracciones \(\frac{1}{4}\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{2}\) y \(\frac{4}{1}=4\). Para \(h=6\), aparecen \(\frac{1}{5}\), \(\frac{5}{1}=5\) y las fracciones \(\frac{2}{4}\) y \(\frac{4}{2}\) quedan excluidas porque no están irreducibles y representan números ya considerados.

Continuando de este modo, obtenemos una lista en la que aparecen todos los números racionales positivos, sin repetir ninguno. Como cada grupo correspondiente a un valor fijo de \(h\) contiene un número finito de fracciones, podemos recorrer los grupos sucesivamente y asignar a cada racional positivo una posición en la lista. Por tanto, \(\mathbb{Q}_+\) es numerable. El siguiente gráfico ilustra el razonamiento anterior:

En la pirámide roja, el número racional p/q está representado por el par ordenado  (p,q). La correspondencia biunívoca entre ambas pirámides es obvia. 

El cardinal de los números reales

Cantor con \(\approx 25\) años

Los números reales incluyen tanto los racionales como los irracionales, como \(\sqrt{2}\), \(\pi\) o \(e\). Constituyen el sistema numérico con el que representamos los puntos de la recta real y trabajamos en buena parte del análisis matemático. A primera vista, podría parecer que también sería posible organizar todos los números reales en una lista: primero uno, después otro, y así sucesivamente. Sin embargo, Georg Cantor demostró que esto es imposible. Este resultado condujo a uno de los grandes descubrimientos de la teoría de conjuntos: "no todos los conjuntos infinitos son numerables". Su célebre argumento diagonal demuestra que, por muy completa que parezca una lista de números reales comprendidos entre cero y uno, siempre es posible construir otro número real que no figure en ella. La idea consiste en modificar la primera cifra decimal del primer número, la segunda del segundo, la tercera del tercero, y así sucesivamente, de modo que cada cifra del nuevo número sea diferente de la cifra correspondiente del número situado en esa posición de la lista. De esta manera, el número construido se diferencia de cada número de la lista en, al menos, una cifra decimal. En efecto, supongamos, por reducción al absurdo, que todos los números reales comprendidos entre cero y uno pueden ponerse en correspondencia biunívoca con los números naturales, de modo que formen una lista como la siguiente: \[ \begin{array}{rcl} 1 &\leftrightarrow& 0,a_{1,1}a_{1,2}a_{1,3}a_{1,4}\cdots\\ 2 &\leftrightarrow& 0,a_{2,1}a_{2,2}a_{2,3}a_{2,4}\cdots\\ 3 &\leftrightarrow& 0,a_{3,1}a_{3,2}a_{3,3}a_{3,4}\cdots\\ \vdots &\leftrightarrow& \vdots\\ n &\leftrightarrow& 0,a_{n,1}a_{n,2}a_{n,3}a_{n,4}\cdots\\ \vdots &\leftrightarrow& \vdots \end{array} \] Construyamos ahora un número real \(b=0,b_1b_2b_3\cdots b_n\cdots\), eligiendo cada cifra decimal \(b_k\) de manera que sea distinta de \(a_{k,k}\), es decir, de la cifra que ocupa la posición \(k\) en el \(k\)-ésimo número de la lista. Por ejemplo, podemos definir \[ b_k= \begin{cases} 1, & \text{si } a_{k,k}\neq 1,\\ 2, & \text{si } a_{k,k}=1. \end{cases} \] Así, cada cifra \(b_k\) es distinta de la correspondiente cifra diagonal \(a_{k,k}\). Por tanto, el número \(b\) no puede coincidir con el primero de la lista, porque difiere de él en la primera cifra decimal; tampoco con el segundo, porque difiere de él en la segunda cifra, ni con el tercero, porque difiere de él en la tercera, y así sucesivamente. En consecuencia, \(b\) no aparece en la lista, lo que contradice nuestra suposición de que esta contenía todos los números reales comprendidos entre cero y uno. Concluimos, por tanto, que  "los números reales comprendidos entre cero y uno no son numerables". En particular, el conjunto de los números reales es no numerable y, por ello, tiene una cardinalidad estrictamente mayor que la del conjunto de los números naturales.

El cardinal del conjunto de los números reales se suele denotar por \(\mathfrak{c}\) y viene dado por \(\qquad \mathfrak{c}=|\mathbb{R}|=2^{\aleph_0}.\)

La última igualdad se debe a que el conjunto de los números reales tiene el mismo cardinal que el conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales, es decir, el conjunto potencia \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\). En efecto, cada subconjunto de \(\mathbb{N}\) puede identificarse con una sucesión infinita de ceros y unos, y el conjunto de estas sucesiones tiene el mismo cardinal que \(\mathbb{R}\). Así, el tamaño de la recta continua queda relacionado con una operación fundamental de la teoría de conjuntos: formar el conjunto de todas las partes de un conjunto dado.

La desigualdad \(\aleph_0 < \mathfrak{c}\) nos obliga a abandonar la idea de que el infinito tiene un único tamaño. Existen conjuntos infinitos de cardinalidades diferentes, y el estudio de estos tamaños constituye uno de los temas fundamentales de la teoría de conjuntos.

Números transfinitos

Cantor y su esposa  Vally Guttmann en 1874

Cantor desarrolló dos conceptos relacionados, pero distintos: los números cardinales (a los que dedicamos este artículo) y los números ordinales. La palabra transfinito, utilizada por Cantor, expresa precisamente que estos números van más allá de lo finito sin constituir un infinito absoluto e indiferenciado. Permiten comparar tamaños infinitos y estudiar órdenes que no terminan nunca.

Los cardinales responden a la pregunta «¿cuántos elementos tiene un conjunto?». Los ordinales, en cambio, describen el orden de sus elementos: primero, segundo, tercero y así sucesivamente. En el caso finito, ambas ideas parecen casi inseparables, pero en el infinito muestran propiedades diferentes. El primer cardinal infinito es \(\aleph_0\), el tamaño de los números naturales. Después aparecen otros cardinales infinitos, como \(\aleph_1\), \(\aleph_2\) y, en general, \(\aleph_\alpha\), donde el índice puede ser también un ordinal transfinito.

Los ordinales ofrecen ejemplos especialmente llamativos. El primer ordinal infinito se representa mediante \(\omega\). Después de todos los naturales, podemos considerar un orden que añade un elemento nuevo al final: su tipo de orden es \(\omega+1\). También podemos formar \(\omega+2\), y así sucesivamente.

Estas expresiones no deben confundirse con las operaciones aritméticas habituales. La suma ordinal depende del orden de los elementos y, por ello, no siempre es conmutativa: \( 1+\omega=\omega, \qquad \omega+1>\omega. \)

La diferencia se entiende intuitivamente si pensamos en una sucesión interminable de posiciones. Añadir una posición al principio puede dejar el mismo tipo de orden que antes; añadirla al final produce, en cambio, un orden con un último elemento.

Los números transfinitos no son, por tanto, una curiosidad puramente simbólica. Proporcionan herramientas para estudiar la estructura de los conjuntos infinitos, las sucesiones, los órdenes y los fundamentos de las matemáticas.

La hipótesis del continuo

La existencia de infinitos cardinales cada vez mayores se explica mediante un resultado fundamental de la teoría de conjuntos: el teorema de Cantor establece que el conjunto potencia de cualquier conjunto tiene un cardinal estrictamente mayor que el del conjunto original. Así, si partimos de los números naturales, cuyo cardinal es \(\aleph_0\), obtenemos el conjunto de sus partes, \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\), cuyo cardinal es \(2^{\aleph_0}=\mathfrak{c}\). Si repetimos este proceso, podemos construir conjuntos de cardinalidades cada vez mayores, sin alcanzar nunca un último infinito. Entre los cardinales transfinitos, uno de los casos más interesantes es la relación entre los dos primeros cardinales infinitos, \(\aleph_0\) y \(\aleph_1\), y la cardinalidad del continuo, \(\mathfrak{c}\).

Una vez demostrado que existen infinitos de tamaños distintos, surge una pregunta natural: ¿hay algún cardinal infinito entre el de los números naturales y el de los números reales? El cardinal de los naturales es \(\aleph_0\), mientras que el de los reales es \(\mathfrak{c}\). Como Cantor probó que \(\mathfrak{c}>\aleph_0\), sabemos que son distintos. Pero ¿existe algún conjunto cuyo cardinal sea estrictamente mayor que \(\aleph_0\) y estrictamente menor que \(\mathfrak{c}\)?

La hipótesis del continuo, abreviada habitualmente como HC, afirma que no existe tal cardinal. En su formulación habitual, sostiene que el cardinal del continuo es el siguiente cardinal infinito después de \(\aleph_0\); es decir,

Aquí, \(\aleph_1\) es el menor cardinal infinito estrictamente mayor que \(\aleph_0\). La hipótesis no dice que los reales sean numerables; afirma justamente que su cardinal es el siguiente cardinal infinito después del de los naturales. El nombre procede de la idea de continuo asociada a la recta real. Esta recta contiene infinitos puntos, y entre dos puntos distintos siempre hay otros puntos. Sin embargo, la densidad de los puntos no determina por sí sola su cardinal: los racionales también son densos en la recta, pero forman un conjunto numerable, mientras que los reales no lo son. La hipótesis del continuo pregunta, en definitiva, si hay un tamaño infinito intermedio entre el de los números naturales y el de la recta real.

Cantor formuló la hipótesis del continuo en el siglo XIX y trató de determinar si era verdadera. El problema adquirió una importancia especial porque afectaba a la estructura misma de los cardinales infinitos y al alcance de los métodos de la teoría de conjuntos.

•  Durante décadas, la cuestión permaneció abierta. En 1940, Kurt Gödel demostró que, si los axiomas habituales de la teoría de conjuntos son consistentes, también lo es su combinación con la hipótesis del continuo. En términos generales, esto significa que dichos axiomas no pueden refutar la hipótesis del continuo, suponiendo que sean consistentes.
• En 1963, Paul Cohen obtuvo el resultado complementario mediante la técnica del  forcing. Demostró que, si los axiomas de Zermelo--Fraenkel con el axioma de elección (conocidos como ZFC) son consistentes, también lo es su combinación con la negación de la hipótesis del continuo. 

  

  Kurt Gödel (906–1978) y Paul Cohen (1934–2007)

Los axiomas de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC) constituyen el sistema de fundamentos más utilizado en la teoría de conjuntos moderna. Establecen las reglas básicas para trabajar rigurosamente con conjuntos, incluido el axioma de elección, que permite seleccionar un elemento de cada conjunto de una familia de conjuntos no vacíos. Sin embargo, no permiten decidir todas las cuestiones matemáticas, como demuestra la independencia de la hipótesis del continuo. 

En consecuencia, si ZFC es consistente, la hipótesis del continuo es independiente de esos axiomas: no puede demostrarse ni refutarse a partir de ellos. Este resultado no significa que la hipótesis sea simultáneamente verdadera y falsa dentro de una misma interpretación matemática. Significa que los axiomas considerados no determinan por sí solos su respuesta. Existen modelos de la teoría de conjuntos en los que la hipótesis se cumple y otros en los que no se cumple.

La independencia de la hipótesis del continuo ilustra un hecho profundo: incluso en matemáticas puede haber preguntas que no es posible resolver a partir de un sistema de axiomas determinado. En estos casos, la cuestión no es que el problema carezca de solución, sino que ni él ni su negación pueden demostrarse dentro del sistema. Esta situación recuerda a la del postulado de las paralelas de Euclides, cuya independencia permitió desarrollar geometrías distintas. En el caso de la hipótesis del continuo, los resultados de Kurt Gödel y Paul Cohen demostraron que, si los axiomas de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC) son consistentes, ni la hipótesis ni su negación pueden demostrarse a partir de ellos. Este resultado plantea una cuestión fundamental: ¿hasta qué punto los axiomas determinan nuestra concepción de los conjuntos infinitos?

David Hilbert (1862–1943)

El trabajo de Georg Cantor revolucionó las matemáticas al demostrar que existen distintos tamaños de infinito: los números naturales y los racionales tienen la misma cardinalidad, mientras que los reales constituyen un infinito estrictamente mayor. Sus ideas encontraron una fuerte resistencia, especialmente por parte de Leopold Kronecker, defensor de una concepción más restrictiva de las matemáticas. A este último se atribuye la célebre frase «Dios creó los números enteros; todo lo demás es obra del hombre», que expresa su preferencia por una matemática fundada en objetos aritméticos más concretos. Frente a estas críticas, David Hilbert defendió la teoría de Cantor y, en 1900, incluyó la hipótesis del continuo entre sus 23 problemas para el nuevo siglo. La cuestión consistía en determinar si existe algún cardinal infinito estrictamente comprendido entre el de los números naturales y el de los números reales.

Un testimonio especialmente significativo de la defensa de esta teoría por parte de Hilbert es su célebre afirmación, pronunciada en 1925 y posteriormente difundida en la literatura matemática:

«Nadie podrá expulsarnos del paraíso que Cantor ha creado para nosotros».

El paraíso matemático de Cantor no solo amplió nuestra comprensión del infinito, sino que abrió interrogantes profundos sobre la naturaleza de los objetos matemáticos y los límites de los sistemas axiomáticos. Más de un siglo después de que Hilbert planteara el problema, la hipótesis del continuo sigue siendo uno de los ejemplos más fascinantes de cómo las matemáticas pueden revelar sus propios límites.

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Lecturas complementarias: 

• Infinito potencial vs. infinito actual.
• El Hotel de Hilbert. 

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Lógica Matemática. El álgebra del pensamiento

La lógica matemática es la rama de las matemáticas que estudia los principios del razonamiento válido mediante un lenguaje formal, símbolos y reglas precisas de inferencia. Su objetivo es analizar cómo se construyen los argumentos, cuándo una conclusión se deriva correctamente de unas premisas y qué propiedades tienen los sistemas formales en los que se expresan las demostraciones matemáticas.

A diferencia del razonamiento cotidiano, que a menudo depende del lenguaje natural y de la interpretación de las palabras, la lógica matemática busca expresar los argumentos de manera rigurosa, eliminando ambigüedades. Por ejemplo, consideremos el siguiente razonamiento:

Si llueve, la calle se moja. \(\qquad\) Está lloviendo. \(\qquad\) Por tanto, la calle se moja.

Este argumento tiene una estructura lógica que podemos representar simbólicamente mediante la regla de inferencia conocida como modus ponens:

\[ \bigl((p \Rightarrow q) \wedge p\bigr) \Rightarrow q, \]

donde \(p\) representa la proposición «llueve», \(q\) representa «la calle se moja», \(\Rightarrow\) significa «implica» y \(\wedge\) significa «y». Lo importante es que la conclusión se sigue necesariamente de las premisas, independientemente del significado concreto de las proposiciones.

La lógica matemática no se limita, sin embargo, a formalizar argumentos. También estudia los fundamentos de las matemáticas, la estructura de las demostraciones, los lenguajes formales, los conjuntos y las relaciones entre la verdad y la demostrabilidad. En su desarrollo moderno destacan disciplinas como la teoría de modelos, la teoría de la demostración, la teoría de conjuntos y la teoría de la computabilidad.

Como veremos, sus orígenes se remontan a la lógica de Aristóteles, pero su transformación en una disciplina matemática se produjo principalmente durante los siglos XIX y XX, con las aportaciones de matemáticos y lógicos como George Boole, Augustus De Morgan, Gottlob Frege, Giuseppe Peano, David Hilbert y Kurt Gödel.

La influencia de la lógica matemática va mucho más allá de las demostraciones: constituye uno de los fundamentos teóricos de la informática, la programación y la inteligencia artificial. Las operaciones lógicas están presentes en los circuitos digitales, mientras que los métodos de demostración formal permiten verificar propiedades de algoritmos y sistemas informáticos. En definitiva, la lógica matemática convierte el razonamiento en un objeto de estudio matemático. Nos permite investigar no solo cómo demostramos que una afirmación es verdadera, sino también cuáles son los límites de lo que puede demostrarse mediante un sistema formal. Es, en este sentido, una disciplina situada en la frontera entre las matemáticas, la filosofía y la informática: el estudio matemático de las reglas y los límites del pensamiento riguroso.

La historia de la lógica puede dividirse, con cierto grado de simplificación excesiva, en tres etapas: lógica griega, lógica escolástica y lógica matemática. En la primera etapa, las fórmulas lógicas consistían en palabras del lenguaje ordinario, sujetas a las reglas sintácticas habituales. En la segunda etapa, la lógica se abstrajo del lenguaje ordinario pero se caracterizó por reglas sintácticas diferenciadas y funciones semánticas especializadas. En la tercera etapa, la lógica se marcó por el uso de un lenguaje artificial en el que las palabras y los signos tienen funciones semánticas estrechamente limitadas. Mientras que en las dos primeras etapas los teoremas lógicos se derivaban del lenguaje ordinario, la lógica de la tercera etapa procede de manera contraria: primero construye un sistema puramente formal, y solo después busca una interpretación en el habla cotidiana. 

Lógica griega (\(\approx\) siglos IV–III a.C.)

La lógica griega se caracteriza por el hecho de que las fórmulas lógicas estaban formadas por palabras del lenguaje ordinario (el griego) y se regían por las reglas sintácticas habituales de ese lenguaje. No existía todavía un lenguaje artificial ni un sistema de símbolos formalizados; la lógica se expresaba y se practicaba dentro del propio discurso natural.  

Aristóteles (384-322 a. C.), Euclides de Alejandría (c. 325-c. 265 a. C.) y Crisipo de Solos (c. 279-c. 206 a. C.)

Los dos grandes aportes de este período son la lógica de términos aristotélica y la lógica proposicional estoica:

• Aristóteles, en el conjunto de tratados conocido como Organon (que incluye Categorías, Sobre la interpretación, Analíticos primeros, Analíticos segundos, Tópicos y Refutaciones sofísticas), sistematiza la lógica de términos o predicados. Analiza las proposiciones categóricas, desarrolla la teoría del silogismo, introduce las figuras y modos válidos, y distingue entre demostración científica, dialéctica y retórica. También elabora la doctrina de las categorías y una teoría de la demostración basada en premisas necesarias.
• Euclides, en sus Elementos, aunque se trata principalmente de una obra de geometría, establece el modelo paradigmático del razonamiento deductivo axiomático (definiciones, postulados, nociones comunes y teoremas). Este método influyó decisivamente en la concepción griega de la demostración rigurosa que la lógica aristotélica buscaba fundamentar.
• Mientras Aristóteles se centró en la lógica de términos, Crisipo y la escuela estoica desarrollaron una lógica proposicional. Analizaron conectivas como “si… entonces…”, “o… o…”, “no…”, y estudiaron los esquemas de inferencia válidos (los llamados “indemostrables”). También se ocuparon de paradojas y de la teoría de los significados (lekta). Al igual que la aristotélica, esta lógica se expresaba en el lenguaje ordinario, aunque no se conservan tratados completos equivalentes al Organon. Los estoicos dividían la lógica en retórica y dialéctica. Crisipo dio para la lógica una definición exacta de la proposición y de las reglas concernientes a la división sistemática de todas las proposiciones en simples y compuestas.

En conjunto, la lógica griega permanece inmanente al lenguaje natural y está orientada a la ciencia, a la dialéctica y a la argumentación filosófica.

Lógica escolástica (\(\approx\) siglos XII–XV)

La lógica escolástica representa una etapa de abstracción y tecnificación respecto de la griega. Aunque sigue utilizando fundamentalmente el lenguaje natural (el latín), este se transforma en un instrumento altamente especializado, con reglas sintácticas diferenciadas y funciones semánticas propias. La lógica se convierte así en una disciplina técnica autónoma.

Las obras más representativas de este período son:

• Pedro Hispano, Summulae Logicales (o Tractatus), el manual de lógica más difundido en las universidades europeas durante siglos. Sistematiza la lógica aristotélica y desarrolla la teoría de las propiedades de los términos (suppositio, ampliatio, appellatio, etc.).
• Guillermo de Ockham, Summa Logicae, una de las cumbres de la lógica medieval. Expone de forma rigurosa la teoría de la suposición, las consecuencias (consequentiae), los términos sincategoremáticos y una sofisticada semántica de los términos.
• Juan Buridán, Summulae de dialectica y sus tratados sobre las consecuencias, que aportan avances importantes en lógica proposicional, teoría de las inferencias y análisis de las paradojas (insolubilia).

Gottfried W. Leibniz
(1646-1716)

 

En resumen, mientras la lógica griega permanece dentro del lenguaje natural y la escolástica lo tecnifica sin abandonarlo del todo, se prepara ya el terreno para el posterior giro hacia un lenguaje formal autónomo.

Aunque Gottfried Wilhelm Leibniz (siglo XVII) no pertenece cronológicamente a la lógica escolástica, se le menciona con frecuencia como figura de transición. En obras como la Dissertatio de arte combinatoria (1666) y en sus numerosos fragmentos sobre  characteristica universalis y  calculus ratiocinator, propone la idea de un lenguaje simbólico artificial y de un cálculo lógico que permita reducir el razonamiento a operaciones mecánicas. Por ello se le considera un precursor de la tercera etapa (la lógica matemática), más que un representante de la lógica escolástica.

El camino hacia la Lógica Matemática

El álgebra del siglo XIX se caracterizó por una aparente tensión entre la creciente generalización y abstracción de sus conceptos y la necesidad de establecer restricciones más precisas en las expresiones algebraicas, reflejo de un cambio en las preguntas que los matemáticos buscaban responder. Mientras que en el continente, Abel, Galois y otros desarrollaron nuevos conceptos al abordar problemas concretos y adaptar o generalizar métodos existentes, los algebristas británicos de la misma generación se propusieron establecer el álgebra como una «ciencia demostrativa», preocupados por el retraso de Inglaterra respecto al continente en el desarrollo del análisis. Aunque atribuían parte de esta diferencia a la superioridad de la notación leibniziana \(dy/dx\) frente a la notación fluxional inglesa, también eran conscientes de la falta de rigor de los fundamentos del álgebra y del análisis, una debilidad que el obispo Berkeley había criticado duramente y que contrastaba con el rigor alcanzado por la geometría.

George Peacock, antiguo miembro de la Cambridge Analytical Society, publicó la primera obra importante dedicada a establecer el álgebra como una «ciencia demostrativa». Para ello, distinguió entre el álgebra aritmética, basada en los números y sus operaciones, y el álgebra simbólica, que estudia las combinaciones de símbolos conforme a leyes independientes de los valores concretos que estos representan. Ambas quedaban vinculadas por el principio de la permanencia de las formas equivalentes, según el cual las identidades algebraicas válidas para símbolos generales debían conservarse al sustituirlos por los objetos correspondientes. Aunque este principio no estaba suficientemente justificado y podía sugerir erróneamente que las mismas leyes eran aplicables a cualquier sistema de objetos, la propuesta de Peacock contribuyó a impulsar una concepción más abstracta del álgebra, susceptible de aplicaciones geométricas.

George T. Peacock (1791-1858), Augustus De Morgan (1806-1871) y George Boole (1815-1864)

Las ideas de Peacock, difundidas especialmente a partir de su informe sobre el análisis presentado en 1833, estimularon nuevas investigaciones sobre los fundamentos del álgebra y su relación con el cálculo operacional. Robert Murphy  (1806-1843), Augustus De Morgan (1806-1871) y Duncan F.  Gregory (1813-1844) profundizaron en el estudio de las leyes de combinación de símbolos, mientras que Gregory destacó las analogías entre las operaciones con números y las de diferenciación y diferencias.

De Morgan fue uno de los principales continuadores de la concepción del álgebra simbólica iniciada por Peacock. Mientras Peacock había distinguido entre el álgebra aritmética y la simbólica, De Morgan profundizó en la idea de que los símbolos algebraicos, incluidas las operaciones, podían estudiarse con independencia de los objetos concretos que representasen. Ya en su obra Trigonometry and Double Algebra (1830), defendió que el álgebra debía ocuparse de los símbolos y sus leyes de combinación, constituyendo una especie de gramática capaz de dar lugar a múltiples álgebras con significados diferentes. Aunque todavía consideraba que las leyes algebraicas habituales debían ser universales y limitaba las posibilidades de nuevos sistemas algebraicos, su planteamiento contribuyó decisivamente a avanzar hacia una concepción más abstracta del álgebra. Su obra cumbre Formal Logic fue publicada en 1847, el mismo año que apareció el primer libro de George Boole. Esta perspectiva preparó el terreno para el trabajo de George Boole, quien llevó mucho más lejos la idea de estudiar las leyes de combinación de símbolos y aplicarlas a un ámbito distinto del numérico: la lógica.

Boole y el álgebra de la lógica

Mientras Hamilton y Cayley desarrollaban nuevas formas de álgebra, George Boole (1815-1864), matemático británico esencialmente autodidacta, revolucionó la relación entre las matemáticas y la lógica. Influido por los trabajos de George Peacock y Augustus De Morgan, publicó en 1847 The Mathematical Analysis of Logic, obra en la que defendió que la lógica debía estudiarse mediante métodos matemáticos, en lugar de considerarse una rama de la metafísica. Su propuesta culminaba la evolución del álgebra simbólica al sostener que las matemáticas no debían definirse exclusivamente por el estudio de los números y las magnitudes, sino por el empleo de símbolos sujetos a leyes de combinación precisas y coherentes.

La contribución fundamental de Boole consistió en llevar esta concepción formal a sus últimas consecuencias, aplicando las operaciones algebraicas al razonamiento lógico. En su obra An Investigation of the Laws of Thought (1854), desarrolló un sistema algebraico en el que los símbolos representaban clases de objetos y las operaciones permitían expresar relaciones entre ellas. En términos actuales, la unión, la intersección y el complemento de conjuntos pueden representarse mediante operaciones algebraicas, lo que permite traducir proposiciones lógicas a ecuaciones y resolverlas mediante procedimientos sistemáticos. Por ejemplo, la relación \(xy=x\) expresa que todos los elementos de la clase \(x\) pertenecen también a la clase \(y\). A partir de estas relaciones, Boole mostró que era posible formalizar y resolver razonamientos silogísticos mediante cálculos simbólicos.

El álgebra de Boole se diferenciaba del álgebra ordinaria en propiedades esenciales: por ejemplo, en el álgebra de conjuntos se cumple \(x^2=x\), pues la intersección de una clase consigo misma no la modifica. Esta nueva estructura permitió establecer una correspondencia rigurosa entre las operaciones algebraicas y las relaciones lógicas. Sus aplicaciones se extendieron también al cálculo de probabilidades y, posteriormente, a campos como la teoría de la información y la informática, donde el álgebra de Boole constituye uno de los fundamentos de los circuitos digitales y de los sistemas de computación.

Además de sus aportaciones a la lógica, Boole desarrolló métodos algebraicos para resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante operadores diferenciales, que estudió especialmente en su Treatise on Differential Equations (1859). Esta aproximación ilustraba la potencia de tratar determinados operadores mediante reglas algebraicas. En conjunto, su obra consolidó una nueva concepción de las matemáticas basada en la estructura y las leyes de los símbolos, y convirtió el álgebra en una herramienta para estudiar sistemáticamente el razonamiento. Su legado fue decisivo para el desarrollo de la lógica matemática moderna y para numerosas aplicaciones científicas y tecnológicas.

En resumen, Mathematical Analysis of Logic (1847) y, a fortiori, The Laws of Thought (1854) contienen mucho más del álgebra de conjuntos de lo que hemos indicado. En particular, esta última obra incluye aplicaciones a la probabilidad. Hoy el álgebra de Boole es utilizada ampliamente no solo por los matemáticos puros sino también por otros que la aplican a problemas de seguros y de teoría de la información. Las notaciones han cambiado algo desde los días de Boole, de modo que la unión y la intersección se indican generalmente por \(\cup\) y \(\cap\) más que por \(+\) y \(\times\), y el símbolo del conjunto nulo es \(\emptyset\) más que \(0\); pero los principios fundamentales son los que fueron establecidos por Boole hace más de un siglo.

La obra de George Boole sentó las bases de la lógica matemática al demostrar que el razonamiento formal puede expresarse mediante un sistema algebraico. Esta matematización de la lógica inspiró profundamente a generaciones posteriores —como Gottlob Frege, Bertrand Russell y, de manera determinante, a David Hilbert—, cuyos esfuerzos por axiomatizar rigurosamente las matemáticas y establecer sistemas formales consistentes (el célebre Programa de Hilbert) no habrían sido posibles sin el camino que Boole abrió al transformar la lógica en una disciplina matemática exacta.

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Lecturas complementarias: 

• Kurt Gödel: el Príncipe de las Tinieblas de las Matemáticas.
• ¿Puede la inteligencia artificial sustituir a los matemáticos? 

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