Googol vs. Googolplex: El origen matemático de Google

Hoy, la palabra Google forma parte de nuestro vocabulario cotidiano. La utilizamos para buscar información, resolver una duda o encontrar prácticamente cualquier cosa en Internet. Lo que quizá no resulte tan conocido es que detrás de este nombre se encuentra una curiosa historia matemática que comienza con un número gigantesco, un matemático y un niño de nueve años.

Ese número es el googol (gúgol en español), que se define como \(10^{100}\), es decir, un 1 seguido de cien ceros. Aunque escribirlo completo no resulta especialmente práctico, desde el punto de vista matemático es un número muy sencillo y por enorme que pueda parecernos, sigue siendo un número finito.

La historia de su nombre se remonta a la década de 1920 y tiene como protagonista al matemático estadounidense Edward Kasner (1878–1955), profesor de la Universidad de Columbia. Kasner estaba interesado en los números extraordinariamente grandes y en la dificultad que tenemos para imaginar cantidades que escapan por completo de nuestra experiencia cotidiana. Según la historia que el propio Kasner difundió, durante un paseo acompañado por su sobrino de nueve años, Milton Sirotta, surgió la cuestión de cómo llamar a un número tan enorme. Kasner decidió preguntarle al niño qué nombre le pondría a un número formado por un 1 seguido de cien ceros. La respuesta fue una palabra aparentemente inventada de la nada: googol. Kasner quedó satisfecho con aquella ocurrencia y decidió adoptar el término. La palabra no tenía ninguna tradición matemática: había nacido de la imaginación de un niño y, sin embargo, estaba a punto de incorporarse al lenguaje de la divulgación matemática.

Pero la conversación no terminó ahí. Kasner preguntó también qué nombre podría darse a un número todavía mayor, definido como \(10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}\) y su sobrino propuso otra palabra: googolplex (gúgolplex en español), es decir un googloplex es un uno seguido de un googol de ceros ( \(10^{100}\) ceros).

La historia de estos nombres no quedó reducida a aquella conversación familiar. En 1938, Kasner publicó un artículo titulado New Names in Mathematics, en el que introdujo los términos googol y googolplex. Dos años después, en 1940, publicó junto con James R. Newman el conocido libro Mathematics and the Imagination, que contribuyó a popularizarlos.

El atractivo del googol no reside en alguna propiedad matemática especialmente profunda, sino en la enorme cantidad que representa y en la facilidad con la que puede definirse. Es un buen ejemplo de cómo una expresión muy sencilla puede describir una cantidad que escapa completamente a nuestra intuición. También permite comprender una diferencia fundamental: ser extraordinariamente grande no significa ser infinito.

Podemos comparar, por ejemplo, el googol con algunas estimaciones del número de partículas del universo observable, que se sitúan alrededor de \(10^{80}\), dependiendo de qué partículas se contabilicen y del modelo utilizado. En cualquier caso, como comparación de órdenes de magnitud, tenemos $$ 10^{80} \ll 10^{100} \; \text{ y por tanto } \; {10^{100}}/{10^{80}}=10^{20}. $$ Así que un googol no es solo grande; supera la cantidad de todos los átomos de todo lo que podemos ver en cualquier dirección a lo largo de miles de millones de años luz de espacio.

Pero incluso el googol resulta diminuto frente al googolplex. Pues un googolplex es tan grande que resulta físicamente imposible escribirlo en su forma decimal completa, ya que requeriría más espacio del que existe en todo el universo observable. En efecto, un googolplex es 10 elevado a la potencia de un googol y un googol es un número mayor que la cantidad de átomos en el universo observable. Si intentáramos escribir un cero por cada átomo del universo observable, nos quedaríamos sin átomos antes siquiera de empezar. Sencillamente, no existe suficiente materia física para representar este número de forma escrita.

Y aquí es donde la idea se vuelve aún más interesante, podemos seguir construyendo números cada vez mayores sin necesidad de recurrir al infinito, basta con aumentar los exponentes, utilizar factoriales o construir expresiones como torres de potencias. Por ejemplo el número de Shannon (cantidad de partidas de ajedrez posibles) es igual a \(10^{120}\), obviamente mayor que el googol. Pero en el mundo de las matemáticas, aparecen números que hacen que el googolplex parezca microscópico en demostraciones y teoremas cotidianos. El número de Graham, por ejemplo, es tan astronómicamente mayor que un googolplex que no existe una forma significativa ni siquiera de compararlos; comparado con él, el googolplex prácticamente se reduciría a cero. El universo tiene un límite de tamaño, pero las matemáticas, no. Y esa brecha entre la realidad física y la abstracción pura es una de las cosas más extraordinarias de ser un ser pensante en este cosmos. Hemos creado un lenguaje capaz de describir cosas que nuestro universo no es lo suficientemente grande para contener.

Del googol a Google y del googolplex a Googleplex

La historia podría haber terminado como una curiosa anécdota de la divulgación matemática. Sin embargo, varias décadas después, la palabra googol reapareció en un contexto completamente diferente.

En 1995, Larry Page y Sergey Brin se conocieron en la Universidad de Stanford y comenzaron a trabajar en un proyecto destinado a organizar la enorme cantidad de información que empezaba a acumularse en la World Wide Web. El proyecto recibió inicialmente el nombre de BackRub, pero sus creadores buscaban un nombre que reflejara mejor la magnitud de su propósito.

Googleplex, la sede principal de Google en Mountain View, California

La inspiración llegó precisamente del término matemático googol. De él surgió el nombre Google, una ligera modificación de la palabra que Kasner había introducido décadas antes. La elección resultaba especialmente apropiada para un buscador cuya finalidad era organizar cantidades cada vez mayores de información.

Existe una versión muy difundida según la cual los fundadores pretendían llamar a la empresa Googol, pero que el nombre terminó escribiéndose Google debido a un error al registrarlo. Sin embargo, conviene tomar esta explicación con cierta cautela. La relación con googol está reconocida, pero no es necesario atribuir el origen del nombre exclusivamente a una errata; resulta más prudente hablar de una referencia o juego de palabras con el término matemático.

La conexión tampoco terminó con el nombre de la empresa. La sede principal de Google en Mountain View, California, es conocida como el Googleplex, un nombre que recuerda directamente al googolplex.

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Lectura recomendada: El número de Shannon: ¿cuántas partidas de ajedrez son posibles?

El número de Shannon: ¿cuántas partidas de ajedrez son posibles?

Claude Elwood Shannon (1916–2001)

El ajedrez es un juego engañosamente simple en sus reglas: un tablero de 64 casillas, 32 piezas y dos jugadores turnándose para mover. Sin embargo, detrás de esa aparente sencillez se esconde un universo matemático tan inconmensurable que desafía nuestra imaginación. A mediados del siglo XX, un científico fascinado por los enigmas de la mente y la tecnología intentó calcular cuántas partidas diferentes podían llegar a jugarse jamás. El resultado de su cálculo, bautizado como el Número de Shannon, demostró que el ajedrez tiene más caminos posibles que átomos existen en todo el universo conocido.

Todo comenzó en 1950. Claude Shannon, un brillante matemático y criptógrafo estadounidense que ya era famoso por haber sentado las bases de la era digital y la teoría de la información, publicó un artículo pionero titulado "Programming a Computer for Playing Chess" ("Programando una computadora para jugar al ajedrez"). En aquella época, las computadoras eran máquinas gigantescas, lentas y rudimentarias. Shannon no quería enseñar a una computadora a jugar simplemente por entretenimiento; su meta era descubrir si las máquinas podían aprender a resolver problemas complejos del mundo real utilizando la lógica. Para ello, decidió probar si una computadora podía "resolver" el ajedrez calculando cada posible jugada de principio a fin, una estrategia conocida como fuerza bruta.

Para comprobar si este método era viable, Shannon hizo un cálculo muy sencillo. Observó que, en una partida promedio entre humanos, cada jugador suele tener unas \(30\) opciones distintas de movimiento en su turno. Además, notó que una partida estándar suele durar alrededor de \(40\) jugadas por bando (lo que equivale a \(80\) turnos individuales en total). Si en cada uno de esos \(80\) turnos multiplicamos las \(30\) opciones posibles, obtenemos la célebre ecuación \( 30^{80} \approx 10^{120}\)

Ese número, un uno seguido de 120 ceros (\(10^{120}\)), es el Número de Shannon. Para comprender lo descomunal que es esta cifra, basta compararla con el cosmos: los astrónomos estiman que en todo el universo observable hay entre \(10^{78}\) y \(10^{80}\) átomos. Esto significa que si cada átomo del universo fuera un universo entero por sí mismo, aún no nos acercaríamos a la cantidad de partidas de ajedrez únicas que se pueden jugar. Incluso si la computadora más potente construida jamás evaluara miles de millones de jugadas por segundo desde el origen del universo, apenas habría arañado la superficie de este número.

El 10 de febrero de 1996, el ordenador Deep Blue gano la primera partida del enfrentamiento con Gary Kasparov en 37 movimientos con piezas blancas.  

Esta abrumadora realidad cambió para siempre el rumbo de la inteligencia artificial. Claude Shannon demostró que era absolutamente imposible que una máquina ganara al ajedrez explorando todas las combinaciones posibles. En su lugar, las computadoras debían aprender a "pensar" como lo hacen los grandes maestros humanos: no mirando todas las jugadas, sino descartando las malas estrategias mediante la intuición, la lógica y la evaluación de patrones. Gracias a esta revelación, nacieron los algoritmos de evaluación y las técnicas de búsqueda inteligente que décadas más tarde permitirían a supercomputadoras como Deep Blue derrotar a Garry Kasparov en 1996, y a la inteligencia artificial moderna, como AlphaZero, dominar el juego a niveles superiores. En definitiva, el Número de Shannon no solo reveló la insondable profundidad del ajedrez, sino que obligó a las máquinas a desarrollar las primeras chispas de inteligencia artificial.