Antecedentes del Cálculo Infinitesimal de Newton y Leibniz

Cuando se habla del nacimiento del cálculo infinitesimal, los nombres de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz suelen aparecer como los grandes protagonistas. Y con razón: ambos desarrollaron, de forma independiente en el siglo XVII, los métodos sistemáticos que hoy reconocemos como cálculo diferencial e integral. Si queremos ser precisos, ellos no fueron “inventores” en el sentido de crear algo completamente nuevo, sino arquitectos intelectuales que organizaron y consolidaron siglos de intuiciones matemáticas. El cálculo infinitesimal no nació en un instante, sino que fue el resultado de una larga evolución histórica. Ambos comprendieron algo fundamental: que los problemas de tangentes (derivadas) y los de áreas (integrales) estaban profundamente conectados. Esta conexión, conocida hoy como el teorema fundamental del cálculo, fue el verdadero acto fundacional.

Premisas históricas

El nacimiento del cálculo no fue un evento aislado, sino el resultado de una convergencia de necesidades técnicas y avances teóricos. Estas motivaciones pueden clasificarse en dos grandes grupos:

1. Premisas Internas (Desarrollo Teórico).
   Estas premisas se refieren a la evolución propia del pensamiento matemático y sus herramientas conceptuales:
   
   
   Evolución del Álgebra y la Geometría: La introducción de las cantidades variables y el desarrollo del método de coordenadas permitieron una transición fundamental hacia la abstracción. Esto facilitó la maduración de la idea de dependencia funcional, permitiendo que las curvas dejaran de ser figuras estáticas para entenderse como el rastro de un punto en movimiento.
   
   
   Recuperación del Legado Clásico: Se produjo una profunda revisión y profundización en las ideas infinitesimales de los matemáticos griegos. Figuras como Arquímedes, Eudoxio, Leucipo y Demócrito aportaron las primeras nociones sobre el infinito y el método de exhaución, que sirvieron de base para los métodos de indivisibles del siglo XVII.
   
   
2. Premisas Externas (Necesidades Prácticas).
   Estas premisas responden a los retos que la ciencia y la tecnología de la época planteaban a los matemáticos:
   
   

   Problemas Mecánico-Físicos: La necesidad de comprender fenómenos naturales como la caída libre de los cuerpos, el cálculo preciso en el lanzamiento de proyectiles y el complejo movimiento de los planetas exigía herramientas capaces de medir el cambio instantáneo.

   
   Problemas Mecánico-Geométricos: Surgió la urgencia de resolver cuestiones prácticas sobre el equilibrio y la forma, tales como la determinación de centros de gravedad y el cálculo exacto de áreas y volúmenes de cuerpos irregulares.

   
   Problemas Geométricos Puros: El estudio avanzado de nuevas curvas requería métodos sistemáticos para hallar rectas tangentes y determinar valores extremos (máximos y mínimos), problemas que los métodos geométricos tradicionales ya no podían resolver con eficiencia.

Problemas de TANGENTES

"Sobre Espirales" de Arquímedes y el cálculo de tangentes.

• Apolonio de Perga (190 a.C.) construyo las tangentes a las cónicas. Arquímedes (287-212 a.C.) hizo lo propio para las espirales, que ya hemos tratado en el post "Sobre Espirales" de Arquímedes y el cálculo de tangentes. Sin embargo, el punto de vista griego era estático: la tangente era la recta que cortaba a la curva, dejándola a un lado. No había, pues, proceso de paso al límite. 
  
  
• Fermat (1601-1665) creó un método para hallar la tangente a una curva definida por un polinomio: y = P_n(x) = a₀ + a₁x + ··· + a_nxⁿ. Este método, que en realidad no hacía ninguna referencia al paso al límite, se apoyaba en el siguiente razonamiento: si P_n(x) es un polinomio, entonces P_n(x + h) - P_n(x) es un polinomio en h divisible por h, de modo que se hace la división y se eliminan los términos en h, obteniéndose así la ecuación de la recta tangente. Cabe observar que este sistema es el utilizado hoy en día para calcular derivadas por los estudiantes de bachillerato que no manejan con soltura el concepto de límite. El punto de vista de Fermat no es, por tanto, infinitesimal, aunque está realmente cercano, ya que al final acaba haciéndose h = 0 al eliminarse los términos en h.
  
  
• Descartes (1596-1650) afirma que el problema geométrico que más desea solucionar es el de las tangentes. Su procedimiento es todavía menos infinitesimal que el de Fermat y consiste en trazar la circunferencia con centro en el corte de la normal a la curva (en el punto que se considere) con el eje de abscisas y que pase por el punto en cuestión. Se impone la condición de que la circunferencia no corte a la curva en ningún otro punto y de esta manera se tiene como tangente la de la circunferencia en este punto. Este método es útil para curvas y = f(x) tales que (f(x))² sea un polinomio sencillo. Con él se retorna a la situación griega, completamente estática. 
  
  
• Isaac Barrow (1630-1677) parece que utiliza la idea de que la tangente es el límite de las secantes para aplicar el método de Fermat a curvas dadas en forma implícita: f(x, y) = 0. No obstante, Barrow seguía con la idea griega de que la tangente era la recta que cortaba a la curva en un solo punto.

Por otro lado, en esos mismos años (hacia 1650), se consiguió determinar la tangente a algunas curvas por métodos cinemáticos. Para ello se daba la curva en forma paramétrica (con parámetro el tiempo) y se interpretaba la velocidad como la suma (vectorial) de las velocidades según los ejes. Era, pues, necesario que los dos movimientos tuvieran buenas velocidades. De este modo se determinó la tangente a la cicloide, a la parábola y a la elipse.

Problemas de LONGITUDES, ÁREAS Y VOLUMEN

Método de exhaución utilizado por Arquímedes para calcular (223/71)<π <(22/7), inscribiendo un polígono de 96 lados en la circunferencia.

• En la Grecia clásica, Eudoxus of Cnidus desarrolló el método de exhaución o agotamiento, una técnica para calcular áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas. Más tarde, Arquimedes perfeccionó este método y logró resultados extraordinarios: áreas bajo parábolas, volúmenes de esferas y cilindros, e incluso aproximaciones muy precisas del número π. El espíritu era claramente infinitesimal: aproximar una magnitud mediante la suma de partes cada vez más pequeñas.
  
  A lo anterior debemos agregar una gran cantidad de métodos particulares, como  las Lúnulas de Hipócrates ya tratadas en este blog o la aplicación de la noción de átomo geométrico de Leucipo de Mileto (480- 420 a. C.) y su discípulo Demócrito de Abdera (460-370 a. C.).
• Kepler halló el volumen de casi un centenar de cuerpos de revolución, descomponiéndolos en partes indivisibles adecuadas a cada problema.
• Galileo (1564-1642) justificó que el espacio recorrido por un móvil es igual al área entre la curva de la velocidad y el eje del tiempo, unificando el problema de la longitud de una curva con el del área bajo otra.
• Los problemas de área entre la curva y el eje de abscisas (problemas de cuadratura) se estudiaron en múltiples casos particulares. Para llegar a probar la expresión de la integral anterior, fue necesario obtener previamente que: $$\frac{1}{n^{k+1}} \sum_{h=1}^{n} h^k \to_n \frac{1}{k+1}$$ (donde \(k\) es un número natural), lo que dio lugar a trabajos de Fermat, Pascal y Cavalieri. También se consiguió calcular esa integral en el caso en que el exponente es un número racional. El trabajo principal es de Wallis (1616-1703), que lo probó para \(n=1/q\). El resultado general es de  Fermat y  Torricelli (1608-1647).
• La rectificación (longitud de una curva) fue resuelta para casos específicos como la parábola semicúbica por Neil (1637-1670), la cicloide por Wren (1632-1723), y otras por Fermat. En 1668, Gregory (1638-1675) dio un método general.

Los INDIVISIBLES de Bonaventura Cavalieri

 

Bonaventura Cavalieri (1598-1647) fue un discípulo de  Galileo que utilizó de manera sistemática técnicas infinitesimales, a los que llamó indivisibles.

Descompuso las figuras en indivisibles de magnitud inferior. Así, para calcular volúmenes, cortaba los cuerpos y medía las áreas de las secciones.

Su postura puede resumirse en una frase que se le atribuye: "el rigor es cosa de los filósofos, no de los matemáticos". Estaba más interesado en los resultados prácticos de los cálculos que en la justificación última de lo que eran los indivisibles.

El llamado teorema de Cavalieri fue enunciado de la siguiente forma:

"Si dos cuerpos sólidos tienen la misma altura y al hacer secciones paralelas a la base las áreas de las secciones están siempre en una proporción fija, entonces en esa misma proporción están los volúmenes".

Su justificación la hizo transformando un sólido en otro mediante la transformación de las secciones a lo largo de la altura. Geometría de los indivisibles, 1635.

Otro de sus resultados fue la fórmula que hoy se escribe en la forma:

$$\int_0^a x^n dx= \frac{a^{n+1}}{n+1}$$
y que obtuvo estudiando el cuerpo engendrado al girar la curva de ecuación \(y=x^n\) entorno al eje de abscisas. Evidentemente, el resultado general lo conjeturó, tras haberlo demostrado para valores pequeños de \(n\).

Los problemas de EXTREMOS

• Pappus de Alejandría (siglo IV d. C.), en el Libro V de su Colección Matemática, realizó un estudio profundo sobre los problemas extremales (máximos y mínimos), conocidos históricamente como problemas isoperimétricos. Su aporte más célebre es la explicación de la "inteligencia de las abejas", donde probó que el hexágono regular es el polígono más eficiente para teselar el plano, ya que maximiza el área de almacenamiento de miel utilizando el mínimo perímetro de cera.

•  El primer trabajo sobre este problema es de Kepler (1571-1630), quien tuvo que diseñar cubas de vino de manera que tuvieran la máxima capacidad, lo cual motivó su estudio sobre la cuestión. Encontró que el paralelepípedo de base cuadrada y volumen máximo inscrito en una esfera es el cubo (lo obtuvo midiendo muchas formas distintas).
  
  Lo significativo es su comentario de que, al acercarse al valor máximo, para un cambio fijo en las dimensiones, el volumen crece cada vez más lentamente. La lectura actual de este hecho es que la derivada se anula en un máximo relativo: \( f'(x) = 0 \).
  
  
• Fermat parece que da un método de hallar extremos por medio de lo que él denomina pseudoigualdades. Afirma que en un punto se alcanza un máximo si para un incremento infinitesimal de la variable la función no varía. La esencia es semejante a la ya comentada sobre el problema de la tangente.

Entender estos antecedentes no disminuye la grandeza de Newton y Leibniz; al contrario, nos permite apreciar mejor la magnitud de su logro: transformaron una colección de técnicas ingeniosas en una teoría coherente que cambiaría para siempre la matemática, la física y nuestra comprensión del mundo.

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Newton, Leibniz y la invención de cálculo infinitesimal

La invención del cálculo infinitesimal es uno de los episodios más fascinantes de la historia de la ciencia. No solo por la potencia de la herramienta creada, sino también por la agria polémica de prioridad que enfrentó a sus creadores, Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), dos de las mentes más brillantes de la humanidad.

En enero de 1673, Leibniz viajó a Londres en una misión diplomática, pero aprovechó su estancia para integrarse en los círculos científicos de la Royal Society. Aunque Newton y Leibniz no llegaron a conocerse personalmente, durante esa visita Leibniz entró en contacto con Henry Oldenburg (1619-1677) y John Collins (1625-1683), quienes custodiaban y difundían los avances matemáticos británicos. Fue en este contexto cuando se sembraron las semillas de la acusación de plagio que lo perseguiría durante años. Se le acusó de haber tenido acceso a borradores de Newton, en particular al manuscrito De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas, donde este ya empleaba su método de las "fluxiones".

Es curioso cómo la historia de las publicaciones cambió el destino de ambos. Aunque Newton desarrolló sus ideas primero, su recelo ante las críticas y su perfeccionismo hicieron que Leibniz se le adelantara en la imprenta por casi veinte años. Newton siempre sostuvo que Leibniz había visto una copia de su manuscrito  durante su estancia en Londres, lo que dio origen a la acusación de que este había "robado" el cálculo.

Newton, siendo presidente de la Royal Society, nombró a un comité "imparcial" (formado por sus amigos) que en 1712, publicó un informe declarando a Newton como único inventor, un fallo hoy considerado parcial. Sin embargo, la mayoría de los historiadores modernos coinciden en que ambos llegaron a resultados similares, pero sus puntos de partida, métodos y objetivos eran notablemente distintos.

En realidad, ambos miraban el mismo problema desde prismas diferentes: Newton con un enfoque mecánico-geométrico y Leibniz desde una motivaciones filosófico cognitivas.  

El Cálculo de fluxiones de Newton

• Inspiración: Cinemática y Geometría. El movimiento de los cuerpos y las órbitas planetarias.
• Concepto Clave: Fluxiones. El cambio se entiende como un flujo continuo en el tiempo.
• Naturaleza:  Consideraba las variables como magnitudes que fluyen continuamente.
• Notación:  Utilizaba un punto sobre la variable (ẋ) para indicar la derivada respecto al tiempo. Aunque útil en física, resultaba limitada para derivadas de orden superior o cambios respecto a otras variables. 
• La integral como la operación inversa a la derivación. 
• Publicación: Newton escribió sobre su método mucho antes de publicarlo, lo que alimentó la polémica de plagio. Sus publicaciones fueron: 
• La mención en los Principia (1687): En su obra maestra, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Newton usó el cálculo para demostrar sus leyes físicas, pero lo "escondió" bajo demostraciones geométricas tradicionales para que fuera más aceptable.
• La primera publicación específica (1704)  apareció formalmente como un apéndice de su libro Opticks. Este tratado se llamaba De Quadratura Curvarum (Sobre la cuadratura de las curvas).
• El manuscrito "perdido": Su obra más temprana, De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas, fue escrita en 1669 pero no se publicó hasta 1711.

El Cálculo de diferencias de Leibniz

• Inspiración: Lógica y Combinatoria. La búsqueda de un lenguaje simbólico universal.
• Concepto Clave: Diferenciales. El cambio se entiende como la suma de diferencias infinitamente pequeñas. 
• Naturaleza:  Consideraba las variables como secuencias de valores con incrementos mínimos.
• Notación:  Introdujo los símbolos dy/dx para la derivada y ∫ (una "S" alargada de summa) para la integral. Su sistema permitía manipular los símbolos casi como si fueran fracciones, facilitando enormemente el cálculo operacional.
• La integral  como suma de infinitesimales.
• Publicación:  Nova Methodus pro Maximis et Minimis (Un nuevo método para los máximos y los mínimos) publicada en 1684. 
  En apenas 6 páginas, presentó las reglas de derivación que usamos hoy (suma, producto, cociente y potencias). Fue un texto extremadamente denso y difícil de entender para la época, pero introdujo las notaciones que perdurarían. Leibniz no explicaba de dónde salían estas reglas, simplemente decía: "Aquí están, y funcionan".

Resumen

• Newton fue el primer descubridor, pero Leibniz fue el gran comunicador y sistematizador. 
• Newton creó una herramienta para entender el universo; Leibniz creó un lenguaje para que el mundo pudiera calcular.
• Con su notación,  Leibniz "ganó" la batalla a largo plazo. Su notación era tan clara y funcional que es la que seguimos usando hoy en día en casi todos los libros de texto. 

 La polarización que surgió tras la disputa por la autoría del cálculo fue un lastre significativo para la ciencia británica.  Mientras que en el continente europeo se adoptó la notación de Leibniz, que resultaba ser mucho más flexible, intuitiva y adecuada, los matemáticos ingleses se aferraron obstinadamente a la notación de fluxiones de Newton, que era mucho menos manejable para problemas complejos. Este aislamiento intelectual, motivado por la lealtad a Newton. provocó que Inglaterra quedara rezagada casi un siglo respecto a los avances analíticos de figuras como los Bernoulli, L’Hopital, Euler, D'Alembert y muchos otros, no logrando recuperar el paso hasta principios del siglo XIX, cuando la llamada Analytical Society de Cambridge finalmente impuso el uso del cálculo según Leibniz.

Como ya comentamos en el post Aritmética con números romanos,  la elección de una forma adecuada para representar el conocimiento matemático  no es un mero detalle estético, sino una herramienta cognitiva fundamental para el desarrollo de nuevos contenidos. Mientras que la simbología de Leibniz facilitó la generalización y el cálculo operacional mediante su estructura diferencial, la rigidez de las fluxiones de Newton demostró que una forma inadecuada puede actuar como un techo de cristal para la abstracción y el avance teórico. 

 

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