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| Kurt Gödel (1906-1978) |
En 1924, tras finalizar sus estudios en el Realgymnasium de Brno, Gödel se trasladó a Viena para ingresar en su universidad. Su hermano mayor había comenzado allí la carrera de Medicina cuatro años antes. En Viena entró en contacto con destacados matemáticos y filósofos del Círculo de Viena. Aunque compartía con ellos el interés por la lógica y la racionalidad, no aceptaba plenamente su visión positivista. Defendía una concepción platónica de las matemáticas: consideraba que los objetos y las verdades matemáticas existen independientemente de que podamos demostrarlos mediante un sistema formal.
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| Marianne y Rudolf Gödel con sus hijos Kurt (izquierda) y Rudolf (derecha). |
El título de este artículo tiene su origen en una expresión tan llamativa como inquietante: «Modern math’s absolute Prince of Darkness» («el auténtico príncipe de las tinieblas de las matemáticas modernas»), con la que el escritor estadounidense David Foster Wallace (1968-2008) se refirió a Kurt Gödel en su libro Everything and More: A Compact History of Infinity (Todo y más: una breve historia del infinito). Como veremos más adelante, en 1931, los célebres teoremas de incompletitud de Gödel sacudieron los fundamentos de las matemáticas al demostrar que existen límites insalvables en lo que podemos establecer mediante reglas lógicas y demostraciones formales.
Durante siglos, los matemáticos habían soñado con construir un sistema perfecto en el que toda verdad pudiera demostrarse a partir de unos principios bien definidos; mostró que ese ideal era inalcanzable: en cualquier sistema formal suficientemente potente y que cumpla ciertas condiciones, habrá verdades aritméticas que no podrán demostrarse dentro de él. Como si la verdad matemática desbordara siempre los límites de la biblioteca de demostraciones que construimos para contenerla, Gödel reveló que la lógica, por rigurosa que sea, no puede abarcarlo todo. No destruyó la verdad ni desacreditó las matemáticas; hizo algo mucho más sorprendente: demostró que la verdad matemática es más amplia que aquello que podemos demostrar mediante un único sistema formal y quizá ahí resida el sentido más profundo de su inquietante apodo "Príncipe de las Tinieblas".
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| Gödel no apagó la luz de la razón, sino que nos obligó a descubrir que incluso esa luz tiene límites. |
Teoremas de Completidud e Incompletitud
- El teorema de completitud. En su tesis doctoral, presentada en 1929, Gödel resolvió un problema fundamental planteado por David Hilbert y Wilhelm Ackermann: determinar si las reglas de la lógica de primer orden permiten demostrar todas las proposiciones que son consecuencias lógicas de unos axiomas. Su respuesta fue afirmativa. Este resultado, conocido como teorema de completitud de la lógica de primer orden, establece que si una proposición es verdadera en todos los modelos que satisfacen unos determinados axiomas, entonces puede demostrarse formalmente a partir de ellos. Es importante distinguir este resultado de otro problema diferente: demostrar todas las verdades acerca de los números naturales. Que la lógica de primer orden sea completa no significa que cualquier teoría matemática formulada con ella pueda demostrar todas las verdades de su ámbito.
- Los teoremas de incompletitud. En 1931, Gödel publicó el resultado que revolucionó los fundamentos de las matemáticas. Sus teoremas de incompletitud mostraron que los sistemas formales tienen limitaciones que no pueden eliminarse simplemente añadiendo nuevas reglas de demostración.
El primer teorema de incompletitud afirma, de manera simplificada, que cualquier sistema formal consistente, suficientemente expresivo para desarrollar la aritmética y cuyos axiomas puedan reconocerse mediante procedimientos mecánicos, contiene proposiciones que no puede demostrar ni refutar, siempre que se cumplan las condiciones técnicas correspondientes. La idea esencial consiste en construir una proposición matemática que, de manera indirecta, habla de su propia demostrabilidad. Su estructura recuerda a la paradoja del mentiroso, pero Gödel consiguió formularla rigurosamente dentro de la aritmética. En términos intuitivos, la proposición afirma que no puede ser demostrada dentro del sistema. Si el sistema es consistente y se satisfacen las condiciones apropiadas, esa proposición resulta verdadera, pero no demostrable en él.
El segundo teorema de incompletitud establece que un sistema formal de estas características no puede demostrar su propia consistencia mediante los recursos formales del propio sistema, bajo las hipótesis habituales de consistencia y formalización. Para justificar su consistencia se necesita recurrir a principios que no pueden quedar justificados de esa misma manera dentro del sistema original. Estos resultados limitaron las expectativas del programa de Hilbert, que pretendía establecer fundamentos rigurosos para las matemáticas y demostrar la consistencia de teorías complejas mediante métodos formales adecuados.
Las ideas de Gödel tuvieron una influencia decisiva en el desarrollo de la lógica matemática y de la informática teórica. Sus técnicas para codificar expresiones y razonamientos mediante números contribuyeron al desarrollo de la teoría de la computabilidad.
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| Gödel y Einstein a inicios de los años 1950's |
Gödel también realizó contribuciones fundamentales a la teoría de conjuntos. En particular, demostró que el axioma de elección y la hipótesis del continuo son compatibles con los demás axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, suponiendo la consistencia de estos últimos. La hipótesis del continuo, propuesta por Georg Cantor, plantea que no existe ningún tamaño infinito intermedio entre el de los números naturales y el de los números reales. El resultado de Gödel no demuestra que esta hipótesis sea verdadera ni que pueda deducirse de los restantes axiomas; demuestra que no contradice dichos axiomas bajo las condiciones consideradas. Décadas después, Paul Cohen completó el panorama al demostrar la independencia de la hipótesis del continuo respecto de esos axiomas.
Además de sus investigaciones en lógica matemática y teoría de conjuntos, Gödel se interesó por cuestiones filosóficas y por la teoría de la relatividad. En 1949 demostró que las ecuaciones de Einstein admiten modelos cosmológicos con curvas temporales cerradas, lo que plantea la posibilidad teórica de viajar al pasado dentro de esos modelos.
Vida y legado
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| Kurt y Adele el día de su boda en 1938. |
A pesar de su extraordinario talento, Gödel sufrió durante años graves problemas psicológicos que afectaron especialmente a sus últimos años. Cuando Adele tuvo que ser hospitalizada durante varios meses, su estado se deterioró progresivamente. Tras la muerte de su amigo Oskar Morgenstern, quedó cada vez más aislado y, convencido de que podían envenenarlo, dejó de alimentarse adecuadamente. Murió en Princeton el 14 de enero de 1978, a consecuencia de la desnutrición.
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| Gödel en 1973 |
El legado de Gödel va mucho más allá de sus teoremas de incompletitud. Su obra transformó la lógica matemática, modificó nuestra comprensión de los fundamentos de las matemáticas y contribuyó al desarrollo de la teoría de la computabilidad, esencial para la informática moderna. Sus resultados mostraron que incluso los sistemas formales más rigurosos tienen límites intrínsecos y que la verdad matemática no puede identificarse, en general, con lo que resulta demostrable dentro de un único sistema axiomático.
En resumen, Gödel mostró que verdad y demostrabilidad no son equivalentes. La demostración formal es un procedimiento sujeto a reglas precisas; la verdad matemática, en cambio, no queda agotada por lo que puede demostrarse dentro de un único sistema formal.
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