Los Números Primos Gemelos

Con la colaboración del Profesor Silvio Soler Cárdenas.

Los primos gemelos son pares de números primos que diferencian en exactamente \(2\), como \((3,5)\), \((5,7)\), \((11,13)\), \((17,19)\), \((29,31)\), \((41, 43)\), \((59, 61)\), etc. La conjetura de los primos gemelos afirma que existen infinitos de estos pares.

Algunos hecho y propiedades inmediatas son los siguiente: 

• El par \((2, 3)\) normalmente no se considera un par de primos gemelos, porque su diferencia es \(1\). 
• Como \(2\) es el único primo par, todos los demás primos son impares y una diferencia de \(2\) es la separación mínima posible entre dos primos impares. 
• Salvo el par \((3,5)\), todo par de primos gemelos puede escribirse como \((6n-1,\;6n+1)\). Por tanto, el número situado entre ambos primos es múltiplo de \(6\) . En consecuencia, la suma de los dos primos gemelos es divisible por \(12\), excepto en el caso \((3,5)\).
• El número \(5\) es el único primo que pertenece a dos pares de primos gemelos: \((3,5)\) y \((5,7)\). Esto se debe a que entre tres números impares consecutivos siempre hay uno divisible por \(3\), salvo cuando ese número es el propio \(3\).

Si un número primo no tiene gemelo, se dice que es un primo aislado, es decir es un número primo p para el que ni (p-2) ni (p+2) son primos. Por ejemplo, 23 es un primo aislado porque 21 y 25 son números compuestos.

Euclides demostró que existen infinitos números primos (Proposición 20 del Libro IX de los Elementos) y se cree que pudo ser el primero en plantearse la conjetura de los primos gemelos, pero no existe ningún registros que lo confirme. Fue el matemático francés Alphonse de Polignac quien en 1849, formuló una conjetura con el siguiente enfoque general:

Para todo número par positivo \(k\), existen infinitos pares de primos cuya diferencia es \(k\) .

El caso \(k=2\) es precisamente la conjetura de los primos gemelos.

El primer gran salto 70 años después

Viggo Brun (1885–1978)

En 1915 el matemático noruego Viggo Brun introdujo formalmente el método conocido como la Criba de Brun. Utilizando ese método de cribado, cuatro años más tarde (en 1919), logró probar que la suma de los inversos de los números primos gemelos converge en un valor fijo, originando así la famosa constante de Brun (que se representa con la letra \(B-2\)). La constante es el resultado de la siguiente suma infinita:

\[B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \dots=1.90216058...\]

Para entender por qué el descubrimiento de Viggo Brun fue tan revolucionario, debemos compararlo con los números primos en general:

• Si sumas los inversos de todos los números primos (\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \dots\)), la suma es infinita (diverge). Esto ocurre porque hay muchísimos números primos en el universo numérico.
• Al ver esto, los matemáticos pensaban que con los primos gemelos pasaría lo mismo. Sin embargo, Brun demostró que la suma de sus inversos se detiene en un número fijo (converge).

La criba de Brun funcionaba de la siguiente manera:

• El principio de exclusión: Es una evolución de la clásica Criba de Eratóstenes (el método escolar de tachar múltiplos de 2, de 3, de 5, etc., para encontrar primos).
• Controlar los múltiplos: Brun desarrolló fórmulas avanzadas para aproximar cuántos números quedan sin tachar cuando eliminas los múltiplos de los primeros números primos de forma simultánea para dos expresiones (\(n\) y \(n+2\)).
• Fijar un límite superior: Aunque el método no permitía saber con exactitud si los primos gemelos se acaban o no, sí demostró de forma matemática e irrefutable que la cantidad de primos gemelos menores que un número \(x\) no puede crecer tan rápido como para hacer que la suma total sea infinita.

A pesar de que sabemos que la suma total da un número fijo (cercano a 1.902), la constante de Brun encierra una ironía: todavía no sabemos si hay infinitos primos gemelos o si en algún momento se acaban. Si los primos gemelos fueran finitos, la suma lógicamente se detendría en un número fijo. Pero si son infinitos (como sospechan la mayoría de los matemáticos), la constante de Brun nos dice que aparecen tan poco a menudo que su suma se estabiliza de todos modos.

Después de la criba de Brun, el progreso fue lento y los pasos más importantes fueron:

• En 1923, G. H. Hardy y J. E. Littlewood propusieron una conjetura asintótica precisa sobre la densidad de los primos gemelos, que involucra la constante de los primos gemelos \(\approx 0{,}6601618\ldots\).
• En 1973, Jingrun Chen probó un resultado intermedio fundamental: existen infinitos primos \(p\) tales que \(p+2\) es primo o semiprimo (producto de exactamente dos primos).

Yitang Zhang y el salto desicivo

Yitang Zhang

El salto decisivo llegó en 2013, cuando Yitang Zhang demostró de forma incondicional que¨

\[ \liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n) \le 70\,000\,000. \]

Es decir, existen infinitos pares de primos que diferencian en a lo sumo 70 millones.

Yitang Zhang es un matemático chino-estadounidense conocido por protagonizar una de las historias de superación y éxito tardío más fascinantes de la ciencia moderna. Durante décadas, trabajó en un relativo anonimato académico, asumiendo empleos precarios fuera de la investigación (incluyendo un periodo como contable en una franquicia de sándwiches Subway) y dando clases como profesor adjunto en la Universidad de New Hampshire. Sin embargo, su persistencia dio frutos en 2013, cuando a los 57 años resolvió un problema matemático que llevaba siglos estancado. Su perfil destaca no solo por su genialidad, sino por encarnar la figura del erudito solitario que, impulsado por una profunda pasión pura, alcanzó la fama mundial de la noche a la mañana y demostró que nunca es tarde para revolucionar la ciencia.

El impacto de Zhang

Terece Tao a la edad de 10 años junto
a Paul Edös en 1985

Después del gran avance de Zhang, en el mismo 2013, el celebre matemático Terence Tao (Medalla Fields de 2006) lanza el proyecto colaborativo Polymath8. Un proyecto de colaboración abierta online de matemáticos para mejorar este resultado. El proyecto se dividió en dos partes:

• Polymath8a: se centró en optimizar y refinar las técnicas originales de Zhang (estimaciones de distribución de primos en progresiones aritméticas con módulos suaves, búsqueda de tuplas admisibles, etc.).
• Polymath8b: se inició más tarde, cuando James Maynard introdujo un método de criba multidimensional más potente y flexible.

Gracias a este trabajo colaborativo (principalmente a través del blog de Tao y una wiki), Polymath8a consiguió reducir el bound de Zhang de 70 millones hasta \( 4\,680.\). Fue un esfuerzo técnico muy intenso de optimización de los argumentos de Zhang, y sentó las bases para los avances posteriores.

A partir de ahí el progreso fue rapidísimo:

• James Maynard (y de forma independiente Terence Tao, introdujo un método de criba multidimensional y bajó la cota a \(600\).
• A continuación Polymath8b estableció en 2014 el récord: \[ \liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n) \le 246. \]

  Esta cota se mantuvo como la mejor cota incondicional aceptado durante más de doce años.

La Conjetura de Elliott-Halberstam (formulada en 1968) es una hipótesis muy técnica sobre cómo se distribuyen los números primos en secuencias aritméticas. Nadie ha podido demostrarla aún, pero la gran mayoría de los matemáticos cree que es totalmente cierta. Si los c´lculos de la congetura de los primos gemelos se hacen sin suponer válidad la Conjetura de Elliott-Halberstam se dice que son cotas incodicionales como \(246\), en caso contrario se llaman cotas condicionales. Las cotas condicionales que se han obtenido son las siguientes:

• La cota de \(12\): Fue demostrada originalmente por James Maynard en noviembre de 2013. Al introducir su innovador método de criba multidimensional, probó que si la conjetura de Elliott-Halberstam es cierta, la distancia máxima garantizada entre infinitos pares de primos cae a \(12\).
• La cota de \(6\): Se obtuvo unos meses después, en agosto de 2014. Fue calculada por el proyecto colaborativo Polymath8b (liderado por Terence Tao y en el que también participó Maynard). El grupo combinó las técnicas de Maynard con optimizaciones numéricas masivas, demostrando que bajo la versión generalizada de la conjetura de Elliott-Halberstam, la distancia límite se reduce a \(6\).

Julia Stadlmann

 En agosto de 2026, Julia Stadlmann publicó un preprint que mejora la cota incondicional a \(240\) y este es el primer avance significativo en más de una década. Su trabajo combina el teorema de Bombieri–Vinogradov con estimaciones de equidistribución para módulos suaves.

Poco después aparecieron algunos trabajos (algunos asistidos por inteligencia artificial) que proponen cotas incondicionales de \(236\), \(212\) e incluso \(186\). A fecha de octubre de 2026, ninguno de estos trabajos posteriores ha superado una revisión por pares rigurosa, por lo que el bound establecido sigue siendo \(246\), con el resultado de Stadlmann (\(240\)) como el más sólido y reciente.

 La conjetura de los primos gemelos permanece abierta. Se sabe que hay infinitos pares de primos separados por una distancia acotada (\(\le 246\), y probablemente \(\le 240\)), pero no se ha conseguido aún bajar esa distancia hasta \(2\). El principal obstáculo técnico sigue siendo el llamado problema de paridad de las cribas. Mientras que los métodos que utilizan la conjetura de Elliott-Halberstam solo estan esperando a que alguien demuestre esta conjetura para, que como ya se ha demostrado, las cotas caigan a \(12\) o \(6\).

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Números hipercomplejos: cuaterniones, octoniones y sedeniones

Los cuaterniones, octoniones y sedeniones forman parte de una fascinante extensión de los números complejos, los números hipercomplejos. Surgen al intentar responder una pregunta natural: si los números reales pueden ampliarse a los complejos, ¿es posible continuar construyendo sistemas numéricos con propiedades semejantes? La respuesta conduce a una jerarquía de álgebras de dimensión \(2,4,8,16,\ldots\), en la que, a medida que aumenta la dimensión, algunas propiedades algebraicas fundamentales deben sacrificarse.

De los complejos a los cuaterniones

Sir W. R. Hamilton
(1805-1865)

Los números complejos tienen la forma \(z=a+bi,\; a,b\in\mathbb{R},\; i^2=-1,\) y constituyen un sistema de dimensión \(2\) sobre \(\mathbb{R}\). Durante la primera mitad del siglo XIX surgió la cuestión de si era posible construir un sistema tridimensional que extendiera los complejos y conservara una multiplicación suficientemente satisfactoria.

Fue el matemático irlandés William Rowan Hamilton quien encontró la respuesta en 1843, aunque no mediante una extensión tridimensional, sino mediante una de cuatro dimensiones. Los cuaterniones tienen la forma \[q=a+bi+cj+dk,\qquad a,b,c,d\in\mathbb{R},\] donde las unidades imaginarias satisfacen \(\quad i^2=j^2=k^2=ijk=-1.\)

De estas relaciones se obtiene, por ejemplo, \(\quad ij=k,\qquad ji=-k,\quad \) y análogamente para los demás productos. Por tanto, la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa: \(\quad ij\neq ji.\) Esta fue una de las primeras grandes sorpresas de la historia del álgebra: era posible construir un sistema numérico en el que \(ab\neq ba.\)

Placa conmemorativa en el puente de Broom

Hamilton descubrió los cuaterniones mientras buscaba una interpretación algebraica de las rotaciones en el espacio. La famosa historia cuenta que, el 16 de octubre de 1843, durante un paseo junto a su esposa por el Royal Canal de Dublín, tuvo la idea fundamental y escribió las relaciones esenciales de los cuaterniones en una inscripción sobre el puente de Broom. 

Publicación original de Lectoras sobre Cuaterniones de Hamilton en 1853

Los cuaterniones encontraron posteriormente aplicaciones extraordinariamente importantes. En matemáticas permiten describir elegantemente las rotaciones tridimensionales, mientras que en física aparecen en diferentes formulaciones relacionadas con la mecánica cuántica y otras teorías matemáticas. En la actualidad son especialmente importantes en gráficos por ordenador, robótica, visión artificial, simulación y control de vehículos y aeronaves, donde permiten representar orientaciones espaciales evitando algunas dificultades de otros métodos, como los ángulos de Euler.

Los octonioness: dimensión \(8\)

Arthur Cayley
(1821-1895)

El siguiente paso apareció poco después. En 1845, el matemático John T. Graves, amigo de Hamilton, descubrió un sistema de números de dimensión \(8\), que denominó octaves. Casi simultáneamente, Arthur Cayley desarrolló independientemente una construcción semejante, razón por la que los octoniones también reciben el nombre de números de Cayley.

Un octonión puede escribirse como \(x=a_0+a_1e_1+\cdots+a_7e_7, \qquad a_0,\ldots,a_7\in\mathbb{R}.\) Ellos conservan algunas propiedades extraordinarias de los cuaterniones, pero pierden otras. En particular, su multiplicación tampoco es conmutativa y, además, no es asociativa: \((xy)z\neq x(yz)\) en general.Esto supone un salto conceptual importante. Con los cuaterniones todavía tenemos \((q_1q_2)q_3=q_1(q_2q_3),\) pero esta propiedad deja de cumplirse ahora.

Sin embargo, los octoniones poseen una propiedad intermedia denominada alternatividad. Por ejemplo, \(\quad (xx)y=x(xy),\; y(xx)=(yx)x.\) Esta combinación de propiedades aparentemente contradictorias hace de los octoniones una de las estructuras más interesantes del álgebra.

Una de las representaciones más conocidas de la multiplicación de los octoniones utiliza el diagrama de Fano, una estructura geométrica que permite recordar las reglas de multiplicación entre las siete unidades imaginarias.

El diagrama de Fano se utiliza para definir la multiplicación de las unidades imaginarias de los octoniones \(e_1,\dots,e_7\) (junto con la unidad real 1). Cada punto del plano representa una de estas unidades, y cada línea (incluyendo el círculo central) indica una terna cerrada: si se recorre la línea en el sentido de las flechas, el producto de dos elementos consecutivos da el tercero con signo positivo (\(e_i e_j = e_k\)), mientras que al recorrerla en sentido contrario el producto sale negativo; además, la multiplicación es anticonmutativa (\(e_j e_i = -e_i e_j\)) y cada \(e_i^2 = -1\). De este modo, las siete líneas del plano de Fano generan todas las reglas de multiplicación necesarias para el álgebra de los octoniones.

Los octoniones aparecen en áreas de matemáticas y física mucho más profundas que los cuaterniones. Están relacionados con grupos de Lie excepcionales, geometría diferencial, teoría de representaciones, teoría de cuerdas y determinados modelos de física matemática. En particular, las simetrías asociadas a los octoniones están vinculadas con estructuras excepcionales como el grupo de Lie \(G_2\).

Los sedeniones: dimensión \(16\)

La construcción puede continuar mediante el denominado proceso de Cayley-Dickson. A partir de los reales obtenemos los complejos; a partir de los complejos, los cuaterniones; a partir de los cuaterniones, los octoniones, y a partir de estos, los sedeniones.

Sus dimensiones reales son \(\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{H} \longrightarrow\mathbb{O}\longrightarrow\mathbb{S},\) con dimensiones respectivas \(1,\; 2,\; 4,\; 8,\; 16.\)

Un sedenión tiene, por tanto, la forma \(x=a_0+a_1e_1+\cdots+a_{15}e_{15}, \quad a_i\in\mathbb{R}.\)

Aquí aparece una pérdida todavía mayor de propiedades algebraicas. Los sedeniones no son conmutativos, no son asociativos y, además, no son alternativos. Pero hay una pérdida particularmente significativa: existen divisores de cero no triviales. Es decir, pueden existir sedeniones \(x\neq0\) e \(y\neq0\) tales que \(xy=0.\) Esto no ocurre con los números reales, complejos, cuaterniones ni octoniones.

Su utilidad es principalmente teórica. Sirven para estudiar los límites de las estructuras algebraicas y las propiedades de los espacios hipercomplejos de alta dimensión. De manera muy marginal, se han propuesto modelos en campos como el aprendizaje automático (redes neuronales de sedeniones) para compresión de datos o problemas de previsión de series temporales, aunque su uso en física o ingeniería general sigue siendo anecdótico. Representan el punto donde la construcción sistemática de números hipercomplejos deja de ser útil para la física o la geometría estándar debido a la excesiva pérdida de reglas aritméticas básicas.

La historia puede resumirse mediante la siguiente tabla:

Sistema	Dimensión	Conmutativo	Asociativo	Divisores de cero
\(\mathbb{R}\)	1	Sí	Sí	No
\(\mathbb{C}\)	2	Sí	Sí	No
\(\mathbb{H}\)	4	No	Sí	No
\(\mathbb{O}\)	8	No	No	No
\(\mathbb{S}\)	16	No	No	Sí

Esta secuencia no es simplemente una colección de curiosidades algebraicas. Revela un fenómeno profundo: cada vez que ampliamos el sistema numérico mediante el proceso de Cayley-Dickson, obtenemos nuevas posibilidades, pero también debemos renunciar a determinadas propiedades.

La historia de los hipercomplejos constituye, en realidad, una historia sobre los límites del concepto de número. Los complejos demostraron que los números podían extenderse más allá de la recta real; Hamilton mostró que era posible sacrificar la conmutatividad para obtener una estructura de cuatro dimensiones; los octoniones llevaron esta idea hasta una estructura no asociativa, y los sedeniones mostraron que, al continuar el proceso, incluso la propiedad de no tener divisores de cero termina desapareciendo.

Así, la sucesión \( \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{H} \longrightarrow\mathbb{O}\longrightarrow\mathbb{S}\) puede contemplarse como un auténtico viaje desde la aritmética familiar hacia algunas de las estructuras más profundas del álgebra moderna. Quizá lo más interesante es que cada paso no consiste simplemente en añadir nuevos números, sino en descubrir qué propiedades estamos dispuestos a perder para obtener una estructura más rica.

El hecho de que aparezcan las dimensiones \(1,2,4,8,16,\ldots\) no significa que las demás dimensiones estén prohibidas. Significa que no forman parte de la sucesión obtenida mediante el mencioado proceso de Cayley-Dickson. Aquí aparece una cuestión mucho más profunda. Si además de tener una estructura algebraica exigimos determinadas propiedades, las posibilidades se reducen drásticamente.

De hecho, el teorema de Hurwitz establece que los únicos álgebras de división normadas reales finito-dimensionales son precisamente \(\mathbb{R},\; \mathbb{C},\; \mathbb{H} \text{ y } \mathbb{O}.\) Por eso los octoniones ocupan una posición especialmente importante: son el último miembro de esta familia que conserva simultáneamente la estructura de un álgebra de división normada. Los sedeniones constituyen el siguiente paso, pero ya presentan divisores de cero.

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Lectura recomendada: 

• De números IMPOSIBLES a números COMPLEJOS.

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