El Número e

El número  e (aproximadamente \(\mathbf{e \approx 2.7182818284\dots}\) ) es una de las constantes más importantes de las matemáticas. A diferencia de \(\pi \), no nació de la geometría, sino de la curiosidad sobre el crecimiento y el interés compuesto. 

Es curioso notar que, después del "2.7", el patrón 1828 se repite dos veces. Sin embargo, no se deje engañar: \(e\) es un número irracional, lo que significa que sus decimales son infinitos y no presentan un patrón periódico real a largo plazo.

Como vimos en el post Los Logaritmos, John Napier inventó estas herramientas en 1614 con el fin de facilitar los complejos cálculos astronómicos. Sus logaritmos poseían una base que, de manera intrínseca, dependía de   \(\frac{1}{e}\) ; si bien Napier no llegó a formalizar dicha constante de forma explícita, la construcción de sus tablas se fundamentó enteramente en ella. 

El Origen Financiero de \(e\)

El número \(e\) fue descubierto por Jacob Bernoulli (1654-1705) en 1683 mientras estudiaba cómo crecía una inversión si los intereses se capitalizaban de forma continua. Bernoulli planteó el siguiente límite:

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

Si inviertes 1€ al 100% de interés anual:

• Pago anual: 2,00€
• Pago mensual: 2,61€
• Pago diario: 2,7145€

Bernoulli, al analizar el interés compuesto, se dio cuenta de que si los intereses se acreditan de forma infinita (interés continuo), el crecimiento del capital se estabiliza en el valor límite 2,71828...

Jacob Bernoulli (1654-1705)

Aunque hoy recordamos a Jacob Bernoulli por descubrir el número \(e\) a través del interés compuesto, la obsesión final de Bernoulli fue la Spira Mirabilis (Espiral Maravillosa). Esta curva tiene una propiedad única: su forma no cambia a medida que crece.

La ecuación de la espiral logarítmica es \(r = a \,e^{b\,\theta}\). Fue tal su fascinación que pidió que grabaran esta espiral en su lápida con el lema:

"Eadem mutata resurgo" (Aunque cambiada, resurjo igual)

La ironía final fue que el cantero encargado de su tumba, desconociendo la diferencia matemática, esculpió una espiral de Arquímedes en lugar de una logarítmica. Mientras la de Bernoulli se expande exponencialmente (ligada a los logaritmos de Napier), la de Arquímedes mantiene siempre la misma distancia entre sus vueltas.

Desarrollo posterior

L. Euler (1707-1783), C.Hermite (1822–1901) y F. von Lindemann (1852–1939)

Fue el genio suizo Leonhard Euler (1707-1783) quien en 1727 le asignó la letra \(e\), posiblemente por la palabra exponencial. Euler no solo le dio nombre, sino que expandió sus propiedades de forma increíble:

• Demostró que es un número irracional.
• Descubrió su desarrollo en serie infinita:
$$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dots$$
• Demostró  que la función exponencial \(f(x) = e^x\) es su propia derivada ( \(\frac{d}{dx} e^x = e^x\)). Esto significa que su tasa de cambio (pendiente) en un punto es exactamente igual a su valor en ese punto.
• Creó la llamada Identidad de Euler, \(e^{i\pi} + 1 = 0\), es considerada la ecuación más bella de las matemáticas porque conecta cinco de los números más importantes.

A diferencia de los números racionales o incluso de algunos irracionales como \(\sqrt{2}\) (que es solución de \(x^2 - 2 = 0\)), \(e\) es un número trascendente. Esto implica que no existe ningún polinomio:

\[ a_n e^n + a_{n-1} e^{n-1} + \dots + a_1 e + a_0 = 0 \]

donde los coeficientes \(a_i\) sean números enteros. En 1873, Charles Hermite (1822–1901) publicó la primera demostración de la trascendencia de \(e\). Su método se basó en el análisis de una forma específica de aproximación racional (conocida hoy como aproximantes de Padé) y el uso de identidades integrales para demostrar que \(e\) escapa a cualquier estructura algebraica finita.

Un dato curioso es que  Hermite demostró la trascendencia de  \(e\), pero confesó que no tenía el valor de intentar lo mismo con  \(\pi\) 

Tras la demostración de Hermite, el matemático Ferdinand von Lindemann (1852–1939) llevó el método un paso más allá y en 1882, demostró que \(\pi\) también es trascendente. Su demostración cerró definitivamente un enigma de más de 2,000 años: la cuadratura del círculo. Al probar que \(\pi\) es trascendente, demostró matemáticamente que es imposible construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado utilizando únicamente regla y compás.

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Elementos de Euclides

 

Tras la caída de Atenas en el año 338 a. C. (luego de la batalla de Queronea), Filipo de Macedonia consolidó su poder sobre Grecia y trazó ambiciosos planes para conquistar el Asia Menor, entonces dominada por los persas. Sin embargo, la muerte sorprendió a Filipo en el año 336 a. C., dejando el proyecto en manos de su hijo.

Alejandro Magno retomó estos propósitos como una herencia política, edificando en apenas una década un imperio colosal que abarcó regiones del sudeste europeo, Asia Central, la India y Egipto. Aunque el imperio se dividió entre sus generales tras su muerte en el 323 a. C., el proceso dejó una huella imborrable: la expansión acelerada de la cultura griega, dando paso al helenismo. Este fenómeno fue impulsado por el propio Alejandro, quien se forjó bajo la tutoría de Aristóteles.

En el año 331 a. C., en este contexto de expansión cultural y militar, fue fundada Alejandría de Egipto en la desembocadura del río Nilo. Su céntrica posición geográfica favoreció un notable florecimiento económico, científico y cultural. Con el apoyo del Estado, se fundó el Museo (recinto de las Musas), un complejo científico-docente que comprendía un observatorio astronómico, jardín botánico, zoológico y la gran biblioteca. Durante el reinado de Ptolomeo I Sóter (323 – 283 a. C.), Euclides halló en el Museo el entorno y los recursos ideales para establecer una escuela matemática. Bajo este amparo institucional, logró llevar a cabo su gran proyecto: sistematizar de forma lógica todo el conocimiento matemático de su tiempo. 

 

Euclides de Alejandría (325-265 a. C.) 

Pese a ser uno de los nombres más citados en la historia de la ciencia, Euclides de Alejandría (aprox. 325 a.C. - 265 a.C.) es, paradójicamente, un personaje rodeado de misterio. Se sabe muy poco sobre su vida personal, pero su legado intelectual es la base sobre la cual se construyó el pensamiento lógico occidental. Fue el líder de un equipo de matemáticos en el famoso Museo de Alejandría, la institución educativa y de investigación más importante de la antigüedad. Se cree que se formó en Atenas, posiblemente en la Academia fundada por Platón, de donde extrajo el rigor lógico que aplicaría a sus obras. Las anécdotas lo describen como un hombre de gran paciencia y honestidad. Se cuenta que cuando el rey Ptolomeo le preguntó si había un camino más corto para aprender geometría que sus libros, Euclides respondió: "No hay un camino real hacia la geometría".

Su obra cumbre, los Elementos, es considerada uno de los textos más influyentes en la historia de la humanidad. En ella, Euclides organizó los conocimientos matemáticos dispersos de su tiempo bajo un sistema lógico riguroso basado en definiciones, axiomas y postulados. Además de los Elementos, Euclides realizó contribuciones fundamentales en otros campos que a menudo se pasan por alto:

•  Óptica: Escribió el primer tratado sobre el tema, estudiando cómo viaja la luz y estableciendo las leyes de la reflexión.
• Catóptrica: Centrada en la teoría matemática de los espejos.
•  Fenómenos: Un tratado sobre astronomía esférica, utilizado para entender el movimiento de los astros.
• Datos: Un manual que sirve como guía para la resolución de problemas geométricos mediante el análisis.

La importancia de Euclides es difícil de exagerar. Los Elementos han sido, después de la Biblia, el libro con más ediciones y traducciones de la historia.

• Modelo de Verdad: Durante más de 2,000 años, la "Geometría Euclidiana" fue considerada la única descripción posible del espacio físico.
• Entrenamiento Mental: En el Renacimiento y la llustración, estudiar a Euclides no era solo para matemáticos; era la forma en que filósofos, abogados y políticos aprendían a pensar de forma lógica y estructurada.
• Base de la Física: Sin la sistematización de Euclides, los trabajos de científicos posteriores como Isaac Newton o Johannes Kepler no habrían tenido un lenguaje formal sobre el cual sostenerse. 

Albert Einstein afirmó:   

"Si Euclides no pudo encender tu entusiasmo juvenil, entonces no naciste para ser un hombre de ciencia"

Fragmento de la proposición 5 del Libro II de  Elementos, datado entre el 75 y el 125 a.C., hallado entre 1896 y 1897 en  el yacimiento de Oxirrinco, Egipto. 

 Los trece libros de Elementos

Como ya hemos apuntado anteriormente, Elementos representan una de las cumbres del pensamiento científico universal. Su objetivo no era recopilar cada hallazgo matemático de la época, sino estructurar los fundamentos esenciales que todo estudiante debía dominar. En este sentido, la obra actúa como un mapa de las matemáticas elementales organizada en los siguientes trece libros o capítulos:

I. Geometría Plana (Libros I - IV)

• Libro I: Fundamentos. Definiciones, postulados y nociones comunes. Culmina con el Teorema de Pitágoras.
• Libro II: Álgebra geométrica. Transformación de áreas y relaciones entre rectángulos y cuadrados.
• Libro III: Geometría del círculo. Propiedades de cuerdas, tangentes y ángulos.
• Libro IV: Construcción de figuras regulares inscritas y circunscritas en círculos.

II. Teoría de Proporciones (Libros V - VI)

• Libro V: Teoría abstracta de las proporciones para magnitudes conmensurables e inconmensurables.
• Libro VI: Aplicación de proporciones a la geometría plana: Semejanza de figuras.

III. Aritmética / Teoría de Números (Libros VII - IX)

• Libro VII: Propiedades de los números enteros, MCD y el Algoritmo de Euclides.
• Libro VIII: Proporciones continuas y progresiones geométricas entre números.
• Libro IX: Infinitud de los números primos y propiedades de los números pares e impares.

IV. Magnitudes Irracionales (Libro X)

• Libro X: Clasificación de magnitudes inconmensurables (raíces cuadradas y su aritmética).

V. Geometría Sólida (Libros XI - XIII)

• Libro XI: Geometría en tres dimensiones. Rectas y planos en el espacio.
• Libro XII: Cálculo de volúmenes mediante el método de exhausción (pirámides, conos y cilindros).
• Libro XIII: Clasificación y construcción de los cinco Sólidos Platónicos.

Postulados y axiomas.

Primera edición impresa, 1482

Para comprender cómo Euclides erigió el edificio de la matemática occidental, es necesario asomarse a los cimientos de su lógica: el método axiomático. En el Libro I de los Elementos, Euclides no comienza con cálculos complejos, sino con una declaración de principios fundamentales que no requieren demostración. Estos se dividen en dos categorías: las Nociones Comunes o axiomas, que son verdades lógicas aplicables a cualquier ciencia, y los Postulados, que son peticiones específicas de la geometría. Este conjunto de reglas mínimas constituye el punto de partida absoluto desde el cual, mediante el puro razonamiento deductivo, se derivan todas las verdades matemáticas subsiguientes, garantizando que si la base es sólida, la conclusión será irrefutable. 

 Los 5 axiomas o Nociones Comunes

1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
2. Si a iguales se añaden iguales, los totales son iguales.
3. Si a iguales se quitan iguales, los restos son iguales.
4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
5. El todo es mayor que la parte.

Los 5 Postulados

1. Se puede trazar una línea recta desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera.
2. Una línea recta finita puede prolongarse continuamente.
3. Se puede describir un círculo con cualquier centro y radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. El Postulado de las Paralelas: Si dos rectas de un plano son cortadas por una tercera y si la suma de los ángulos interiores, que se forman de un mismo lado de la recta es menor que dos rectos, entonces las dos primeras rectas, al ser prolongadas convenientemente, se cortan del
   mismo lado donde esto tiene lugar.

 De entre todas las premisas euclidianas, el Quinto Postulado, también conocido como el Postulado de las Paralelas, destaca como el enunciado más célebre y controvertido en la historia de la ciencia. A diferencia de los cuatro anteriores, cuya sencillez los hacía parecer evidentes por sí mismos, este postulado posee una redacción más compleja y menos intuitiva, lo que llevó durante  veinte siglos de matemáticos a intentar demostrarlo como un teorema derivado en lugar de aceptarlo como una verdad absoluta. Esta persistente sospecha de que el Quinto Postulado era "diferente" no solo refinó el rigor lógico de la época, sino que finalmente actuó como el catalizador que, ya en el siglo XIX, permitió el nacimiento de las geometrías no euclidianas, transformando para siempre nuestra comprensión de la curvatura del universo y el espacio-tiempo. 

 Resumen

Las principales tendencias de todo el período anterior alcanzaron su punto culminante en el proyecto enciclopédico llevado a cabo por Euclides en su obra Elementos. Fiel a los preceptos platónicos más ortodoxos, y armado con los éxitos de la lógica Aristotélica y su teoría para la construcción de una ciencia deductiva.  En Elementos se funden grandes masas de conocimientos matemáticos bajo un único punto de vista, la deducción rigurosa a partir de un grupo reducido de verdades inicialmente aceptadas (axiomas y postulados).

El gran aporte metodológico de Euclides fue: el Método Axiomático o Postulacional, que perduró como modelo de construcción rigurosa de una ciencia hasta el siglo XIX. 

• Trece libros de los cuales los seis primeros están dedicados a la Planimetría e incluyen la Teoría de Proporciones, del séptimo al noveno se condensa la Teoría de Números, el décimo recoge los estudios sobre clasificación de irracionalidades cuadráticas y los últimos tres libros se dedican a la Estereometría, particularmente en el duodécimo recoge el método de Exhaución.
• Se parte de cinco axiomas que introducen las relaciones entre igualdad o desigualdad de magnitudes y cinco postulados que garantizan la posibilidad de realizar las construcciones geométricas.
• 119 definiciones, que por regla general son de tipo descriptivo y comprensibles al relacionarlas con los objetos reales que históricamente las originaron.
•  465 proposiciones demostradas por el Método Sintético bajo el clásico esquema: formulación de la proposición, exposición de un dibujo auxiliar, determinación de lo buscado según el dibujo, construcción de líneas auxiliares, demostración y conclusiones sobre lo demostrado y de como esto resuelve adecuadamente la proposición.
• Todo expuesto según el Álgebra Geométrica, que hemos tratado en un post anterior. La regla y el compás como únicos instrumentos admitidos para las construcciones geométricas. Sin estudio de secciones cónicas u otro tipo de curvas.

 

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