"Sobre Espirales" de Arquímedes y el cálculo de tangentes

En "Sobre Espirales", Arquímedes define su espiral como composición de dos movimientos uniformes, uno rectilíneo y otro circular (Definición 1).

"Si una línea recta que permanece fija en un extremo, se la hace girar en el plano con velocidad constante y, al mismo tiempo, se mueve un punto sobre la recta con velocidad constante comenzando por el extremo fijo, el punto describe en el plano una espiral."

El libro contiene 28 proposiciones distribuidas de la manera siguiente: de la 1 a la 11 son resultados preliminares, de la 13 a la 20 se estudian las tangentes a la espiral y de la 21 a la 28 áreas delimitadas por segmentos de recta y trozos de la espiral. El objetivo del trabajo era el estudio de la espiral como medio para el cálculo del perímetro de la circunferencia y la resolución de  problemas clásico de la matemática griega como la cuadratura del círculo y la  trisección del ángulo. El siguiente problema (relacionado con la proposición 20) es un ejemplo del  talento creativo de Arquímedes y uno de los primeros antecedentes del cálculo diferencial.

 

Hallar la tangente a la espiral e en el punto A. 

1. El método consiste en encontrar la magnitud de la subtangente OC (determinar C).
2. El ángulo AOC es recto, consideremos ahora el triángulo diferencial ABD formado por el incremento en el radio vector (DB), el arco de circunferencia DA y el segmento AB de la tangente.
3. Los ángulos DAB y OCA son iguales, luego los triángulos DBA y AOC son aproximadamente semejantes.
4. Entonces OC/OA = DA/DB, es decir OC/ρ = ρ (Δθ/Δρ)  y por tanto OC = ρ².