El sistema de numeración Inca. El Quipu

El Imperio Inca

La civilización inca fue un enorme imperio  que se extendió a lo largo de la costa del Pacífico de América del Sur, alcanzando su máximo apogeo entre los años 1438 y 1532.  Su extensión fue tal que abarcó regiones de los que hoy comprenden partes de Colombia, Ecuador, Perú, Bolivia, Chile y Argentina.

El nombre oficial del imperio en quechua era Tahuantinsuyo (o Tawantinsuyu), que significa literalmente "Las cuatro regiones unidas entre sí". El Tahuantinsuyo se dividía en los cuatro Suyus, que eran las cuatro grandes regiones o divisiones territoriales que componían el Imperio Inca. El centro neurálgico, político y religioso de estos cuatro suyus era la ciudad del Cusco, la "columna vertebral" desde donde se dividía el mundo incaico.

Cada Suyo estaba dirigido por un gobernador de la máxima confianza del Inca, llamado Suyuyuc Apu (o Apocuna), quien usualmente era un pariente directo del monarca. Estos cuatro gobernantes formaban el Consejo Imperial, una especie de gabinete de ministros que asesoraba directamente al Inca en las decisiones más importantes del imperio. Todo este gigantesco territorio estaba perfectamente conectado gracias al Qhapaq Ñan (el Camino Inca), que permitía a los mensajeros (chasquis) llevar información e instrucciones desde el Cusco hacia cualquiera de los cuatro suyus en tiempo récord. 

Los cuatro suyus estaban distribuidos de la manera siguiente:

1. Chinchaysuyo (Norte / Noroeste). El más poblado, rico e importante a nivel económico. Se extendía por la costa y sierra de Perú, Ecuador y el sur de Colombia. Era famoso por su agricultura y el comercio de la concha Spondylus.
2. Collasuyo (Sur / Sureste). El más extenso territorialmente. Ocupaba el altiplano boliviano, el norte de Chile y el noroeste de Argentina. Era una zona clave para la ganadería de llamas y alpacas, y la minería.
3. Antisuyo (Este). Ubicado hacia la ceja de selva y la Amazonía (las montañas "Andes" toman su nombre de este suyo). Era una región difícil de conquistar, proveía al imperio de coca, frutas, plantas medicinales y plumas.
4. Contisuyo (Oeste / Suroeste). El más pequeño de los cuatro. Se extendía hacia la costa sur del Perú, caracterizado por ser una región desértica pero con valles fértiles y una fuerte actividad pesquera.

Los Quipus y el Quipucamayoc

Aunque la escritura a menudo se ve   como un signo de civilización, o al menos como una necesidad para la burocracia a gran escala, el estado inca precolonial operaba ante la aparente ausencia de cualquier sistema de escritura capaz de expresar valores fonéticos. En su lugar, el medio principal para codificar información era un sistema de cuerdas anudadas de diferentes colores, conocido como quipus (palabra que significa nudo), cuyo propósito principal era registrar información numérica para ayudar en la administración del estado inca. Sobreviven entre 500 y 600 quipus incas, aunque no se pueden establecer procedencias precisas para la mayoría de ellos.

El  quipucamayoc (cuyo significado en quechua era responsable del quipu),    era un funcionario dentro de la administración y burocracia del Tahuantinsuyo, que tenía como principal función la interpretación y manejo de los quipus.  Se les ha equiparado a los contadores o tesoreros actuales.

El quipu esta formado por un  conjunto de cuerdas de algodón o lana de colores que consta de una cuerda principal (que va desde los 10 o 20 cm hasta varios metros de longitud) de la cual se suspenden múltiples cuerdas. Estas cuerdas portadoras de números se subdividen en: 

• Cuerda principal (CP), la más gruesa, de la que parten directa o indirectamente todas las demás.
• Cuerdas colgantes (CC), las que penden de la principal hacia abajo.
• Cuerdas superiores (CS), las que se enlazan a la principal, dirigidas hacia arriba. Una de sus utilidades era la de agrupar cuerdas colgantes. Otra, usada con frecuencia, era representar la suma de los números expresados en las cuerdas colgantes.
• Cuerda colgante final (CF), su extremo en forma de lazo, está unido y apretado al extremo de la cuerda principal. Esta cuerda no aparece en todos los quipus.
• Cuerdas secundarias o auxiliares (CA), se unen a otra que esta enlazada a la principal. Se les podía a su vez unir otra cuerda auxiliar. Se ataba a la mitad de la cuerda de la que precedía. 

 La designación de que las cuerdas colgantes penden hacia "abajo" y las cuerdas superiores hacia "arriba" es un artificio; aunque naturalmente cuelgan en lados opuestos de la cuerda principal, no sabemos cómo habrían estado orientadas. En los quipus numéricos, las cuerdas colgantes, superiores y subsidiarias pueden contener una frase-numeral o, más raramente, dos.

a) Nudo largo. Representa los números del 2 al 9 según el número de vueltas. b) Nudo en forma de 8. Representa la unidad, el 1. c) Nudo corto, simple o sencillo. Representaba las decenas, centenas, millares,...

Tres tipos diferentes de nudos codificaban las frases-numerales, como se ve en la Figura. Para codificar un valor en las decenas, centenas o potencias superiores, el hacedor de quipus ataba un número apropiado de nudos simples en línea. Sin embargo, para la potencia de las unidades, se utilizaban dos tipos diferentes de nudos. Para todas las unidades excepto el 1, la cuerda se enrollaba sobre sí misma un número apropiado de veces para el número que se expresaba; el "nudo largo" que se muestra en la Figura representa el 3. Debido a que un nudo largo no se puede hacer con menos de dos bucles, un valor de uno en la posición de las unidades requería el uso de un nudo diferente, un nudo en forma de 8. El uso de diferentes nudos podría parecer que resta valor a la naturaleza puramente posicional del sistema. Sin embargo, debido a que no hay un signo para el cero, esta técnica reducía en gran medida la posibilidad de malinterpretar una cuerda. Si una cuerda contenía seis nudos simples seguidos de dos nudos simples, no podía leerse como 62 sino solo como 620 (o posiblemente 6200). El uso de nudos largos o en forma de 8 en la posición de las unidades hace que sea mucho más fácil saber cuál es la posición de las unidades y, por lo tanto, identificar las posiciones subsiguientes.  

 El sistema utilizado para codificar información es acumulativo-posicional con una base de 10. En cada posición, el valor de esa potencia de 10 se codifica utilizando de uno a más nudos. No existe un signo para el cero; en su lugar, se dejaba un espacio en la cuerda en la posición vacía. La posición de las unidades es la que se encuentra más alejada de la cuerda principal (su extremo suelto), mientras que la potencia más alta se encuentra más cerca de la cuerda principal. Aunque teóricamente un quipu podría expresar cualquier número (porque el sistema es posicional), en la práctica, los números de cinco dígitos son los más altos registrados, y estos son poco frecuentes. A pesar de esta evidente estructura numérica, los quipus a menudo se confunden erróneamente con sistemas no estructurados que utilizan un nudo para un objeto. Los quipus contienen un sistema de notación numérica  posicional,  comparable con los numerales escritos en lugar de con simples marcas de conteo.

Los quipus eran una parte vital del sistema de registro inca; se empleaban en esta función para censos, registros de tributos y funciones administrativas similares. Al notar la frecuencia con la que la cuerda superior equivale a la suma de las cuerdas colgantes, se supone que tales quipus pudieron haber sido parte de un sistema de contabilidad de partida doble.

Los quipus debieron registrar alguna información no numérica; una lista de números puros es prácticamente inútil. De alguna manera, al menos la naturaleza de lo que se estaba contando debió registrarse de alguna forma. Lo más probable es que esto se hiciera con el color la cuerda, para dar contexto a los números. Aunque muchos significados exactos se perdieron tras la conquista, los cronistas españoles y las investigaciones actuales han logrado descifrar la simbología de los colores principales de la administración inca:

• Carmesí (Rojo encendido).    El Inca (el soberano), la realeza o asuntos del Estado.
• Rojo.    El ejército, los guerreros, soldados o asuntos militares.
• Amarillo.    El oro, la producción de este metal o temas relacionados.
• Blanco.    La plata, la paz o censos de población (como hombres solteros en ciertas regiones).
• Pardo / Marrón.     El gobierno, la administración pública o los territorios.
• Verde.    La conquista de nuevos territorios, pueblos vencidos o la agricultura.
• Negro.    El tiempo, los días transcurridos, el calendario o la vejez.
• Gris.    Acontecimientos de guerra o destrucción.
• Morado.    Los curacas (jefes o gobernantes locales).
• Azul.    El agua, los recursos hídricos o deidades del mar/ríos. 

 La cosa no se quedaba en colores puros. Los quipucamayocs (los expertos que leían y hacían los quipus) trenzaban hilos de diferentes colores para crear significados más complejos:

• Cuerdas de dos colores torcidas: Podían indicar una relación entre dos elementos (por ejemplo, si mezclaban celeste y blanco, en algunas zonas servía para registrar a los hombres casados con hijos).
• La clave dependía del tema: Un mismo color podía significar algo distinto si el quipu era militar, agrícola o un censo de población. El contexto lo gobernaba todo.

Aunque la exposición anterior pueda llevarnos a pensar que los quipus se han descifrado por completo, nada más lejos de la realidad. La existencia de otros tipos de nudos, aún sin descifrar, hace suponer que en los quipus se almacenaba otro tipo de información, como calendarios, datos topográficos, entre otros. Por ejemplo: 

Nudo de ojal, con cuatro variantes diferentes, cuyo significado es desconocido. Tampoco se conoce el significados del nudo con mechón de lana, entre otros.

  Los quipus por sí solos no pudieron haber sido utilizados para realizar cálculos aritméticos. Los quipus son aún menos dóciles a la manipulación física que los numerales escritos (que se pueden alinear y tachar). Sabemos, por documentos del siglo XVI, que los quipukamayuq eran responsables no solo de hacer y leer los quipus sino también de calcular los resultados, y que lo hacían utilizando un conjunto de fichas de piedra en una especie de ábaco llamado Yupana al cual dedicaremos un post. 

Representación de un quipucamayoc, según Felipe Guamán Poma de Ayala (aprox. 1535–1616) en su obra Primer nueva corónica y buen gobierno. El dibujo de la izquierda muestra a un contador inca con un quipu entre sus manos y la yupana, o ábaco incaico, aparece a la izquierda.

 

 

Babilonia, el ultimo eslabón de la preciencia matemática

Las matemáticas en Babilonia

Mucho antes de que Grecia sistematizara el pensamiento lógico, las llanuras de Mesopotamia se convirtieron en el primer gran "laboratorio de datos" de la humanidad. Gracias a la escritura cuneiforme, los babilonios no solo registraron transacciones, sino que desarrollaron un sofisticado sistema de numeración posicional en base 60. Esta flexibilidad sexagesimal les permitió dominar el cálculo de fracciones con una precisión asombrosa y crear complejas tablas de números para realizar operaciones fundamentales, extraer raíces cuadradas y registrar ternas pitagóricas  siglos antes del nacimiento de Pitágoras.

Este arsenal numérico no era mera curiosidad; era la herramienta principal para una geometría y astronomía aplicadas que les permitía predecir eclipses y delimitar terrenos con rigor matemático. En sus tablillas encontramos la resolución de ecuaciones lineales, de segundo grado y hasta algunas cúbicas, tratadas mediante algoritmos paso a paso que revelan una mente profundamente algebraica. Sin embargo, nos queda una pregunta fascinante: 

¿llegaron a realizar demostraciones formales o su saber era puramente empírico? 

Al explorar su legado, nos asomamos al último y más brillante peldaño de la matemática pre-científica, justo antes de que el rigor deductivo transformara este arte en la ciencia que conocemos hoy.

El sistema de numeración sexagesimal

 El sistema de numeración babilonio, desarrollado hacia el segundo milenio a.C., fue el primer sistema posicional de la historia, lo que significa que el valor de un símbolo dependía de su ubicación en la cifra. A diferencia de nuestro sistema decimal (base \(10\)), ellos utilizaban una base \(60\) (sexagesimal). Para escribir los números del \(1\) al \(59\), empleaban una combinación aditiva de solo dos marcas cuneiformes: un "clavo" (\(\curlyvee\)) para la unidad y la "cuña" hotizontal (\(\prec\)) para la decena.

La gran ventaja de la base \(60\) es su alta divisibilidad, ya que el \(60\) tiene doce divisores (\(1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\)), lo que facilitaba enormemente el cálculo con fracciones sexagesimales sin recurrir a infinitos decimales complejos. Al igual que hoy escribimos \(1.5\) para representar \(1 + \frac{5}{10}\), los babilonios usaban posiciones a la derecha para representar potencias inversas de sesenta: \(\frac{1}{60}, \quad \frac{1}{60^2}, \quad \frac{1}{60^3} \dots \).

El número 2026 en el sistema posicional babilonio se descompone como: \[2026= (33 \times 60^1) + (46 \times 60^0)= \, \prec\! \prec\! \prec\!\! \curlyvee \! \! \!\curlyvee\!\! \! \curlyvee \;\begin{array}{c} \prec\!\prec\!\curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \prec\!\prec\!\curlyvee\! \!\curlyvee\!\! \curlyvee \end{array} \] y en la tablilla de un escriba, veríamos esos dos grupos de símbolos separados por un espacio.Note que si cambiamos de orden los dos grupos de símbolos, entonces:

\[\begin{array}{c}\prec\!\prec\!\curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \prec\!\prec\!\curlyvee\! \!\curlyvee\!\! \curlyvee \end{array} \; \prec\! \prec\! \prec\! \curlyvee \!\curlyvee\!\! \curlyvee \, = (46 \times 60^1) + (33 \times 60^0)=2793. \]

Lograron así una precisión asombrosa en mediciones astronómicas y arquitectónicas. Sin embargo, el sistema presentaba un desafío técnico: durante la mayor parte de su historia carecieron de un símbolo para el cero. Esto generaba ambigüedad, pues el mismo signo podía representar: \(1, \quad 60, \quad \text{o} \quad \frac{1}{60} \) según el contexto. Aunque más tarde introdujeron una marca para indicar un espacio vacío, el sistema babilónico dependía mucho de la interpretación del escriba, funcionando más como una herramienta de cálculo experta que como un lenguaje matemático universal. 

 La aritmética en Babilonia

 Aunque aquí utilizaremos los símbolos habituales para las operaciones aritméticas, los escribas no tenía símbolos para las mismas. 

 Suma y Resta. Como su sistema era aditivo (clavos para unidades, cuñas para decenas), simplemente agrupaban los símbolos. Si superaban 60 en una posición, realizaban un "desplazamiento" hacia la izquierda, igual que hacemos nosotros en base 10. Por ejemplo:

\[ \begin{aligned} 40+25= & \begin{array}{c} \prec\!\prec\\[-.5em] \prec\!\prec \end{array} + \begin{array}{l} \prec\!\curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \prec\,\curlyvee\! \curlyvee \end{array} = \curlyvee \;\; \begin{array}{c} \curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \curlyvee\! \curlyvee \end{array} . \\ 40-25=& \begin{array}{c} \prec\!\prec\\[-.5em] \prec\!\prec \end{array} - \begin{array}{l} \prec\!\curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \prec\,\curlyvee\! \curlyvee \end{array} = \; \prec \! \! \! \! \begin{array}{c} \curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \curlyvee\! \curlyvee \end{array} . \end{aligned} \] 

Multiplicación. Normalmente dependían de tablas precalculadas, pero para números grandes usaban propiedades distributivas o identidades conocidas. Una de sus técnicas favoritas para multiplicar era aprovechar la diferencia de cuadrados:

\[ ab = \frac{(a+b)^2 - a^2 - b^2}{2} \]

Al tener tablas de cuadrados, este método les permitía obtener productos complejos mediante restas y divisiones por 2 (que era una operación trivial para ellos).

División. Esta operación consistía en multiplicar por el recíproco. Los babilonios no dividían; buscaban el recíproco en tablillas. Si querían dividir entre \(x\), buscaban \(1/x\) en su tabla y multiplicaban. Solo tenían recíprocos exactos para los llamados "números regulares" (aquellos cuyos factores primos eran 2, 3 o 5).

 Raíces Cuadradas. El método utilizado era iterativo. Por ejemplo para hallar \(\sqrt{n}\), usaban un método iterativo que promediaba una aproximación inicial \(x\) con \(n/x\):

\[ x_{nuevo} = \frac{x + \frac{n}{x}}{2} \]

Repitiendo este proceso, lograban una precisión asombrosa, como se evidencia en la tablilla YBC 7289.

La casa de las tablillas (Edubba)

Para los babilonios, la casa de las tablillas (Edubba) era  una especie de centro de cálculo integrado por tres pilares: el escriba (la unidad de procesamientol), la tablilla de arcilla (la unidad de almacenamiento) y el sistema sexagesimal (el lenguaje de programación). 

1. El centro de toda operación intelectual era el escriba (Tupsarru). Estos profesionales se formaban en la Edubba (la "Casa de las Tablillas"), que funcionaba como una mezcla de universidad y centro de computación. No solo escribían; eran algoritmos humanos. Eran capaces de resolver problemas que hoy clasificaríamos como álgebra cuadrática o cálculos de interés compuesto.
2.  Si comparamos con la actualidad, las tablillas eran sus discos duros. Tenían "archivos" para todo. En lugar de calcular cada vez, consultaban tablillas con listas de recíprocos, cuadrados, cubos y multiplicaciones. Esto agilizaba el trabajo, tal como una memoria caché.  Llevaban un control estricto de raciones, tierras y movimientos astronómicos.
3.  Su "lenguaje de programación" era la base 60, que hemos descrito anteriormente. 

En resumen, la casa de las tablillas era el área administrativa donde los escribas: 

• Recibían inputs: Datos sobre la cosecha o la posición de Venus.
• Procesaban: Usaban tablas de multiplicar y métodos algorítmicos (paso a paso).
• Generaban outputs: Un informe en arcilla que determinaba cuánta semilla se entregaría o cuándo sería el próximo eclipse.

 

Evidencias de una ciencia milenaria en tres tablillas

 

I.- La tablilla Plimpton 322 es una pieza arqueológica excepcional de la antigua Mesopotamia, grabada en arcilla entre los años 1822 y 1762 a. C. en la ciudad de Larsa (actual Irak). Fue descubierta a principios del siglo XX por el anticuario Edgar James Banks y posteriormente adquirida por el coleccionista George Arthur Plimpton, quien la donó en 1936 a la Universidad de Columbia en Nueva York, donde se custodia actualmente en su Biblioteca de Libros y Manuscritos Raros.

El contenido de la tableta consiste en una tabla de cuatro columnas y quince filas de números escritos en escritura cuneiforme bajo un sistema sexagesimal (base 60). Lo que la hace célebre es que contiene una lista de ternas pitagóricas, es decir, conjuntos de números que cumplen con la relación \(a^2 + b^2 = c^2\). Esto demuestra que los babilonios manejaban conceptos geométricos y algebraicos avanzados más de mil años antes de que el matemático griego Pitágoras formalizara su famoso teorema.

Aunque su interpretación exacta sigue siendo motivo de debate entre los historiadores, se cree que la tableta no era un simple registro contable, sino una herramienta educativa o una tabla trigonométrica primitiva. Su estructura sugiere que era utilizada por escribas para calcular las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo, lo que la convierte en uno de los documentos matemáticos más sofisticados de la antigüedad. 

II.- La tablilla YBC 7289 es un pequeño disco de arcilla del periodo paleo-babilónico (aprox. 1800-1600 a. C.) que representa uno de los logros matemáticos más impresionantes de la antigüedad. Fue descubierta a principios del siglo XX y actualmente se custodia en la Colección Babilónica de la Universidad de Yale (de ahí sus siglas Yale Babylonian Collection) en New Haven, Estados Unidos. Su importancia radica en que muestra un cuadrado con sus dos diagonales trazadas y números grabados en escritura cuneiforme que revelan un cálculo de precisión asombrosa para su época.

El contenido de la tablilla es una aproximación extremadamente exacta de la raíz cuadrada de dos (\(\sqrt{2}\)), expresada en el sistema sexagesimal (base 60). Los escribas babilónicos calcularon este valor con una precisión equivalente a seis decimales modernos, lo que demuestra que no solo conocían la relación entre los lados de un cuadrado y su diagonal mucho antes que Pitágoras, sino que también habían desarrollado métodos iterativos para extraer raíces cuadradas. Es considerada la prueba definitiva de la sofisticación de la geometría y la aritmética babilónicas en el mundo antiguo. 

 

III.- La tablilla Si.427 es un artefacto de arcilla del periodo paleo-babilónico (aprox. 1900-1600 a. C.) que representa el ejemplo más antiguo conocido de geometría aplicada a la topografía. Fue descubierta en 1894 por una expedición francesa en la antigua ciudad de Sippar (actual Irak). Durante décadas permaneció en el Museo Arqueológico de Estambul, en Turquía, hasta que investigaciones publicadas en 2021 revelaron su verdadero propósito como un documento catastral de alta precisión.

El contenido de la tablilla detalla la partición de un terreno tras su venta, utilizando un plano con límites precisos de parcelas. Lo que la hace históricamente única es el uso de ternas pitagóricas (como \(3, 4, 5\)) para trazar ángulos rectos perfectos en los linderos del campo. Este hallazgo demuestra que los babilonios no solo conocían la relación \(a^2 + b^2 = c^2\) siglos antes que Pitágoras, sino que la utilizaban de forma práctica para resolver disputas legales sobre la propiedad de la tierra mediante la agrimensura.

 

¿Hubo demostraciones?

Aunque no tenemos evidencia de "teoremas" con la estructura griega de Hipótesis -> Tesis -> Demostración, los babilonios poseían un pensamiento algorítmico. Sus textos dictaban: "Haz esto, luego aquello, y obtendrás el resultado". Este enfoque práctico fue la base necesaria para que la matemática pasara de ser una herramienta administrativa a una ciencia teórica.

De hecho, la historia de la matemática no es una serie de eventos aislados, sino un relevo de sabiduría a través del Mediterráneo. No es casualidad que los grandes padres del pensamiento griego —figuras como Tales de Mileto, Pitágoras o incluso el propio Demócrito— fueran incansables viajeros que recorrieron estas tierras. Al caminar por los zigurats y consultar las bibliotecas de tablillas, estos sabios "bebieron de las fuentes" del conocimiento caldeo y babilonio. Fue allí donde probablemente aprendieron los secretos de los triángulos, la astronomía y las proporciones que más tarde formalizarían en sus propias escuelas. Al absorber ese pensamiento algorítmico de Oriente, pudieron transformarlo en la lógica deductiva que hoy define nuestra ciencia.

Así, la elegancia de los primeros  teorema griegos no es más que el perfeccionamiento de una receta babilónica que ya funcionaba miles de años antes.

 

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Aritmética con números romanos

En matemáticas, la relación entre forma y contenido es una danza simbiótica  entre el lenguaje simbólico y el significado conceptual. La forma se refiere al formalismo, la sintaxis y las reglas estructurales (como la notación numérica), mientras que el contenido representa las ideas, las estructuras lógicas y las realidades abstractas que esos símbolos intentan describir. La forma da rigor, sin una estructura formal precisa, las ideas matemáticas serían ambiguas y difíciles de comunicar o verificar. El contenido ofrece propósito, un conjunto de símbolos sin una interpretación lógica o aplicaciones espaciales/numéricas sería un juego vacío de reglas. Con frecuencia, un cambio en la forma revela nuevas facetas del contenido, permitiendo resolver problemas que antes parecían imposibles. 

La comparación entre la notación indo-arábiga y la romana es el ejemplo perfecto de cómo la forma condiciona drásticamente la manejabilidad del contenido. Mientras que el contenido (el valor numérico en sí) permanece inmutable, la estructura formal de cada sistema determina qué tan lejos puede llegar el pensamiento matemático. Recordemos los procedimientos que utilizamos para realizar las 4 operaciones aritméticas básicas y comparémoslos con los procedimientos que se describen más adelante. Los números son los mismos en uno y otro sistema, lo que es diferente es la simbología con la que los denotamos.

La siguiente reflexión de uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempo, refleja el propósito de esta publicación. 

 "Fue la India la que nos brindó el ingenioso método de expresar todos los números mediante diez símbolos, cada uno de los cuales recibía un valor de posición, así como un valor absoluto; una idea profunda e importante que ahora nos parece tan simple que ignoramos su verdadero mérito. Pero su misma simplicidad y la gran facilidad que ha proporcionado a los cálculos colocan nuestra aritmética en el primer puesto de los inventos útiles; y apreciaremos aún más la grandeza de este logro cuando recordemos que escapó al genio de Arquímedes y Apolonio, dos de los hombres más grandes de la antigüedad."

 Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

La nomenclatura numérica romana.

Aunque generalmente la escritura numérica en notación romana es conocida, comenzaremos por recordarla. Básicamente es un sistema de notación numérica alfabético no posicional. Los valores asignados a ciertas letras son los siguientes:  

$$I=1, \,V=5, \, X=10, \, L=50, \,C=100, \,D=500 \; \text{ y } \;M=1000.$$

Los romanos no tenía símbolos para números mayores que 100, aunque en épocas más recientes se comenzó a utilizar una barra encima para denotar la cantidad representada por la letra multiplicada por 1000, por ejemplo $$\overline{V}= 5\,000.\; \overline{X}= 10\,000 \; \text{ y } \;\overline{C}= 100\,000. $$

La notación de cada número se regía por las siguiente reglas:

1. Si se escribe un número menor delante de otro mayor, significa que el segundo se le está restando el primero. Por ejemplo, XL=40, es decir 50-10=40.
2. Por el contrario si se escribe un numero mayor seguido de un número menor, se entiende que se están sumando. Por ejemplo, LX=60, es decir 50+10=60.
3. Símbolos iguales se pueden utilizar de hora consecutiva hasta  un máximo de tres veces. Por ejemplo, XXX=30.
4. No es posible restarle a un número, otro que sea menor que un décimo del valor del primero.  Por ejemplo, 99 se escribe XCIX y no IC.

Suma de números romanos.

La suma de números en nomenclatura romana se rige por la siguiente sucesión de indicaciones, que ejemplificamos realizando la suma de 145=CXLV más 79=LXXIX, la que en notación indo-arábiga es 224= CCXXIV:

$$\begin{array}{rr} & 145 \\ + & 79 \\ \hline & 224 \end{array}\\ \begin{array}{rcll} CXLV + LXXIX & = & CXXXXV+LXXVIIII & \text{1.- Convertir todas la diferencias en sumas.} \\ & = & CXXXXVLXXVIIII & \text{2.- Adjuntar las dos listas de simbolos.} \\ &= & CLXXXXXXVVIIII & \text{3.- Ordenar en forma decreciente los simbolos.} \\ & & & \text{4.- Hacer sumas internas de derecha a izquierda.} \\ &= &CLXXXXXXXIIII & \; \; \;\text{4.1.-Sustituir VV por X.} \\ &= &CLLXXIIII & \; \; \; \text{4.2.-Sustituir XXXXXXX por LXX.} \\ &= & CCXXIIII & \; \; \; \text{4.3.- Sustituir LL por C.} \\ & & & \text{5.- Convertir a resta o suma donde sea necesario.} \\ & = & CCXXIV & \; \; \;\text{Sustituir IIII en IV.} \\ \end{array}$$ 

Diferencia de de números romanos. 

 La diferencia de números romanos es algo más simple que la suma. Ejemplificaremos con la diferencia 145-79=66=LXVI. $$\begin{array}{rcll} CXLV - LXXIX & = & CXXXXV-LXXVIIII & \text{1.- Convertir todas la diferencias en sumas.} \\ &  & & \text{2.- Eliminar  los símbolos comunes a ambos números.} \\ &= &  CXX-LIIII &\; \; \;\text{2.1.- Eliminar  XX y V en ambos.} \\  &= &   LLXX-LIIII&\; \; \;\text{2.1.- Como L es el mayor símbolo de segundo valor,} \\  &= &   LXX-IIII &\; \; \;\text{expandimos C y eliminamos la L repetida.} \\  &= &   LXIIIIIIIIII-IIII&\; \; \;\text{2.3._ Siguiendo el procedimiento, expandimos X,} \\  &= &   LXIIIIII &\; \; \;\text{ y eliminamos las IIII repetidas.} \\  & & & \text{3.- Convertir a resta o suma donde sea necesario.} \\ & = & LXVI & \; \; \;\text{Sustituir IIIIII por VI.} \\\end{array}$$ 

Producto de números romanos.

El producto de números en notación romana es una operación mucho más compleja que las dos anteriores. Podemos pensar que el producto no es más que sumas sucesivas, pero esto es muy engorroso si tratamos con números grandes. El procedimiento que sigue, asume que dado un número romano, sabemos calcular la parte entera de su mitad (que por simplificar llamaremos mitad) y su  buplo. Como ejemplo realizaremos el producto de 57 * 21=1197, en números romanos LVII * XXI= MCXCVII.

1.- Construir la tabla de mitades y duplos.

Mitades		Duplos
LVII	(57)	XXI	(21)
XXVIII	(28)	XLII	(42)
XIV	(14)	LXXXIV	(84)
VII	(7)	CLXVIII	(168)
III	(3)	CCCXXXVI	(336)
I	(1)	DCLXXII	(672)

2.- Eliminar las filas donde las mitades son pares.

Mitades		Duplos
LVII	(57)	XXI	(21)
VII	(7)	CLXVIII	(168)
III	(3)	CCCXXXVI	(336)
I	(1)	DCLXXII	(672)

3.- Sumar los números que han quedado en la columna de la derecha, siguiendo el procedimiento de suma que hemos visto anteriormente.$$XXI+CLXVIII+CCCXXXVI+DCLXXII=MCXCVII.$$

La realización de esta operación paso a paso, según el procedimiento de suma visto anteriormente, se  deja al lector como ejercicio de reafirmación de dicho procedimiento. 

Cociente de números romanos.

El cociente de números romanos es la operación aritmética con mayores dificultades, ya que no existen reglas generales para poder calcularla. 

• Si la diferencia entre los números a dividir no era  significativamente grande, lo que se hacía era restar al dividendo el divisor reiteradamente hasta llegar a un número menor que el divisor (el resto). La cantidad de veces que hayamos restado será la división. Por ejemplo, para realizar la división  $$\frac{145}{57}=\frac{CXLV}{LVII},$$ lo que hacemos son las restas sucesivas:$$CXLV-LVII=LXXXVIII\;\; (88) , \;\;\;\; LXXXVIII-LVII=XXXI\;\; (31), \;\;\;\; XXXI<LVII$$
  Cociente II=2, pues hemos restado dos veces y resto XXXI. La realización de las dos diferencias anteriores, según el procedimiento para diferencias visto anteriormente, se  deja al lector como ejercicio.
• Otra variante consistía en previamente buscar factores comunes a dividendo y divisor, simplificar los dos números y aplicar el procedimientos anterior a los números simplificados que serían mucho menores. 

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Nota: Sugerimos al lector consultar en este blog el artículo El Sistema de Numeración MAYA.

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El Sistema de Numeración MAYA

Los mayas constituyeron una de las civilizaciones más antiguas de la humanidad. Poseedores de un cultura milenaria, emigraron desde el norte de México a la península de Yucatán hace aproximadamente dos mil años y allí hicieron poco a poco su sistema de vida. Edificaron enormes ciudades de piedra y su actividad económica fundamental fue la agricultura, especialmente la cosecha de maíz, que combinaron con la caza, la pesca y una alfarería desarrollada. Junto a cada edificación eran talladas en piedra las efigies de los gobernantes y las efemérides de su construcción. Hacia fines del siglo IX descubrieron la confección de papel a partir de la corteza de árboles y comenzaron a registrar sus historias en hojas plegables de aproximadamente unos veinte centímetros de ancho por cuatro metros de largo.

Como en otras culturas, cuando el hombre aprendió a sembrar y mantener animales que se reproducían en determinados periodos del año, le fue preciso hacer una observación cuidadosa de las distintas estaciones. Esto motivo la necesidad de dejar los números apuntados de manera permanente, pues anteriormente el empleo de estos para contar presas o miembros de la tribu, no exigía que quedara una nota duradera de la cuenta. Por esta razón varios de los sistemas numéricos de nuestros antepasados están estrechamente relacionados con sus calendarios y los mayas no fueron una excepción.

Desde el comienzo de esta civilización, pudo apreciarse la separación de un grupo de sacerdotes y astrónomos, cuya función social era la de estudiar y custodiar el calendario. Particular importancia parecía tener la predicción de eclipses solares, la determinación de las fases de la luna y la duración del año. Especial interés despertó en los mayas el estudio de las apariciones del lucero del alba (Venus) y como testimonio de esto ha llegado hasta nuestros días el Códice de Dresde (Codex Dresdensis), uno de los pocos manuscritos mayas que logro sobrevivir al fuego de los conquistadores, en el se plasman efemérides del planeta Venus calculadas con una precisión de hasta una hora de error para 500 años, además se especifican las fechas de su aparición y desaparición en los tres tipos de calendarios que usaban: el Calendario Solar ( constituido por un año de 365 días de duración, compartidos en 18 meses de 20 días a los que se agregan 5 días funestos), el calendario sagrado (con un año de 260 días) y el calendario largo (con los días desde la creación del mundo que según la tradición mayas estaba fijada alrededor del 13 de Agosto del año 3113 a.C.). En la imagen puede apreciarse un fragmento de una reproducción actual de Códice de Dresde, donde aparecen inscripciones numéricas.

Los Mayas desarrollaron su escritura numérica jeroglífica, o sea con símbolos propios para los números. Primeramente utilizaron un sistema numérico no decimal, no posicional que tuvo poca trascendencia. En el emplearon el cero, pero no el principio del valor de los números por su posición; usando símbolos especiales para denotar las diferentes unidades. Era como si nosotros fuéramos a escribir en nuestro sistema el numero 460 como 4 centenas, 6 decenas y 0 unidades; que por supuesto es equivalente a decir 6 decenas, 0 unidades y 4 centenas; sin que el cambio de posición influya en el resultado final. Sistemas similares también se encuentran en los albores de otras civilizaciones.

El segundo sistema numérico, desarrollado por los calculadores del Calendario de esta Antigua Civilización de América Central fue introducido entre los siglos IV y III AC. con base 20, por lo que tampoco fue un sistema decimal. En el emplearon el principio de la posición y el cero, para el que tenían un símbolo parecido a una concha de mar en la forma

Además poseían los siguientes nueve ordenes de unidades:

Órdenes de unidades del sistema numérico Maya, sus equivalencias y notación.

Pero no fueron siempre consecuentes con la base 20, pues en tal caso los ordenes sucesivos serían 1, 20, 400 (20), 8 000 (20), etc. y no 1, 20, 360 (20 x 18), 7 200 (20 x 360), etc. como ocurrió en realidad. La inconsistencia del tercer orden de unidades revela el origen social de esta escritura numérica, estrechamente vinculada al calendario, ya que el numero de meses (18) por el numero de días de cada mes (20) es igual al numero de días del año solar (360) sin incluir los días funestos.

En el código Maya existían símbolos para los números del 1 al 19 con puntos y segmentos, cada punto valía una unidad de primer orden o kins y cada segmento valía 5 kins, de modo que:

Los restantes números se escribían en alineación vertical por bloques de acuerdo a los ordenes de unidades, en la parte inferior de la columna se situaban los kings, encima las uinals, después los tuns, etc.

La necesidad de utilizar un símbolo que denotara la nada, o sea, un símbolo para el cero; surge de la propia representación numérica, pues por ejemplo si para escribir 366 utilizaran el símbolo

no lo habrían podido diferenciar de 26, 420, 7260, 9360, etc. De que manera podían entonces distinguir este numero de los restantes. Existe una forma muy sencilla de resolver el problema que consiste en utilizar algún símbolo para denotar el lugar que queda vacío en la columna y para ello usaron el jeroglífico parecido a una concha de mar que vimos anteriormente. Con el cero, ahora los números citados se representan como:

Y así son perfectamente diferenciables unos de otros.

Existen evidencias de que los Mayas dominaron otras esferas del conocimiento matemático, baste mencionar la perfecta geometría de sus construcciones o la asombrosa precisión de sus cálculos astronómicos. Pero sobre que problemas geométricos se plantearon, como los resolvieron y de que forma realizaron sus cálculos, aun hoy se sabe muy poco.

Pirámide Maya (Templo de Kukulkán) en Chichén Itzá

A mediados del siglo XIV los mayas habían sido sometidos y sus ciudades devastadas; pero su cultura aun permanecía latente. Cuando los colonizadores se percataron de esto, desataron una feroz persecución, requisaron las antiguas escrituras y las llevaron a la hoguera. Ciento cincuenta años mas tarde los últimos reductos de supervivencia de la cultura maya fueron arrasados y sus miembros muertos o dispersados. Perdía así la humanidad uno de sus mas ricos patrimonios culturales en nombre de la "civilización" y el "progreso".

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El contenido de esta entrada está basado en los artículos:

• H. Pijeira, "Los números Mayas", Boletín de la Sociedad Cubana de Matemáticas y Computación, 2, (1984), La Habana, Cuba.
• H. Pijeira, "El sistema de numeración Maya", Universidad y Utopía, Sindicato de Trabajadores Académicos de la Universidad Autónoma Chapingo, 0, Año I (Abril-Junio), (1994), México.