¿Puede la inteligencia artificial sustituir a los matemáticos?

El título de esta entrada es la pregunta del momento. Con frecuencia, alumnos, amigos o familiares me interpelan tras leer titulares sensacionalistas —e incluso fake news— que anuncian que la inteligencia artificial dejará obsoletos a los matemáticos. Toda esta marejada de fascinación, desinformación e inquietud me ha animado a plasmar aquí mi visión personal sobre el tema.

Sabemos que los ordenadores son aparatos extraordinariamente prácticos. Se han vuelto tan indispensables que resulta difícil imaginar una sociedad moderna sin ellos. Sin embargo, casi nadie recuerda —y los propios informáticos a veces lo olvidan— que fueron inventados en gran medida para ayudar a aclarar una profunda cuestión filosófica sobre los fundamentos de las matemáticas.

Todo comienza a principios del siglo XX cuando David Hilbert propuso formalizar por completo el razonamiento matemático. Su ambicioso plan consistía en crear un lenguaje artificial perfecto, con axiomas claros y reglas de deducción precisas, de modo que cualquier demostración pudiera verificarse de forma mecánica e imparcial. Si se lograba, se podría demostrar de una vez por todas que las matemáticas eran consistentes (nunca se demostraría algo falso) y completas (todo lo verdadero sería demostrable). El formalismo no era solo una herramienta técnica: era un proyecto filosófico destinado a poner la matemática sobre bases inquebrantables.

David Hilbert (1862-1943)

Antes de que ese sueño pudiera materializarse, Bertrand Russell descubrió paradojas profundamente perturbadoras en la lógica misma. La más célebre es la paradoja que lleva su nombre: el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. ¿Se contiene este conjunto a sí mismo? Si lo hace, entonces no lo hace; si no lo hace, entonces lo hace. Es el equivalente lógico del barbero de un pueblo que afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos: ¿quién afeita al barbero? Esta paradoja es una versión moderna de la antigua paradoja del mentiroso (“esta frase es falsa”), conocida ya por los griegos. Russell mostró que razonamientos que parecen impecables pueden conducir a contradicciones irresolubles. La crisis era grave: si la lógica misma contenía paradojas, ¿cómo se podía confiar en las matemáticas?

Hilbert respondió con formalismo. Si el lenguaje cotidiano es ambiguo, hay que construir un lenguaje artificial estricto donde las contradicciones no puedan aparecer. Su propuesta se inspiraba en una larga tradición que venía de Leibniz, Boole, Frege y Peano, pero Hilbert quería llevarla hasta el final: formalizar la totalidad de las matemáticas. El formalismo, aunque fracasó como proyecto filosófico para el razonamiento matemático, terminó siendo uno de los grandes regalos del siglo XX… no para la deducción, sino para la programación y la computación.

Kurt Gödel (1906-1978)

En 1931, Kurt Gödel dinamitó el plan de Hilbert. Demostró que incluso limitándose a la aritmética más elemental (los números naturales, la suma y la multiplicación), cualquier sistema formal suficientemente potente es incompleto o inconsistente. Si el sistema solo dice la verdad, entonces no puede decir toda la verdad. Habrá enunciados verdaderos que no podrán demostrarse a partir de los axiomas.

La prueba de Gödel es ingeniosa y profundamente paradójica. Partiendo de la paradoja del mentiroso, construyó una afirmación matemática que, en esencia, dice de sí misma: “Yo no soy demostrable”. Si el sistema pudiera demostrar esa afirmación, estaría demostrando algo falso. Si no puede demostrarla, entonces es verdadera… y el sistema es incompleto. Gödel logró expresar esta autorreferencia dentro de la aritmética mediante una codificación numérica ingeniosa. Curiosamente, al mirar su artículo original con ojos actuales, se observa algo que se parece mucho a la programación en LISP: una gran cantidad de definiciones recursivas de funciones que operan sobre listas. Aunque en 1931 no existían los ordenadores ni los lenguajes de programación, el núcleo del argumento de Gödel ya contenía las semillas de la computación.

Alan Turing (1912-1954)

Cinco años después, en 1936, Alan Turing dio el siguiente paso decisivo. Hilbert había hablado de un “procedimiento mecánico” para verificar demostraciones, pero nunca lo había definido con precisión. Turing lo hizo: inventó la máquina de Turing, un dispositivo abstracto capaz de realizar, casilla a casilla, operaciones sobre una cinta infinitamente larga. Esta construcción mental es el modelo teórico de todos los ordenadores actuales. Turing afirmó que una máquina de este tipo debería ser capaz de efectuar cualquier cómputo que un ser humano pudiera llevar a cabo siguiendo reglas precisas.

Pero entonces se preguntó qué no podría hacer esa máquina. Su respuesta fue el famoso problema de la detención (halting problem): no existe un algoritmo general que, dado un programa cualquiera, decida de antemano si ese programa terminará alguna vez o se quedará girando en un bucle infinito. La demostración es, otra vez, una paradoja. Se construye un programa que se detiene si y solo si no se detiene. El corolario es demoledor: si no se puede decidir por cálculo si un programa se detiene, tampoco se puede decidir por razonamiento formal. Ningún sistema axiomático puede ser completo, porque si lo fuera, proporcionaría un método mecánico para resolver el problema de la detención… y eso es imposible.

Después de la Segunda Guerra Mundial, estas profundas cuestiones filosóficas quedaron un tanto olvidadas. Fue entonces cuando Gregory Chaitin, todavía casi un adolescente, leyó sobre Gödel y Turing y empezó a sospechar algo más radical. Si en la física cuántica el azar es intrínseco e impredecible, ¿no podría haber también aleatoriedad en las matemáticas puras?

Andrey N. Kolmogorov (1903-1987)

A mediados de los años sesenta, de forma independiente, Chaitin y A. N. Kolmogorov desarrollaron lo que hoy se conoce como teoría algorítmica de la información. La idea fundamental es sencilla y poderosa: medir la complejidad de un objeto por el tamaño del programa más corto capaz de generarlo. Un objeto es aleatorio si no se puede comprimir: el programa más breve que lo describe es tan largo como el propio objeto. Esta noción conecta directamente con la entropía de Boltzmann en física: el desorden de un gas requiere una descripción enorme, mientras que un cristal ordenado se describe con poco. También enlaza con la filosofía de la ciencia y la navaja de Occam: 

Ante varias explicaciones posibles de un mismo fenómeno, la más sencilla suele ser la preferible.

 Es decir, la mejor teoría es el programa más corto que predice las observaciones. Si no existe un programa más corto que los datos mismos, entonces los datos son aleatorios e incomprensibles; no hay teoría útil.

En matemáticas, los conjuntos de axiomas que usamos son necesariamente concisos (si no lo fueran, nadie creería en ellos). Pero el universo de verdades matemáticas es infinito. Por tanto, cualquier sistema de axiomas solo puede capturar una fracción minúscula de esa información. La incompletitud de Gödel no es un misterio técnico o una curiosidad paradójica: es natural e inevitable. Existen verdades matemáticas que son, en cierto sentido, aleatorias: no se pueden demostrar a partir de axiomas razonables porque contienen más información de la que esos axiomas poseen.

A pesar de estos límites fundamentales, los matemáticos siguen avanzando de forma espectacular. Los resultados de Gödel, Turing, Kolmogorov y Chaitin podrían generar pesimismo, pero en la práctica no lo hacen: a pesar de la incompletitud y la aleatoriedad, la matemática sigue siendo fértil y productiva.

¿Puede la inteligencia artificial sustituir a los matemáticos?

Gregory Chaitin (1947-)

Los mismos resultados que hemos recorrido —la incompletitud de Gödel, la indecidibilidad de Turing y la aleatoriedad algorítmica de Kolmogorov y Chaitin— tienen consecuencias directas para la inteligencia artificial. Cualquier IA, por avanzada que sea, opera como un sistema computable: manipula símbolos según reglas precisas. Por tanto, hereda los mismos límites: no puede ser completa respecto a las matemáticas, no puede decidir en general si un programa arbitrario terminará, y no puede “descubrir” ni demostrar aquellas verdades que son esencialmente incompresibles. Esto no impide que la IA se convierta en un colaborador extraordinario. Ya lo está haciendo: verifica demostraciones, explora vastos espacios de conjeturas, formaliza razonamientos y acelera cálculos que antes eran prohibitivos. Los matemáticos que sepan utilizarla bien serán mucho más productivos, y ciertas tareas rutinarias o de búsqueda exhaustiva se automatizarán. 

La inteligencia artificial avanzada ya está transformando la práctica de las matemáticas y seguirá haciéndolo de manera cada vez más intensa. Puede ayudar a verificar demostraciones, explorar grandes espacios de conjeturas, encontrar patrones, formalizar razonamientos y acelerar cálculos que antes eran prohibitivos. Herramientas como los asistentes de demostración y los modelos de lenguaje especializados ya actúan como colaboradores muy potentes. En ese sentido, la IA puede amplificar enormemente el trabajo de los matemáticos y, en algunos dominios estrechos y bien formalizados, incluso automatizar partes importantes. Sin embargo, sustituir a los matemáticos es otra cosa. Desde mi punto de vista, hay razones tanto prácticas como fundamentales que lo hacen improbable, como por ejemplo: 

1. Límites teóricos profundos.   Los resultados  que hemos estado discutiendo anteriormente, establecen fronteras inviolables para cualquier sistema formal o computable:
   
   • Ningún sistema axiomático suficientemente potente puede ser a la vez completo y consistente. Siempre habrá verdades matemáticas que el sistema no podrá demostrar.
   •  El problema de la detención es indecible: no existe un algoritmo general que determine si un programa arbitrario termina.
   •  Según la teoría algorítmica de la información, existen verdades matemáticas que son esencialmente aleatorias e incompresibles: contienen más información de la que cualquier conjunto finito de axiomas (o de datos de entrenamiento) puede capturar.

    Una IA, por avanzada que sea, sigue siendo un sistema computable. Opera dentro de esas limitaciones. No puede “saltar” fuera de ellas.

2. La naturaleza creativa e informal de la matemática real. La matemática que hacen los seres humanos no consiste solo en derivar teoremas a partir de axiomas, ella incluyen: 
   • Elegir qué problemas merecen la pena.
   • Inventar definiciones nuevas y fructíferas.
   • Detectar analogías profundas entre áreas aparentemente lejanas.
   • Juzgar la elegancia, la profundidad o el interés de un resultado.
   • Cambiar de paradigma cuando el marco actual se vuelve estéril.

   Estas actividades dependen de intuición, gusto estético, experiencia histórica y, a menudo, de una forma de “comprensión” que no se reduce a la manipulación mecánica de símbolos. Hasta ahora no hay evidencia de que los sistemas de IA actuales (ni los que se vislumbran a medio plazo) posean esa capacidad de forma autónoma y general.

3. El papel de la verificación y la confianza. Incluso cuando una IA produce una demostración correcta, los matemáticos humanos siguen siendo necesarios para:
   • Comprender por qué es correcta.
   • Evaluar su significado.
   • Integrarla en el cuerpo más amplio del conocimiento.
   • Detectar posibles errores conceptuales o supuestos ocultos.

   La confianza en un resultado matemático no se reduce a “el ordenador dice que es verdad”,  requiere comprensión humana.

La IA avanzada no va a sustituir a los matemáticos de la misma manera que las calculadoras no sustituyeron a los físicos o los ingenieros. Lo más probable es que se produzca una simbiosis: los matemáticos que sepan usar bien la IA serán mucho más productivos, y algunos tipos de trabajo rutinario o de búsqueda exhaustiva desaparecerán o se automatizarán. Pero la actividad de hacer matemáticas —crear conceptos, plantear las preguntas profundas y dar sentido a los resultados— seguirá siendo, durante mucho tiempo, una empresa humana (o al menos una empresa en la que la inteligencia humana siga siendo indispensable).

En resumen: la IA puede ser un colaborador extraordinario y, en algunos aspectos, superior. Pero no puede ocupar el lugar del matemático, precisamente porque las matemáticas no son solo un juego formal computable. Contienen elementos de incompletitud, aleatoriedad y creatividad que, según todo lo que sabemos, escapan a cualquier sistema puramente algorítmico.

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Lectura recomendada: 

•  Las paradojas del mentiroso, el barbero o la manos que se dibujan y la paradoja de Russell.

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Los Números Primos Gemelos

Con la colaboración del Profesor Silvio Soler Cárdenas.

Los primos gemelos son pares de números primos que diferencian en exactamente \(2\), como \((3,5)\), \((5,7)\), \((11,13)\), \((17,19)\), \((29,31)\), \((41, 43)\), \((59, 61)\), etc. La conjetura de los primos gemelos afirma que existen infinitos de estos pares.

Algunos hecho y propiedades inmediatas son los siguiente: 

• El par \((2, 3)\) normalmente no se considera un par de primos gemelos, porque su diferencia es \(1\). 
• Como \(2\) es el único primo par, todos los demás primos son impares y una diferencia de \(2\) es la separación mínima posible entre dos primos impares. 
• Salvo el par \((3,5)\), todo par de primos gemelos puede escribirse como \((6n-1,\;6n+1)\). Por tanto, el número situado entre ambos primos es múltiplo de \(6\) . En consecuencia, la suma de los dos primos gemelos es divisible por \(12\), excepto en el caso \((3,5)\).
• El número \(5\) es el único primo que pertenece a dos pares de primos gemelos: \((3,5)\) y \((5,7)\). Esto se debe a que entre tres números impares consecutivos siempre hay uno divisible por \(3\), salvo cuando ese número es el propio \(3\).

Si un número primo no tiene gemelo, se dice que es un primo aislado, es decir es un número primo p para el que ni (p-2) ni (p+2) son primos. Por ejemplo, 23 es un primo aislado porque 21 y 25 son números compuestos.

Euclides demostró que existen infinitos números primos (Proposición 20 del Libro IX de los Elementos) y se cree que pudo ser el primero en plantearse la conjetura de los primos gemelos, pero no existe ningún registros que lo confirme. Fue el matemático francés Alphonse de Polignac quien en 1849, formuló una conjetura con el siguiente enfoque general:

Para todo número par positivo \(k\), existen infinitos pares de primos cuya diferencia es \(k\) .

El caso \(k=2\) es precisamente la conjetura de los primos gemelos.

El primer gran salto 70 años después

Viggo Brun (1885–1978)

En 1915 el matemático noruego Viggo Brun introdujo formalmente el método conocido como la Criba de Brun. Utilizando ese método de cribado, cuatro años más tarde (en 1919), logró probar que la suma de los inversos de los números primos gemelos converge en un valor fijo, originando así la famosa constante de Brun (que se representa con la letra \(B-2\)). La constante es el resultado de la siguiente suma infinita:

\[B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \dots=1.90216058...\]

Para entender por qué el descubrimiento de Viggo Brun fue tan revolucionario, debemos compararlo con los números primos en general:

• Si sumas los inversos de todos los números primos (\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \dots\)), la suma es infinita (diverge). Esto ocurre porque hay muchísimos números primos en el universo numérico.
• Al ver esto, los matemáticos pensaban que con los primos gemelos pasaría lo mismo. Sin embargo, Brun demostró que la suma de sus inversos se detiene en un número fijo (converge).

La criba de Brun funcionaba de la siguiente manera:

• El principio de exclusión: Es una evolución de la clásica Criba de Eratóstenes (el método escolar de tachar múltiplos de 2, de 3, de 5, etc., para encontrar primos).
• Controlar los múltiplos: Brun desarrolló fórmulas avanzadas para aproximar cuántos números quedan sin tachar cuando eliminas los múltiplos de los primeros números primos de forma simultánea para dos expresiones (\(n\) y \(n+2\)).
• Fijar un límite superior: Aunque el método no permitía saber con exactitud si los primos gemelos se acaban o no, sí demostró de forma matemática e irrefutable que la cantidad de primos gemelos menores que un número \(x\) no puede crecer tan rápido como para hacer que la suma total sea infinita.

A pesar de que sabemos que la suma total da un número fijo (cercano a 1.902), la constante de Brun encierra una ironía: todavía no sabemos si hay infinitos primos gemelos o si en algún momento se acaban. Si los primos gemelos fueran finitos, la suma lógicamente se detendría en un número fijo. Pero si son infinitos (como sospechan la mayoría de los matemáticos), la constante de Brun nos dice que aparecen tan poco a menudo que su suma se estabiliza de todos modos.

Después de la criba de Brun, el progreso fue lento y los pasos más importantes fueron:

• En 1923, G. H. Hardy y J. E. Littlewood propusieron una conjetura asintótica precisa sobre la densidad de los primos gemelos, que involucra la constante de los primos gemelos \(\approx 0{,}6601618\ldots\).
• En 1973, Jingrun Chen probó un resultado intermedio fundamental: existen infinitos primos \(p\) tales que \(p+2\) es primo o semiprimo (producto de exactamente dos primos).

Yitang Zhang y el salto desicivo

Yitang Zhang

El salto decisivo llegó en 2013, cuando Yitang Zhang demostró de forma incondicional que¨

\[ \liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n) \le 70\,000\,000. \]

Es decir, existen infinitos pares de primos que diferencian en a lo sumo 70 millones.

Yitang Zhang es un matemático chino-estadounidense conocido por protagonizar una de las historias de superación y éxito tardío más fascinantes de la ciencia moderna. Durante décadas, trabajó en un relativo anonimato académico, asumiendo empleos precarios fuera de la investigación (incluyendo un periodo como contable en una franquicia de sándwiches Subway) y dando clases como profesor adjunto en la Universidad de New Hampshire. Sin embargo, su persistencia dio frutos en 2013, cuando a los 57 años resolvió un problema matemático que llevaba siglos estancado. Su perfil destaca no solo por su genialidad, sino por encarnar la figura del erudito solitario que, impulsado por una profunda pasión pura, alcanzó la fama mundial de la noche a la mañana y demostró que nunca es tarde para revolucionar la ciencia.

El impacto de Zhang

Terece Tao a la edad de 10 años junto
a Paul Edös en 1985

Después del gran avance de Zhang, en el mismo 2013, el celebre matemático Terence Tao (Medalla Fields de 2006) lanza el proyecto colaborativo Polymath8. Un proyecto de colaboración abierta online de matemáticos para mejorar este resultado. El proyecto se dividió en dos partes:

• Polymath8a: se centró en optimizar y refinar las técnicas originales de Zhang (estimaciones de distribución de primos en progresiones aritméticas con módulos suaves, búsqueda de tuplas admisibles, etc.).
• Polymath8b: se inició más tarde, cuando James Maynard introdujo un método de criba multidimensional más potente y flexible.

Gracias a este trabajo colaborativo (principalmente a través del blog de Tao y una wiki), Polymath8a consiguió reducir el bound de Zhang de 70 millones hasta \( 4\,680.\). Fue un esfuerzo técnico muy intenso de optimización de los argumentos de Zhang, y sentó las bases para los avances posteriores.

A partir de ahí el progreso fue rapidísimo:

• James Maynard (y de forma independiente Terence Tao, introdujo un método de criba multidimensional y bajó la cota a \(600\).
• A continuación Polymath8b estableció en 2014 el récord: \[ \liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n) \le 246. \]

  Esta cota se mantuvo como la mejor cota incondicional aceptado durante más de doce años.

La Conjetura de Elliott-Halberstam (formulada en 1968) es una hipótesis muy técnica sobre cómo se distribuyen los números primos en secuencias aritméticas. Nadie ha podido demostrarla aún, pero la gran mayoría de los matemáticos cree que es totalmente cierta. Si los c´lculos de la congetura de los primos gemelos se hacen sin suponer válidad la Conjetura de Elliott-Halberstam se dice que son cotas incodicionales como \(246\), en caso contrario se llaman cotas condicionales. Las cotas condicionales que se han obtenido son las siguientes:

• La cota de \(12\): Fue demostrada originalmente por James Maynard en noviembre de 2013. Al introducir su innovador método de criba multidimensional, probó que si la conjetura de Elliott-Halberstam es cierta, la distancia máxima garantizada entre infinitos pares de primos cae a \(12\).
• La cota de \(6\): Se obtuvo unos meses después, en agosto de 2014. Fue calculada por el proyecto colaborativo Polymath8b (liderado por Terence Tao y en el que también participó Maynard). El grupo combinó las técnicas de Maynard con optimizaciones numéricas masivas, demostrando que bajo la versión generalizada de la conjetura de Elliott-Halberstam, la distancia límite se reduce a \(6\).

Julia Stadlmann

 En agosto de 2026, Julia Stadlmann publicó un preprint que mejora la cota incondicional a \(240\) y este es el primer avance significativo en más de una década. Su trabajo combina el teorema de Bombieri–Vinogradov con estimaciones de equidistribución para módulos suaves.

Poco después aparecieron algunos trabajos (algunos asistidos por inteligencia artificial) que proponen cotas incondicionales de \(236\), \(212\) e incluso \(186\). A fecha de octubre de 2026, ninguno de estos trabajos posteriores ha superado una revisión por pares rigurosa, por lo que el bound establecido sigue siendo \(246\), con el resultado de Stadlmann (\(240\)) como el más sólido y reciente.

 La conjetura de los primos gemelos permanece abierta. Se sabe que hay infinitos pares de primos separados por una distancia acotada (\(\le 246\), y probablemente \(\le 240\)), pero no se ha conseguido aún bajar esa distancia hasta \(2\). El principal obstáculo técnico sigue siendo el llamado problema de paridad de las cribas. Mientras que los métodos que utilizan la conjetura de Elliott-Halberstam solo estan esperando a que alguien demuestre esta conjetura para, que como ya se ha demostrado, las cotas caigan a \(12\) o \(6\).

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Números hipercomplejos: cuaterniones, octoniones y sedeniones

Los cuaterniones, octoniones y sedeniones forman parte de una fascinante extensión de los números complejos, los números hipercomplejos. Surgen al intentar responder una pregunta natural: si los números reales pueden ampliarse a los complejos, ¿es posible continuar construyendo sistemas numéricos con propiedades semejantes? La respuesta conduce a una jerarquía de álgebras de dimensión \(2,4,8,16,\ldots\), en la que, a medida que aumenta la dimensión, algunas propiedades algebraicas fundamentales deben sacrificarse.

De los complejos a los cuaterniones

Sir W. R. Hamilton
(1805-1865)

Los números complejos tienen la forma \(z=a+bi,\; a,b\in\mathbb{R},\; i^2=-1,\) y constituyen un sistema de dimensión \(2\) sobre \(\mathbb{R}\). Durante la primera mitad del siglo XIX surgió la cuestión de si era posible construir un sistema tridimensional que extendiera los complejos y conservara una multiplicación suficientemente satisfactoria.

Fue el matemático irlandés William Rowan Hamilton quien encontró la respuesta en 1843, aunque no mediante una extensión tridimensional, sino mediante una de cuatro dimensiones. Los cuaterniones tienen la forma \[q=a+bi+cj+dk,\qquad a,b,c,d\in\mathbb{R},\] donde las unidades imaginarias satisfacen \(\quad i^2=j^2=k^2=ijk=-1.\)

De estas relaciones se obtiene, por ejemplo, \(\quad ij=k,\qquad ji=-k,\quad \) y análogamente para los demás productos. Por tanto, la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa: \(\quad ij\neq ji.\) Esta fue una de las primeras grandes sorpresas de la historia del álgebra: era posible construir un sistema numérico en el que \(ab\neq ba.\)

Placa conmemorativa en el puente de Broom

Hamilton descubrió los cuaterniones mientras buscaba una interpretación algebraica de las rotaciones en el espacio. La famosa historia cuenta que, el 16 de octubre de 1843, durante un paseo junto a su esposa por el Royal Canal de Dublín, tuvo la idea fundamental y escribió las relaciones esenciales de los cuaterniones en una inscripción sobre el puente de Broom. 

Publicación original de Lectoras sobre Cuaterniones de Hamilton en 1853

Los cuaterniones encontraron posteriormente aplicaciones extraordinariamente importantes. En matemáticas permiten describir elegantemente las rotaciones tridimensionales, mientras que en física aparecen en diferentes formulaciones relacionadas con la mecánica cuántica y otras teorías matemáticas. En la actualidad son especialmente importantes en gráficos por ordenador, robótica, visión artificial, simulación y control de vehículos y aeronaves, donde permiten representar orientaciones espaciales evitando algunas dificultades de otros métodos, como los ángulos de Euler.

Los octonioness: dimensión \(8\)

Arthur Cayley
(1821-1895)

El siguiente paso apareció poco después. En 1845, el matemático John T. Graves, amigo de Hamilton, descubrió un sistema de números de dimensión \(8\), que denominó octaves. Casi simultáneamente, Arthur Cayley desarrolló independientemente una construcción semejante, razón por la que los octoniones también reciben el nombre de números de Cayley.

Un octonión puede escribirse como \(x=a_0+a_1e_1+\cdots+a_7e_7, \qquad a_0,\ldots,a_7\in\mathbb{R}.\) Ellos conservan algunas propiedades extraordinarias de los cuaterniones, pero pierden otras. En particular, su multiplicación tampoco es conmutativa y, además, no es asociativa: \((xy)z\neq x(yz)\) en general.Esto supone un salto conceptual importante. Con los cuaterniones todavía tenemos \((q_1q_2)q_3=q_1(q_2q_3),\) pero esta propiedad deja de cumplirse ahora.

Sin embargo, los octoniones poseen una propiedad intermedia denominada alternatividad. Por ejemplo, \(\quad (xx)y=x(xy),\; y(xx)=(yx)x.\) Esta combinación de propiedades aparentemente contradictorias hace de los octoniones una de las estructuras más interesantes del álgebra.

Una de las representaciones más conocidas de la multiplicación de los octoniones utiliza el diagrama de Fano, una estructura geométrica que permite recordar las reglas de multiplicación entre las siete unidades imaginarias.

El diagrama de Fano se utiliza para definir la multiplicación de las unidades imaginarias de los octoniones \(e_1,\dots,e_7\) (junto con la unidad real 1). Cada punto del plano representa una de estas unidades, y cada línea (incluyendo el círculo central) indica una terna cerrada: si se recorre la línea en el sentido de las flechas, el producto de dos elementos consecutivos da el tercero con signo positivo (\(e_i e_j = e_k\)), mientras que al recorrerla en sentido contrario el producto sale negativo; además, la multiplicación es anticonmutativa (\(e_j e_i = -e_i e_j\)) y cada \(e_i^2 = -1\). De este modo, las siete líneas del plano de Fano generan todas las reglas de multiplicación necesarias para el álgebra de los octoniones.

Los octoniones aparecen en áreas de matemáticas y física mucho más profundas que los cuaterniones. Están relacionados con grupos de Lie excepcionales, geometría diferencial, teoría de representaciones, teoría de cuerdas y determinados modelos de física matemática. En particular, las simetrías asociadas a los octoniones están vinculadas con estructuras excepcionales como el grupo de Lie \(G_2\).

Los sedeniones: dimensión \(16\)

La construcción puede continuar mediante el denominado proceso de Cayley-Dickson. A partir de los reales obtenemos los complejos; a partir de los complejos, los cuaterniones; a partir de los cuaterniones, los octoniones, y a partir de estos, los sedeniones.

Sus dimensiones reales son \(\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{H} \longrightarrow\mathbb{O}\longrightarrow\mathbb{S},\) con dimensiones respectivas \(1,\; 2,\; 4,\; 8,\; 16.\)

Un sedenión tiene, por tanto, la forma \(x=a_0+a_1e_1+\cdots+a_{15}e_{15}, \quad a_i\in\mathbb{R}.\)

Aquí aparece una pérdida todavía mayor de propiedades algebraicas. Los sedeniones no son conmutativos, no son asociativos y, además, no son alternativos. Pero hay una pérdida particularmente significativa: existen divisores de cero no triviales. Es decir, pueden existir sedeniones \(x\neq0\) e \(y\neq0\) tales que \(xy=0.\) Esto no ocurre con los números reales, complejos, cuaterniones ni octoniones.

Su utilidad es principalmente teórica. Sirven para estudiar los límites de las estructuras algebraicas y las propiedades de los espacios hipercomplejos de alta dimensión. De manera muy marginal, se han propuesto modelos en campos como el aprendizaje automático (redes neuronales de sedeniones) para compresión de datos o problemas de previsión de series temporales, aunque su uso en física o ingeniería general sigue siendo anecdótico. Representan el punto donde la construcción sistemática de números hipercomplejos deja de ser útil para la física o la geometría estándar debido a la excesiva pérdida de reglas aritméticas básicas.

La historia puede resumirse mediante la siguiente tabla:

Sistema	Dimensión	Conmutativo	Asociativo	Divisores de cero
\(\mathbb{R}\)	1	Sí	Sí	No
\(\mathbb{C}\)	2	Sí	Sí	No
\(\mathbb{H}\)	4	No	Sí	No
\(\mathbb{O}\)	8	No	No	No
\(\mathbb{S}\)	16	No	No	Sí

Esta secuencia no es simplemente una colección de curiosidades algebraicas. Revela un fenómeno profundo: cada vez que ampliamos el sistema numérico mediante el proceso de Cayley-Dickson, obtenemos nuevas posibilidades, pero también debemos renunciar a determinadas propiedades.

La historia de los hipercomplejos constituye, en realidad, una historia sobre los límites del concepto de número. Los complejos demostraron que los números podían extenderse más allá de la recta real; Hamilton mostró que era posible sacrificar la conmutatividad para obtener una estructura de cuatro dimensiones; los octoniones llevaron esta idea hasta una estructura no asociativa, y los sedeniones mostraron que, al continuar el proceso, incluso la propiedad de no tener divisores de cero termina desapareciendo.

Así, la sucesión \( \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{H} \longrightarrow\mathbb{O}\longrightarrow\mathbb{S}\) puede contemplarse como un auténtico viaje desde la aritmética familiar hacia algunas de las estructuras más profundas del álgebra moderna. Quizá lo más interesante es que cada paso no consiste simplemente en añadir nuevos números, sino en descubrir qué propiedades estamos dispuestos a perder para obtener una estructura más rica.

El hecho de que aparezcan las dimensiones \(1,2,4,8,16,\ldots\) no significa que las demás dimensiones estén prohibidas. Significa que no forman parte de la sucesión obtenida mediante el mencioado proceso de Cayley-Dickson. Aquí aparece una cuestión mucho más profunda. Si además de tener una estructura algebraica exigimos determinadas propiedades, las posibilidades se reducen drásticamente.

De hecho, el teorema de Hurwitz establece que los únicos álgebras de división normadas reales finito-dimensionales son precisamente \(\mathbb{R},\; \mathbb{C},\; \mathbb{H} \text{ y } \mathbb{O}.\) Por eso los octoniones ocupan una posición especialmente importante: son el último miembro de esta familia que conserva simultáneamente la estructura de un álgebra de división normada. Los sedeniones constituyen el siguiente paso, pero ya presentan divisores de cero.

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Lectura recomendada: 

• De números IMPOSIBLES a números COMPLEJOS.

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De números IMPOSIBLES a números COMPLEJOS

Gerolamo Cardano
(1501–1576)

Todo empezó en el siglo XVI cuando Gerolamo Cardano se enfrentó a un problema sencillo: dividir 10 en dos partes cuyo producto sea 40. Las soluciones que obtuvo fueron números de la forma \(5 + \sqrt{-15}\) y \(5 - \sqrt{-15}\). Aunque Cardano utilizó estos objetos en sus cálculos, los consideraba misteriosos y difíciles de interpretar, en cierta ocasión confesó que le producían una auténtica “tortura mental” y que no sabía qué hacer con ellos.

Rafael Bombelli
(1526–1572)

El siguiente paso fundamental fue dado por Rafael Bombelli, quien introdujo una notación específica para las cantidades imaginarias, utilizando expresiones equivalentes a \[ i=\sqrt{-1}, \qquad -i=-\sqrt{-1}, \] y estableció reglas para operar con ellas. Bombelli empleó además números complejos en el tratamiento de las ecuaciones cúbicas, especialmente en el denominado casus irreducibilis. Su trabajo fue decisivo porque convirtió unas cantidades que inicialmente parecían absurdas o imposibles en objetos con los que era posible realizar cálculos sistemáticos.

René Descartes
(1596–1650)

Durante el siglo XVII continuó la discusión sobre la naturaleza de estos números. Albert Girard los denominó soluciones imposibles. René Descartes, en su La géométrie (1637), acuñó el término “números imaginarios”. Escribió que para toda ecuación se pueden imaginar tantas raíces como indica su grado, pero que en muchos casos “no existe ninguna cantidad que corresponda a lo que uno imagina”.

Descartes observó que una ecuación algebraica podía tener tantas raíces como indicaba su grado, aunque algunas de ellas no correspondieran a cantidades que pudieran interpretarse como números reales. Esta observación contribuyó a consolidar el uso de los números complejos en el álgebra.

Después de Descartes, los principales matemáticos comenzaron a utilizar libremente los números complejos. Entre ellos se encuentran Johann Bernoulli, que empleó logaritmos complejos en la transformación de integrales, y Roger Cotes, Abraham de Moivre y Leonhard Euler, quienes trabajaron con relaciones trigonométricas que hoy reconocemos como fundamentales para el análisis complejo. En particular, se utilizaba la fórmula que actualmente conocemos como fórmula de De Moivre: \((\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx)\) que establece una conexión profunda entre los números complejos y la trigonometría.

El impacto de Euler

Leonhard Euler
(1707–1783)

Uno de los avances más importantes fue la interpretación geométrica de los números complejos. Euler representó un número complejo como un punto del plano mediante sus coordenadas rectangulares. Así, un número \(z=x+iy;\) puede visualizarse como el punto \((x,y)\) del plano complejo.

Al introducir coordenadas polares, Euler escribió \(x+iy=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\), lo que le permitía interpretar el módulo \(r\) y el argumento \(\varphi\) geométricamente.

Euler también estudió las raíces de la ecuación \(z^n=1,\) mostrando que pueden representarse como los vértices de un polígono regular en el plano complejo. De esta manera, una cuestión puramente algebraica adquiría una interpretación geométrica muy clara.

Otro de los resultados fundamentales asociados con Euler es la siguiente fórmula que hoy conocemos con su nombre \[ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi. \] Esta fórmula establece una conexión entre tres conceptos esenciales de las matemáticas: la exponencial, la trigonometría y los números complejos. Gracias a ella, la representación polar de un número complejo puede escribirse de forma especialmente sencilla como \(z=re^{i\varphi}.\)

Otra consecuencia especialmente elegante de la fórmula de Euler, es la siguiente identidad que también lleva su nombre

Su importancia no reside solo en su sencillez, sino en que establece una sorprendente conexión entre cinco de las constantes más importantes de las matemáticas: \(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\) y \(0\). Puede afirmarse con justicia que la historia de estas cinco constantes resume de forma extraordinariamente densa y elegante los momentos más decisivos y fundacionales de las matemáticas  hasta el siglo XIX. Por eso muchos matemáticos y divulgadores (desde Richard Feynman hasta Keith Devlin) han dicho que la identidad de Euler es “la fórmula más bella de las matemáticas” y que en ella “se concentra una parte esencial de la historia del pensamiento matemático”.  

Euler también formuló lo que hoy conocemos como el teorema fundamental del álgebra. En esencia, afirmó que todo polinomio puede factorizarse en factores lineales o cuadráticos con coeficientes reales. Sin embargo, las demostraciones de Euler todavía presentaban dificultades desde el punto de vista de la fundamentación rigurosa. En particular, su razonamiento suponía, de una manera u otra, la existencia de las raíces que pretendía demostrar. Este aspecto resulta especialmente interesante desde una perspectiva histórica: el uso de los números complejos se había extendido mucho antes de que existiera una fundamentación matemática completamente satisfactoria de su naturaleza.

Hacia una definición rigurosa de los números complejos

Como señalamos anteriormente, durante el siglo XVIII, Euler conocía ya la representación geométrica de los números complejos, pero todavía no había proporcionado una definición completamente satisfactoria del concepto de número complejo.

La situación cambió durante el siglo XIX. Caspar Wessel, en 1797, Jean-Robert Argand, en 1806, John Warren, en 1828, y Carl Friedrich Gauss, en 1831, desarrollaron interpretaciones geométricas de la suma y la multiplicación de números complejos.

Carl Friedrich Gauss
(1777–1855)

Gauss hizo cuatro demostraciones rigurosas del teorema fundamental del álgebra: la primera en su tesis doctoral de 1799 (de carácter geométrico-topológico, evitando hablar de “raíces complejas” y se centrandose en la factorización real), dos más en 1816 (una algebraica y otra analítica) y una cuarta en 1849, con motivo del cincuentenario de su doctorado. En esta última demostración, ya aceptando plenamente los números complejos, reformuló el teorema de forma más cercana a la actual:

Todo polinomio de grado $n$ (incluso con coeficientes complejos) se puede descomponer en $n$ factores lineales (simples).

En 1831, dentro de su trabajo sobre residuos bicuadráticos, Gauss introdujo el término «números complejos» (en lugar de «imaginarios») y ofreció una definición geométrica clara y rigurosa, representándolos como puntos del plano y estableciendo de forma precisa las operaciones de suma y multiplicación como operaciones con segmentos dirigidos, lo que contribuyó decisivamente a su aceptación plena en la matemática.

La búsqueda de una definición matemática más precisa continuó en el siglo XIX. En 1843, William Rowan Hamilton definió los números complejos como pares de números reales dotados de reglas convencionales de suma y multiplicación. Esta interpretación permitió considerar \(z=a+bi\) como el par ordenado \((a,b),\) y definir las operaciones algebraicas directamente sobre dichos pares.

Por otra parte, en 1847 Augustin-Louis Cauchy propuso una formulación algebraica diferente: interpretar los números complejos como clases de equivalencia de polinomios reales módulo el polinomio \( x^2+1.\) Esta construcción proporciona una fundamentación algebraica del número \(i\), pues en el cociente se tiene \(x^2=-1.\)

Con los números complejos quedaba completa la cadena de sistemas numéricos clásicos o fundamentales, tal como los conocemos hoy y aparecen en la siguiente representación: \[\begin{array}{ll} \mathbb{C} & \mbox{Complejos} \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{Reales} \begin{cases} \mathbb{Q} & \mbox{Racionales} \begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{Enteros} \begin{cases} \mathbb{N} & \mbox{Naturales} \\ & \mbox{Cero} \\ & \mbox{Enteros negativos} \end{cases}\\ & \mbox{Fraccionarios} \end{cases}\\ & \mbox{Irracionales} \end{cases}\\ & \mbox{Imaginarios} \end{cases} \end{array}\]

La evolución histórica descrita puede resumirse como un recorrido desde la perplejidad inicial ante expresiones como \(\sqrt{-1}\) hasta su aceptación como objetos matemáticos plenamente definidos. Cardano introdujo estas cantidades en el contexto de la resolución de ecuaciones; Bombelli desarrolló reglas para operar con ellas; Descartes popularizó el término imaginario; Euler proporcionó herramientas fundamentales para su interpretación geométrica y analítica; y, finalmente, Wessel, Argand, Gauss, Hamilton y Cauchy contribuyeron a establecer representaciones y construcciones matemáticas rigurosas. Los números complejos ilustran cómo un concepto considerado inicialmente «imposible» puede transformarse, mediante el desarrollo progresivo de las ideas matemáticas, en una estructura fundamental del álgebra y del análisis.

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Lectura recomendada: 

• El tesoro del pirata.. 

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La Inducción completa o el efecto dominó en las matemáticas

La historia de la inducción matemática o inducción completa es la evolución de una intuición lógica —análoga al efecto dominó— hasta convertirse en una de las herramientas de demostración más rigurosas de la ciencia. Aunque el nombre sugiere una inferencia «inductiva», en realidad es un razonamiento deductivo que permite demostrar proposiciones para infinitos números enteros.

En su estructura moderna, el principio se basa en dos pasos fundamentales para demostrar que una propiedad \( \mathcal{P}(n) \) es cierta para todo número natural \( n \):

1. Caso base o inicio de inducción: Probar que la afirmación es verdadera para el primer valor (habitualmente \( n=0 \) o \( n=1 \)).
2. Paso inductivo o relación de inducción: Asumir que la afirmación es cierta para un número \( n=k \) arbitrario (Hipótesis de inducción) y demostrar que, bajo esa suposición, la afirmación también debe ser cierta para \( n=k+1 \) (Tesis de inducción o tesis inductiva).

Ejemplos

1.- Un ejemplo gráfico de aplicación de este principio, el lector lo puede encontrar en la entrada de este blog llamada La Torre de Hanoi y el fin del mundo.

 
 

2.- El problema del cocinero perezoso (también conocido como el problema de las líneas en el plano o los números perezosos del pastelero) plantea lo siguiente: 

\(\mathcal{P}(n)\): El número máximo de trozos en los que se puede cortar una tortilla de patatas (pizza o pastel) mediante \(n\) cortes rectos es \( T(n) =\frac{n(n+1)}{2}+1\).

 La siguiente imagen nos muestra lo que sucede al experimentar con los primeros cortes:

Inicio de inducción. Para \( n=0 \) se tiene que \( T(0) =1\) lo que coincide con toda la tortilla cuando no se ha realizado ningún corte.

Relación de inducción. 

• Asumimos que la fórmula es correcta para un número arbitrario de cortes \( k \ge 0 \). Es decir, suponemos cierto que: \( T(k) = \frac{k(k + 1)}{2} + 1\) (Hipótesis Inductiva).
•  Debemos demostrar que, al añadir el corte número \( k + 1 \), el total de piezas \( p_{k+1} \) cumple la misma fórmula sustituyendo \( n \) por \( k + 1 \). Es decir, \( T(k+1) = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} + 1 \).

  Notemos que, al realizar el corte número \(k + 1\), para maximizar el número de trozos, la nueva recta debe cruzar a las \(k \) rectas anteriores en puntos distintos. Por tanto, al cortar $k$ rectas, la nueva línea recta queda dividida en \(k + 1\) segmentos (los tramos interiores entre cruces más los dos extremos). Cada uno de esos \(k + 1\) segmentos atraviesa una trozo existente y la divide en dos partes, añadiendo exactamente 1 trozo nuevo por segmento. Por lo tanto, la relación de recurrencia es: \( T(k+1) = T(k) + k+1 \).

  Utilizando la hipótesis inductiva en la relación de recurrencia anterior se tiene que: \[T(k+1) = T(k) + k+1= \frac{k(k + 1)}{2}+k+2= \frac{k(k + 1)+2(k+1)}{2}+1=\frac{(k + 1)(k + 2)}{2} + 1, \] tal como debíamos demostrar.

3.- Caso base o inicio de inducción es necesario. Si suprimimos el caso base o inicio de inducción podemos llegar a conclusiones erróneas, como en el siguiente ejemplo:

Queremos probar la proposición \( \mathcal{P}(n) \), la cual afirma que \( n = n + 1 \) para todo número natural \( n \).

Si suprimimos el caso base, por hipótesis de inducción tenemos que para \( n=k \) se cumple que \( k=k+1 \). Entonces debemos demostrar que \( \mathcal{P}(k+1) \) es cierta. Sumamos \( 1 \) a ambos lados de la igualdad de la hipótesis y obtenemos \( k + 1 = (k + 1) + 1 \). Dado que hemos llegado exactamente a la estructura \( \mathcal{P}(k+1) \), el paso inductivo es algebraicamente irreprochable: si la propiedad se cumpliera para \( k \), obligatoriamente se cumpliría para \( k+1 \). Pero no hemos comprobado un caso base (\( n = 1 \)) y, obviamente, si intentamos verificar si \( 1 = 1 + 1 \), vemos que \( 1 = 2 \) es totalmente falso.

4.- La relación de inducción es necesaria. La inducción incompleta (o inducción empírica) es un tipo de razonamiento inductivo en el cual se extrae una conclusión general a partir de la observación empírica de solo una muestra de casos donde se cumple la propiedad \( \mathcal{P}(n) \). Si queremos probar que dicha propiedad se cumple para todo número natural \( n \) y obviamos el paso inductivo, podemos llegar a una conclusión errónea, como en el siguiente ejemplo debido al célebre matemático suizo Leonhard Euler:

Al evaluar el polinomio \( p(n) = n^2 + n + 41 \) para los primeros 40 enteros no negativos (\( 0 \le n \le 39 \)), obtenemos: \( p(0) = 41 \), \( p(1) = 43 \), \( p(2) = 47 \), \( p(3) = 53 \), \( \dots \), \( p(39) = 1601 \). Mediante esta observación empírica, en todos los 40 casos observados \( p(n) \) es un número primo, y esto pudiera llevarnos a afirmar que para todo número natural \( n \), el valor \( p(n) \) es un número primo. Sin embargo, al no haber realizado la demostración formal mediante el paso inductivo, la afirmación falla para \( n = 40 \), ya que \( p(40) = 1681 = 41^2 \), es decir, \( p(40) \) no es un número primo.

Destaquemos que los dos últimos ejemplos muestran que no podemos prescindir de niguno de los dos pasos con los que consta el principio de inducción, ambos son necesarios. 

 Antecedentes

El primer ejemplo, debidamente documentado, de aplicación implícita del principio de inducción lo encontramos en el Libro IX de los Elementos de Euclides que data del Siglo IV a.C.(en particular, en la famosa Proposición 20), Euclides demostró que hay más números primos que cualquier cantidad dada de números primos (lo que hoy resumimos como «existen infinitos números primos»).

Aunque no utilizó la inducción matemática formal, ni la notación algebraica moderna —ya que las matemáticas griegas eran fundamentalmente geométricas y visuales—, su razonamiento sigue una estructura recursiva e implícita paso a paso que anticipó el pensamiento inductivo.Euclides no intentó demostrar la infinitud hablando del «infinito» directamente (un concepto que los griegos evitaban), sino que demostró un procedimiento que siempre puede dar un paso más.

El razonamiento de Euclides, en versión moderna, es como a continuación:

1. Supongamos que existen \(n\) números  primos, donde \(n \in \mathbf{N}\) es fijo. Denotemos dicha lista de números pr1mos como \(\{p_1,p_2, \dots,p_n\}\).
2. Ahora construyamos el número \(p_*=1+\prod_{k=1}^n p_k\). Notemos que \(p_*\) no es divisible por ninguno de los número primos que se encuentran en la lista, por tanto \(p_*\) es un número primo diferente de todos los que aparecen en la lista, lo que contradice nuestro supuesto de que solo existían \(n\) número primos.

En resumen, la demostración de Euclides se considera un antecesor del principio de inducción debido a que:

•  Es un algoritmo constructivo: Euclides no solo afirma que existe otro primo, sino que muestra el mecanismo lógico exacto para encontrarlo a partir de cualquier lista dada.
• Carácter "Paso a Paso" (Mecanismo generador): El argumento demuestra que, dado cualquier número entero \(n\) de primos, siempre es posible generar al menos el primo \(n+1\). Al poder repetirse el proceso de manera indefinida, la lista nunca se agota.

Mucho más tarde, en el mundo islámico, el matemático Al-Karaji (aproximadamente por el año 1000) aplicó una forma primitiva de paso inductivo para demostrar la fórmula del binomio y la suma de cubos enteros. Lo que hizo Al-Karaji fue en lugar de demostrar una propiedad para un número general \(k\) y dar el salto al caso \(k+1\), utilizó un razonamiento escalonado: Demostraba la regla para \(n=1\), luego el caso \(n=2\) basándose en el resultado obtenido para \(n=1\)luego el caso \(n=3\) basándose en \(n=2\), y así sucesivamente para varios números (por ejemplo, hasta el 5 o 10). Al observar que el patrón se repetía de manera idéntica, añadía una frase que significaba "y así sucesivamente hasta el infinito", generalizando la regla.

En resumen, aunque le faltaba la formalización rigurosa que se logró siglos después con la abstracción algebraica moderna, Al-Karaji fue el primero en estructurar un argumento de naturaleza inductiva para demostrar patrones numéricos infinitos.

El camino hacia el rigor

•  Francesco Maurolico y la primera demostración explícita (1575). El sacerdote y matemático siciliano Francesco Maurolico publicó Arithmeticorum libri duo. En esta obra demostró explícitamente que la suma de los primeros \(n\) números impares es igual a \(n^2\), estableciendo primero el caso base y demostrando formalmente que si la propiedad se cumple para un número, se cumple para el siguiente.
• Blaise Pascal y el Triángulo Aritmético (1654). Pascal formalizó y popularizó el método en su Traité du triangle arithmétique. Pascal utilizó el principio explícitamente para demostrar las propiedades de los coeficientes binomiales, reconociendo el patrón dual: probar la verdad del primer caso y demostrar que la verdad de un caso implica la del siguiente.
• Adopción del nombre 'Inducción' en 1838. Aunque Jacob Bernoulli y De Moivre contribuyeron a su desarrollo en los siglos XVII y XVIII, fue Augustus De Morgan quien acuñó oficialmente el término "Mathematical Induction" en un artículo para la  Penny Cyclopaedia, dándole una identidad clara dentro del análisis matemático.
•  Axiomatización formal (1889). El matemático italiano Giuseppe Peano incluyó la inducción como uno de sus célebres Axiomas de Peano para construir los números naturales. A partir de este momento, la inducción dejó de ser solo una técnica de demostración para convertirse en la definición axiomática misma del conjunto de los números naturales.

 En definitiva, la inducción matemática es mucho más que un simple formalismo técnico: es el resultado de un fascinante viaje histórico que comenzó con los ingeniosos razonamientos iterativos de pioneros como Euclides y Al-Karaji y que, con el paso del tiempo, evolucionó hasta convertirse en uno de los pilares lógicos que hoy nos permiten tender un puente sólido entre lo particular y lo general, y pasar de lo finito a lo infinito numerable. Comprender su evolución nos recuerda que detrás de cada demostración rigurosa hay siglos de curiosidad, ingenio y esfuerzo humano. Y nos muestra que, con una base sólida y una regla clara, incluso aquello que parece inalcanzable puede llegar a demostrarse. 

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 Lecturas complementarias. 

• La Torre de Hanoi y el fin del mundo.
• Elementos de Euclides.

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Googol vs. Googolplex: El origen matemático de Google

Hoy, la palabra Google forma parte de nuestro vocabulario cotidiano. La utilizamos para buscar información, resolver una duda o encontrar prácticamente cualquier cosa en Internet. Lo que quizá no resulte tan conocido es que detrás de este nombre se encuentra una curiosa historia matemática que comienza con un número gigantesco, un matemático y un niño de nueve años.

Ese número es el googol (gúgol en español), que se define como \(10^{100}\), es decir, un 1 seguido de cien ceros. Aunque escribirlo completo no resulta especialmente práctico, desde el punto de vista matemático es un número muy sencillo y por enorme que pueda parecernos, sigue siendo un número finito.

La historia de su nombre se remonta a la década de 1920 y tiene como protagonista al matemático estadounidense Edward Kasner (1878–1955), profesor de la Universidad de Columbia. Kasner estaba interesado en los números extraordinariamente grandes y en la dificultad que tenemos para imaginar cantidades que escapan por completo de nuestra experiencia cotidiana. Según la historia que el propio Kasner difundió, durante un paseo acompañado por su sobrino de nueve años, Milton Sirotta, surgió la cuestión de cómo llamar a un número tan enorme. Kasner decidió preguntarle al niño qué nombre le pondría a un número formado por un 1 seguido de cien ceros. La respuesta fue una palabra aparentemente inventada de la nada: googol. Kasner quedó satisfecho con aquella ocurrencia y decidió adoptar el término. La palabra no tenía ninguna tradición matemática: había nacido de la imaginación de un niño y, sin embargo, estaba a punto de incorporarse al lenguaje de la divulgación matemática.

Pero la conversación no terminó ahí. Kasner preguntó también qué nombre podría darse a un número todavía mayor, definido como \(10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}\) y su sobrino propuso otra palabra: googolplex (gúgolplex en español), es decir un googloplex es un uno seguido de un googol de ceros ( \(10^{100}\) ceros).

La historia de estos nombres no quedó reducida a aquella conversación familiar. En 1938, Kasner publicó un artículo titulado New Names in Mathematics, en el que introdujo los términos googol y googolplex. Dos años después, en 1940, publicó junto con James R. Newman el conocido libro Mathematics and the Imagination, que contribuyó a popularizarlos.

El atractivo del googol no reside en alguna propiedad matemática especialmente profunda, sino en la enorme cantidad que representa y en la facilidad con la que puede definirse. Es un buen ejemplo de cómo una expresión muy sencilla puede describir una cantidad que escapa completamente a nuestra intuición. También permite comprender una diferencia fundamental: ser extraordinariamente grande no significa ser infinito.

Podemos comparar, por ejemplo, el googol con algunas estimaciones del número de partículas del universo observable, que se sitúan alrededor de \(10^{80}\), dependiendo de qué partículas se contabilicen y del modelo utilizado. En cualquier caso, como comparación de órdenes de magnitud, tenemos $$ 10^{80} \ll 10^{100} \; \text{ y por tanto } \; {10^{100}}/{10^{80}}=10^{20}. $$ Así que un googol no es solo grande; supera la cantidad de todos los átomos de todo lo que podemos ver en cualquier dirección a lo largo de miles de millones de años luz de espacio.

Pero incluso el googol resulta diminuto frente al googolplex. Pues un googolplex es tan grande que resulta físicamente imposible escribirlo en su forma decimal completa, ya que requeriría más espacio del que existe en todo el universo observable. En efecto, un googolplex es 10 elevado a la potencia de un googol y un googol es un número mayor que la cantidad de átomos en el universo observable. Si intentáramos escribir un cero por cada átomo del universo observable, nos quedaríamos sin átomos antes siquiera de empezar. Sencillamente, no existe suficiente materia física para representar este número de forma escrita.

Y aquí es donde la idea se vuelve aún más interesante, podemos seguir construyendo números cada vez mayores sin necesidad de recurrir al infinito, basta con aumentar los exponentes, utilizar factoriales o construir expresiones como torres de potencias. Por ejemplo el número de Shannon (cantidad de partidas de ajedrez posibles) es igual a \(10^{120}\), obviamente mayor que el googol. Pero en el mundo de las matemáticas, aparecen números que hacen que el googolplex parezca microscópico en demostraciones y teoremas cotidianos. El número de Graham, por ejemplo, es tan astronómicamente mayor que un googolplex que no existe una forma significativa ni siquiera de compararlos; comparado con él, el googolplex prácticamente se reduciría a cero. El universo tiene un límite de tamaño, pero las matemáticas, no. Y esa brecha entre la realidad física y la abstracción pura es una de las cosas más extraordinarias de ser un ser pensante en este cosmos. Hemos creado un lenguaje capaz de describir cosas que nuestro universo no es lo suficientemente grande para contener.

Del googol a Google y del googolplex a Googleplex

La historia podría haber terminado como una curiosa anécdota de la divulgación matemática. Sin embargo, varias décadas después, la palabra googol reapareció en un contexto completamente diferente.

En 1995, Larry Page y Sergey Brin se conocieron en la Universidad de Stanford y comenzaron a trabajar en un proyecto destinado a organizar la enorme cantidad de información que empezaba a acumularse en la World Wide Web. El proyecto recibió inicialmente el nombre de BackRub, pero sus creadores buscaban un nombre que reflejara mejor la magnitud de su propósito.

Googleplex, la sede principal de Google en Mountain View, California

La inspiración llegó precisamente del término matemático googol. De él surgió el nombre Google, una ligera modificación de la palabra que Kasner había introducido décadas antes. La elección resultaba especialmente apropiada para un buscador cuya finalidad era organizar cantidades cada vez mayores de información.

Existe una versión muy difundida según la cual los fundadores pretendían llamar a la empresa Googol, pero que el nombre terminó escribiéndose Google debido a un error al registrarlo. Sin embargo, conviene tomar esta explicación con cierta cautela. La relación con googol está reconocida, pero no es necesario atribuir el origen del nombre exclusivamente a una errata; resulta más prudente hablar de una referencia o juego de palabras con el término matemático.

La conexión tampoco terminó con el nombre de la empresa. La sede principal de Google en Mountain View, California, es conocida como el Googleplex, un nombre que recuerda directamente al googolplex.

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Lectura recomendada: El número de Shannon: ¿cuántas partidas de ajedrez son posibles?

El número de Shannon: ¿cuántas partidas de ajedrez son posibles?

Claude Elwood Shannon (1916–2001)

El ajedrez es un juego engañosamente simple en sus reglas: un tablero de 64 casillas, 32 piezas y dos jugadores turnándose para mover. Sin embargo, detrás de esa aparente sencillez se esconde un universo matemático tan inconmensurable que desafía nuestra imaginación. A mediados del siglo XX, un científico fascinado por los enigmas de la mente y la tecnología intentó calcular cuántas partidas diferentes podían llegar a jugarse jamás. El resultado de su cálculo, bautizado como el Número de Shannon, demostró que el ajedrez tiene más caminos posibles que átomos existen en todo el universo conocido.

Todo comenzó en 1950. Claude Shannon, un brillante matemático y criptógrafo estadounidense que ya era famoso por haber sentado las bases de la era digital y la teoría de la información, publicó un artículo pionero titulado "Programming a Computer for Playing Chess" ("Programando una computadora para jugar al ajedrez"). En aquella época, las computadoras eran máquinas gigantescas, lentas y rudimentarias. Shannon no quería enseñar a una computadora a jugar simplemente por entretenimiento; su meta era descubrir si las máquinas podían aprender a resolver problemas complejos del mundo real utilizando la lógica. Para ello, decidió probar si una computadora podía "resolver" el ajedrez calculando cada posible jugada de principio a fin, una estrategia conocida como fuerza bruta.

Para comprobar si este método era viable, Shannon hizo un cálculo muy sencillo. Observó que, en una partida promedio entre humanos, cada jugador suele tener unas \(30\) opciones distintas de movimiento en su turno. Además, notó que una partida estándar suele durar alrededor de \(40\) jugadas por bando (lo que equivale a \(80\) turnos individuales en total). Si en cada uno de esos \(80\) turnos multiplicamos las \(30\) opciones posibles, obtenemos la célebre ecuación \( 30^{80} \approx 10^{120}\)

Ese número, un uno seguido de 120 ceros (\(10^{120}\)), es el Número de Shannon. Para comprender lo descomunal que es esta cifra, basta compararla con el cosmos: los astrónomos estiman que en todo el universo observable hay entre \(10^{78}\) y \(10^{80}\) átomos. Esto significa que si cada átomo del universo fuera un universo entero por sí mismo, aún no nos acercaríamos a la cantidad de partidas de ajedrez únicas que se pueden jugar. Incluso si la computadora más potente construida jamás evaluara miles de millones de jugadas por segundo desde el origen del universo, apenas habría arañado la superficie de este número.

El 10 de febrero de 1996, el ordenador Deep Blue gano la primera partida del enfrentamiento con Gary Kasparov en 37 movimientos con piezas blancas.  

Esta abrumadora realidad cambió para siempre el rumbo de la inteligencia artificial. Claude Shannon demostró que era absolutamente imposible que una máquina ganara al ajedrez explorando todas las combinaciones posibles. En su lugar, las computadoras debían aprender a "pensar" como lo hacen los grandes maestros humanos: no mirando todas las jugadas, sino descartando las malas estrategias mediante la intuición, la lógica y la evaluación de patrones. Gracias a esta revelación, nacieron los algoritmos de evaluación y las técnicas de búsqueda inteligente que décadas más tarde permitirían a supercomputadoras como Deep Blue derrotar a Garry Kasparov en 1996, y a la inteligencia artificial moderna, como AlphaZero, dominar el juego a niveles superiores. En definitiva, el Número de Shannon no solo reveló la insondable profundidad del ajedrez, sino que obligó a las máquinas a desarrollar las primeras chispas de inteligencia artificial.