Descartes, Fermat y la Geometría Analítica

Históricamente, el álgebra y la geometría previos al momento que revisaremos, operaron como disciplinas aisladas. El giro decisivo ocurrió en el siglo XVII, cuando René Descartes y Pierre de Fermat integraron ambos mundos de manera independiente, dando origen a la geometría analítica.

Esta transición representó una auténtica revolución conceptual basada en dos pilares:

1.- La traducción algebraica de la forma: Las curvas y figuras geométricas comenzaron a representarse mediante ecuaciones.

2.- La sistematización del espacio: El uso de coordenadas permitió resolver problemas geométricos complejos a través del cálculo algorítmico, eliminando la dependencia exclusiva de la construcción visual clásica.

Este avance se sitúa justo después del periodo analizado en nuestro post sobre la Prostaféresis. Si en aquella etapa el foco fue el perfeccionamiento  los procedimientos de  cálculo, el simbolismo algebraico y la trigonometría, la geometría analítica supuso la consolidación de esas herramientas, convirtiéndose en el antecedente directo y necesario para el nacimiento del cálculo infinitesimal.

Antecedentes

• Cónicas de Apolonio de Perge (s. III a.C.). En su obra Apolonio logró la sistematización definitiva de las secciones obtenidas al cortar un cono con un plano, definiendo y nombrando la elipse, la parábola e hipérbola. Su genialidad residió en demostrar que estas figuras comparten un origen común y en describirlas mediante relaciones geométricas de áreas y segmentos denominadas "síntomas", las cuales operaban como un antecedente geométrico de las ecuaciones modernas. Aunque su método era puramente visual y deductivo, Apolonio dejó establecidas las propiedades intrínsecas de estas curvas, proporcionando el material base que, siglos más tarde, Fermat y Descartes traducirían al lenguaje del álgebra.
• Herón de Alejandría (10-70 d. C.): Implementó el uso de sistemas de coordenadas aplicados a la agrimensura, facilitando la medición y división de terrenos.
• Claudio Ptolomeo (≈ 85-165 d. C.): En su "Geografía", sentó los rudimentos de la longitud y latitud, utilizando coordenadas numéricas para localizar puntos sobre la superficie terrestre.
• Pappo de Alejandría (290-350 d. C.): Introdujo nociones pioneras sobre la aplicación de métodos analíticos (precursores del álgebra) para resolver problemas geométricos.
• Nicolás de Oresme (1323-1382): En "Tractatus de latitudinibus formarum", creó los primeros gráficos de funciones al trasladar al plano el sistema de coordenadas esféricas de los geógrafos. Utilizó los términos longitud y latitud como antecesores directos de las actuales abscisas y ordenadas. 
• Desarrollo de los métodos y el simbolismo algebraico  en la Europa de los siglos XV y XVI.

 A las motivaciones de una economía mercantil y preindustrial que ya comentamos en el post sobre  la Prostaféresis, hay que agregar la gran aceptación de la teoría de secciones cónica y su nexo con problemas prácticos con el movimiento de los planetas (elipse) y la trayectoria de un proyectil (parábola). 

Descartes y Fermat, dos caminos hacia una misma creación

1. Punto de partida y motivación

• René Descartes (La Géométrie, 1637): Su enfoque era pragmático y filosófico cognitivo. No buscaba desarrollar matemáticas de forma aislada, sino demostrar la potencia de su "Método" para resolver problemas. Introdujo el álgebra como una herramienta para simplificar construcciones geométricas complejas.

• Pierre de Fermat (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge, h. 1636): Su enfoque era clásico y mecánico geométrico. Fermat pretendía reconstruir los trabajos perdidos de Apolonio. Su motivación era puramente matemática: demostrar que las propiedades de las curvas griegas podían deducirse de ecuaciones algebraicas simples.

2. La dirección del análisis

• Descartes (Geometría → Álgebra): Partía de un problema geométrico (como el de Pappus) y buscaba la ecuación que lo describiera. Su objetivo primordial era la resolución de ecuaciones mediante la geometría.

• Fermat (Álgebra → Geometría): Partía de una ecuación lineal o cuadrática y demostraba que siempre correspondía a una recta o a una sección cónica. Su enfoque se centraba en el estudio de los lugares geométricos.

3. Notación y Sistema de Coordenadas

• Descartes: Introdujo la convención actual de usar las últimas letras del alfabeto (x, y, z) para las incógnitas y las primeras (a, b, c) para las constantes. Utilizó un solo eje de referencia y segmentos que no eran necesariamente perpendiculares.

• Fermat: Utilizó una notación heredada de Viète (empleando vocales para las incógnitas). Aunque su sistema era conceptualmente más cercano al actual, su obra no se publicó formalmente hasta 1679, lo que limitó su impacto inmediato frente al éxito editorial de Descartes.

Característica	René Descartes	Pierre de Fermat
Obra principal	La Géométrie (1637)	Isagoge (1636, pub. 1679)
Visión	El álgebra como sierva de la geometría.	El álgebra como lenguaje de la geometría.
Ecuaciones	Se centró en curvas de grados superiores.	Se centró en la clasificación de rectas y cónicas.
Impacto	Masivo debido a la imprenta y su fama.	Limitado inicialmente a la correspondencia privada.

A pesar de que el sistema de coordenadas lleva el nombre de "cartesianas", el enfoque de Fermat fue, en ciertos aspectos técnicos, más cercano al espíritu de la geometría analítica moderna. Sin embargo, la audacia de Descartes al publicar sus resultados en vida le otorgó la primacía en la narrativa histórica. Esta dualidad no solo enriqueció la disciplina, sino que dejó el escenario listo para que la siguiente generación de matemáticos diera el salto hacia el cálculo.

Evolución y Consolidación de la Geometría Analítica

• 1704 — Isaac Newton: En su obra "Enumeración de las curvas de tercer orden", utiliza por primera vez los ejes cartesianos tal como los conocemos hoy. Fue pionero en el empleo sistemático de valores negativos tanto en coordenadas como en las raíces de las ecuaciones.
• 1707 — Guillaume de L'Hôpital: En su "Traité analytique des sections coniques", realiza la traducción definitiva de las cónicas de Apolonio al lenguaje formal de la geometría analítica, facilitando su estudio algebraico.
• A. C. Clairaut (1713-1765): Extendió los horizontes de la disciplina al espacio tridimensional mediante la introducción de un sistema de tres ejes coordenados rectangulares (x, y, z).
• 1748 — Leonhard Euler: En el segundo tomo de su "Introductio in analysin infinitorum", redacta el primer tratado de geometría analítica en el sentido moderno, logrando una independencia total de los métodos clásicos de Apolonio. Con Euler, la Geometría Analítica alcanzó prácticamente todo el compendio de contenidos que la conforman en la actualidad, solo faltaba el Álgebra Lineal del siblo XIX para llegar a su forma definitiva.
• S. F. Lacroix (1764-1848): A finales del siglo XVIII, introduce formalmente la denominación de "Geometría Analítica", estandarizando el término que usamos hasta la actualidad.