Googol vs. Googolplex: El origen matemático de Google

Hoy, la palabra Google forma parte de nuestro vocabulario cotidiano. La utilizamos para buscar información, resolver una duda o encontrar prácticamente cualquier cosa en Internet. Lo que quizá no resulte tan conocido es que detrás de este nombre se encuentra una curiosa historia matemática que comienza con un número gigantesco, un matemático y un niño de nueve años.

Ese número es el googol (gúgol en español), que se define como \(10^{100}\), es decir, un 1 seguido de cien ceros. Aunque escribirlo completo no resulta especialmente práctico, desde el punto de vista matemático es un número muy sencillo y por enorme que pueda parecernos, sigue siendo un número finito.

La historia de su nombre se remonta a la década de 1920 y tiene como protagonista al matemático estadounidense Edward Kasner (1878–1955), profesor de la Universidad de Columbia. Kasner estaba interesado en los números extraordinariamente grandes y en la dificultad que tenemos para imaginar cantidades que escapan por completo de nuestra experiencia cotidiana. Según la historia que el propio Kasner difundió, durante un paseo acompañado por su sobrino de nueve años, Milton Sirotta, surgió la cuestión de cómo llamar a un número tan enorme. Kasner decidió preguntarle al niño qué nombre le pondría a un número formado por un 1 seguido de cien ceros. La respuesta fue una palabra aparentemente inventada de la nada: googol. Kasner quedó satisfecho con aquella ocurrencia y decidió adoptar el término. La palabra no tenía ninguna tradición matemática: había nacido de la imaginación de un niño y, sin embargo, estaba a punto de incorporarse al lenguaje de la divulgación matemática.

Pero la conversación no terminó ahí. Kasner preguntó también qué nombre podría darse a un número todavía mayor, definido como \(10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}\) y su sobrino propuso otra palabra: googolplex (gúgolplex en español), es decir un googloplex es un uno seguido de un googol de ceros ( \(10^{100}\) ceros).

La historia de estos nombres no quedó reducida a aquella conversación familiar. En 1938, Kasner publicó un artículo titulado New Names in Mathematics, en el que introdujo los términos googol y googolplex. Dos años después, en 1940, publicó junto con James R. Newman el conocido libro Mathematics and the Imagination, que contribuyó a popularizarlos.

El atractivo del googol no reside en alguna propiedad matemática especialmente profunda, sino en la enorme cantidad que representa y en la facilidad con la que puede definirse. Es un buen ejemplo de cómo una expresión muy sencilla puede describir una cantidad que escapa completamente a nuestra intuición. También permite comprender una diferencia fundamental: ser extraordinariamente grande no significa ser infinito.

Podemos comparar, por ejemplo, el googol con algunas estimaciones del número de partículas del universo observable, que se sitúan alrededor de \(10^{80}\), dependiendo de qué partículas se contabilicen y del modelo utilizado. En cualquier caso, como comparación de órdenes de magnitud, tenemos $$ 10^{80} \ll 10^{100} \; \text{ y por tanto } \; {10^{100}}/{10^{80}}=10^{20}. $$ Así que un googol no es solo grande; supera la cantidad de todos los átomos de todo lo que podemos ver en cualquier dirección a lo largo de miles de millones de años luz de espacio.

Pero incluso el googol resulta diminuto frente al googolplex. Pues un googolplex es tan grande que resulta físicamente imposible escribirlo en su forma decimal completa, ya que requeriría más espacio del que existe en todo el universo observable. En efecto, un googolplex es 10 elevado a la potencia de un googol y un googol es un número mayor que la cantidad de átomos en el universo observable. Si intentáramos escribir un cero por cada átomo del universo observable, nos quedaríamos sin átomos antes siquiera de empezar. Sencillamente, no existe suficiente materia física para representar este número de forma escrita.

Y aquí es donde la idea se vuelve aún más interesante, podemos seguir construyendo números cada vez mayores sin necesidad de recurrir al infinito, basta con aumentar los exponentes, utilizar factoriales o construir expresiones como torres de potencias. Por ejemplo el número de Shannon (cantidad de partidas de ajedrez posibles) es igual a \(10^{120}\), obviamente mayor que el googol. Pero en el mundo de las matemáticas, aparecen números que hacen que el googolplex parezca microscópico en demostraciones y teoremas cotidianos. El número de Graham, por ejemplo, es tan astronómicamente mayor que un googolplex que no existe una forma significativa ni siquiera de compararlos; comparado con él, el googolplex prácticamente se reduciría a cero. El universo tiene un límite de tamaño, pero las matemáticas, no. Y esa brecha entre la realidad física y la abstracción pura es una de las cosas más extraordinarias de ser un ser pensante en este cosmos. Hemos creado un lenguaje capaz de describir cosas que nuestro universo no es lo suficientemente grande para contener.

Del googol a Google y del googolplex a Googleplex

La historia podría haber terminado como una curiosa anécdota de la divulgación matemática. Sin embargo, varias décadas después, la palabra googol reapareció en un contexto completamente diferente.

En 1995, Larry Page y Sergey Brin se conocieron en la Universidad de Stanford y comenzaron a trabajar en un proyecto destinado a organizar la enorme cantidad de información que empezaba a acumularse en la World Wide Web. El proyecto recibió inicialmente el nombre de BackRub, pero sus creadores buscaban un nombre que reflejara mejor la magnitud de su propósito.

Googleplex, la sede principal de Google en Mountain View, California

La inspiración llegó precisamente del término matemático googol. De él surgió el nombre Google, una ligera modificación de la palabra que Kasner había introducido décadas antes. La elección resultaba especialmente apropiada para un buscador cuya finalidad era organizar cantidades cada vez mayores de información.

Existe una versión muy difundida según la cual los fundadores pretendían llamar a la empresa Googol, pero que el nombre terminó escribiéndose Google debido a un error al registrarlo. Sin embargo, conviene tomar esta explicación con cierta cautela. La relación con googol está reconocida, pero no es necesario atribuir el origen del nombre exclusivamente a una errata; resulta más prudente hablar de una referencia o juego de palabras con el término matemático.

La conexión tampoco terminó con el nombre de la empresa. La sede principal de Google en Mountain View, California, es conocida como el Googleplex, un nombre que recuerda directamente al googolplex.

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Lectura recomendada: El número de Shannon: ¿cuántas partidas de ajedrez son posibles?

El número de Shannon: ¿cuántas partidas de ajedrez son posibles?

Claude Elwood Shannon (1916–2001)

El ajedrez es un juego engañosamente simple en sus reglas: un tablero de 64 casillas, 32 piezas y dos jugadores turnándose para mover. Sin embargo, detrás de esa aparente sencillez se esconde un universo matemático tan inconmensurable que desafía nuestra imaginación. A mediados del siglo XX, un científico fascinado por los enigmas de la mente y la tecnología intentó calcular cuántas partidas diferentes podían llegar a jugarse jamás. El resultado de su cálculo, bautizado como el Número de Shannon, demostró que el ajedrez tiene más caminos posibles que átomos existen en todo el universo conocido.

Todo comenzó en 1950. Claude Shannon, un brillante matemático y criptógrafo estadounidense que ya era famoso por haber sentado las bases de la era digital y la teoría de la información, publicó un artículo pionero titulado "Programming a Computer for Playing Chess" ("Programando una computadora para jugar al ajedrez"). En aquella época, las computadoras eran máquinas gigantescas, lentas y rudimentarias. Shannon no quería enseñar a una computadora a jugar simplemente por entretenimiento; su meta era descubrir si las máquinas podían aprender a resolver problemas complejos del mundo real utilizando la lógica. Para ello, decidió probar si una computadora podía "resolver" el ajedrez calculando cada posible jugada de principio a fin, una estrategia conocida como fuerza bruta.

Para comprobar si este método era viable, Shannon hizo un cálculo muy sencillo. Observó que, en una partida promedio entre humanos, cada jugador suele tener unas \(30\) opciones distintas de movimiento en su turno. Además, notó que una partida estándar suele durar alrededor de \(40\) jugadas por bando (lo que equivale a \(80\) turnos individuales en total). Si en cada uno de esos \(80\) turnos multiplicamos las \(30\) opciones posibles, obtenemos la célebre ecuación \( 30^{80} \approx 10^{120}\)

Ese número, un uno seguido de 120 ceros (\(10^{120}\)), es el Número de Shannon. Para comprender lo descomunal que es esta cifra, basta compararla con el cosmos: los astrónomos estiman que en todo el universo observable hay entre \(10^{78}\) y \(10^{80}\) átomos. Esto significa que si cada átomo del universo fuera un universo entero por sí mismo, aún no nos acercaríamos a la cantidad de partidas de ajedrez únicas que se pueden jugar. Incluso si la computadora más potente construida jamás evaluara miles de millones de jugadas por segundo desde el origen del universo, apenas habría arañado la superficie de este número.

El 10 de febrero de 1996, el ordenador Deep Blue gano la primera partida del enfrentamiento con Gary Kasparov en 37 movimientos con piezas blancas.  

Esta abrumadora realidad cambió para siempre el rumbo de la inteligencia artificial. Claude Shannon demostró que era absolutamente imposible que una máquina ganara al ajedrez explorando todas las combinaciones posibles. En su lugar, las computadoras debían aprender a "pensar" como lo hacen los grandes maestros humanos: no mirando todas las jugadas, sino descartando las malas estrategias mediante la intuición, la lógica y la evaluación de patrones. Gracias a esta revelación, nacieron los algoritmos de evaluación y las técnicas de búsqueda inteligente que décadas más tarde permitirían a supercomputadoras como Deep Blue derrotar a Garry Kasparov en 1996, y a la inteligencia artificial moderna, como AlphaZero, dominar el juego a niveles superiores. En definitiva, el Número de Shannon no solo reveló la insondable profundidad del ajedrez, sino que obligó a las máquinas a desarrollar las primeras chispas de inteligencia artificial.

Los números de Kaprekar

Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905–1986) nació en Dahanu, cerca de Bombay, India. Se interesó por los números desde muy pequeño. Recibió educación secundaria en Thana y estudió en la instituto Fergusson, en Poona. Asistió a la Universidad de Bombay, recibiendo la licenciatura en 1929. Desde 1930 hasta su jubilación en 1962, trabajó como profesor de matemáticas de educación media en la ciudad de Devlali, India.

Kaprekar se autodefinía como un "adicto a las matemáticas recreativas" y pasaba noches enteras lápiz en mano jugando con combinaciones y propiedades de los números enteros. Escribió sobre temas como decimales con patrones recurrentes, cuadrados mágicos y números con propiedades especiales. Las siguientes clases de números fueron parte de los estudios que realizó.

La Constante de  Kaprekar

En 1949, mientras experimentaba ordenando y restando los dígitos de números de cuatro cifras, descubrió un bucle inevitable. Se dio cuenta de que, sin importar el número inicial que eligiera (siempre que no tuviera las 4 cifras iguales), aplicar repetidamente la sencilla rutina de ordenar sus dígitos de mayor a menor y restarle el orden menor al mayor siempre conducía al número 6174 en un máximo de 7 pasos, a dicho número le llamamos la constante de Kaprekar. La rutina consiste en lo siguiente:

1. Eligir 4 dígitos donde al menos dos sean distintos, por ejemplo 2959.
2. Ordenar los dígitos de mayor a menor (9952) y de menor a mayor (2599).
3. Restarlos, 9 952-2 599=7 353.
4. Repetir el proceso hasta llegar a 6174, 7533-3357=4176, 7641-1467=6174.
5. Una vez que llegas a 6 174, la resta 7641 - 1467=6174 de forma infinita.

Kaprekar , presentó su hallazgo en la Conferencia Matemática de Madrás ese mismo año. La comunidad matemática profesional de la época no lo tomó en serio. Para los académicos indios formados en matemáticas teóricas tradicionales, sus descubrimientos parecían meras trivialidades sin fundamento riguroso. Durante décadas fue ignorado y llamado burlonamente "aficionado", pero él no se desanimó.  Publicaba sus hallazgos en pequeñas revistas locales o pagaba de su propio bolsillo para imprimir sus folletos. El gran giro ocurrió en 1975, cuando el célebre divulgador científico Martin Gardner escribió sobre el trabajo de Kaprekar en su famosa columna de Scientific American. A partir de ese momento, la constante 6174 fascinó a matemáticos e informáticos de todo el mundo que comenzaron a probar el proceso en computadoras  descubriendo el patrón para diferentes números de dígitos: 

• Para 3 dígitos, el "atractor" o constante equivalente es el 495 y el ciclo es de a lo más 5 pasos.
• Para 4 dígitos, es la constante 6174  y el ciclo es de a lo más 7 pasos.
• No existe un único número (o constante) de Kaprekar para números de 5 cifras o más.
• Para números de 5 dígitos, el proceso nunca converge a un único número fijo. En su lugar, dependiendo del número con el que se inicie, la rutina caerá inevitablemente en uno de los siguientes 3 bucles (ciclos de números):  
• Bucle 1 (2 pasos): \(53\,955 \longrightarrow 59\,994 \longrightarrow 53\,955\).
• Bucle 2 (4 pasos):  \(61\,974 \longrightarrow 82\,962 \longrightarrow 75\,933 \longrightarrow 63\,954 \longrightarrow 61\,974\).
• Bucle 3 (4 pasos):  \(62\,964 \longrightarrow 71\,973 \longrightarrow 83\,952 \longrightarrow 74\,943 \longrightarrow 62\,964\).
• Para 6 dígitos. No tiene una única constante; tiene dos números fijos (como 549 945 y 631 764) además de varios bucles.  7 cifras o más: Se forman sistemas de ciclos cada vez más complejos y caóticos. 

En resumen, para que un número de N cifras tenga una "Constante de Kaprekar" pura (un único punto atractor donde caigan todos los números), la matemática detrás del sistema de numeración requiere condiciones muy específicas. En nuestra base 10, los números de  3 o  4 dígitos son las únicas excepciones afortunadas. Para números de 2, 5, 6 o más cifras, la dinámica suele ser más compleja, pues puede haber varios atractores,  aparecer ciclos de varios números y no todos los números terminan en el mismo atractor.

Número de Kaprekar

Un número de Kaprekar en base 10, es un número entero positivo  K  tal que: los dígitos del  número \(K^2\), se pueden separar  en dos partes  \(M\) y  \(N\), donde  \(N\) (la parte de la derecha de  \(K^2\) ) tiene el mismo número de dígitos que  \(K\) y tal que  \(M+N=K\).

Por ejemplo: 

1. Sea \(K=1\), por tanto \(1^2=1\), eligiendo  \(M=0\)  y \(N=1\), se tiene que  \(M+N=1\).
2. Sea \(K=9\), por tanto \(9^2=81\), eligiendo  \(M=8\)  y \(N=1\), se tiene que  \(M+N=9\).
3. Sea \(K=45\), por tanto \(45^2=2025\), eligiendo  \(M=20\)  y \(N=25\), se tiene que  \(M+N=45\). 
4. Sea \(K=297\), por tanto \(297^2=88\,209\), eligiendo  \(M=88\)  y \(N=209\), se tiene que  \(M+N=297\). 
5. Los siguientes 15 números de Kaprekar son 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962 y  77778.
6. Resaltemos que el segundo sumando puede empezar por uno o varios ceros, como ya vimos en el primer ejemplo o  en el caso \(99\,999^2=9\,999\,800\,001\;  \longrightarrow \;99\,998+00\,001=99\,999\).

 Existen infinitos números de Kaprekar y la demostración consiste en probar que todo número de la forma \(10^n-1\), con \(n\) entero positivo, es de Kaprekar. Este resultados también es válido para números en una base arbitraria \(b\),  es decir, el número \(b^n-1\) es de Kaprekar en la base \(b\). Un resultado interesante en binario (base 2) es que todos los números perfectos son números de Kaprekar.   

 Número de Harshad

 En 1953, durante una de sus habituales jornadas de trabajo matemático, Kaprekar comenzó a observar qué sucedía cuando tomaba un número y lo comparaba con la suma de sus propios dígitos. Descubrió que ciertos números tenían una especie de "armonía interna": podían ser divididos exactamente por la suma de sus propios dígitos. Sintió tal fascinación por la elegancia de este hallazgo que decidió bautizarlos en  sánscrito como: Harshad (gran alegría). Para él, estos eran literalmente los "números que traen gran alegría".

Obviamente, los números del 1 al 9 son de  Harshad, pues todo número es divisible por 1 y los múltiplos de 10 también los son, luego esta clase de números es infinita. Los primeros  20 números de de  Harshad son: 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72 y 80.

 Autonúmeros

 Para un entero positivo \(n\) definimos la función generadora \(g(n)=n+\text{suma de sus cifras}\). Por ejemplo:  \(g(16)=16+(1+6)=23\) y  \(g(123)=123+(1+2+3)=129\).

Un autonúmero \(a\) es un número que no tiene ningún generador, es decir, no existe ningún \(n\) tal que \(g(n)=a\). Por ejemplo:

•  20 es un autonúmero. Busquemos si existe algún número que genere \(20\): \(14+(1+4)=19\), \(15+(1+5)=2\), \(16+(1+6)=23\) y  así sucesivamente. No existe ningún número cuya suma con sus propias cifras sea \(20\).
•  23 no es un autonúmero, pues como hemos visto \(g(16)=23\). 

 Lo curioso es que forman una secuencia infinita de números que no tienen "padre" o generador bajo esta regla, como si fueran números que aparecen por sí solos dentro del sistema. Una forma intuitiva de verlo es: un número común puede ser "engendrado" por otro sumándole sus cifras, mientras que un autonúmero es aquel para el que no existe ningún progenitor.

Kaprekar demostró que las matemáticas no solo sirven para resolver problemas complejos, sino también para descubrir patrones sorprendentes escondidos en los números más cotidianos. Desde la famosa constante 6174 hasta los números de Kaprekar o Harshad y los autonúmeros, sus hallazgos siguen fascinando a matemáticos y aficionados por igual, recordándonos que incluso las operaciones más simples pueden revelar una belleza inesperada.

El número de oro

El Número de Oro, conocido también como la razón extrema y media, la proporción áurea o la Divina Proporción, se denota con la letra griega \(\varphi\) (o \(\Phi\) en algunos textos) en honor al gran escultor Fidias del siglo V a.C. (aproximadamente entre el 500 a.C. y el 431 a.C.). Esta cifra ha sido la brújula de arquitectos y artistas durante siglos: desde la Antigua Grecia hasta el diseño moderno, este número irracional define lo que el ojo humano percibe como armónico y equilibrado. No es solo una constante matemática; es el código secreto detrás de las galaxias, los girasoles y las obras de arte más famosas de la historia. Su valor es el siguiente: $$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} =\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\approx 1,618\,033\,988\,749\,894\,848\;204\;...$$

No hay evidencia de un empleo consciente (textos o planos) de la proporción áurea en obras de las civilizaciones anteriores a la antigua Grecia, a pesar de que aparece de forma recurrente en muchas de sus obras. Lo mas probable es que su uso fuera fruto de la intuición visual, la construcción funcional y la armonía geométrica.

El caso más debatido es la Gran Pirámide de Guiza de Egipto, ya que al dividir la apotema (altura de la cara) por la mitad de la base, el resultado es cercano a 1,618. En babilonia, el análisis en bajorrelieves y tablillas muestran dimensiones que encajan con rectángulos áureos, pero tampoco hay textos que describan dicha proporción.

El número de oro en la antigua Grecia

En la historia del pensamiento occidental, la figura de Pitágoras de Samos (c. 570 a.C. – 495 a.C.) se alza como el precursor fundamental de la relación entre las matemáticas y el cosmos. , Pitágoras estableció que el número es la esencia de todas las cosas. Para él y sus seguidores, la proporción no era un simple atributo estético, sino una ley universal que regía desde el movimiento de los astros hasta los intervalos de la música, sentando las bases de lo que siglos más tarde reconoceríamos como la sección áurea.

Para los pitagóricos, la manifestación más sagrada de esta proporción se encontraba en el pentagrama o estrella de cinco puntas, el cual adoptaron como su símbolo de identidad. En esta figura, cada intersección de líneas corta a las demás en la proporción exacta de 1.618..., revelando una geometría autosemejante que se repite infinitamente hacia el interior. Esta propiedad fractal simbolizaba para la hermandad el orden eterno y la salud, entendida esta última como el equilibrio perfecto de las partes con el todo.

Esta búsqueda de la armonía se extendió también al estudio de los sólidos platónicos, especialmente el dodecaedro. Al estar compuesto por doce caras pentagonales, este poliedro encierra en cada una de sus facetas la proporción áurea. Los pitagóricos llegaron a asociar esta figura con el "éter" o la esencia del Universo mismo, creyendo que la estructura íntima de la realidad estaba codificada bajo la proporción áurea.

Aproximadamente medio siglo después de la muerte del filósofo, durante el esplendor del período clásico, surge el gran escultor y arquitecto Fidias. Bajo el mecenazgo de Pericles, Fidias materializó las teorías matemáticas abstractas en obras tangibles de mármol. Su aplicación de proporciones armónicas en el diseño del Partenón fue tan icónica que, a inicios del siglo XX, el matemático estadounidense Mark Barr decidió bautizar al número áureo con la letra griega \(\varphi\) (phi), precisamente como un homenaje a la primera letra de su nombre en griego. Hoy en día, esta constante geométrica sigue presente en el diseño contemporáneo y la planificación urbana, demostrando que, sin importar la cultura o la época, el ser humano posee una inclinación instintiva hacia este equilibrio matemático para construir su entorno.

Aunque Fidias utilizó proporciones que hoy llamamos "áureas" en el diseño del Partenón (alrededor del 440 a.C.), lo hizo basándose en el sentido estético y la tradición geométrica de los arquitectos de su tiempo. Fue Euclides, unos 150 años después, quien le dio nombre matemático y demostró formalmente cómo calcular esa proporción. 

La Proporción Áurea según Euclides 

En el Libro VI, Definición 3 de sus Elementos, Euclides define lo que hoy conocemos como proporción áurea mediante el concepto de media y extrema razón:

"Se dice que una línea recta ha sido cortada en media y extrema razón cuando la recta total es al segmento mayor como el segmento mayor es al menor."

Si dividimos un segmento de longitud \( L \) en dos partes, \( a \) (mayor) y \( b \) (menor), la definición establece la siguiente igualdad: \(\; \displaystyle\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b}\).

Para encontrar el valor numérico del número \(\varphi= \frac{a}{b}\), en el sentido actual, partiendo de la definición de Euclides se tiene que:

$$1 + \frac{b}{a} = \frac{a}{b}\quad \Longrightarrow\quad 1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi\quad \Longrightarrow\quad \varphi^2 - \varphi - 1 = 0\quad \Longrightarrow\quad \varphi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}. $$

Dado que una proporción de longitudes físicas debe ser positiva, se tiene que  \(\displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.\)

Euclides no solo calculó esto algebraicamente, sino que demostró cómo construirlo con regla y compás (Libro II, Proposición 11). Esta relación asegura que el crecimiento del segmento sea proporcional, una propiedad que se encuentra tanto en la arquitectura del Partenón como en los patrones de crecimiento de la naturaleza.

De Divina Proportione: El Vínculo entre lo Humano y lo Divino

Luca Pacioli (1445 - 1517)

Publicada en Venecia en 1509, "De Divina Proportione" es una de las obras más influyentes del Renacimiento. Escrita por el fraile franciscano y matemático Luca Pacioli, el libro no es solo un tratado de geometría, sino una profunda reflexión filosófica sobre cómo las matemáticas reflejan la perfección de la creación. La obra es célebre no solo por su texto, sino por contar con sesenta ilustraciones de poliedros grabadas a partir de los diseños originales de Leonardo da Vinci, quien era amigo cercano y alumno de matemáticas de Pacioli.

La principal motivación de Pacioli para escribir este tratado fue elevar el estatus de las matemáticas al nivel de las artes liberales y la teología. Pacioli argumentaba que la proporción áurea (a la que él llamó "La Divina Proporción") compartía atributos con Dios. Identificó cinco propiedades específicas que justificaban este nombre: su unicidad (como la unidad de Dios), su trinidad (al definirse por tres términos), su invariabilidad (siendo un número irracional que no cambia), su omnipresencia y su capacidad para dar forma a los cinco sólidos platónicos que componen el universo.

El objetivo práctico de la obra era proporcionar a artistas, arquitectos y escultores una base científica y estética para sus creaciones. Pacioli buscaba demostrar que la belleza no era subjetiva, sino que residía en el cumplimiento de leyes matemáticas precisas. El libro se divide en tres partes: la primera analiza la proporción áurea desde una perspectiva matemática y mística; la segunda trata sobre la arquitectura y las proporciones del cuerpo humano (influenciada por Vitruvio); y la tercera es una traducción al italiano de un tratado sobre poliedros de Piero della Francesca.

En definitiva, "De Divina Proportione" logró unificar el rigor del pensamiento medieval con la curiosidad humanista del Renacimiento, estableciendo un estándar estético que dominaría el arte occidental durante siglos y consolidando la idea de que "la naturaleza se escribe en lenguaje matemático". 

Leonardo da Vinci, discípulo y colaborador de Luca Pacioli, elevó el uso de la proporción áurea de una regla matemática a una herramienta de composición sublime en la pintura. En obras maestras como La Gioconda, La Última Cena o el San Jerónimo penitente, Leonardo no se limitó a seguir esquemas rígidos, sino que integró la sección áurea de forma orgánica para guiar la mirada del espectador y dotar a sus figuras de una armonía natural y casi divina. Su dominio de $\phi$ permitió que la estructura interna de sus cuadros alcanzara un equilibrio visual perfecto, consolidando la idea de que la belleza pictórica es, en esencia, una manifestación del orden geométrico del universo. 

Tras el Renacimiento, el interés por el número áureo se desplazó desde el misticismo artístico hacia el rigor del análisis matemático y botánico. Durante los siglos XVIII y XIX, científicos como Robert Simson redescubrieron la profunda conexión entre la sucesión de Fibonacci y φ, demostrando que la razón entre términos consecutivos converge de forma exacta en este valor. A mediados del siglo XIX, el psicólogo Gustav Fechner llevó la proporción al campo de la estética experimental, intentando demostrar mediante estudios estadísticos que el ser humano posee una preferencia instintiva por las formas que respetan la sección áurea.

Ya en el siglo XX, este desarrollo matemático culminó con hallazgos fundamentales en la biología y la filotaxis. Se comprobó que la naturaleza utiliza esta constante para optimizar la disposición de hojas, pétalos y semillas, permitiendo un empaquetamiento perfecto que maximiza la exposición solar y la eficiencia. Este redescubrimiento moderno confirmó que lo que los antiguos consideraban un secreto estético era, en realidad, una eficiente ley de crecimiento universal que rige desde las galaxias hasta las estructuras microscópicas.

Manifestaciones en la Naturaleza

En la naturaleza, \(\varphi\) se manifiesta frecuentemente a través de la secuencia de números donde cada término es la suma de los dos anteriores, es decir la conocida sucesión de Fibonacci a la que ya hemos dedicado el post Fibonacci y el crecimiento de la población de conejos.Algunas de estas manifestaciones son: 

Filotaxis: La disposición de las hojas en un tallo o las semillas en un girasol sigue ángulos basados en \(\varphi\) (\(137.5^\circ\)) para maximizar la exposición solar y el empaquetado sin dejar huecos. 

 

Conchas de Cefalópodos: Moluscos como el Nautilus crecen siguiendo una espiral logarítmica donde el radio aumenta según el factor \(\varphi\) por cada cuarto de vuelta. 

 

Anatomía Humana: Desde la relación entre las falanges de los dedos hasta la estructura de la molécula de ADN, que mide aproximadamente \(34 \times 21\) angstroms (dos números de Fibonacci). 

 

Dinámica de Fluidos: La forma de los huracanes y los remolinos de agua tienden a la espiral áurea para disipar la energía de forma óptima. 

 

Escala Universal: Incluso a escala macroscópica, las galaxias espirales presentan brazos que se asemejan a la espiral de Fibonacci. Esto no implica que el universo "sepa" matemáticas, sino que la gravedad y la rotación encuentran en esta proporción un estado de equilibrio dinámico.

$$r = a \cdot e^{b\theta}$$ Ecuación de la espiral logarítmica, donde si \(b\) depende de \(\varphi\), obtenemos la espiral dorada.

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Lectura complementaria: Fibonacci y el crecimiento de la población de conejos.

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Día del número \(\pi\) y de las matemáticas

Es bien conocido que el número \(\pi\) es la constante fundamental que define la relación entre la longitud de una circunferencia (C) y su diámetro (d):\(\pi= \frac{C}{d}\). Desde los albores de la civilización hasta nuestros días esta constante ha estado vinculada a múltiples problemas de las ciencias, las ingenierías y el arte.

El homenaje a \(\pi\) comenzó en el Exploratorium de San Francisco. El físico Larry Shaw, conocido cariñosamente como el "Príncipe de Pi", ideó en 1988 una celebración para conectar las matemáticas con el público general. Aprovechando la notación de fecha estadounidense 3/14 (marzo 14) que coincide con primeros dígitos de \(\pi \approx 3.14\), propuso rendir homenaje a la famosa contaste ese día. La celebración original consistía en caminar en círculos alrededor de un santuario dedicado al número y, por supuesto, comer pies (pasteles), debido a la homofonía en inglés entre "Pi" y "Pie". Cada 14 de marzo, el clímax de la celebración ocurre a la 1:59 PM, debido a que si unimos la fecha (3/14) con la hora y los minutos, obtenemos los primeros seis dígitos de \(\pi \approx 3.14159\).

Larry Shaw (1939-2017)

En 2009, la Cámara de Representantes de EE. UU. declaró oficialmente el 14 de marzo como el Día Nacional de Pi para fomentar las disciplinas STEM, que representan los cuatro pilares fundamentales del desarrollo tecnológico y científico actual. Donde STEM es el acrónimo en inglés para refiere a: Science, Technology, Engineering y Mathematics. Más que solo cuatro áreas separadas, STEM es un enfoque interdisciplinario de aprendizaje donde los conceptos académicos de rigor se acoplan con lecciones del mundo real. En los últimos años, muchos educadores han defendido la transición hacia el modelo STEAM, añadiendo la A de Arts (Artes).

El "Día de Pi del Siglo" ocurrió el 14 de marzo de 2015, cuando la fecha y hora se alinearon con los primeros 10 dígitos del número:

$$3 / 14 / 15 \text{ a las } 9:26:53 \implies \pi \approx 3.141592653...$$

El 26 de noviembre de 2019, la 40.ª Conferencia General de la UNESCO proclamó el 14 de marzo como el Día Internacional de las Matemáticas. Esta decisión no fue casual y respondió a tres pilares fundamentales:

1. Universalidad y Cooperación. Las matemáticas son un lenguaje universal. \(\pi\) aparece en todas las culturas y es fundamental para la cooperación científica internacional.
2. Desarrollo Sostenible. La UNESCO reconoció que las matemáticas son esenciales para resolver desafíos globales como el cambio climático, la optimización de redes energéticas y la modelización de pandemias.
3. Divulgación de la Ciencia. Elevarlo a nivel de la UNESCO obliga a los países miembros a organizar eventos educativos, eliminando la percepción de las matemáticas como algo "frío" o "inalcanzable".

Curiosamente, el 14 de marzo coincide con el nacimiento de Albert Einstein (1879-1955) y, años más tarde, con el fallecimiento de Stephen Hawking (1942-2018).

Además del día de \(\pi\), existen otros cinco días de celebración no oficial, conocidos como Días de las Aproximaciones de \(\pi\), los tres más conocidos son los siguientes:

• El 26 de abril es el día número 116 del año (en años no bisiestos) y \( \frac{365}{\pi}\approx 116.18\), es decir \( {\pi}\approx 3.146551724137931\)
• El 22 de julio, a menudo escrito como 22/7 y \(\pi\), ya que \( \frac{22}{7}=3.142857142857143 \approx \pi\).
• El 21 de diciembre es el día 355 del año. Se celebra a la 1:13 PM (113), porque \( \frac{355}{113}=3.1415929203539825\) que coincide hasta el sexto decimal con \(\pi\). Esta aproximación es justo la que obtuvo el matemático chino Zu Chongzhi (429–500 d.C.) conocida como el valor Milü, que fue el récord de la aproximación más precisa de \(\pi\) durante casi un milenio.

Tanto el Día de Pi como el Día de la Aproximación de Pi se celebran de diversas maneras, incluyendo concursos para memorizar \(\pi\) con el mayor número de decimales, resolver problemas matemáticos relacionados con el número, descubrir su historia, reflexionar sobre cómo sería la vida sin \(\pi\) y, por supuesto, comer tarta (pie).

El Récord Oficial (Guinness World Records) de memorización de dígitos de \(\pi\) es de Rajveer Meena (Universidad VIT, Vellore, India) con 70,000 decimales el 21 de marzo de 2015 durante 9 horas y 27 minutos. El Récord "No Oficial" (Pi World Ranking) es de  Akira Haraguchi, (Japón), cuando en 2006 recitó 100,000 dígitos en un evento público que duró más de 16 horas.

 ¿Porqué el Día de \(\pi\)  es el Día de la Matemáticas?

Pi no solo vive en los libros de texto; está "impreso" en la realidad física desde los átomos hasta las galaxias. 

Sus propiedades como número más significativas son:

• Irracionalidad: No puede escribirse como una fracción \(\frac{p}{q}\). Sus decimales son infinitos y no tienen un patrón. Se ha dicho que: \(\pi\) no es solo una colección de dígitos aleatorios, \(\pi\) es un viaje que no termina nunca porque no hay un patrón que lo detenga.
• Trascendencia: No es raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales. Esto demuestra que es imposible "cuadrar el círculo".
• Relación Fundamental: Es la proporción entre la longitud de la circunferencia \(C\) y su diámetro \(d\)
• La identidad de Euler: \(\pi\) es parte de la ecuación considerada la más bella de las matemáticas, al conectar cinco números fundamentales: \(e^{i\pi} + 1 = 0.\)
• Precisión Espacial: La NASA solo utiliza unos 15 decimales de \(\pi\) para enviar naves a otros planetas. Con 40 decimales, podrías calcular la circunferencia del universo observable con la precisión de un átomo de hidrógeno.
• Normalidad: Se sospecha que es un número normal, lo que implica que cualquier secuencia numérica imaginable existe dentro de sus decimales. Por ejemplo, en los primeros 100 millones de decimales de \(\pi\), es casi seguro que encontrarás tu fecha de nacimiento en formato DDMMAA.

"Lo más sorprendente de \(\pi\) es que aparece en lugares donde no hay círculos a la vista.", Isaac Asimov.

La lista de sus aplicaciones y presencia en la naturales sería inmensa, baste solo señalar que:

1. En el Universo y la Tierra.
   • Ríos serpenteantes: La relación entre la longitud real de un río (considerando sus meandros) y la distancia en línea recta desde su nacimiento hasta su desembocadura tiende asombrosamente a ser cercana a \(\pi\).
   • Órbitas planetarias: Se utiliza \(\pi\) para calcular el periodo orbital y la trayectoria de planetas y satélites. Sin esta constante, la navegación espacial sería imposible.
   • Forma de las estrellas: Al ser cuerpos celestes esféricos (o casi esféricos), el cálculo de su volumen y densidad depende de la fórmula: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\).
2. En la Ciencia y Tecnología.
   • Ondas (Sonido y Luz): Las funciones que describen el comportamiento de las ondas (seno y coseno) tienen un periodo basado en \(2\pi\). Es la base del funcionamiento de la música digital, la radio y el Wi-Fi.
   • Estadística (Curva de Gauss): La famosa "Campana de Gauss", que modela desde la estatura de una población hasta errores de medición, integra a \(\pi\) en su densidad de probabilidad: \(f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\).
   • Sistemas GPS: Para que tu smartphone te ubique con precisión métrica, los satélites realizan cálculos sobre la curvatura terrestre que requieren el uso de múltiples decimales de \(\pi\).
3. En la Biología.
   • Estructuras oculares: Se emplea \(\pi\) para modelar matemáticamente la curvatura del globo ocular, esencial para el diseño de lentes de contacto y la precisión en cirugías láser.
   • Ritmos circadianos: Nuestros ciclos biológicos de sueño y vigilia se modelan mediante oscilaciones circulares donde \(\pi\) es la constante que define la frecuencia del ritmo biológico.

 En resumen, el 3/14 celebramos  \(\pi\)  porque es el número que nos recuerda que incluso en un mundo finito, la curiosidad y el conocimiento pueden ser infinitos. Brindemos por la constante que une la geometría de un átomo con la inmensidad de las galaxias y nos proporciona 3.14 razones para amar las matemáticas y una infinitud de misterios por descubrir.  Que vuestra felicidad sea como  \(\pi\): irracional, trascendente y sin final. ¡Feliz 14 de marzo!.

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 Lectura recomendada: El número  \(\pi\) en la Biblia.

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El número \(\pi\) en la Biblia

 El Templo de Salomón: De la Promesa a la Construcción

Aunque el rey David deseaba edificar un templo en honor a Dios, la divinidad le negó esta posibilidad por su pasado como guerrero y la sangre que había derramado. En su lugar, Dios le prometió que sería su hijo, Salomón, un hombre de paz, el encargado de levantar la "casa para Su nombre" (2 Samuel 7:12-13, Reina-Valera 1960). Ante esta revelación, David convocó a su hijo antes de morir para entregarle los planos recibidos por inspiración divina y darle una orden solemne:

    "Hijo mío, yo tuve en mi corazón el propósito de edificar templo al nombre de Jehová mi Dios. Mas vino a mí palabra de Jehová, diciendo... Salomón será su nombre... Él edificará casa a mi nombre"  —1 Crónicas 22:7-10.

Pese a no ser el constructor final, David organizó meticulosamente la logística, dejando materiales y artesanos preparados para que Salomón ejecutara la obra. Según registra 1 Reyes 6:1, la construcción inició en el cuarto año de su reinado, fecha que los historiadores sitúan cerca del 967 o 966 a. C., en pleno apogeo de la monarquía unida de Israel durante la Edad de Hierro II.

Tras finalizar el edificio principal, el relato de 1 Reyes 7 detalla la creación del mobiliario sagrado, destacando el "Mar de Fundición" (v. 23). Esta colosal fuente de bronce, fundida probablemente entre el 960 y 950 a. C., era una proeza de ingeniería: una pieza circular de diez codos de diámetro sostenida por doce bueyes de bronce que miraban hacia los cuatro puntos cardinales. Más que un ornamento, esta fuente simbolizaba la purificación ritual necesaria para que los sacerdotes pudieran presentarse ante la presencia de Dios en el Lugar Santísimo.  

Los versículos  (1 Reyes 7:23) y (2 Crónicas 4:2)

En ambos versículos se describe el "Mar de Fundición", de forma prácticamente calcada:

  "Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un borde al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y ceñído alrededor un cordón de treinta codos."     — 1 Reyes 7:23.

    "También hizo un mar de fundición de diez codos de un borde al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y un cordón de treinta codos lo ceñía alrededor."   — 2 Crónicas 4:2.

 Si aplicamos la fórmula del perímetro de la circunferencia (\(C=\pi×d\)), al dividir el perímetro de la circunferencia entre el diámetro (30/10), obtenemos un valor de \(\pi\approx 3\). En ambos versículos se repite la proporción de 10 codos de diámetro por 30 de circunferencia. Al aparecer en dos libros distintos, queda claro que no fue un error de transcripción de un solo escriba, sino que era la medida oficial registrada para el Templo.

 Como bien sabemos, el valor real de \(\pi\)  es aproximadamente \(3.141592\dots\). Esto ha llevado a algunos críticos a decir que la Biblia "se equivoca",

Las civilizaciones de Mesopotamia, particularmente durante el periodo paleobabilónico (aprox. 1900-1600 a. C.), demostraron una habilidad matemática asombrosa para su época. Aunque en la práctica cotidiana utilizaban el valor de 3 para cálculos rápidos, las tablillas halladas en Susa revelan que sus escribas alcanzaron una aproximación mucho más fina de \(3.125 (3+1/8)\). Este conocimiento no era meramente teórico; los babilonios aplicaban estas proporciones en la planificación de sus monumentos y canales de riego, estableciendo un estándar de ingeniería que influiría en todo el Creciente Fértil durante siglos. 

Por su parte, los egipcios desarrollaron un enfoque geométrico distinto, centrado en el cálculo de áreas para la administración agrícola y la construcción monumental. Según se registra en el Papiro de Ahmes (aprox. 1650 a. C.), los arquitectos del Nilo utilizaban una regla que implicaba un valor de \(\pi\) aproximado a \(3.1604\). Esta precisión fue fundamental para determinar el seked (la pendiente) de las pirámides y el volumen de sus graneros, logrando una eficiencia logística y arquitectónica sin precedentes. 

El nexo con el reinado de Salomón (siglo X a. C.) se manifiesta en la ejecución del "Mar de Fundición", donde el versículo de 1 Reyes 7:23 cita medidas que sugieren un valor de 3. Aunque este número parece menos preciso que los cálculos avanzados de Egipto o Babilonia de siglos anteriores, lo natural es que represente un estándar de ingeniería práctica de la Edad de Hierro. Es probable que Hiram de Tiro, el artesano a cargo, utilizara el valor de 3 como un redondeo técnico suficiente para la fundición en bronce, priorizando la escala y el simbolismo de la obra sobre la exactitud teórica.

La interpretación considerando el factor del  grosor

Mas adelante en el versículo 1 Reyes 7:26 se añade: 

"El grueso de él era de un palmo, y el borde era de la forma del borde de un cáliz o de flor de lis; y cabían en él dos mil batos."

Basado en 1 Reyes 7:23-26, donde el diámetro exterior (\(D_{ext}\)) es de 10 codos y el grosor de la pared (\(G\)) es de 1 palmo.

• Diámetro exterior: \(D_{ext} = 10 \text{ codos}\)
• Grosor de la pared: \(G = 1 \text{ palmo} \approx \frac{1}{6} \text{ codo}\)

El diámetro interior (\(d_{int}\)) se calcula restando el grosor de ambos lados:

\[ d_{int} = D_{ext} - 2G = 10 - 2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 9.666 \text{ codos} \]

La circunferencia interior (\(C_{int}\)) calculada con el valor real de \(\pi\) sería:

\[ C_{int} = \pi \times d_{int} = 3.14159 \times 9.666 \approx 30.36 \text{ codos} \]

 

Donde, hemos considerado que el valor de 30 codos mencionado en la Biblia corresponde, con un margen de error mínimo, a la circunferencia medida por el interior del recipiente. 

 

La interpretación considerando  la Gematría

 

La Gematría es un método hermenéutico (de interpretación) aplicado tradicionalmente a los textos hebreos, en el que se asigna un valor numérico a cada letra del alfabeto. Bajo este sistema, las palabras y frases se convierten en números, lo que permite establecer conexiones entre conceptos que, a simple vista, no parecen tener relación, pero que comparten el mismo valor numérico.

 En el texto hebreo de 1 Reyes 7:23, la palabra para "hilo" o "línea de medida" presenta una anomalía ortográfica. Mientras que se pronuncia Qav, está escrita como Qaveh. La relación entre estas dos formas revela el valor de \(\pi\).

Valores de Gematría. Calculamos el valor numérico de las dos variantes de la palabra:

• Escrito (Ketiv): קוה (Qaveh)
  \(Q (100) + V (6) + H (5) = \mathbf{111}\)
• Leído (Qere): קו (Qav)
  \(Q (100) + V (6) = \mathbf{106}\)

El Factor de Corrección. Si tomamos el valor "aparente" de \(\pi\) que da el texto (30 codos de circunferencia / 10 de diámetro = 3) y lo multiplicamos por la proporción de estos valores de gematría:

\[ \pi_{bíblico} = 3 \times \left( \frac{\text{Gematría de קוה}}{\text{Gematría de קו}} \right) \] \[ \pi_{bíblico} = 3 \times \left( \frac{111}{106} \right) \] 

 Al realizar la operación matemática obtenemos: \( 3 \times 1.0471698... = \mathbf{3.1415094...} \).

En conclusión, el valor real de \(\pi\) es aproximadamente \(3.1415926\). La precisión obtenida mediante esta técnica de gematría tiene un error menor al 0.00003, lo cual sugiere que el texto hebreo original contenía una precisión matemática oculta tras la descripción física simplificada.

 

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El número e

El número  e (aproximadamente \(\mathbf{e \approx 2.7182818284\dots}\) ) es una de las constantes más importantes de las matemáticas. A diferencia de \(\pi \), no nació de la geometría, sino de la curiosidad sobre el crecimiento y el interés compuesto.  

Es curioso notar que, después del "2.7", el patrón 1828 se repite dos veces. Sin embargo, no se deje engañar: \(e\) es un número irracional, lo que significa que sus decimales son infinitos y no presentan un patrón periódico real a largo plazo.

Como vimos en el post Los Logaritmos, John Napier inventó estas herramientas en 1614 con el fin de facilitar los complejos cálculos astronómicos. Sus logaritmos poseían una base que, de manera intrínseca, dependía de   \(\frac{1}{e}\) ; si bien Napier no llegó a formalizar dicha constante de forma explícita, la construcción de sus tablas se fundamentó enteramente en ella. 

El Origen Financiero de \(e\)

El número \(e\) fue descubierto por Jacob Bernoulli (1654-1705) en 1683 mientras estudiaba cómo crecía una inversión si los intereses se capitalizaban de forma continua. Bernoulli planteó el siguiente límite:

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

Si inviertes 1€ al 100% de interés anual:

• Pago anual: 2,00€
• Pago mensual: 2,61€
• Pago diario: 2,7145€

Bernoulli, al analizar el interés compuesto, se dio cuenta de que si los intereses se acreditan de forma infinita (interés continuo), el crecimiento del capital se estabiliza en el valor límite 2,71828...

Jacob Bernoulli (1654-1705)

Aunque hoy recordamos a Jacob Bernoulli por descubrir el número \(e\) a través del interés compuesto, la obsesión final de Bernoulli fue la Spira Mirabilis (Espiral Maravillosa). Esta curva tiene una propiedad única: su forma no cambia a medida que crece.

La ecuación de la espiral logarítmica es \(r = a \,e^{b\,\theta}\). Fue tal su fascinación que pidió que grabaran esta espiral en su lápida con el lema:

"Eadem mutata resurgo" (Aunque cambiada, resurjo igual)

La ironía final fue que el cantero encargado de su tumba, desconociendo la diferencia matemática, esculpió una espiral de Arquímedes en lugar de una logarítmica. Mientras la de Bernoulli se expande exponencialmente (ligada a los logaritmos de Napier), la de Arquímedes mantiene siempre la misma distancia entre sus vueltas.

Desarrollo posterior

L. Euler (1707-1783), C.Hermite (1822–1901) y F. von Lindemann (1852–1939)

Fue el genio suizo Leonhard Euler (1707-1783) quien en 1727 le asignó la letra \(e\), posiblemente por la palabra exponencial. Euler no solo le dio nombre, sino que expandió sus propiedades de forma increíble:

• Demostró que es un número irracional.
• Descubrió su desarrollo en serie infinita:
$$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dots$$
• Demostró  que la función exponencial \(f(x) = e^x\) es su propia derivada ( \(\frac{d}{dx} e^x = e^x\)). Esto significa que su tasa de cambio (pendiente) en un punto es exactamente igual a su valor en ese punto.
• Creó la llamada Identidad de Euler, \(e^{i\pi} + 1 = 0\), es considerada la ecuación más bella de las matemáticas porque conecta cinco de los números más importantes.

A diferencia de los números racionales o incluso de algunos irracionales como \(\sqrt{2}\) (que es solución de \(x^2 - 2 = 0\)), \(e\) es un número trascendente. Esto implica que no existe ningún polinomio:

\[ a_n e^n + a_{n-1} e^{n-1} + \dots + a_1 e + a_0 = 0 \]

donde los coeficientes \(a_i\) sean números enteros. En 1873, Charles Hermite (1822–1901) publicó la primera demostración de la trascendencia de \(e\). Su método se basó en el análisis de una forma específica de aproximación racional (conocida hoy como aproximantes de Padé) y el uso de identidades integrales para demostrar que \(e\) escapa a cualquier estructura algebraica finita.

Un dato curioso es que  Hermite demostró la trascendencia de  \(e\), pero confesó que no tenía el valor de intentar lo mismo con  \(\pi\) 

Tras la demostración de Hermite, el matemático Ferdinand von Lindemann (1852–1939) llevó el método un paso más allá y en 1882, demostró que \(\pi\) también es trascendente. Su demostración cerró definitivamente un enigma de más de 2,000 años: la cuadratura del círculo. Al probar que \(\pi\) es trascendente, demostró matemáticamente que es imposible construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado utilizando únicamente regla y compás. 

El Día del número \(e\) se celebra el 7 de febrero de cada año, es decir, 2/7 en el formato de fecha en inglés (mes/día), ya que esta notación hace referencia aproximada al valor de \(e ≈ 2.718\dots\). 

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El número de Hardy-Ramanujan

 

En 1918, el matemático británico G.H. Hardy  fue a visitar a Ramanujan, quien se encontraba convaleciente en un sanatorio en Putney, Inglaterra. Hardy, que no era muy dado a las conversaciones triviales, intentó romper el hielo mencionando el número del taxi en el que había llegado.

• Hardy dijo:    "Recuerdo que el número de mi taxi era el 1729. Me pareció un número bastante soso y esperaba que no fuera un mal presagio".
  
  
• Ramanujan, sin dudar un segundo, le respondió:    "¡No, Hardy! Es un número muy interesante. Es el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes".

A raíz de esta anécdota, el 1729 pasó a ser conocido  como el Número de Hardy-Ramanujan. Para cualquier mortal, el 1729 es solo un número de cuatro dígitos, pero para  Ramanujan  era un viejo amigo. La propiedad que identificó mentalmente en segundos es la siguiente:

$$1000+729=10^3+9^3=1729=12^3+1^3=1728+1.$$

Hardy, asombrado, le preguntó si conocía la respuesta al problema correspondiente para la cuarta potencia y él replicó, después de unos segundos de reflexión, que “el ejemplo que pedía no era obvio y que el primero de tales números debía ser muy grande''.

Efectivamente, su intuición era correcta. Años después, gracias a cálculos con ordenadores, se determinó que el número buscado era $$635318657 = 134^4 + 133^4 = 158^4 + 59^4.$$

La colaboración entre Godfrey Harold Hardy (1877-1947) y Srinivasa Ramanujan (1887-1920) representa uno de los encuentros más improbables y productivos de la historia de la ciencia: la unión entre el rigor académico de Cambridge y la intuición pura de un genio autodidacta indio. Durante cinco intensos años, Hardy actuó como el mentor y traductor del lenguaje "divino" de Ramanujan al lenguaje de la demostración formal, resultando en avances monumentales en la teoría de números, el análisis de series y las particiones. Su relación  dejó un legado de fórmulas que, décadas después de la muerte de Ramanujan, han resultado ser fundamentales para entender desde los cristales hasta los agujeros negros, demostrando que la belleza matemática puede ser un puente entre dos mundos opuestos. 

En la película El hombre que conocía al infinito (2015), protagonizada por Dev Patel (Ramanujan) y Jeremy Irons (Hardy), la escena del taxi es uno de los momentos más memorables, pero tiene matices distintos a la crónica real. La escena se siente mucho más emocional y culminante. El día que Ramanujan se disponía a regresar a la India, Hardy se retasa en llegar a despedirlo porque el taxista que le llevaba se había extraviado y culpa al taxi por ser el número 1729, al que  tilda de  número aburrido y la respuesta de Ramanujan es la ya conocida. Hacia el final del filme, se reitera nuevamente la escena cuando  J. E. Littlewood (1885-1977) intenta tomar un taxi en compañía de Hardy y este le sugiere el 1729. 

Números Taxicab

A raíz de esta anécdota, se origino  lo que los matemáticos llaman "Números Cabtaxi" (Ta(n)), que se definen como el número más pequeño que puede ser escrito como la suma de dos cubos positivos de n formas distintas. Los 5 primeros números Taxicab son los siguientes:

$$\begin{array}{rcl} \mathrm{Ta}(1)&=& 2 \\ & =& 1^3+1^3. \\ \mathrm{Ta}(2)&=& 1729\\ &=&1^3+12^3 =9^3+10^3. \\ \mathrm{Ta}(3)&=& 87539319\\ &=&167^3+436^3= 228^3+423^3 = 255^3+414^3.\\ \mathrm{Ta}(4)&=& 6963472309248 \\ &=&2421^3+19083^3 = 5436^3+18948^3 = 10200^3+18072^3 = 13322^3+16630^3.\\ \mathrm{Ta}(5)&=& 48988659276962496 \\ &=&8787^3+365757^3 =107839^3+362753^3 =205292^3+342952^3 \\ &=& 221424^3+336588^3 =231518^3+331954^3. \end{array}$$