Los números TRANSFINITOS y la hipótesis del continuo.

Desde la Antigüedad, el infinito ha ocupado un lugar especial en el pensamiento humano. Para nuestra intuición, parece representar aquello que nunca termina, aquello que no puede recorrerse por completo ni encerrarse dentro de unos límites. Los números naturales, por ejemplo, no tienen un último elemento: por grande que sea un número, siempre podemos añadirle una unidad y obtener otro mayor. Aunque el infinito se utilizaba en razonamientos sobre sucesiones, límites y geometría, resultaba difícil tratarlo como un objeto matemático susceptible de comparación y clasificación. Sin embargo, durante siglos, los matemáticos contemplaron el infinito con una mezcla de fascinación y perplejidad, tal como refleja una conocida frase de David Hilbert en su ensayo Über das Unendliche (Sobre el infinito), publicado en 1926:

¡El infinito! Ninguna otra cuestión ha conmovido tan profundamente el espíritu humano; ninguna otra idea ha estimulado tan fructíferamente su intelecto y, sin embargo, ningún otro concepto necesita tanto ser aclarado.

Georg Cantor (1845-1918)

Fue en el siglo XIX cuando Georg Cantor emprendió una de las transformaciones conceptuales más profundas de la historia de las matemáticas: demostrar que el infinito podía estudiarse rigurosamente y que no existía una única manera de ser infinito.

La idea decisiva consistió en preguntarse cómo comparar el tamaño de dos conjuntos. Cuando los conjuntos son finitos, el procedimiento parece evidente: contamos sus elementos. Pero ¿qué sucede cuando contienen infinitos elementos? No podemos terminar de contarlos uno a uno, de modo que necesitamos otro criterio.

En este artículo adoptaremos la convención de que los números naturales comienzan en \(1\), es decir, \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\). Decimos que un conjunto \(A\) tiene cardinal \(n\in\mathbb{N}\), si existe una correspondencia biunívoca entre \(A\) y el conjunto \(\{1,2,\ldots,n\}\). En ese caso, \(A\) tiene exactamente \(n\) elementos. El cardinal de un conjunto finito se denota por \(\operatorname{Card}(A)\) o, de forma equivalente, por \(|A|\). Para los conjuntos infinitos, la misma idea de correspondencia permite comparar sus tamaños sin necesidad de contar sus elementos uno a uno. Esa fue la propuesta de Cantor para comparar dos conjuntos infinitos. Si cada elemento de uno puede emparejarse con uno y solo uno del otro, sin que sobre ningún elemento en ninguno de los dos conjuntos, ambos tienen el mismo cardinal, es decir, el mismo tamaño en sentido matemático. Esta idea, aparentemente sencilla, conduce a una conclusión sorprendente: los números naturales y los números pares positivos tienen el mismo cardinal. Podemos emparejarlos mediante la regla que asigna a cada número natural su doble:

\[ \begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & \cdots \end{array} \]

Aunque los números pares positivos constituyen una parte propia de los números naturales, ambos conjuntos tienen el mismo tamaño infinito. Denotamos este cardinal por \(\aleph_0\), que se lee «álef cero»; álef es la primera letra del alfabeto hebreo. Este cardinal es el menor de los cardinales infinitos y se denomina también cardinal transfinito.

Cantor llamó numerables a los conjuntos que pueden ponerse en correspondencia biunívoca con los números naturales. Son numerables los números enteros y también los números racionales, es decir, aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Aunque entre dos números racionales distintos siempre existe otro número racional —y, de hecho, existen infinitos—, todos los números racionales pueden organizarse en una lista infinita en la que cada uno aparezca en alguna posición. 

Por sorprendente que parezca, esto significa que el conjunto de los números racionales tiene el mismo cardinal que el conjunto de los números naturales: \(\aleph_0\). Por sorprendente que parezca, esto significa que el conjunto de los números racionales tiene el mismo cardinal que el conjunto de los números naturales, es decir, \(\aleph_0\). Este fue uno de los primeros resultados obtenidos por Cantor. A continuación, presentamos una demostración intuitiva de la numerabilidad de los números racionales positivos, basada en una idea de Cantor.

Denotemos por \(\mathbb{Q}_+\) el conjunto de todos los números racionales positivos:\(\mathbb{Q}_+=\left\{\frac{p}{q}:p,q\in\mathbb{N}\right\}\). Para organizar estos números, consideremos la suma \(h=p+q\) y agrupemos las fracciones según el valor de \(h\), escribiendo únicamente aquellas que están irreducibles, es decir, cuyo numerador y denominador no tienen divisores comunes distintos de \(1\).

Para \(h=2\), solo tenemos el número racional \(\frac{1}{1}=1\). Para \(h=3\), obtenemos \(\frac{1}{2}\) y \(\frac{2}{1}=2\). Para \(h=4\), aparecen \(\frac{1}{3}\) y \(\frac{3}{1}=3\), ya que \(\frac{2}{2}=1\) representa un número que ya hemos incluido. Para \(h=5\), obtenemos las fracciones \(\frac{1}{4}\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{2}\) y \(\frac{4}{1}=4\). Para \(h=6\), aparecen \(\frac{1}{5}\), \(\frac{5}{1}=5\) y las fracciones \(\frac{2}{4}\) y \(\frac{4}{2}\) quedan excluidas porque no están irreducibles y representan números ya considerados.

Continuando de este modo, obtenemos una lista en la que aparecen todos los números racionales positivos, sin repetir ninguno. Como cada grupo correspondiente a un valor fijo de \(h\) contiene un número finito de fracciones, podemos recorrer los grupos sucesivamente y asignar a cada racional positivo una posición en la lista. Por tanto, \(\mathbb{Q}_+\) es numerable. El siguiente gráfico ilustra el razonamiento anterior:

En la pirámide roja, el número racional p/q está representado por el par ordenado  (p,q). La correspondencia biunívoca entre ambas pirámides es obvia. 

El cardinal de los números reales

Cantor con \(\approx 25\) años

Los números reales incluyen tanto los racionales como los irracionales, como \(\sqrt{2}\), \(\pi\) o \(e\). Constituyen el sistema numérico con el que representamos los puntos de la recta real y trabajamos en buena parte del análisis matemático. A primera vista, podría parecer que también sería posible organizar todos los números reales en una lista: primero uno, después otro, y así sucesivamente. Sin embargo, Georg Cantor demostró que esto es imposible. Este resultado condujo a uno de los grandes descubrimientos de la teoría de conjuntos: "no todos los conjuntos infinitos son numerables". Su célebre argumento diagonal demuestra que, por muy completa que parezca una lista de números reales comprendidos entre cero y uno, siempre es posible construir otro número real que no figure en ella. La idea consiste en modificar la primera cifra decimal del primer número, la segunda del segundo, la tercera del tercero, y así sucesivamente, de modo que cada cifra del nuevo número sea diferente de la cifra correspondiente del número situado en esa posición de la lista. De esta manera, el número construido se diferencia de cada número de la lista en, al menos, una cifra decimal. En efecto, supongamos, por reducción al absurdo, que todos los números reales comprendidos entre cero y uno pueden ponerse en correspondencia biunívoca con los números naturales, de modo que formen una lista como la siguiente: \[ \begin{array}{rcl} 1 &\leftrightarrow& 0,a_{1,1}a_{1,2}a_{1,3}a_{1,4}\cdots\\ 2 &\leftrightarrow& 0,a_{2,1}a_{2,2}a_{2,3}a_{2,4}\cdots\\ 3 &\leftrightarrow& 0,a_{3,1}a_{3,2}a_{3,3}a_{3,4}\cdots\\ \vdots &\leftrightarrow& \vdots\\ n &\leftrightarrow& 0,a_{n,1}a_{n,2}a_{n,3}a_{n,4}\cdots\\ \vdots &\leftrightarrow& \vdots \end{array} \] Construyamos ahora un número real \(b=0,b_1b_2b_3\cdots b_n\cdots\), eligiendo cada cifra decimal \(b_k\) de manera que sea distinta de \(a_{k,k}\), es decir, de la cifra que ocupa la posición \(k\) en el \(k\)-ésimo número de la lista. Por ejemplo, podemos definir \[ b_k= \begin{cases} 1, & \text{si } a_{k,k}\neq 1,\\ 2, & \text{si } a_{k,k}=1. \end{cases} \] Así, cada cifra \(b_k\) es distinta de la correspondiente cifra diagonal \(a_{k,k}\). Por tanto, el número \(b\) no puede coincidir con el primero de la lista, porque difiere de él en la primera cifra decimal; tampoco con el segundo, porque difiere de él en la segunda cifra, ni con el tercero, porque difiere de él en la tercera, y así sucesivamente. En consecuencia, \(b\) no aparece en la lista, lo que contradice nuestra suposición de que esta contenía todos los números reales comprendidos entre cero y uno. Concluimos, por tanto, que  "los números reales comprendidos entre cero y uno no son numerables". En particular, el conjunto de los números reales es no numerable y, por ello, tiene una cardinalidad estrictamente mayor que la del conjunto de los números naturales.

El cardinal del conjunto de los números reales se suele denotar por \(\mathfrak{c}\) y viene dado por \(\qquad \mathfrak{c}=|\mathbb{R}|=2^{\aleph_0}.\)

La última igualdad se debe a que el conjunto de los números reales tiene el mismo cardinal que el conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales, es decir, el conjunto potencia \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\). En efecto, cada subconjunto de \(\mathbb{N}\) puede identificarse con una sucesión infinita de ceros y unos, y el conjunto de estas sucesiones tiene el mismo cardinal que \(\mathbb{R}\). Así, el tamaño de la recta continua queda relacionado con una operación fundamental de la teoría de conjuntos: formar el conjunto de todas las partes de un conjunto dado.

La desigualdad \(\aleph_0 < \mathfrak{c}\) nos obliga a abandonar la idea de que el infinito tiene un único tamaño. Existen conjuntos infinitos de cardinalidades diferentes, y el estudio de estos tamaños constituye uno de los temas fundamentales de la teoría de conjuntos.

Números transfinitos

Cantor y su esposa  Vally Guttmann en 1874

Cantor desarrolló dos conceptos relacionados, pero distintos: los números cardinales (a los que dedicamos este artículo) y los números ordinales. La palabra transfinito, utilizada por Cantor, expresa precisamente que estos números van más allá de lo finito sin constituir un infinito absoluto e indiferenciado. Permiten comparar tamaños infinitos y estudiar órdenes que no terminan nunca.

Los cardinales responden a la pregunta «¿cuántos elementos tiene un conjunto?». Los ordinales, en cambio, describen el orden de sus elementos: primero, segundo, tercero y así sucesivamente. En el caso finito, ambas ideas parecen casi inseparables, pero en el infinito muestran propiedades diferentes. El primer cardinal infinito es \(\aleph_0\), el tamaño de los números naturales. Después aparecen otros cardinales infinitos, como \(\aleph_1\), \(\aleph_2\) y, en general, \(\aleph_\alpha\), donde el índice puede ser también un ordinal transfinito.

Los ordinales ofrecen ejemplos especialmente llamativos. El primer ordinal infinito se representa mediante \(\omega\). Después de todos los naturales, podemos considerar un orden que añade un elemento nuevo al final: su tipo de orden es \(\omega+1\). También podemos formar \(\omega+2\), y así sucesivamente.

Estas expresiones no deben confundirse con las operaciones aritméticas habituales. La suma ordinal depende del orden de los elementos y, por ello, no siempre es conmutativa: \( 1+\omega=\omega, \qquad \omega+1>\omega. \)

La diferencia se entiende intuitivamente si pensamos en una sucesión interminable de posiciones. Añadir una posición al principio puede dejar el mismo tipo de orden que antes; añadirla al final produce, en cambio, un orden con un último elemento.

Los números transfinitos no son, por tanto, una curiosidad puramente simbólica. Proporcionan herramientas para estudiar la estructura de los conjuntos infinitos, las sucesiones, los órdenes y los fundamentos de las matemáticas.

La hipótesis del continuo

La existencia de infinitos cardinales cada vez mayores se explica mediante un resultado fundamental de la teoría de conjuntos: el teorema de Cantor establece que el conjunto potencia de cualquier conjunto tiene un cardinal estrictamente mayor que el del conjunto original. Así, si partimos de los números naturales, cuyo cardinal es \(\aleph_0\), obtenemos el conjunto de sus partes, \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\), cuyo cardinal es \(2^{\aleph_0}=\mathfrak{c}\). Si repetimos este proceso, podemos construir conjuntos de cardinalidades cada vez mayores, sin alcanzar nunca un último infinito. Entre los cardinales transfinitos, uno de los casos más interesantes es la relación entre los dos primeros cardinales infinitos, \(\aleph_0\) y \(\aleph_1\), y la cardinalidad del continuo, \(\mathfrak{c}\).

Una vez demostrado que existen infinitos de tamaños distintos, surge una pregunta natural: ¿hay algún cardinal infinito entre el de los números naturales y el de los números reales? El cardinal de los naturales es \(\aleph_0\), mientras que el de los reales es \(\mathfrak{c}\). Como Cantor probó que \(\mathfrak{c}>\aleph_0\), sabemos que son distintos. Pero ¿existe algún conjunto cuyo cardinal sea estrictamente mayor que \(\aleph_0\) y estrictamente menor que \(\mathfrak{c}\)?

La hipótesis del continuo, abreviada habitualmente como HC, afirma que no existe tal cardinal. En su formulación habitual, sostiene que el cardinal del continuo es el siguiente cardinal infinito después de \(\aleph_0\); es decir,

Aquí, \(\aleph_1\) es el menor cardinal infinito estrictamente mayor que \(\aleph_0\). La hipótesis no dice que los reales sean numerables; afirma justamente que su cardinal es el siguiente cardinal infinito después del de los naturales. El nombre procede de la idea de continuo asociada a la recta real. Esta recta contiene infinitos puntos, y entre dos puntos distintos siempre hay otros puntos. Sin embargo, la densidad de los puntos no determina por sí sola su cardinal: los racionales también son densos en la recta, pero forman un conjunto numerable, mientras que los reales no lo son. La hipótesis del continuo pregunta, en definitiva, si hay un tamaño infinito intermedio entre el de los números naturales y el de la recta real.

Cantor formuló la hipótesis del continuo en el siglo XIX y trató de determinar si era verdadera. El problema adquirió una importancia especial porque afectaba a la estructura misma de los cardinales infinitos y al alcance de los métodos de la teoría de conjuntos.

•  Durante décadas, la cuestión permaneció abierta. En 1940, Kurt Gödel demostró que, si los axiomas habituales de la teoría de conjuntos son consistentes, también lo es su combinación con la hipótesis del continuo. En términos generales, esto significa que dichos axiomas no pueden refutar la hipótesis del continuo, suponiendo que sean consistentes.
• En 1963, Paul Cohen obtuvo el resultado complementario mediante la técnica del  forcing. Demostró que, si los axiomas de Zermelo--Fraenkel con el axioma de elección (conocidos como ZFC) son consistentes, también lo es su combinación con la negación de la hipótesis del continuo. 

  

  Kurt Gödel (906–1978) y Paul Cohen (1934–2007)

Los axiomas de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC) constituyen el sistema de fundamentos más utilizado en la teoría de conjuntos moderna. Establecen las reglas básicas para trabajar rigurosamente con conjuntos, incluido el axioma de elección, que permite seleccionar un elemento de cada conjunto de una familia de conjuntos no vacíos. Sin embargo, no permiten decidir todas las cuestiones matemáticas, como demuestra la independencia de la hipótesis del continuo. 

En consecuencia, si ZFC es consistente, la hipótesis del continuo es independiente de esos axiomas: no puede demostrarse ni refutarse a partir de ellos. Este resultado no significa que la hipótesis sea simultáneamente verdadera y falsa dentro de una misma interpretación matemática. Significa que los axiomas considerados no determinan por sí solos su respuesta. Existen modelos de la teoría de conjuntos en los que la hipótesis se cumple y otros en los que no se cumple.

La independencia de la hipótesis del continuo ilustra un hecho profundo: incluso en matemáticas puede haber preguntas que no es posible resolver a partir de un sistema de axiomas determinado. En estos casos, la cuestión no es que el problema carezca de solución, sino que ni él ni su negación pueden demostrarse dentro del sistema. Esta situación recuerda a la del postulado de las paralelas de Euclides, cuya independencia permitió desarrollar geometrías distintas. En el caso de la hipótesis del continuo, los resultados de Kurt Gödel y Paul Cohen demostraron que, si los axiomas de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC) son consistentes, ni la hipótesis ni su negación pueden demostrarse a partir de ellos. Este resultado plantea una cuestión fundamental: ¿hasta qué punto los axiomas determinan nuestra concepción de los conjuntos infinitos?

David Hilbert (1862–1943)

El trabajo de Georg Cantor revolucionó las matemáticas al demostrar que existen distintos tamaños de infinito: los números naturales y los racionales tienen la misma cardinalidad, mientras que los reales constituyen un infinito estrictamente mayor. Sus ideas encontraron una fuerte resistencia, especialmente por parte de Leopold Kronecker, defensor de una concepción más restrictiva de las matemáticas. A este último se atribuye la célebre frase «Dios creó los números enteros; todo lo demás es obra del hombre», que expresa su preferencia por una matemática fundada en objetos aritméticos más concretos. Frente a estas críticas, David Hilbert defendió la teoría de Cantor y, en 1900, incluyó la hipótesis del continuo entre sus 23 problemas para el nuevo siglo. La cuestión consistía en determinar si existe algún cardinal infinito estrictamente comprendido entre el de los números naturales y el de los números reales.

Un testimonio especialmente significativo de la defensa de esta teoría por parte de Hilbert es su célebre afirmación, pronunciada en 1925 y posteriormente difundida en la literatura matemática:

«Nadie podrá expulsarnos del paraíso que Cantor ha creado para nosotros».

El paraíso matemático de Cantor no solo amplió nuestra comprensión del infinito, sino que abrió interrogantes profundos sobre la naturaleza de los objetos matemáticos y los límites de los sistemas axiomáticos. Más de un siglo después de que Hilbert planteara el problema, la hipótesis del continuo sigue siendo uno de los ejemplos más fascinantes de cómo las matemáticas pueden revelar sus propios límites.

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Lecturas complementarias: 

• Infinito potencial vs. infinito actual.
• El Hotel de Hilbert. 

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Los Números Primos Gemelos

Con la colaboración del Profesor Silvio Soler Cárdenas.

Los primos gemelos son pares de números primos que diferencian en exactamente \(2\), como \((3,5)\), \((5,7)\), \((11,13)\), \((17,19)\), \((29,31)\), \((41, 43)\), \((59, 61)\), etc. La conjetura de los primos gemelos afirma que existen infinitos de estos pares.

Algunos hecho y propiedades inmediatas son los siguiente: 

• El par \((2, 3)\) normalmente no se considera un par de primos gemelos, porque su diferencia es \(1\). 
• Como \(2\) es el único primo par, todos los demás primos son impares y una diferencia de \(2\) es la separación mínima posible entre dos primos impares. 
• Salvo el par \((3,5)\), todo par de primos gemelos puede escribirse como \((6n-1,\;6n+1)\). Por tanto, el número situado entre ambos primos es múltiplo de \(6\) . En consecuencia, la suma de los dos primos gemelos es divisible por \(12\), excepto en el caso \((3,5)\).
• El número \(5\) es el único primo que pertenece a dos pares de primos gemelos: \((3,5)\) y \((5,7)\). Esto se debe a que entre tres números impares consecutivos siempre hay uno divisible por \(3\), salvo cuando ese número es el propio \(3\).

Si un número primo no tiene gemelo, se dice que es un primo aislado, es decir es un número primo p para el que ni (p-2) ni (p+2) son primos. Por ejemplo, 23 es un primo aislado porque 21 y 25 son números compuestos.

Euclides demostró que existen infinitos números primos (Proposición 20 del Libro IX de los Elementos) y se cree que pudo ser el primero en plantearse la conjetura de los primos gemelos, pero no existe ningún registros que lo confirme. Fue el matemático francés Alphonse de Polignac quien en 1849, formuló una conjetura con el siguiente enfoque general:

Para todo número par positivo \(k\), existen infinitos pares de primos cuya diferencia es \(k\) .

El caso \(k=2\) es precisamente la conjetura de los primos gemelos.

El primer gran salto 70 años después

Viggo Brun (1885–1978)

En 1915 el matemático noruego Viggo Brun introdujo formalmente el método conocido como la Criba de Brun. Utilizando ese método de cribado, cuatro años más tarde (en 1919), logró probar que la suma de los inversos de los números primos gemelos converge en un valor fijo, originando así la famosa constante de Brun (que se representa con la letra \(B-2\)). La constante es el resultado de la siguiente suma infinita:

\[B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \dots=1.90216058...\]

Para entender por qué el descubrimiento de Viggo Brun fue tan revolucionario, debemos compararlo con los números primos en general:

• Si sumas los inversos de todos los números primos (\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \dots\)), la suma es infinita (diverge). Esto ocurre porque hay muchísimos números primos en el universo numérico.
• Al ver esto, los matemáticos pensaban que con los primos gemelos pasaría lo mismo. Sin embargo, Brun demostró que la suma de sus inversos se detiene en un número fijo (converge).

La criba de Brun funcionaba de la siguiente manera:

• El principio de exclusión: Es una evolución de la clásica Criba de Eratóstenes (el método escolar de tachar múltiplos de 2, de 3, de 5, etc., para encontrar primos).
• Controlar los múltiplos: Brun desarrolló fórmulas avanzadas para aproximar cuántos números quedan sin tachar cuando eliminas los múltiplos de los primeros números primos de forma simultánea para dos expresiones (\(n\) y \(n+2\)).
• Fijar un límite superior: Aunque el método no permitía saber con exactitud si los primos gemelos se acaban o no, sí demostró de forma matemática e irrefutable que la cantidad de primos gemelos menores que un número \(x\) no puede crecer tan rápido como para hacer que la suma total sea infinita.

A pesar de que sabemos que la suma total da un número fijo (cercano a 1.902), la constante de Brun encierra una ironía: todavía no sabemos si hay infinitos primos gemelos o si en algún momento se acaban. Si los primos gemelos fueran finitos, la suma lógicamente se detendría en un número fijo. Pero si son infinitos (como sospechan la mayoría de los matemáticos), la constante de Brun nos dice que aparecen tan poco a menudo que su suma se estabiliza de todos modos.

Después de la criba de Brun, el progreso fue lento y los pasos más importantes fueron:

• En 1923, G. H. Hardy y J. E. Littlewood propusieron una conjetura asintótica precisa sobre la densidad de los primos gemelos, que involucra la constante de los primos gemelos \(\approx 0{,}6601618\ldots\).
• En 1973, Jingrun Chen probó un resultado intermedio fundamental: existen infinitos primos \(p\) tales que \(p+2\) es primo o semiprimo (producto de exactamente dos primos).

Yitang Zhang y el salto desicivo

Yitang Zhang

El salto decisivo llegó en 2013, cuando Yitang Zhang demostró de forma incondicional que¨

\[ \liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n) \le 70\,000\,000. \]

Es decir, existen infinitos pares de primos que diferencian en a lo sumo 70 millones.

Yitang Zhang es un matemático chino-estadounidense conocido por protagonizar una de las historias de superación y éxito tardío más fascinantes de la ciencia moderna. Durante décadas, trabajó en un relativo anonimato académico, asumiendo empleos precarios fuera de la investigación (incluyendo un periodo como contable en una franquicia de sándwiches Subway) y dando clases como profesor adjunto en la Universidad de New Hampshire. Sin embargo, su persistencia dio frutos en 2013, cuando a los 57 años resolvió un problema matemático que llevaba siglos estancado. Su perfil destaca no solo por su genialidad, sino por encarnar la figura del erudito solitario que, impulsado por una profunda pasión pura, alcanzó la fama mundial de la noche a la mañana y demostró que nunca es tarde para revolucionar la ciencia.

El impacto de Zhang

Terece Tao a la edad de 10 años junto
a Paul Edös en 1985

Después del gran avance de Zhang, en el mismo 2013, el celebre matemático Terence Tao (Medalla Fields de 2006) lanza el proyecto colaborativo Polymath8. Un proyecto de colaboración abierta online de matemáticos para mejorar este resultado. El proyecto se dividió en dos partes:

• Polymath8a: se centró en optimizar y refinar las técnicas originales de Zhang (estimaciones de distribución de primos en progresiones aritméticas con módulos suaves, búsqueda de tuplas admisibles, etc.).
• Polymath8b: se inició más tarde, cuando James Maynard introdujo un método de criba multidimensional más potente y flexible.

Gracias a este trabajo colaborativo (principalmente a través del blog de Tao y una wiki), Polymath8a consiguió reducir el bound de Zhang de 70 millones hasta \( 4\,680.\). Fue un esfuerzo técnico muy intenso de optimización de los argumentos de Zhang, y sentó las bases para los avances posteriores.

A partir de ahí el progreso fue rapidísimo:

• James Maynard (y de forma independiente Terence Tao, introdujo un método de criba multidimensional y bajó la cota a \(600\).
• A continuación Polymath8b estableció en 2014 el récord: \[ \liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n) \le 246. \]

  Esta cota se mantuvo como la mejor cota incondicional aceptado durante más de doce años.

La Conjetura de Elliott-Halberstam (formulada en 1968) es una hipótesis muy técnica sobre cómo se distribuyen los números primos en secuencias aritméticas. Nadie ha podido demostrarla aún, pero la gran mayoría de los matemáticos cree que es totalmente cierta. Si los c´lculos de la congetura de los primos gemelos se hacen sin suponer válidad la Conjetura de Elliott-Halberstam se dice que son cotas incodicionales como \(246\), en caso contrario se llaman cotas condicionales. Las cotas condicionales que se han obtenido son las siguientes:

• La cota de \(12\): Fue demostrada originalmente por James Maynard en noviembre de 2013. Al introducir su innovador método de criba multidimensional, probó que si la conjetura de Elliott-Halberstam es cierta, la distancia máxima garantizada entre infinitos pares de primos cae a \(12\).
• La cota de \(6\): Se obtuvo unos meses después, en agosto de 2014. Fue calculada por el proyecto colaborativo Polymath8b (liderado por Terence Tao y en el que también participó Maynard). El grupo combinó las técnicas de Maynard con optimizaciones numéricas masivas, demostrando que bajo la versión generalizada de la conjetura de Elliott-Halberstam, la distancia límite se reduce a \(6\).

Julia Stadlmann

 En agosto de 2026, Julia Stadlmann publicó un preprint que mejora la cota incondicional a \(240\) y este es el primer avance significativo en más de una década. Su trabajo combina el teorema de Bombieri–Vinogradov con estimaciones de equidistribución para módulos suaves.

Poco después aparecieron algunos trabajos (algunos asistidos por inteligencia artificial) que proponen cotas incondicionales de \(236\), \(212\) e incluso \(186\). A fecha de octubre de 2026, ninguno de estos trabajos posteriores ha superado una revisión por pares rigurosa, por lo que el bound establecido sigue siendo \(246\), con el resultado de Stadlmann (\(240\)) como el más sólido y reciente.

 La conjetura de los primos gemelos permanece abierta. Se sabe que hay infinitos pares de primos separados por una distancia acotada (\(\le 246\), y probablemente \(\le 240\)), pero no se ha conseguido aún bajar esa distancia hasta \(2\). El principal obstáculo técnico sigue siendo el llamado problema de paridad de las cribas. Mientras que los métodos que utilizan la conjetura de Elliott-Halberstam solo estan esperando a que alguien demuestre esta conjetura para, que como ya se ha demostrado, las cotas caigan a \(12\) o \(6\).

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Números hipercomplejos: cuaterniones, octoniones y sedeniones

Los cuaterniones, octoniones y sedeniones forman parte de una fascinante extensión de los números complejos, los números hipercomplejos. Surgen al intentar responder una pregunta natural: si los números reales pueden ampliarse a los complejos, ¿es posible continuar construyendo sistemas numéricos con propiedades semejantes? La respuesta conduce a una jerarquía de álgebras de dimensión \(2,4,8,16,\ldots\), en la que, a medida que aumenta la dimensión, algunas propiedades algebraicas fundamentales deben sacrificarse.

De los complejos a los cuaterniones

Sir W. R. Hamilton
(1805-1865)

Los números complejos tienen la forma \(z=a+bi,\; a,b\in\mathbb{R},\; i^2=-1,\) y constituyen un sistema de dimensión \(2\) sobre \(\mathbb{R}\). Durante la primera mitad del siglo XIX surgió la cuestión de si era posible construir un sistema tridimensional que extendiera los complejos y conservara una multiplicación suficientemente satisfactoria.

Fue el matemático irlandés William Rowan Hamilton quien encontró la respuesta en 1843, aunque no mediante una extensión tridimensional, sino mediante una de cuatro dimensiones. Los cuaterniones tienen la forma \[q=a+bi+cj+dk,\qquad a,b,c,d\in\mathbb{R},\] donde las unidades imaginarias satisfacen \(\quad i^2=j^2=k^2=ijk=-1.\)

De estas relaciones se obtiene, por ejemplo, \(\quad ij=k,\qquad ji=-k,\quad \) y análogamente para los demás productos. Por tanto, la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa: \(\quad ij\neq ji.\) Esta fue una de las primeras grandes sorpresas de la historia del álgebra: era posible construir un sistema numérico en el que \(ab\neq ba.\)

Placa conmemorativa en el puente de Broom

Hamilton descubrió los cuaterniones mientras buscaba una interpretación algebraica de las rotaciones en el espacio. La famosa historia cuenta que, el 16 de octubre de 1843, durante un paseo junto a su esposa por el Royal Canal de Dublín, tuvo la idea fundamental y escribió las relaciones esenciales de los cuaterniones en una inscripción sobre el puente de Broom. 

Publicación original de Lectoras sobre Cuaterniones de Hamilton en 1853

Los cuaterniones encontraron posteriormente aplicaciones extraordinariamente importantes. En matemáticas permiten describir elegantemente las rotaciones tridimensionales, mientras que en física aparecen en diferentes formulaciones relacionadas con la mecánica cuántica y otras teorías matemáticas. En la actualidad son especialmente importantes en gráficos por ordenador, robótica, visión artificial, simulación y control de vehículos y aeronaves, donde permiten representar orientaciones espaciales evitando algunas dificultades de otros métodos, como los ángulos de Euler.

Los octonioness: dimensión \(8\)

Arthur Cayley
(1821-1895)

El siguiente paso apareció poco después. En 1845, el matemático John T. Graves, amigo de Hamilton, descubrió un sistema de números de dimensión \(8\), que denominó octaves. Casi simultáneamente, Arthur Cayley desarrolló independientemente una construcción semejante, razón por la que los octoniones también reciben el nombre de números de Cayley.

Un octonión puede escribirse como \(x=a_0+a_1e_1+\cdots+a_7e_7, \qquad a_0,\ldots,a_7\in\mathbb{R}.\) Ellos conservan algunas propiedades extraordinarias de los cuaterniones, pero pierden otras. En particular, su multiplicación tampoco es conmutativa y, además, no es asociativa: \((xy)z\neq x(yz)\) en general.Esto supone un salto conceptual importante. Con los cuaterniones todavía tenemos \((q_1q_2)q_3=q_1(q_2q_3),\) pero esta propiedad deja de cumplirse ahora.

Sin embargo, los octoniones poseen una propiedad intermedia denominada alternatividad. Por ejemplo, \(\quad (xx)y=x(xy),\; y(xx)=(yx)x.\) Esta combinación de propiedades aparentemente contradictorias hace de los octoniones una de las estructuras más interesantes del álgebra.

Una de las representaciones más conocidas de la multiplicación de los octoniones utiliza el diagrama de Fano, una estructura geométrica que permite recordar las reglas de multiplicación entre las siete unidades imaginarias.

El diagrama de Fano se utiliza para definir la multiplicación de las unidades imaginarias de los octoniones \(e_1,\dots,e_7\) (junto con la unidad real 1). Cada punto del plano representa una de estas unidades, y cada línea (incluyendo el círculo central) indica una terna cerrada: si se recorre la línea en el sentido de las flechas, el producto de dos elementos consecutivos da el tercero con signo positivo (\(e_i e_j = e_k\)), mientras que al recorrerla en sentido contrario el producto sale negativo; además, la multiplicación es anticonmutativa (\(e_j e_i = -e_i e_j\)) y cada \(e_i^2 = -1\). De este modo, las siete líneas del plano de Fano generan todas las reglas de multiplicación necesarias para el álgebra de los octoniones.

Los octoniones aparecen en áreas de matemáticas y física mucho más profundas que los cuaterniones. Están relacionados con grupos de Lie excepcionales, geometría diferencial, teoría de representaciones, teoría de cuerdas y determinados modelos de física matemática. En particular, las simetrías asociadas a los octoniones están vinculadas con estructuras excepcionales como el grupo de Lie \(G_2\).

Los sedeniones: dimensión \(16\)

La construcción puede continuar mediante el denominado proceso de Cayley-Dickson. A partir de los reales obtenemos los complejos; a partir de los complejos, los cuaterniones; a partir de los cuaterniones, los octoniones, y a partir de estos, los sedeniones.

Sus dimensiones reales son \(\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{H} \longrightarrow\mathbb{O}\longrightarrow\mathbb{S},\) con dimensiones respectivas \(1,\; 2,\; 4,\; 8,\; 16.\)

Un sedenión tiene, por tanto, la forma \(x=a_0+a_1e_1+\cdots+a_{15}e_{15}, \quad a_i\in\mathbb{R}.\)

Aquí aparece una pérdida todavía mayor de propiedades algebraicas. Los sedeniones no son conmutativos, no son asociativos y, además, no son alternativos. Pero hay una pérdida particularmente significativa: existen divisores de cero no triviales. Es decir, pueden existir sedeniones \(x\neq0\) e \(y\neq0\) tales que \(xy=0.\) Esto no ocurre con los números reales, complejos, cuaterniones ni octoniones.

Su utilidad es principalmente teórica. Sirven para estudiar los límites de las estructuras algebraicas y las propiedades de los espacios hipercomplejos de alta dimensión. De manera muy marginal, se han propuesto modelos en campos como el aprendizaje automático (redes neuronales de sedeniones) para compresión de datos o problemas de previsión de series temporales, aunque su uso en física o ingeniería general sigue siendo anecdótico. Representan el punto donde la construcción sistemática de números hipercomplejos deja de ser útil para la física o la geometría estándar debido a la excesiva pérdida de reglas aritméticas básicas.

La historia puede resumirse mediante la siguiente tabla:

Sistema	Dimensión	Conmutativo	Asociativo	Divisores de cero
\(\mathbb{R}\)	1	Sí	Sí	No
\(\mathbb{C}\)	2	Sí	Sí	No
\(\mathbb{H}\)	4	No	Sí	No
\(\mathbb{O}\)	8	No	No	No
\(\mathbb{S}\)	16	No	No	Sí

Esta secuencia no es simplemente una colección de curiosidades algebraicas. Revela un fenómeno profundo: cada vez que ampliamos el sistema numérico mediante el proceso de Cayley-Dickson, obtenemos nuevas posibilidades, pero también debemos renunciar a determinadas propiedades.

La historia de los hipercomplejos constituye, en realidad, una historia sobre los límites del concepto de número. Los complejos demostraron que los números podían extenderse más allá de la recta real; Hamilton mostró que era posible sacrificar la conmutatividad para obtener una estructura de cuatro dimensiones; los octoniones llevaron esta idea hasta una estructura no asociativa, y los sedeniones mostraron que, al continuar el proceso, incluso la propiedad de no tener divisores de cero termina desapareciendo.

Así, la sucesión \( \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{H} \longrightarrow\mathbb{O}\longrightarrow\mathbb{S}\) puede contemplarse como un auténtico viaje desde la aritmética familiar hacia algunas de las estructuras más profundas del álgebra moderna. Quizá lo más interesante es que cada paso no consiste simplemente en añadir nuevos números, sino en descubrir qué propiedades estamos dispuestos a perder para obtener una estructura más rica.

El hecho de que aparezcan las dimensiones \(1,2,4,8,16,\ldots\) no significa que las demás dimensiones estén prohibidas. Significa que no forman parte de la sucesión obtenida mediante el mencioado proceso de Cayley-Dickson. Aquí aparece una cuestión mucho más profunda. Si además de tener una estructura algebraica exigimos determinadas propiedades, las posibilidades se reducen drásticamente.

De hecho, el teorema de Hurwitz establece que los únicos álgebras de división normadas reales finito-dimensionales son precisamente \(\mathbb{R},\; \mathbb{C},\; \mathbb{H} \text{ y } \mathbb{O}.\) Por eso los octoniones ocupan una posición especialmente importante: son el último miembro de esta familia que conserva simultáneamente la estructura de un álgebra de división normada. Los sedeniones constituyen el siguiente paso, pero ya presentan divisores de cero.

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Lectura recomendada: 

• De números IMPOSIBLES a números COMPLEJOS.

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De números IMPOSIBLES a números COMPLEJOS

Gerolamo Cardano
(1501–1576)

Todo empezó en el siglo XVI cuando Gerolamo Cardano se enfrentó a un problema sencillo: dividir 10 en dos partes cuyo producto sea 40. Las soluciones que obtuvo fueron números de la forma \(5 + \sqrt{-15}\) y \(5 - \sqrt{-15}\). Aunque Cardano utilizó estos objetos en sus cálculos, los consideraba misteriosos y difíciles de interpretar, en cierta ocasión confesó que le producían una auténtica “tortura mental” y que no sabía qué hacer con ellos.

Rafael Bombelli
(1526–1572)

El siguiente paso fundamental fue dado por Rafael Bombelli, quien introdujo una notación específica para las cantidades imaginarias, utilizando expresiones equivalentes a \[ i=\sqrt{-1}, \qquad -i=-\sqrt{-1}, \] y estableció reglas para operar con ellas. Bombelli empleó además números complejos en el tratamiento de las ecuaciones cúbicas, especialmente en el denominado casus irreducibilis. Su trabajo fue decisivo porque convirtió unas cantidades que inicialmente parecían absurdas o imposibles en objetos con los que era posible realizar cálculos sistemáticos.

René Descartes
(1596–1650)

Durante el siglo XVII continuó la discusión sobre la naturaleza de estos números. Albert Girard los denominó soluciones imposibles. René Descartes, en su La géométrie (1637), acuñó el término “números imaginarios”. Escribió que para toda ecuación se pueden imaginar tantas raíces como indica su grado, pero que en muchos casos “no existe ninguna cantidad que corresponda a lo que uno imagina”.

Descartes observó que una ecuación algebraica podía tener tantas raíces como indicaba su grado, aunque algunas de ellas no correspondieran a cantidades que pudieran interpretarse como números reales. Esta observación contribuyó a consolidar el uso de los números complejos en el álgebra.

Después de Descartes, los principales matemáticos comenzaron a utilizar libremente los números complejos. Entre ellos se encuentran Johann Bernoulli, que empleó logaritmos complejos en la transformación de integrales, y Roger Cotes, Abraham de Moivre y Leonhard Euler, quienes trabajaron con relaciones trigonométricas que hoy reconocemos como fundamentales para el análisis complejo. En particular, se utilizaba la fórmula que actualmente conocemos como fórmula de De Moivre: \((\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx)\) que establece una conexión profunda entre los números complejos y la trigonometría.

El impacto de Euler

Leonhard Euler
(1707–1783)

Uno de los avances más importantes fue la interpretación geométrica de los números complejos. Euler representó un número complejo como un punto del plano mediante sus coordenadas rectangulares. Así, un número \(z=x+iy;\) puede visualizarse como el punto \((x,y)\) del plano complejo.

Al introducir coordenadas polares, Euler escribió \(x+iy=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\), lo que le permitía interpretar el módulo \(r\) y el argumento \(\varphi\) geométricamente.

Euler también estudió las raíces de la ecuación \(z^n=1,\) mostrando que pueden representarse como los vértices de un polígono regular en el plano complejo. De esta manera, una cuestión puramente algebraica adquiría una interpretación geométrica muy clara.

Otro de los resultados fundamentales asociados con Euler es la siguiente fórmula que hoy conocemos con su nombre \[ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi. \] Esta fórmula establece una conexión entre tres conceptos esenciales de las matemáticas: la exponencial, la trigonometría y los números complejos. Gracias a ella, la representación polar de un número complejo puede escribirse de forma especialmente sencilla como \(z=re^{i\varphi}.\)

Otra consecuencia especialmente elegante de la fórmula de Euler, es la siguiente identidad que también lleva su nombre

Su importancia no reside solo en su sencillez, sino en que establece una sorprendente conexión entre cinco de las constantes más importantes de las matemáticas: \(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\) y \(0\). Puede afirmarse con justicia que la historia de estas cinco constantes resume de forma extraordinariamente densa y elegante los momentos más decisivos y fundacionales de las matemáticas  hasta el siglo XIX. Por eso muchos matemáticos y divulgadores (desde Richard Feynman hasta Keith Devlin) han dicho que la identidad de Euler es “la fórmula más bella de las matemáticas” y que en ella “se concentra una parte esencial de la historia del pensamiento matemático”.  

Euler también formuló lo que hoy conocemos como el teorema fundamental del álgebra. En esencia, afirmó que todo polinomio puede factorizarse en factores lineales o cuadráticos con coeficientes reales. Sin embargo, las demostraciones de Euler todavía presentaban dificultades desde el punto de vista de la fundamentación rigurosa. En particular, su razonamiento suponía, de una manera u otra, la existencia de las raíces que pretendía demostrar. Este aspecto resulta especialmente interesante desde una perspectiva histórica: el uso de los números complejos se había extendido mucho antes de que existiera una fundamentación matemática completamente satisfactoria de su naturaleza.

Hacia una definición rigurosa de los números complejos

Como señalamos anteriormente, durante el siglo XVIII, Euler conocía ya la representación geométrica de los números complejos, pero todavía no había proporcionado una definición completamente satisfactoria del concepto de número complejo.

La situación cambió durante el siglo XIX. Caspar Wessel, en 1797, Jean-Robert Argand, en 1806, John Warren, en 1828, y Carl Friedrich Gauss, en 1831, desarrollaron interpretaciones geométricas de la suma y la multiplicación de números complejos.

Carl Friedrich Gauss
(1777–1855)

Gauss hizo cuatro demostraciones rigurosas del teorema fundamental del álgebra: la primera en su tesis doctoral de 1799 (de carácter geométrico-topológico, evitando hablar de “raíces complejas” y se centrandose en la factorización real), dos más en 1816 (una algebraica y otra analítica) y una cuarta en 1849, con motivo del cincuentenario de su doctorado. En esta última demostración, ya aceptando plenamente los números complejos, reformuló el teorema de forma más cercana a la actual:

Todo polinomio de grado $n$ (incluso con coeficientes complejos) se puede descomponer en $n$ factores lineales (simples).

En 1831, dentro de su trabajo sobre residuos bicuadráticos, Gauss introdujo el término «números complejos» (en lugar de «imaginarios») y ofreció una definición geométrica clara y rigurosa, representándolos como puntos del plano y estableciendo de forma precisa las operaciones de suma y multiplicación como operaciones con segmentos dirigidos, lo que contribuyó decisivamente a su aceptación plena en la matemática.

La búsqueda de una definición matemática más precisa continuó en el siglo XIX. En 1843, William Rowan Hamilton definió los números complejos como pares de números reales dotados de reglas convencionales de suma y multiplicación. Esta interpretación permitió considerar \(z=a+bi\) como el par ordenado \((a,b),\) y definir las operaciones algebraicas directamente sobre dichos pares.

Por otra parte, en 1847 Augustin-Louis Cauchy propuso una formulación algebraica diferente: interpretar los números complejos como clases de equivalencia de polinomios reales módulo el polinomio \( x^2+1.\) Esta construcción proporciona una fundamentación algebraica del número \(i\), pues en el cociente se tiene \(x^2=-1.\)

Con los números complejos quedaba completa la cadena de sistemas numéricos clásicos o fundamentales, tal como los conocemos hoy y aparecen en la siguiente representación: \[\begin{array}{ll} \mathbb{C} & \mbox{Complejos} \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{Reales} \begin{cases} \mathbb{Q} & \mbox{Racionales} \begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{Enteros} \begin{cases} \mathbb{N} & \mbox{Naturales} \\ & \mbox{Cero} \\ & \mbox{Enteros negativos} \end{cases}\\ & \mbox{Fraccionarios} \end{cases}\\ & \mbox{Irracionales} \end{cases}\\ & \mbox{Imaginarios} \end{cases} \end{array}\]

La evolución histórica descrita puede resumirse como un recorrido desde la perplejidad inicial ante expresiones como \(\sqrt{-1}\) hasta su aceptación como objetos matemáticos plenamente definidos. Cardano introdujo estas cantidades en el contexto de la resolución de ecuaciones; Bombelli desarrolló reglas para operar con ellas; Descartes popularizó el término imaginario; Euler proporcionó herramientas fundamentales para su interpretación geométrica y analítica; y, finalmente, Wessel, Argand, Gauss, Hamilton y Cauchy contribuyeron a establecer representaciones y construcciones matemáticas rigurosas. Los números complejos ilustran cómo un concepto considerado inicialmente «imposible» puede transformarse, mediante el desarrollo progresivo de las ideas matemáticas, en una estructura fundamental del álgebra y del análisis.

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Lectura recomendada: 

• El tesoro del pirata.. 

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Googol vs. Googolplex: El origen matemático de Google

Hoy, la palabra Google forma parte de nuestro vocabulario cotidiano. La utilizamos para buscar información, resolver una duda o encontrar prácticamente cualquier cosa en Internet. Lo que quizá no resulte tan conocido es que detrás de este nombre se encuentra una curiosa historia matemática que comienza con un número gigantesco, un matemático y un niño de nueve años.

Ese número es el googol (gúgol en español), que se define como \(10^{100}\), es decir, un 1 seguido de cien ceros. Aunque escribirlo completo no resulta especialmente práctico, desde el punto de vista matemático es un número muy sencillo y por enorme que pueda parecernos, sigue siendo un número finito.

La historia de su nombre se remonta a la década de 1920 y tiene como protagonista al matemático estadounidense Edward Kasner (1878–1955), profesor de la Universidad de Columbia. Kasner estaba interesado en los números extraordinariamente grandes y en la dificultad que tenemos para imaginar cantidades que escapan por completo de nuestra experiencia cotidiana. Según la historia que el propio Kasner difundió, durante un paseo acompañado por su sobrino de nueve años, Milton Sirotta, surgió la cuestión de cómo llamar a un número tan enorme. Kasner decidió preguntarle al niño qué nombre le pondría a un número formado por un 1 seguido de cien ceros. La respuesta fue una palabra aparentemente inventada de la nada: googol. Kasner quedó satisfecho con aquella ocurrencia y decidió adoptar el término. La palabra no tenía ninguna tradición matemática: había nacido de la imaginación de un niño y, sin embargo, estaba a punto de incorporarse al lenguaje de la divulgación matemática.

Pero la conversación no terminó ahí. Kasner preguntó también qué nombre podría darse a un número todavía mayor, definido como \(10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}\) y su sobrino propuso otra palabra: googolplex (gúgolplex en español), es decir un googloplex es un uno seguido de un googol de ceros ( \(10^{100}\) ceros).

La historia de estos nombres no quedó reducida a aquella conversación familiar. En 1938, Kasner publicó un artículo titulado New Names in Mathematics, en el que introdujo los términos googol y googolplex. Dos años después, en 1940, publicó junto con James R. Newman el conocido libro Mathematics and the Imagination, que contribuyó a popularizarlos.

El atractivo del googol no reside en alguna propiedad matemática especialmente profunda, sino en la enorme cantidad que representa y en la facilidad con la que puede definirse. Es un buen ejemplo de cómo una expresión muy sencilla puede describir una cantidad que escapa completamente a nuestra intuición. También permite comprender una diferencia fundamental: ser extraordinariamente grande no significa ser infinito.

Podemos comparar, por ejemplo, el googol con algunas estimaciones del número de partículas del universo observable, que se sitúan alrededor de \(10^{80}\), dependiendo de qué partículas se contabilicen y del modelo utilizado. En cualquier caso, como comparación de órdenes de magnitud, tenemos $$ 10^{80} \ll 10^{100} \; \text{ y por tanto } \; {10^{100}}/{10^{80}}=10^{20}. $$ Así que un googol no es solo grande; supera la cantidad de todos los átomos de todo lo que podemos ver en cualquier dirección a lo largo de miles de millones de años luz de espacio.

Pero incluso el googol resulta diminuto frente al googolplex. Pues un googolplex es tan grande que resulta físicamente imposible escribirlo en su forma decimal completa, ya que requeriría más espacio del que existe en todo el universo observable. En efecto, un googolplex es 10 elevado a la potencia de un googol y un googol es un número mayor que la cantidad de átomos en el universo observable. Si intentáramos escribir un cero por cada átomo del universo observable, nos quedaríamos sin átomos antes siquiera de empezar. Sencillamente, no existe suficiente materia física para representar este número de forma escrita.

Y aquí es donde la idea se vuelve aún más interesante, podemos seguir construyendo números cada vez mayores sin necesidad de recurrir al infinito, basta con aumentar los exponentes, utilizar factoriales o construir expresiones como torres de potencias. Por ejemplo el número de Shannon (cantidad de partidas de ajedrez posibles) es igual a \(10^{120}\), obviamente mayor que el googol. Pero en el mundo de las matemáticas, aparecen números que hacen que el googolplex parezca microscópico en demostraciones y teoremas cotidianos. El número de Graham, por ejemplo, es tan astronómicamente mayor que un googolplex que no existe una forma significativa ni siquiera de compararlos; comparado con él, el googolplex prácticamente se reduciría a cero. El universo tiene un límite de tamaño, pero las matemáticas, no. Y esa brecha entre la realidad física y la abstracción pura es una de las cosas más extraordinarias de ser un ser pensante en este cosmos. Hemos creado un lenguaje capaz de describir cosas que nuestro universo no es lo suficientemente grande para contener.

Del googol a Google y del googolplex a Googleplex

La historia podría haber terminado como una curiosa anécdota de la divulgación matemática. Sin embargo, varias décadas después, la palabra googol reapareció en un contexto completamente diferente.

En 1995, Larry Page y Sergey Brin se conocieron en la Universidad de Stanford y comenzaron a trabajar en un proyecto destinado a organizar la enorme cantidad de información que empezaba a acumularse en la World Wide Web. El proyecto recibió inicialmente el nombre de BackRub, pero sus creadores buscaban un nombre que reflejara mejor la magnitud de su propósito.

Googleplex, la sede principal de Google en Mountain View, California

La inspiración llegó precisamente del término matemático googol. De él surgió el nombre Google, una ligera modificación de la palabra que Kasner había introducido décadas antes. La elección resultaba especialmente apropiada para un buscador cuya finalidad era organizar cantidades cada vez mayores de información.

Existe una versión muy difundida según la cual los fundadores pretendían llamar a la empresa Googol, pero que el nombre terminó escribiéndose Google debido a un error al registrarlo. Sin embargo, conviene tomar esta explicación con cierta cautela. La relación con googol está reconocida, pero no es necesario atribuir el origen del nombre exclusivamente a una errata; resulta más prudente hablar de una referencia o juego de palabras con el término matemático.

La conexión tampoco terminó con el nombre de la empresa. La sede principal de Google en Mountain View, California, es conocida como el Googleplex, un nombre que recuerda directamente al googolplex.

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Lectura recomendada: El número de Shannon: ¿cuántas partidas de ajedrez son posibles?

El número de Shannon: ¿cuántas partidas de ajedrez son posibles?

Claude Elwood Shannon (1916–2001)

El ajedrez es un juego engañosamente simple en sus reglas: un tablero de 64 casillas, 32 piezas y dos jugadores turnándose para mover. Sin embargo, detrás de esa aparente sencillez se esconde un universo matemático tan inconmensurable que desafía nuestra imaginación. A mediados del siglo XX, un científico fascinado por los enigmas de la mente y la tecnología intentó calcular cuántas partidas diferentes podían llegar a jugarse jamás. El resultado de su cálculo, bautizado como el Número de Shannon, demostró que el ajedrez tiene más caminos posibles que átomos existen en todo el universo conocido.

Todo comenzó en 1950. Claude Shannon, un brillante matemático y criptógrafo estadounidense que ya era famoso por haber sentado las bases de la era digital y la teoría de la información, publicó un artículo pionero titulado "Programming a Computer for Playing Chess" ("Programando una computadora para jugar al ajedrez"). En aquella época, las computadoras eran máquinas gigantescas, lentas y rudimentarias. Shannon no quería enseñar a una computadora a jugar simplemente por entretenimiento; su meta era descubrir si las máquinas podían aprender a resolver problemas complejos del mundo real utilizando la lógica. Para ello, decidió probar si una computadora podía "resolver" el ajedrez calculando cada posible jugada de principio a fin, una estrategia conocida como fuerza bruta.

Para comprobar si este método era viable, Shannon hizo un cálculo muy sencillo. Observó que, en una partida promedio entre humanos, cada jugador suele tener unas \(30\) opciones distintas de movimiento en su turno. Además, notó que una partida estándar suele durar alrededor de \(40\) jugadas por bando (lo que equivale a \(80\) turnos individuales en total). Si en cada uno de esos \(80\) turnos multiplicamos las \(30\) opciones posibles, obtenemos la célebre ecuación \( 30^{80} \approx 10^{120}\)

Ese número, un uno seguido de 120 ceros (\(10^{120}\)), es el Número de Shannon. Para comprender lo descomunal que es esta cifra, basta compararla con el cosmos: los astrónomos estiman que en todo el universo observable hay entre \(10^{78}\) y \(10^{80}\) átomos. Esto significa que si cada átomo del universo fuera un universo entero por sí mismo, aún no nos acercaríamos a la cantidad de partidas de ajedrez únicas que se pueden jugar. Incluso si la computadora más potente construida jamás evaluara miles de millones de jugadas por segundo desde el origen del universo, apenas habría arañado la superficie de este número.

El 10 de febrero de 1996, el ordenador Deep Blue gano la primera partida del enfrentamiento con Gary Kasparov en 37 movimientos con piezas blancas.  

Esta abrumadora realidad cambió para siempre el rumbo de la inteligencia artificial. Claude Shannon demostró que era absolutamente imposible que una máquina ganara al ajedrez explorando todas las combinaciones posibles. En su lugar, las computadoras debían aprender a "pensar" como lo hacen los grandes maestros humanos: no mirando todas las jugadas, sino descartando las malas estrategias mediante la intuición, la lógica y la evaluación de patrones. Gracias a esta revelación, nacieron los algoritmos de evaluación y las técnicas de búsqueda inteligente que décadas más tarde permitirían a supercomputadoras como Deep Blue derrotar a Garry Kasparov en 1996, y a la inteligencia artificial moderna, como AlphaZero, dominar el juego a niveles superiores. En definitiva, el Número de Shannon no solo reveló la insondable profundidad del ajedrez, sino que obligó a las máquinas a desarrollar las primeras chispas de inteligencia artificial.

Los números de Kaprekar

Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905–1986) nació en Dahanu, cerca de Bombay, India. Se interesó por los números desde muy pequeño. Recibió educación secundaria en Thana y estudió en la instituto Fergusson, en Poona. Asistió a la Universidad de Bombay, recibiendo la licenciatura en 1929. Desde 1930 hasta su jubilación en 1962, trabajó como profesor de matemáticas de educación media en la ciudad de Devlali, India.

Kaprekar se autodefinía como un "adicto a las matemáticas recreativas" y pasaba noches enteras lápiz en mano jugando con combinaciones y propiedades de los números enteros. Escribió sobre temas como decimales con patrones recurrentes, cuadrados mágicos y números con propiedades especiales. Las siguientes clases de números fueron parte de los estudios que realizó.

La Constante de  Kaprekar

En 1949, mientras experimentaba ordenando y restando los dígitos de números de cuatro cifras, descubrió un bucle inevitable. Se dio cuenta de que, sin importar el número inicial que eligiera (siempre que no tuviera las 4 cifras iguales), aplicar repetidamente la sencilla rutina de ordenar sus dígitos de mayor a menor y restarle el orden menor al mayor siempre conducía al número 6174 en un máximo de 7 pasos, a dicho número le llamamos la constante de Kaprekar. La rutina consiste en lo siguiente:

1. Eligir 4 dígitos donde al menos dos sean distintos, por ejemplo 2959.
2. Ordenar los dígitos de mayor a menor (9952) y de menor a mayor (2599).
3. Restarlos, 9 952-2 599=7 353.
4. Repetir el proceso hasta llegar a 6174, 7533-3357=4176, 7641-1467=6174.
5. Una vez que llegas a 6 174, la resta 7641 - 1467=6174 de forma infinita.

Kaprekar , presentó su hallazgo en la Conferencia Matemática de Madrás ese mismo año. La comunidad matemática profesional de la época no lo tomó en serio. Para los académicos indios formados en matemáticas teóricas tradicionales, sus descubrimientos parecían meras trivialidades sin fundamento riguroso. Durante décadas fue ignorado y llamado burlonamente "aficionado", pero él no se desanimó.  Publicaba sus hallazgos en pequeñas revistas locales o pagaba de su propio bolsillo para imprimir sus folletos. El gran giro ocurrió en 1975, cuando el célebre divulgador científico Martin Gardner escribió sobre el trabajo de Kaprekar en su famosa columna de Scientific American. A partir de ese momento, la constante 6174 fascinó a matemáticos e informáticos de todo el mundo que comenzaron a probar el proceso en computadoras  descubriendo el patrón para diferentes números de dígitos: 

• Para 3 dígitos, el "atractor" o constante equivalente es el 495 y el ciclo es de a lo más 5 pasos.
• Para 4 dígitos, es la constante 6174  y el ciclo es de a lo más 7 pasos.
• No existe un único número (o constante) de Kaprekar para números de 5 cifras o más.
• Para números de 5 dígitos, el proceso nunca converge a un único número fijo. En su lugar, dependiendo del número con el que se inicie, la rutina caerá inevitablemente en uno de los siguientes 3 bucles (ciclos de números):  
• Bucle 1 (2 pasos): \(53\,955 \longrightarrow 59\,994 \longrightarrow 53\,955\).
• Bucle 2 (4 pasos):  \(61\,974 \longrightarrow 82\,962 \longrightarrow 75\,933 \longrightarrow 63\,954 \longrightarrow 61\,974\).
• Bucle 3 (4 pasos):  \(62\,964 \longrightarrow 71\,973 \longrightarrow 83\,952 \longrightarrow 74\,943 \longrightarrow 62\,964\).
• Para 6 dígitos. No tiene una única constante; tiene dos números fijos (como 549 945 y 631 764) además de varios bucles.  7 cifras o más: Se forman sistemas de ciclos cada vez más complejos y caóticos. 

En resumen, para que un número de N cifras tenga una "Constante de Kaprekar" pura (un único punto atractor donde caigan todos los números), la matemática detrás del sistema de numeración requiere condiciones muy específicas. En nuestra base 10, los números de  3 o  4 dígitos son las únicas excepciones afortunadas. Para números de 2, 5, 6 o más cifras, la dinámica suele ser más compleja, pues puede haber varios atractores,  aparecer ciclos de varios números y no todos los números terminan en el mismo atractor.

Número de Kaprekar

Un número de Kaprekar en base 10, es un número entero positivo  K  tal que: los dígitos del  número \(K^2\), se pueden separar  en dos partes  \(M\) y  \(N\), donde  \(N\) (la parte de la derecha de  \(K^2\) ) tiene el mismo número de dígitos que  \(K\) y tal que  \(M+N=K\).

Por ejemplo: 

1. Sea \(K=1\), por tanto \(1^2=1\), eligiendo  \(M=0\)  y \(N=1\), se tiene que  \(M+N=1\).
2. Sea \(K=9\), por tanto \(9^2=81\), eligiendo  \(M=8\)  y \(N=1\), se tiene que  \(M+N=9\).
3. Sea \(K=45\), por tanto \(45^2=2025\), eligiendo  \(M=20\)  y \(N=25\), se tiene que  \(M+N=45\). 
4. Sea \(K=297\), por tanto \(297^2=88\,209\), eligiendo  \(M=88\)  y \(N=209\), se tiene que  \(M+N=297\). 
5. Los siguientes 15 números de Kaprekar son 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962 y  77778.
6. Resaltemos que el segundo sumando puede empezar por uno o varios ceros, como ya vimos en el primer ejemplo o  en el caso \(99\,999^2=9\,999\,800\,001\;  \longrightarrow \;99\,998+00\,001=99\,999\).

 Existen infinitos números de Kaprekar y la demostración consiste en probar que todo número de la forma \(10^n-1\), con \(n\) entero positivo, es de Kaprekar. Este resultados también es válido para números en una base arbitraria \(b\),  es decir, el número \(b^n-1\) es de Kaprekar en la base \(b\). Un resultado interesante en binario (base 2) es que todos los números perfectos son números de Kaprekar.   

 Número de Harshad

 En 1953, durante una de sus habituales jornadas de trabajo matemático, Kaprekar comenzó a observar qué sucedía cuando tomaba un número y lo comparaba con la suma de sus propios dígitos. Descubrió que ciertos números tenían una especie de "armonía interna": podían ser divididos exactamente por la suma de sus propios dígitos. Sintió tal fascinación por la elegancia de este hallazgo que decidió bautizarlos en  sánscrito como: Harshad (gran alegría). Para él, estos eran literalmente los "números que traen gran alegría".

Obviamente, los números del 1 al 9 son de  Harshad, pues todo número es divisible por 1 y los múltiplos de 10 también los son, luego esta clase de números es infinita. Los primeros  20 números de de  Harshad son: 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72 y 80.

 Autonúmeros

 Para un entero positivo \(n\) definimos la función generadora \(g(n)=n+\text{suma de sus cifras}\). Por ejemplo:  \(g(16)=16+(1+6)=23\) y  \(g(123)=123+(1+2+3)=129\).

Un autonúmero \(a\) es un número que no tiene ningún generador, es decir, no existe ningún \(n\) tal que \(g(n)=a\). Por ejemplo:

•  20 es un autonúmero. Busquemos si existe algún número que genere \(20\): \(14+(1+4)=19\), \(15+(1+5)=2\), \(16+(1+6)=23\) y  así sucesivamente. No existe ningún número cuya suma con sus propias cifras sea \(20\).
•  23 no es un autonúmero, pues como hemos visto \(g(16)=23\). 

 Lo curioso es que forman una secuencia infinita de números que no tienen "padre" o generador bajo esta regla, como si fueran números que aparecen por sí solos dentro del sistema. Una forma intuitiva de verlo es: un número común puede ser "engendrado" por otro sumándole sus cifras, mientras que un autonúmero es aquel para el que no existe ningún progenitor.

Kaprekar demostró que las matemáticas no solo sirven para resolver problemas complejos, sino también para descubrir patrones sorprendentes escondidos en los números más cotidianos. Desde la famosa constante 6174 hasta los números de Kaprekar o Harshad y los autonúmeros, sus hallazgos siguen fascinando a matemáticos y aficionados por igual, recordándonos que incluso las operaciones más simples pueden revelar una belleza inesperada.