La Yupana, el ábaco Inca

 Las yupanas son uno de los legados más fascinantes de la matemática precolombina, funcionando como las calculadoras o ábacos del Imperio Inca y de las culturas andinas que los precedieron. La palabra proviene del quechua yupay (que significa "contar") y hace referencia a estos dispositivos, que solían ser tableros con casilleros tallados en piedra, madera, arcilla o incluso representados en textiles, donde se colocaban cuentas como granos de maíz o piedras de colores para realizar operaciones aritméticas complejas. Históricamente, su origen está íntimamente ligado a los quipus (los sistemas de cuerdas anudadas); mientras que el quipu funcionaba como el registro o "disco duro" para almacenar los datos, la yupana era el procesador donde se realizaban los cálculos de forma dinámica. 

Diversos modelos de yupanas arqueológicas, descubiertas en excavaciones.

A pesar de su genialidad, el estudio de las yupanas presenta un gran desafío arqueológico debido a la inmensa variedad de modelos que existen y al misterio que rodea a muchos de ellos. No hubo un diseño único: se han descubierto tableros con diferentes distribuciones de cuadrículas, números de casilleros y disposiciones geométricas. El modelo más famoso fue documentado en 1615 por el cronista Guamán Poma de Ayala en su obra Nueva corónica y buen gobierno, el cual muestra una tabla de 5 filas y 4 columnas. Sin embargo, los hallazgos arqueológicos revelan variantes desconcertantes, muchas de las cuales aún no se sabe a ciencia cierta cómo se utilizaban.

La Yupana de Guamán Poma de Ayala, 1615

Al no haber registros escritos de los métodos de cálculo originales —debido a la tradición oral incaica y a la destrucción de conocimiento durante la conquista—, los matemáticos e historiadores actuales han tenido que "hacer ingeniería inversa". Esto ha dado lugar a múltiples teorías y propuestas de interpretación (algunas basadas en el sistema decimal, otras en sistemas de base 5 o base 40, e incluso modelos basados en la sucesión de Fibonacci). Mientras que algunos diseños arqueológicos se han podido descifrar con éxito para realizar sumas y restas, muchos otros modelos de yupanas siguen siendo un enigma, mudos testimonios de una ciencia andina sumamente avanzada cuyo funcionamiento exacto todavía estamos intentando comprender. El resto del post lo dedicaremos a la yupana de Poma de Ayala. 

Estructura de la Yupana de Poma de Ayala

La yupana de Guamán Poma de Ayala es el  principal referente histórico de este instrumento, dibujada por el cronista en su obra de 1615. Se describe brevemente por las siguientes características:

• Es un tablero rectangular organizado en una cuadrícula de 5 filas y 4 columnas (un total de 20 casilleros), dentro de cada casillero se muestran pequeños círculos o sectores para indicar el valor de las fichas colocadas en ella colocar las cuentas.
• En la fila superior hay casilleros con 5 círculos, en la siguiente con 3, luego 2 y, en la fila inferior, casilleros con un solo círculo.
• Aunque el cronista no dejó un manual de uso, los investigadores modernos sostienen que las columnas representan el sistema decimal posicional (unidades, decenas, centenas, etc.), mientras que los círculos internos de cada casillero permitían calcular de forma aditiva y realizar acarreos de manera sumamente visual.

 Nota

 Nota: 1729 es el número de Hardy-Ramanujan.

 

Esta yupana opera bajo el principio fundamental de un sistema posicional decimal y aditivo, donde los movimientos justifican la ejecución de operaciones aritméticas (como la suma, la simplificación y el acarreo) mediante la conservación del valor numérico total. Cada transición ilustra las reglas de dinamización de fichas, las cuales consisten en reducir la complejidad del tablero al fusionar fichas del mismo casillero que completan un valor superior (adición interna, como \(1+1=2\) o \(3+3=6 \rightarrow 5+1\)), o bien al aplicar la regla del acarreo decimal, donde acumular el valor máximo de 10 unidades en cualquier orden posicional se canjea automáticamente por una sola ficha de valor 1 en el casillero inmediato de la izquierda (el orden superior). Así, ya sea reorganizando fichas dentro de un mismo nivel, realizando saltos de columna por desborde, o unificando dos filas de registro en una sola, el argumento matemático unificador es la reagrupación eficiente de cantidades para simplificar la lectura del resultado sin alterar el valor de la cifra original. En la siguiente imagen se ilustran los 8 movimientos básicos de simplificación (dirección azul) y sus inversos los movimientos de expansión (dirección roja):

 La suma

 Se superponen ambas  cantidades en el tablero y se realizan los movimientos de simplificación (dirección azul) necesarios hasta que no quede ningún movimiento pendiente y haya una sola ficha en las celdas utilizadas para expresar el resultado.

 

Nota: 2520 es el menor número que es divisible por todos los números desde 1 hasta 10.

La Diferencia

Se colocan las cantidades en el tablero, de manera que las fichas del minuendo sean de un color (amarillo) y las del sustraendo de otro color (verde). Si dos fichas de colores diferentes se encuentran  en una misma celda se anulan y se retiran ambas fichas del tablero.  Se realizan los movimientos de expansión (dirección roja) necesarios y así formar parejas de fichas del minuendo y el sustraendo para ir eliminándolas hasta que no quede ningún movimiento pendiente y haya una sola ficha del minuendo en las celdas utilizadas para expresar el resultado.

Nota: 6174  es la Constante de Kaprekar.

La Multiplicación

 La multiplicación es realiza como una sucesión  de sumas consecutivas. Para dos factores \(M\) y  \(N\), se tiene que \(M \times N\) es igual a la suma de \(N\) veces \(M\) o equivalentemente su recíproco. Si \(M < N\), suele ser más simple sumar \(M\) veces \(N\). 

La División

 La división con la yupana es un proceso un poco más complejo que los anteriores y consiste en determinar cuántas veces está contenido el divisor dentro del dividendo. Para ello, se realiza un proceso de emparejamiento entre las fichas de ambas cantidades, equivalente a efectuar restas sucesivas. El procedimiento consiste en lo siguiente:

1. Representar las cantidades. Coloca en la yupana las fichas correspondientes al dividendo y al divisor. Es recomendable utilizar colores diferentes para distinguir ambas cantidades con facilidad.
2. Ubicar el divisor. Desplaza hacia arriba, manteniendo su forma original, el conjunto de fichas que representa al divisor. Continúa hasta que la ficha de mayor valor del divisor quede en la misma fila que la ficha de mayor valor del dividendo, asegurándote de que el valor representado por el dividendo siga siendo mayor o igual que el del divisor.
3. Realizar el emparejamiento. Comenzando por la fila de mayor valor:
   
   • Efectúa los movimientos necesarios sobre las fichas del dividendo para que coincidan con las posiciones ocupadas por las fichas del divisor.
   • Cuando todas las fichas de una fila queden emparejadas, retira del tablero ese grupo de fichas del dividendo.
   • Por cada emparejamiento completo, coloca una ficha de control a la derecha del tablero. Estas fichas irán formando el cociente.
4.  Repetir el proceso. Una vez retirado un grupo de fichas del dividendo:
   
   • Baja una fila el bloque que representa al divisor.
   • Repite el procedimiento de emparejamiento y retirada.
   • Continúa hasta que no queden fichas del dividendo o hasta que el valor restante sea menor que el divisor.
5. Obtener el resultado.
   
   • El cociente es el número representado por las fichas de control colocadas a la derecha del tablero.
   • El residuo es el valor que aún representan las fichas del dividendo que no pudieron emparejarse con el divisor.
6. Cálculo de decimales. Si existe residuo y se desea continuar la división:
   
   • Sube las fichas del residuo a la casilla inmediatamente superior, lo que equivale a multiplicar su valor por diez.
   • Continúa aplicando el mismo procedimiento para obtener las cifras decimales del cociente.

El procedimiento en esencia consiste en que cada vez que las fichas del divisor logran emparejarse completamente con una parte del dividendo, se ha encontrado una nueva unidad del cociente. Por ello, dividir en la yupana puede entenderse como contar cuántas veces es posible formar el divisor dentro del dividendo. 

El resultado de la división es: 94/7=13  (valor de las fichas azules exteriores) con resto 3  (valor de la ficha amarilla -dividendo- que queda en el tablero). Es  decir, 97=13 x 7 + 3.

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Bibliografía de consulta.

• Prem, Dhavit (2016). Yupana Inka: Decodificando la matemática inka. Tawa Pukllay: Los 4 juegos sagrados de los inkas. Asociación Yupanki.