Los números de Kaprekar

Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905–1986) nació en Dahanu, cerca de Bombay, India. Se interesó por los números desde muy pequeño. Recibió educación secundaria en Thana y estudió en la instituto Fergusson, en Poona. Asistió a la Universidad de Bombay, recibiendo la licenciatura en 1929. Desde 1930 hasta su jubilación en 1962, trabajó como profesor de matemáticas de educación media en la ciudad de Devlali, India.

Kaprekar se autodefinía como un "adicto a las matemáticas recreativas" y pasaba noches enteras lápiz en mano jugando con combinaciones y propiedades de los números enteros. Escribió sobre temas como decimales con patrones recurrentes, cuadrados mágicos y números con propiedades especiales. Las siguientes clases de números fueron parte de los estudios que realizó.

La Constante de  Kaprekar

En 1949, mientras experimentaba ordenando y restando los dígitos de números de cuatro cifras, descubrió un bucle inevitable. Se dio cuenta de que, sin importar el número inicial que eligiera (siempre que no tuviera las 4 cifras iguales), aplicar repetidamente la sencilla rutina de ordenar sus dígitos de mayor a menor y restarle el orden menor al mayor siempre conducía al número 6174 en un máximo de 7 pasos, a dicho número le llamamos la constante de Kaprekar. La rutina consiste en lo siguiente:

1. Eligir 4 dígitos donde al menos dos sean distintos, por ejemplo 2959.
2. Ordenar los dígitos de mayor a menor (9952) y de menor a mayor (2599).
3. Restarlos, 9 952-2 599=7 353.
4. Repetir el proceso hasta llegar a 6174, 7533-3357=4176, 7641-1467=6174.
5. Una vez que llegas a 6 174, la resta 7641 - 1467=6174 de forma infinita.

Kaprekar , presentó su hallazgo en la Conferencia Matemática de Madrás ese mismo año. La comunidad matemática profesional de la época no lo tomó en serio. Para los académicos indios formados en matemáticas teóricas tradicionales, sus descubrimientos parecían meras trivialidades sin fundamento riguroso. Durante décadas fue ignorado y llamado burlonamente "aficionado", pero él no se desanimó.  Publicaba sus hallazgos en pequeñas revistas locales o pagaba de su propio bolsillo para imprimir sus folletos. El gran giro ocurrió en 1975, cuando el célebre divulgador científico Martin Gardner escribió sobre el trabajo de Kaprekar en su famosa columna de Scientific American. A partir de ese momento, la constante 6174 fascinó a matemáticos e informáticos de todo el mundo que comenzaron a probar el proceso en computadoras  descubriendo el patrón para diferentes números de dígitos: 

• Para 3 dígitos, el "atractor" o constante equivalente es el 495 y el ciclo es de a lo más 5 pasos.
• Para 4 dígitos, es la constante 6174  y el ciclo es de a lo más 7 pasos.
• No existe un único número (o constante) de Kaprekar para números de 5 cifras o más.
• Para números de 5 dígitos, el proceso nunca converge a un único número fijo. En su lugar, dependiendo del número con el que se inicie, la rutina caerá inevitablemente en uno de los siguientes 3 bucles (ciclos de números):  
• Bucle 1 (2 pasos): \(53\,955 \longrightarrow 59\,994 \longrightarrow 53\,955\).
• Bucle 2 (4 pasos):  \(61\,974 \longrightarrow 82\,962 \longrightarrow 75\,933 \longrightarrow 63\,954 \longrightarrow 61\,974\).
• Bucle 3 (4 pasos):  \(62\,964 \longrightarrow 71\,973 \longrightarrow 83\,952 \longrightarrow 74\,943 \longrightarrow 62\,964\).
• Para 6 dígitos. No tiene una única constante; tiene dos números fijos (como 549 945 y 631 764) además de varios bucles.  7 cifras o más: Se forman sistemas de ciclos cada vez más complejos y caóticos. 

En resumen, para que un número de N cifras tenga una "Constante de Kaprekar" pura (un único punto atractor donde caigan todos los números), la matemática detrás del sistema de numeración requiere condiciones muy específicas. En nuestra base 10, los números de  3 o  4 dígitos son las únicas excepciones afortunadas. Para números de 2, 5, 6 o más cifras, la dinámica suele ser más compleja, pues puede haber varios atractores,  aparecer ciclos de varios números y no todos los números terminan en el mismo atractor.

Número de Kaprekar

Un número de Kaprekar en base 10, es un número entero positivo  K  tal que: los dígitos del  número \(K^2\), se pueden separar  en dos partes  \(M\) y  \(N\), donde  \(N\) (la parte de la derecha de  \(K^2\) ) tiene el mismo número de dígitos que  \(K\) y tal que  \(M+N=K\).

Por ejemplo: 

1. Sea \(K=1\), por tanto \(1^2=1\), eligiendo  \(M=0\)  y \(N=1\), se tiene que  \(M+N=1\).
2. Sea \(K=9\), por tanto \(9^2=81\), eligiendo  \(M=8\)  y \(N=1\), se tiene que  \(M+N=9\).
3. Sea \(K=45\), por tanto \(45^2=2025\), eligiendo  \(M=20\)  y \(N=25\), se tiene que  \(M+N=45\). 
4. Sea \(K=297\), por tanto \(297^2=88\,209\), eligiendo  \(M=88\)  y \(N=209\), se tiene que  \(M+N=297\). 
5. Los siguientes 15 números de Kaprekar son 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962 y  77778.
6. Resaltemos que el segundo sumando puede empezar por uno o varios ceros, como ya vimos en el primer ejemplo o  en el caso \(99\,999^2=9\,999\,800\,001\;  \longrightarrow \;99\,998+00\,001=99\,999\).

 Existen infinitos números de Kaprekar y la demostración consiste en probar que todo número de la forma \(10^n-1\), con \(n\) entero positivo, es de Kaprekar. Este resultados también es válido para números en una base arbitraria \(b\),  es decir, el número \(b^n-1\) es de Kaprekar en la base \(b\). Un resultado interesante en binario (base 2) es que todos los números perfectos son números de Kaprekar.   

 Número de Harshad

 En 1953, durante una de sus habituales jornadas de trabajo matemático, Kaprekar comenzó a observar qué sucedía cuando tomaba un número y lo comparaba con la suma de sus propios dígitos. Descubrió que ciertos números tenían una especie de "armonía interna": podían ser divididos exactamente por la suma de sus propios dígitos. Sintió tal fascinación por la elegancia de este hallazgo que decidió bautizarlos en  sánscrito como: Harshad (gran alegría). Para él, estos eran literalmente los "números que traen gran alegría".

Obviamente, los números del 1 al 9 son de  Harshad, pues todo número es divisible por 1 y los múltiplos de 10 también los son, luego esta clase de números es infinita. Los primeros  20 números de de  Harshad son: 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72 y 80.

 Autonúmeros

 Para un entero positivo \(n\) definimos la función generadora \(g(n)=n+\text{suma de sus cifras}\). Por ejemplo:  \(g(16)=16+(1+6)=23\) y  \(g(123)=123+(1+2+3)=129\).

Un autonúmero \(a\) es un número que no tiene ningún generador, es decir, no existe ningún \(n\) tal que \(g(n)=a\). Por ejemplo:

•  20 es un autonúmero. Busquemos si existe algún número que genere \(20\): \(14+(1+4)=19\), \(15+(1+5)=2\), \(16+(1+6)=23\) y  así sucesivamente. No existe ningún número cuya suma con sus propias cifras sea \(20\).
•  23 no es un autonúmero, pues como hemos visto \(g(16)=23\). 

 Lo curioso es que forman una secuencia infinita de números que no tienen "padre" o generador bajo esta regla, como si fueran números que aparecen por sí solos dentro del sistema. Una forma intuitiva de verlo es: un número común puede ser "engendrado" por otro sumándole sus cifras, mientras que un autonúmero es aquel para el que no existe ningún progenitor.

Kaprekar demostró que las matemáticas no solo sirven para resolver problemas complejos, sino también para descubrir patrones sorprendentes escondidos en los números más cotidianos. Desde la famosa constante 6174 hasta los números de Kaprekar o Harshad y los autonúmeros, sus hallazgos siguen fascinando a matemáticos y aficionados por igual, recordándonos que incluso las operaciones más simples pueden revelar una belleza inesperada.

La Dinastía Matemática de los Bernoulli

La familia Bernoulli era originaria de Amberes pero asentados de forma definitiva en Basilea, Suiza, produjeron más de ocho matemáticos y científicos de primer nivel a lo largo de tres generaciones entre finales del siglo XVII y todo el siglo XVIII. Para comprender cómo este único apellido llegó a dominar el panorama intelectual de Europa, es indispensable situarse en su entorno histórico: una era marcada por la Ilustración y la transición del misticismo hacia el racionalismo científico, donde la ciencia comenzaba a verse como el motor del progreso de las naciones.

En el ámbito puramente matemático, los Bernoulli tuvieron la fortuna y la perspicacia de nacer en el momento exacto en que Newton y Leibniz acababan de inventar, de forma independiente, el cálculo infinitesimal. Mientras Newton guardaba recelosamente sus métodos de fluxiones en la Inglaterra anglicana, los hermanos Jakob y Johann Bernoulli adoptaron y perfeccionaron con entusiasmo la elegante notación diferencial que Leibniz promovía en la Europa continental. De esta forma, los Bernoulli se convirtieron en los grandes "evangelistas" de esta nueva herramienta, utilizándola no solo para resolver problemas abstractos, sino para fundar las bases de la física matemática, demostrando el poder del cálculo aplicado a la naturaleza.

Sin embargo, gran parte de esta producción científica no era solo el amor al conocimiento, sino un carácter familiar extremadamente soberbio  y competitivo. En una época donde el prestigio científico se ganaba resolviendo públicamente los desafíos matemáticos que se lanzaban en las revistas académicas de la época, los Bernoulli convirtieron la ciencia en un campo de batalla personal. Jakob y Johann pasaron años humillándose públicamente a través de problemas matemáticos imposibles, y esta toxicidad familiar se repitió cuando Johann, incapaz de soportar que su propio hijo Daniel ganara un prestigioso premio de la Academia de Ciencias de París, lo expulsó de la casa familiar e incluso intentó plagiar sus manuscritos sobre hidrodinámica. Al final, los Bernoulli moldearon el mundo moderno a través de sus matemáticas avanzadas, demostrando que detrás de las ecuaciones y leyes físicas más puras también se escondían algunas de las pasiones humanas más complejas y competitivas de la historia de la ciencia.

El primero de los grandes pilares de la dinastía fue Jakob Bernoulli, el hermano mayor, quien se obsesionó con el cálculo de probabilidades y la geometría.  Su hermano menor, Johann Bernoulli, poseía una intuición física arrolladora y se especializó en la mecánica y el análisis matemático, ejerció  como tutor de otras mentes brillantes de la época, como  Leonhard Euler. La tradición de excelencia continuó con la siguiente generación a través de Daniel Bernoulli, hijo de Johann, quien aplicó el cálculo al comportamiento de los fluidos y la acústica.  La Dinastía Bernoulli produjo muchos artistas y científicos notables, en particular un gran número de matemáticos y físicos. El siguiente árbol genealógico contiene a los miembros más prominentes de la estirpe:

 Jakob (Jacques) Bernoulli (1654–1705) fue un matemático fundamental para el desarrollo del cálculo infinitesimal de Leibniz, a quien defendió y cuyas técnicas aplicó para avanzar en el estudio de curvas como la elástica, la catenaria y la espiral logarítmica. Su legado trasciende el análisis matemático, destacando especialmente por su obra póstuma Ars Conjectandi (El arte de la conjetura), donde formuló la primera versión de la ley de los grandes números y sentó las bases de la moderna teoría de la probabilidad. Además, realizó contribuciones esenciales a la geometría diferencial y al cálculo exponencial, siendo reconocido por el descubrimiento de la constante matemática \(e\) y por dar nombre al concepto de "integral".

Johann (Jean) Bernoulli (1667–1748) fue el hermano menor de Jakob y  uno de los principales responsables de la difusión y el desarrollo del cálculo infinitesimal de Leibniz. Su trayectoria estuvo marcada por una intensa actividad investigadora y una notable labor docente. En el ámbito del cálculo, fue un pionero fundamental en la aplicación de herramientas matemáticas a problemas físicos de gran complejidad, realizando contribuciones significativas a la mecánica analítica. Asimismo, es reconocido como el verdadero autor de la famosa regla que lleva el nombre de su alumno, el marqués de L'Hôpital, quien la publicó en su obra de 1696 tras haberla aprendido directamente de la correspondencia privada que mantenía con Bernoulli. Su legado también se extiende a través de su profunda influencia en la siguiente generación de científicos, ya que, como profesor en Basilea, fue el mentor directo de figuras de la talla de Leonhard Euler.

 

Nicolaus I Bernoulli (1687–1759) fue un sobrino de Jakob y Johann, cuya labor académica contribuyó a expandir el prestigio intelectual de la familia durante el siglo XVIII. Aunque su trayectoria a menudo es eclipsada por la de sus famosos tíos, sus aportes fueron fundamentales en el desarrollo de la teoría de la probabilidad y el análisis matemático. Su trabajo se centró principalmente en la resolución de problemas complejos mediante métodos probabilísticos, siendo recordado por su importante correspondencia científica con figuras de la talla de Pierre Rémond de Montmort. En estos intercambios, analizó cuestiones clave sobre juegos de azar, como el famoso "Problema de San Petersburgo", el cual fue posteriormente desarrollado por su primo Daniel Bernoulli.

 

Nicolaus II Bernoulli (1695–1726) fue el hijo mayor de Johann Bernoulli y hermano de Daniel Bernoulli. A pesar de que su vida fue prematuramente truncada a los 30 años, destacó por su precocidad y su capacidad intelectual. Su trabajo se enfocó principalmente en las ecuaciones diferenciales y en la resolución de problemas geométricos complejos, siendo un colaborador cercano de su padre en diversos desafíos matemáticos. Entre sus logros más significativos destaca su labor en la resolución del problema de las trayectorias ortogonales, una cuestión que había generado importantes debates científicos en la época. En 1725, aceptó una invitación para unirse a la Academia de Ciencias de San Petersburgo, junto a su hermano Daniel. Sin embargo, su prometedora carrera en Rusia se vio interrumpida apenas unos meses después de su llegada, cuando falleció a causa de una fiebre severa en 1726.

 

Daniel Bernoulli (1700–1782) fue uno de los científicos más destacados de su época y el miembro más reconocido de la familia por sus contribuciones a la física y las matemáticas aplicadas. Hijo de Johann Bernoulli, Daniel logró consolidar su propio legado al combinar el análisis matemático con la observación de fenómenos naturales, destacando por su enfoque multidisciplinario. Su obra cumbre es Hydrodynamica (1738), un tratado fundamental donde estableció las bases de la mecánica de fluidos. En esta obra formuló el famoso principio de Bernoulli, que describe cómo la presión de un fluido disminuye a medida que aumenta su velocidad, una ley que sigue siendo un pilar esencial en la ingeniería y la física moderna, especialmente para explicar fenómenos como la sustentación aerodinámica.Además de sus logros en física, Daniel realizó aportes significativos a la teoría de la probabilidad y la estadística. Es recordado especialmente por su análisis del Problema de San Petersburgo, donde propuso una solución basada en la noción de "utilidad esperada" en lugar de solo el valor monetario, una idea que revolucionó la teoría económica y la toma de decisiones bajo condiciones de riesgo. Su carrera estuvo estrechamente vinculada a la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde vivió años de intensa productividad científica junto a su hermano Nicolaus II y más tarde, en su regreso a Basilea, mantuvo una estrecha amistad y correspondencia con Leonhard Euler. Su capacidad para conectar el cálculo avanzado con problemas del mundo real lo posicionó como un precursor fundamental de la física matemática contemporánea.

 

Johann II Bernoulli (1710–1790) fue el hijo menor de Johann I Bernoulli y continuó la ilustre tradición científica de su familia, destacándose principalmente en los campos de la física y las matemáticas. A diferencia de otros miembros de la dinastía, su labor estuvo muy vinculada a la investigación experimental y a la enseñanza académica. En el ámbito de la física, Johann II realizó importantes contribuciones al estudio del calor y de la luz. Su enfoque se centró en la naturaleza de estas fuerzas físicas, realizando experimentos y análisis teóricos que ayudaron a avanzar la comprensión científica durante la segunda mitad del siglo XVIII. Tras la muerte de su padre en 1748, ocupó la cátedra de matemáticas en la Universidad de Basilea, cargo que le permitió consolidar su reputación como un académico riguroso y un profesor influyente. 

 

Johann III Bernoulli (1744–1807),   hijo de Johann II Bernoulli, que destacó principalmente por sus contribuciones a la astronomía y la geografía matemática durante la Ilustración. A diferencia de sus predecesores, su carrera estuvo fuertemente vinculada a la vida académica en Berlín, donde desarrolló gran parte de su labor científica. Se dedicó al perfeccionamiento de los instrumentos astronómicos y a la precisión en la medición de fenómenos celestes, además de publicar numerosos trabajos sobre geografía, cronología y la historia de las matemáticas.  Desempeñó un papel crucial como editor y corresponsal, publicando cartas y diarios de viajes que facilitaron el intercambio intelectual entre los científicos europeos de finales del siglo XVIII. A través de su constante labor de publicación y su rol en la academia berlinesa, Johann III ayudó a mantener vivo el legado familiar, siendo uno de los últimos miembros de la dinastía en sostener un perfil público de alta influencia científica. 

Jacob II Bernoulli (1759–1789) fue el hijo menor de Johann II Bernoulli y representó la última generación de la dinastía en destacar significativamente en las ciencias exactas. Aunque su vida fue breve, falleció a los 29 años, demostró un talento matemático excepcional que permitió mantener el renombre familiar durante sus pocos años de carrera.   Se formó en la tradición matemática de su familia y, al igual que sus antepasados, mostró una gran capacidad para el análisis y la física matemática.  Su trabajo se centró en temas de física, particularmente en la elasticidad y la mecánica, siguiendo la línea de investigación iniciada por sus predecesores.  Su prometedora trayectoria se vio interrumpida trágicamente en 1789 al ahogarse en el río Neva, en San Petersburgo, mientras se desempeñaba como profesor y miembro de la Academia de Ciencias de Rusia, ciudad donde residía y trabajaba en aquel momento. 

 

En definitiva, la dinastía Bernoulli nos demuestra que la ciencia no solo avanza a base de pura lógica, sino también impulsada por las pasiones y el orgullo humano. Su legado sigue tan vivo que es prácticamente imposible estudiar física o matemáticas hoy en día sin toparse con su apellido; una familia irrepetible que, entre disputas y destellos de genialidad, nos enseñó a calcular el azar, a entender el movimiento de los fluidos y a descifrar las leyes del universo a través del lenguaje del cálculo. Refiriéndose a la omnipresencia de este apellido en la ciencia, matemático francés Jean le Rond d'Alembert escribió:

"Un Bernoulli es a las matemáticas lo que un Bach es a la música."

Cuando Jakob Bernoulli falleció, pidió que en su tumba grabaran una espiral logarítmica (una curva matemática que él estudió profundamente porque, por más que crezca, nunca cambia de forma) junto a la frase en latín: "Eadem mutata resurgo" ("Mutada, resurjo siendo la misma"). Aunque el tallador de piedra se equivocó y esculpió una espiral normal, la frase quedó para la posteridad como el símbolo perfecto de los Bernoulli: una dinastía que, a pesar de las peleas, las muertes y el paso de las generaciones, siempre resurgía con la misma e inconfundible genialidad matemática. 

La Charada China en Cuba

Mientras Occidente aprendía de los pitagóricos a descifrar los números como leyes abstractas y matemáticas del alma, Oriente descubría en ellos una fuerza vibracional íntimamente ligada al lenguaje, la suerte y el destino cotidiano. Siglos después, el azar de la historia quiso que estas dos cosmovisiones distantes se cruzaran en el crisol del Caribe. De ese encuentro, donde la mística milenaria china se fundió con la picaresca y el sincretismo cubano, nació la Charada: un fascinante diccionario popular que transforma los sueños y los eventos cotidianos en un código numérico.

El origen histórico de la charada es un fascinante viaje de mestizaje cultural que comenzó a mediados del siglo XIX en Cuba, fruto de la fusión entre la migración china, la santería afrocubana y la picaresca española. Entre 1847 y 1874, más de 120 000 inmigrantes chinos —conocidos como «culíes»— llegaron a Cuba para trabajar bajo un régimen de semiesclavitud en las plantaciones de azúcar, trayendo consigo sus costumbres, su religión y sus juegos de azar.

El ancestro directo de la charada es un juego popular del sur de China llamado Chiffá o ZiHua (字花), que significa literalmente «flor de la palabra». Este juego consistía en un acertijo basado en la vida de 36 personajes históricos o mitológicos del folclore chino, tales como monjes, comerciantes, mendigos o bandidos. El banquero elegía a uno de estos personajes en secreto, lo envolvía en un paño y lo colgaba del techo (de ahí la frase popular cubana: «el bicho está colgao»). Los jugadores debían adivinar de quién se trataba basándose en un poema o una adivinanza en clave.

Para que los cubanos y españoles que no hablaban cantonés pudieran participar, los banqueros chinos idearon un recurso visual ingenioso: el dibujo de un hombre con los 36 símbolos —o «bichos»— distribuidos por distintas partes de su cuerpo.

La palabra «charada», de origen francés, significa «acertijo» (riddle), un término que encajaba perfectamente con la naturaleza del Chiffá. El primer negocio de apuestas registrado oficialmente en La Habana operó en 1873 en la calle Lealtad; desde allí, la práctica se propagó con rapidez, pues permitía apuestas mínimas de apenas unos centavos.

A principios del siglo XX, tras el nacimiento de la República de Cuba y la creación de la Lotería Nacional, el juego sufrió una metamorfosis radical:

·        El sistema original chino de 36 personajes resultaba insuficiente para el formato de la lotería occidental de dos dígitos. En consecuencia, el imaginario popular cubano fue incorporando números del 37 al 100.

·        Lo que en China era el ejercicio de descifrar un poema, en Cuba se convirtió en el arte de interpretar los sueños o los sucesos cotidianos. La charada mutó en un diccionario místico capaz de traducir cualquier evento cotidiano —soñar con agua, un viaje, una pelea o un animal— en números listos para apostar.

Hoy en día, aunque el juego original de los inmigrantes chinos ya no se practica en su formato ancestral, su estructura de 100 números sigue plenamente vigente en el lenguaje, el humor y la cultura popular de los cubanos, tanto dentro como fuera de la isla. Es común escuchar expresiones como «le tiró el 8» para referirse a la muerte de alguien, o «le pagó con una monja» cuando alguien abona un pago con un billete de cinco pesos. 

En las apuestas, los jugadores eligen números de dos o tres cifras (del 00 al 99 o del 000 al 999). Esta elección casi nunca es aleatoria; suele estar guiada por la Charada y las vivencias diarias:

• El lenguaje de los sueños y las señales: Si alguien sueña con un familiar fallecido, jugará el 8 (Muerto); si ve un gato peleando en la calle, apostará al 4 (Gato).

• La impronta personal: Asimismo, se recurre con frecuencia a fechas de cumpleaños, números de identificación o al día en que ocurre algún suceso relevante en la comunidad para tentar a la suerte.

Es fundamental comprender que la Charada no es un sorteo ni una lotería en sí misma, sino el código maestro: una fascinante tabla de equivalencias que convierte la realidad en una cifra, dotando de orden numérico al azar de la vida.

Antes de 1959, el panorama del juego en Cuba estaba lejos de ser uniforme; lejos de existir una única versión, convivían diversas tablas que competían entre sí por la preferencia del jugador. El mundo de la charada era un ecosistema plural, marcado por la competencia comercial y la adaptación constante a los públicos locales.

Entre los impresos y folletos de la época, destacan variantes como la charada china —la raíz original—, conviviendo con versiones tan populares como la cubana, la matancera, la americana o la india. Esta diversidad no era casual: cada una ofrecía pequeñas variaciones en la interpretación de los símbolos y los números.

 

Las cinco charadas 

No.	De Matanzas	Americana	Cubana	India	China
1	Pescado chico	Camello	Tintero	Sol	Caballo
2	Caracol	Grillo	Cafetera	Hombre	Mariposa
3	Muerte	Cien pies	Tasa	Luna	Marinero
4	Pavo real	Vela	Llave	Soldado	Gato boca, diente
5	Lombriz	Periódico	Candado	Mar	Monja
6	Luna	Botella	Reverbero	Carta	Jicotea
7	Cochino	Medias	Mierda	Sueño	Caracol
8	Tigre	Mesa	Calabaza	León	Muerto
9	Buey	Cubo	Lira	Entierro	Elefante
10	Lancha	Cazuela	Maya	Paseo	Pescado grande
11	Caballo	Taller	Fosforera	Lluvia	Gallo
12	Perro grande	Muchachita	Cazuela	Vieja	Mujer santa
13	Elefante	Toallas	Anafe	Niño	Pavo real
14	Gato boca	Aretes	Sartén	Matrimonio	Gato tigre
15	Ratón	Gallo	Cuchara	Visita	Perro
16	Avispa	Plancha	Vestido	Fuego	Toro
17	Fuma opio	Hule	Camisón	Mujer	Luna
18	Gato amarillo	Sirena	Palma	Iglesia	Pescado chico
19	Jutía	Tropa	Mesa	Campesino	Lombriz
20	Mujer santa	Camiseta	Tibor	Cañón	Gato fino
21	Gallo	Cotorra	Chaleco	Reloj	Majá
22	Jicotes	Chimenea	Lira	Estrella	Sapo
23	Anguila	Submarino	Escalera	Monte	Vapor
24	Pescado Grande	Carpintero	Cocina	Música	Paloma
25	Rana	Monja	Sol	Casa	Piedra fina
26	Nube de oro	Brillante	Médico	Calle	Anguila
27	Mono	Cuchara	Canario	Campana	Avispa
28	Perro chico	Mano	Político	Bandera	Chivo
29	Venado	Venado	Jutia	Nube	Ratón
30	Chivo	Buey	Almanaque	Arco Iris	Camarón
31	Pato	Zapato	Tinajero	Escuela	Venado
32	Majá	Camarón	Mulo	Enemigo	Cochino
33	Camarón	Dios	Santo	Baraja	Tiñosa
34	Paloma	Capataz	Negro	Familia	Mono
35	Mariposa	Mosquito	Bombillo	Novia	Araña
36	Pajarito	Opio	Bodega	Teatro	Cachimba
37	Piedra fina	Gallina negra	Carretera	Hormiga	Bruja
38	Barril	Goleta	Carro	Dinero	Macao
39	Tintero	Conejo	Baile	Rayo	Culebra
40	Bombero	Muchacho maldito	Cantina	Sangre	Cura
41	Clarín	Pato	Jubo	Prisión	Lagartija
42	Liga	Carnero	España	País lejano	Pato
43	Jorobado	Boca blanca	Puerto	Amigo	Alacrán
44	Plancha	Año malo	Temporal	Infierno	Año del cuero
45	estrella	Carro eléctrico	Presidente	Traje	Tiburón
46	Chino	Ratón	Guagua	Hambre	Humo
47	Rosa	Sangre	Escolta	Mala noticia	Pájaro
48	Cubo	Cucaracha	Barbería	Abanico	Cucaracha
49	Fantasma	Figurín	Percha	Riqueza	Borracho
50	Picador	Flores	Alcalde	Alegría	Policía
51	Presillas	Borracho	Sereno	Sed	Soldado
52	Libreta	Tragedia	Abogado	Coche	Bicicleta
53	Alguacil	Mulo	Dinamita	Prenda	Luz eléctrica
54	Timbre	Iglesia grande	Cañón	Flores	Gallina
55	Sello	Bote chico	Balas	Baile	Cangrejo
56	Merengue	Buena cama	Piedras	Escorpión	Reina
57	Puerta	Cangrejo fino	Cama	Ángeles	Telegrama
58	Batea	Sortija	Cuchillos	Retratos	Adulterio
59	Loco	Sol claro	Langosta	Araña	Fonógrafo
60	Tempestad	Revólver	Cómico	Pájaro	Sol oscuro
61	Saco	Lámpara	Boticario	Piedra	Cañonazo
62	Carretilla	Espada grande	Visión	Nieve	Matrimonio
63	Escalera	Escoba	Bandido	Cuernos	Asesinato
64	Baraja	Bruja negra	Relajo	Maromero	Tiro
65	Trueno	Estrella	Ventana	Comida	Cárcel
66	Postalita	Reloj	Tarro	Máscara	Divorcio
67	Zapatos	Cuchillo	Templo	Autoridad	Puñalada
68	Dinero	Para allá y para acá	Fonda	Globo	Cementerio
69	Polvorín	Barril grande	Vagos	Fiera	Pozo
70	Bala	Perro negro	Teléfono	Frío	Coco
71	Fusil	Serrucho	Pantera	Sombrero	Rio
72	Relámpago	Manzana	Callar	Buey	Ferrocarril
73	Cigarros	Piña agria	Maleta	Navaja	Parque
74	Tarima	Escobillón	Guitarra	Viento	Papalote
75	Kiosco	Cajón de hierro	Culebra	Militar	Cinematógrafo
76	Represa	Bandera	Iluminación	Humo	Bailarina
77	Ánfora	Sarcófago	Billete	Guerra	Bandera
78	Lunares	Tren de cargo	Rey	Tigre	Obispo
79	Dulces	Lona llena	Tren	Lagarto	Coche
80	Trompo	Navaja	Paraguas	Buena noticia	Médico
81	Cuerda	Vieja mala	Ingenio	Barco	Teatro
82	Muelle	Limosnero	Batea	Pleito	León
83	Madera	La mar	Bastón	Procesión	Tragedia
84	Bohío	Espejo grande	Banquero	Ciego	Sangre
85	Guano	Ardilla	Reloj	Águila	Madrid
86	Palma	Baúl Grande	Tijeras	Marinero	Convento
87	Fuego	Espejuelo	Plátanos	Paloma	New York
88	Aduanero	Casa vieja	Vaso	Gusano	Espejuelos
89	Tesorero	Viejo grande	Cometa	Agua	Lotería
90	Temporal	Pájaro negro	Carmelo	Asesino	Espejo
91	Bolchevique	León negro	Alpargata	Limosnero	Tranvía
92	Anarquista	Guerra	Cuba	Suicidio	Globo
93	Libertad	Leontina	Sortija	Andarín	Revolución
94	Flores	Alacrán	Habana	Mariposa	Machete
95	Revolución	Chancleta	Matanzas	Perro	Guerra
96	Pícaro	Sinsonte	Periódico	Mujer santa	Desafío
97	Limosnero	Entierro	Grillo	Mono	Mosquito
98	Ortofonía	Temporal	Traición	Visita	Piano
99	Fonógrafo	Mucha candela	Carbonero	Galio	Serrucho
100	Derrumbe	Policía	Paradero	Dios	Automóvil

Para el apostador de la época, elegir una charada u otra era casi un ejercicio de estrategia: se buscaba aquella cuyas equivalencias ofrecieran mayor fortuna o que estuvieran mejor alineadas con la idiosincrasia de la región. Así, mientras la versión china mantenía su peso tradicional, las variantes locales —como la de Matanzas— o las adaptaciones de influencia extranjera, tejieron una red compleja donde el azar se medía a través de múltiples diccionarios, demostrando que la cultura del juego en Cuba era un fenómeno dinámico, regional y profundamente heterogéneo.

Para maximizar las probabilidades de éxito en la 'bolita' —el tradicional juego de azar basado en la charada—, los jugadores suelen recurrir a jugadas combinadas. Estas se basan en las relaciones establecidas entre los diferentes 'bichos' o números, ya sea mediante la identificación de compañeros, peones o su agrupación en cuadrillas.

Los bichos, sus compañeros y peones

No.	Bichos	Compañeros	Peones
1	Caballo	Piedra fina	Pavo real
2	Mariposa		Jicotea
3	Marinero		Camarón
4	Gato boca	Ratón	Elefante
5	Monja		Venado
6	Jicotea	Tiñosa	Mariposa
7	Caracol		Majá
8	Muerto		Avispa
9	Elefante	Pescado grande	Gato boca
10	Pescado Grande	Elefante	Mono
11	Gallo	Tigre	Anguila
12	Mujer santa		Paloma
13	Pavo real		Caballo
14	Tigre	Gallo	Cachimba
15	Perro		Araña
16	Toro	Cachimba	Ratón
17	Luna		Piedra fina
18	Pescado Chico		Lombriz
19	Lombriz		Pescado chico
20	Gato fino	Anguila	Vapor
21	Majá		Muerto
22	Sapo	Paloma	Cochino
23	Vapor		Gato fino
24	Paloma	Sapo	Mujer santa
25	Piedra fina	Caballo	Luna
26	Anguila	Gato fino	Gallo
27	Avispa		Caracol
28	Chivo	Venado, y Araña	Tiñosa
29	Ratón	Gato boca	Perro
30	Camarón	Araña y Venado	Marinero
31	Venado	Araña, Camarón y Chivo	Monja
32	Cochino		Sapo
33	Tiñosa	Jicotea	Chivo
34	Mono		Pescado grande
35	Araña	Venado, Camarón y Chivo	Toro
36	Cachimba	Toro	Tigre

 

Las cuadrillas de la charada 

Cuadrilla de los Comerciantes de la Charada

• Comerciantes: Caballo, Ratón, Elefante, Perro, Gato Boca, Vapor y Avispa.
• Curas: Gato Fino, Anguila, Monja, Jicotea, Cachimba, Gallo y Pescado Grande.
• Guapos: Tigre, Toro, Cochino, Luna y Lombriz.
• Limosneros: Majá, Chivo, Venado, Araña y Camarón.
• Caballeros: Tiñosa, Mono, Sapo y Marinero.
• Muchachos: Pescado Chico, Lombriz, Sapo y Mono.
• Mujeres: Paloma, Mujer Santa, Piedra Fina y Mariposa. 
• Borrachos: Pavo Real, Muerto, Caracol y Pescado Chico. 
• Relajos: Ramera, Chivo, Camarón y Caracol. 
• Dineros: Pavo Real, Mariposa, Majá y Luna 

A diferencia de un juego estático, la Charada   se convirtió en un diccionario en constante expansión. Es una tradición viva donde, si un suceso nuevo cobra relevancia (como ocurrió en su momento con figuras políticas o hitos tecnológicos), el pueblo le asigna un número. Es esta capacidad de absorber la realidad cotidiana lo que permitió que la Charada sobreviviera a la prohibición y al paso del tiempo: mientras sigan ocurriendo cosas que sueñan o sorprenden a los cubanos, la tabla seguirá creciendo y adaptándose. 

En resumen, la Charada pasó de ser un acertijo visual cerrado (el hombre con los 36 símbolos en el cuerpo) a un lenguaje simbólico abierto y compartido que funciona como el puente entre el mundo onírico y el azar del sorteo.

La Yupana, el ábaco Inca

 Las yupanas son uno de los legados más fascinantes de la matemática precolombina, funcionando como las calculadoras o ábacos del Imperio Inca y de las culturas andinas que los precedieron. La palabra proviene del quechua yupay (que significa "contar") y hace referencia a estos dispositivos, que solían ser tableros con casilleros tallados en piedra, madera, arcilla o incluso representados en textiles, donde se colocaban cuentas como granos de maíz o piedras de colores para realizar operaciones aritméticas complejas. Históricamente, su origen está íntimamente ligado a los quipus (los sistemas de cuerdas anudadas); mientras que el quipu funcionaba como el registro o "disco duro" para almacenar los datos, la yupana era el procesador donde se realizaban los cálculos de forma dinámica. 

Diversos modelos de yupanas arqueológicas, descubiertas en excavaciones.

A pesar de su genialidad, el estudio de las yupanas presenta un gran desafío arqueológico debido a la inmensa variedad de modelos que existen y al misterio que rodea a muchos de ellos. No hubo un diseño único: se han descubierto tableros con diferentes distribuciones de cuadrículas, números de casilleros y disposiciones geométricas. El modelo más famoso fue documentado en 1615 por el cronista Guamán Poma de Ayala en su obra Nueva corónica y buen gobierno, el cual muestra una tabla de 5 filas y 4 columnas. Sin embargo, los hallazgos arqueológicos revelan variantes desconcertantes, muchas de las cuales aún no se sabe a ciencia cierta cómo se utilizaban.

La Yupana de Guamán Poma de Ayala, 1615

Al no haber registros escritos de los métodos de cálculo originales —debido a la tradición oral incaica y a la destrucción de conocimiento durante la conquista—, los matemáticos e historiadores actuales han tenido que "hacer ingeniería inversa". Esto ha dado lugar a múltiples teorías y propuestas de interpretación (algunas basadas en el sistema decimal, otras en sistemas de base 5 o base 40, e incluso modelos basados en la sucesión de Fibonacci). Mientras que algunos diseños arqueológicos se han podido descifrar con éxito para realizar sumas y restas, muchos otros modelos de yupanas siguen siendo un enigma, mudos testimonios de una ciencia andina sumamente avanzada cuyo funcionamiento exacto todavía estamos intentando comprender. El resto del post lo dedicaremos a la yupana de Poma de Ayala. 

Estructura de la Yupana de Poma de Ayala

La yupana de Guamán Poma de Ayala es el  principal referente histórico de este instrumento, dibujada por el cronista en su obra de 1615. Se describe brevemente por las siguientes características:

• Es un tablero rectangular organizado en una cuadrícula de 5 filas y 4 columnas (un total de 20 casilleros), dentro de cada casillero se muestran pequeños círculos o sectores para indicar el valor de las fichas colocadas en ella colocar las cuentas.
• En la fila superior hay casilleros con 5 círculos, en la siguiente con 3, luego 2 y, en la fila inferior, casilleros con un solo círculo.
• Aunque el cronista no dejó un manual de uso, los investigadores modernos sostienen que las columnas representan el sistema decimal posicional (unidades, decenas, centenas, etc.), mientras que los círculos internos de cada casillero permitían calcular de forma aditiva y realizar acarreos de manera sumamente visual.

 Nota

 Nota: 1729 es el número de Hardy-Ramanujan.

 

Esta yupana opera bajo el principio fundamental de un sistema posicional decimal y aditivo, donde los movimientos justifican la ejecución de operaciones aritméticas (como la suma, la simplificación y el acarreo) mediante la conservación del valor numérico total. Cada transición ilustra las reglas de dinamización de fichas, las cuales consisten en reducir la complejidad del tablero al fusionar fichas del mismo casillero que completan un valor superior (adición interna, como \(1+1=2\) o \(3+3=6 \rightarrow 5+1\)), o bien al aplicar la regla del acarreo decimal, donde acumular el valor máximo de 10 unidades en cualquier orden posicional se canjea automáticamente por una sola ficha de valor 1 en el casillero inmediato de la izquierda (el orden superior). Así, ya sea reorganizando fichas dentro de un mismo nivel, realizando saltos de columna por desborde, o unificando dos filas de registro en una sola, el argumento matemático unificador es la reagrupación eficiente de cantidades para simplificar la lectura del resultado sin alterar el valor de la cifra original. En la siguiente imagen se ilustran los 8 movimientos básicos de simplificación (dirección azul) y sus inversos los movimientos de expansión (dirección roja):

 La suma

 Se superponen ambas  cantidades en el tablero y se realizan los movimientos de simplificación (dirección azul) necesarios hasta que no quede ningún movimiento pendiente y haya una sola ficha en las celdas utilizadas para expresar el resultado.

 

Nota: 2520 es el menor número que es divisible por todos los números desde 1 hasta 10.

La Diferencia

Se colocan las cantidades en el tablero, de manera que las fichas del minuendo sean de un color (amarillo) y las del sustraendo de otro color (verde). Si dos fichas de colores diferentes se encuentran  en una misma celda se anulan y se retiran ambas fichas del tablero.  Se realizan los movimientos de expansión (dirección roja) necesarios y así formar parejas de fichas del minuendo y el sustraendo para ir eliminándolas hasta que no quede ningún movimiento pendiente y haya una sola ficha del minuendo en las celdas utilizadas para expresar el resultado.

Nota: 6174  es la Constante de Kaprekar.

La Multiplicación

 La multiplicación es realiza como una sucesión  de sumas consecutivas. Para dos factores \(M\) y  \(N\), se tiene que \(M \times N\) es igual a la suma de \(N\) veces \(M\) o equivalentemente su recíproco. Si \(M < N\), suele ser más simple sumar \(M\) veces \(N\). 

La División

 La división con la yupana es un proceso un poco más complejo que los anteriores y consiste en determinar cuántas veces está contenido el divisor dentro del dividendo. Para ello, se realiza un proceso de emparejamiento entre las fichas de ambas cantidades, equivalente a efectuar restas sucesivas. El procedimiento consiste en lo siguiente:

1. Representar las cantidades. Coloca en la yupana las fichas correspondientes al dividendo y al divisor. Es recomendable utilizar colores diferentes para distinguir ambas cantidades con facilidad.
2. Ubicar el divisor. Desplaza hacia arriba, manteniendo su forma original, el conjunto de fichas que representa al divisor. Continúa hasta que la ficha de mayor valor del divisor quede en la misma fila que la ficha de mayor valor del dividendo, asegurándote de que el valor representado por el dividendo siga siendo mayor o igual que el del divisor.
3. Realizar el emparejamiento. Comenzando por la fila de mayor valor:
   
   • Efectúa los movimientos necesarios sobre las fichas del dividendo para que coincidan con las posiciones ocupadas por las fichas del divisor.
   • Cuando todas las fichas de una fila queden emparejadas, retira del tablero ese grupo de fichas del dividendo.
   • Por cada emparejamiento completo, coloca una ficha de control a la derecha del tablero. Estas fichas irán formando el cociente.
4.  Repetir el proceso. Una vez retirado un grupo de fichas del dividendo:
   
   • Baja una fila el bloque que representa al divisor.
   • Repite el procedimiento de emparejamiento y retirada.
   • Continúa hasta que no queden fichas del dividendo o hasta que el valor restante sea menor que el divisor.
5. Obtener el resultado.
   
   • El cociente es el número representado por las fichas de control colocadas a la derecha del tablero.
   • El residuo es el valor que aún representan las fichas del dividendo que no pudieron emparejarse con el divisor.
6. Cálculo de decimales. Si existe residuo y se desea continuar la división:
   
   • Sube las fichas del residuo a la casilla inmediatamente superior, lo que equivale a multiplicar su valor por diez.
   • Continúa aplicando el mismo procedimiento para obtener las cifras decimales del cociente.

El procedimiento en esencia consiste en que cada vez que las fichas del divisor logran emparejarse completamente con una parte del dividendo, se ha encontrado una nueva unidad del cociente. Por ello, dividir en la yupana puede entenderse como contar cuántas veces es posible formar el divisor dentro del dividendo. 

El resultado de la división es: 94/7=13  (valor de las fichas azules exteriores) con resto 3  (valor de la ficha amarilla -dividendo- que queda en el tablero). Es  decir, 97=13 x 7 + 3.

---

Bibliografía de consulta.

• Prem, Dhavit (2016). Yupana Inka: Decodificando la matemática inka. Tawa Pukllay: Los 4 juegos sagrados de los inkas. Asociación Yupanki.