El número de Hardy-Ramanujan

 

En 1918, el matemático británico G.H. Hardy  fue a visitar a Ramanujan, quien se encontraba convaleciente en un sanatorio en Putney, Inglaterra. Hardy, que no era muy dado a las conversaciones triviales, intentó romper el hielo mencionando el número del taxi en el que había llegado.

• Hardy dijo:    "Recuerdo que el número de mi taxi era el 1729. Me pareció un número bastante soso y esperaba que no fuera un mal presagio".
  
  
• Ramanujan, sin dudar un segundo, le respondió:    "¡No, Hardy! Es un número muy interesante. Es el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes".

A raíz de esta anécdota, el 1729 pasó a ser conocido  como el Número de Hardy-Ramanujan. Para cualquier mortal, el 1729 es solo un número de cuatro dígitos, pero para  Ramanujan  era un viejo amigo. La propiedad que identificó mentalmente en segundos es la siguiente:

$$1000+729=10^3+9^3=1729=12^3+1^3=1728+1.$$

Hardy, asombrado, le preguntó si conocía la respuesta al problema correspondiente para la cuarta potencia y él replicó, después de unos segundos de reflexión, que “el ejemplo que pedía no era obvio y que el primero de tales números debía ser muy grande''.

Efectivamente, su intuición era correcta. Años después, gracias a cálculos con ordenadores, se determinó que el número buscado era $$635318657 = 134^4 + 133^4 = 158^4 + 59^4.$$

La colaboración entre Godfrey Harold Hardy (1877-1947) y Srinivasa Ramanujan (1887-1920) representa uno de los encuentros más improbables y productivos de la historia de la ciencia: la unión entre el rigor académico de Cambridge y la intuición pura de un genio autodidacta indio. Durante cinco intensos años, Hardy actuó como el mentor y traductor del lenguaje "divino" de Ramanujan al lenguaje de la demostración formal, resultando en avances monumentales en la teoría de números, el análisis de series y las particiones. Su relación  dejó un legado de fórmulas que, décadas después de la muerte de Ramanujan, han resultado ser fundamentales para entender desde los cristales hasta los agujeros negros, demostrando que la belleza matemática puede ser un puente entre dos mundos opuestos. 

En la película El hombre que conocía al infinito (2015), protagonizada por Dev Patel (Ramanujan) y Jeremy Irons (Hardy), la escena del taxi es uno de los momentos más memorables, pero tiene matices distintos a la crónica real. La escena se siente mucho más emocional y culminante. El día que Ramanujan se disponía a regresar a la India, Hardy se retasa en llegar a despedirlo porque el taxista que le llevaba se había extraviado y culpa al taxi por ser el número 1729, al que  tilda de  número aburrido y la respuesta de Ramanujan es la ya conocida. Hacia el final del filme, se reitera nuevamente la escena cuando  J. E. Littlewood (1885-1977) intenta tomar un taxi en compañía de Hardy y este le sugiere el 1729. 

Números Taxicab

A raíz de esta anécdota, se origino  lo que los matemáticos llaman "Números Cabtaxi" (Ta(n)), que se definen como el número más pequeño que puede ser escrito como la suma de dos cubos positivos de n formas distintas. Los 5 primeros números Taxicab son los siguientes:

$$\begin{array}{rcl} \mathrm{Ta}(1)&=& 2= \\ & =& 1^3+1^3. \\ \mathrm{Ta}(2)&=& 1729\\ &=&1^3+12^3 =9^3+10^3. \\ \mathrm{Ta}(3)&=& 87539319\\ &=&167^3+436^3= 228^3+423^3 = 255^3+414^3.\\ \mathrm{Ta}(4)&=& 6963472309248 \\ &=&2421^3+19083^3 = 5436^3+18948^3 = 10200^3+18072^3 = 13322^3+16630^3.\\ \mathrm{Ta}(5)&=& 48988659276962496 \\ &=&8787^3+365757^3 =107839^3+362753^3 =205292^3+342952^3 \\ &=& 221424^3+336588^3 =231518^3+331954^3. \end{array}$$