Newton, Leibniz y la invención de cálculo infinitesimal

La invención del cálculo infinitesimal es uno de los episodios más fascinantes de la historia de la ciencia. No solo por la potencia de la herramienta creada, sino también por la agria polémica de prioridad que enfrentó a sus creadores, Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), dos de las mentes más brillantes de la humanidad.

En enero de 1673, Leibniz viajó a Londres en una misión diplomática, pero aprovechó su estancia para integrarse en los círculos científicos de la Royal Society. Aunque Newton y Leibniz no llegaron a conocerse personalmente, durante esa visita Leibniz entró en contacto con Henry Oldenburg (1619-1677) y John Collins (1625-1683), quienes custodiaban y difundían los avances matemáticos británicos. Fue en este contexto cuando se sembraron las semillas de la acusación de plagio que lo perseguiría durante años. Se le acusó de haber tenido acceso a borradores de Newton, en particular al manuscrito De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas, donde este ya empleaba su método de las "fluxiones".

Es curioso cómo la historia de las publicaciones cambió el destino de ambos. Aunque Newton desarrolló sus ideas primero, su recelo ante las críticas y su perfeccionismo hicieron que Leibniz se le adelantara en la imprenta por casi veinte años. Newton siempre sostuvo que Leibniz había visto una copia de su manuscrito  durante su estancia en Londres, lo que dio origen a la acusación de que este había "robado" el cálculo.

Newton, siendo presidente de la Royal Society, nombró a un comité "imparcial" (formado por sus amigos) que en 1712, publicó un informe declarando a Newton como único inventor, un fallo hoy considerado parcial. Sin embargo, la mayoría de los historiadores modernos coinciden en que ambos llegaron a resultados similares, pero sus puntos de partida, métodos y objetivos eran notablemente distintos.

En realidad, ambos miraban el mismo problema desde prismas diferentes: Newton con un enfoque mecánico-geométrico y Leibniz desde una motivaciones filosófico cognitivas.  

El Cálculo de fluxiones de Newton

• Inspiración: Cinemática y Geometría. El movimiento de los cuerpos y las órbitas planetarias.
• Concepto Clave: Fluxiones. El cambio se entiende como un flujo continuo en el tiempo.
• Naturaleza:  Consideraba las variables como magnitudes que fluyen continuamente.
• Notación:  Utilizaba un punto sobre la variable (ẋ) para indicar la derivada respecto al tiempo. Aunque útil en física, resultaba limitada para derivadas de orden superior o cambios respecto a otras variables. 
• La integral como la operación inversa a la derivación. 
• Publicación: Newton escribió sobre su método mucho antes de publicarlo, lo que alimentó la polémica de plagio. Sus publicaciones fueron: 
• La mención en los Principia (1687): En su obra maestra, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Newton usó el cálculo para demostrar sus leyes físicas, pero lo "escondió" bajo demostraciones geométricas tradicionales para que fuera más aceptable.
• La primera publicación específica (1704)  apareció formalmente como un apéndice de su libro Opticks. Este tratado se llamaba De Quadratura Curvarum (Sobre la cuadratura de las curvas).
• El manuscrito "perdido": Su obra más temprana, De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas, fue escrita en 1669 pero no se publicó hasta 1711.

El Cálculo de diferencias de Leibniz

• Inspiración: Lógica y Combinatoria. La búsqueda de un lenguaje simbólico universal.
• Concepto Clave: Diferenciales. El cambio se entiende como la suma de diferencias infinitamente pequeñas. 
• Naturaleza:  Consideraba las variables como secuencias de valores con incrementos mínimos.
• Notación:  Introdujo los símbolos dy/dx para la derivada y ∫ (una "S" alargada de summa) para la integral. Su sistema permitía manipular los símbolos casi como si fueran fracciones, facilitando enormemente el cálculo operacional.
• La integral  como suma de infinitesimales.
• Publicación:  Nova Methodus pro Maximis et Minimis (Un nuevo método para los máximos y los mínimos) publicada en 1684. 
  En apenas 6 páginas, presentó las reglas de derivación que usamos hoy (suma, producto, cociente y potencias). Fue un texto extremadamente denso y difícil de entender para la época, pero introdujo las notaciones que perdurarían. Leibniz no explicaba de dónde salían estas reglas, simplemente decía: "Aquí están, y funcionan".

Resumen

• Newton fue el primer descubridor, pero Leibniz fue el gran comunicador y sistematizador. 
• Newton creó una herramienta para entender el universo; Leibniz creó un lenguaje para que el mundo pudiera calcular.
• Con su notación,  Leibniz "ganó" la batalla a largo plazo. Su notación era tan clara y funcional que es la que seguimos usando hoy en día en casi todos los libros de texto. 

 La polarización que surgió tras la disputa por la autoría del cálculo fue un lastre significativo para la ciencia británica.  Mientras que en el continente europeo se adoptó la notación de Leibniz, que resultaba ser mucho más flexible, intuitiva y adecuada, los matemáticos ingleses se aferraron obstinadamente a la notación de fluxiones de Newton, que era mucho menos manejable para problemas complejos. Este aislamiento intelectual, motivado por la lealtad a Newton. provocó que Inglaterra quedara rezagada casi un siglo respecto a los avances analíticos de figuras como los Bernoulli, L’Hopital, Euler, D'Alembert y muchos otros, no logrando recuperar el paso hasta principios del siglo XIX, cuando la llamada Analytical Society de Cambridge finalmente impuso el uso del cálculo según Leibniz.

Como ya comentamos en el post Aritmética con números romanos,  la elección de una forma adecuada para representar el conocimiento matemático  no es un mero detalle estético, sino una herramienta cognitiva fundamental para el desarrollo de nuevos contenidos. Mientras que la simbología de Leibniz facilitó la generalización y el cálculo operacional mediante su estructura diferencial, la rigidez de las fluxiones de Newton demostró que una forma inadecuada puede actuar como un techo de cristal para la abstracción y el avance teórico. 

 

---