Tras el Renacimiento y su perfeccionamiento del lenguaje simbólico, tres grandes genios marcaron el camino definitivo hacia el álgebra moderna y la teoría de números. Este camino se puede sintetizar a través las siguientes contribuciones:
Isaac Newton (1707 - Aritmética Universal): En esta etapa, el álgebra se consolida como una «fase superior de la aritmética» mediante la introducción de métodos de cálculo. Newton introduce de manera formal las operaciones con expresiones simbólico-literales, equiparándolas a las operaciones con números. Además, aporta una teoría general de ecuaciones, métodos numéricos (como el conocido método de Newton) y aplicaciones prácticas, relegando las cuestiones geométricas a un segundo plano.
Leonhard Euler (1765 - Introducción completa al Álgebra): Euler avanza en el perfeccionamiento del aparato simbólico-literal y generaliza las reglas para resolver problemas aritméticos. Su obra define al álgebra como «la ciencia sobre las ecuaciones algebraicas», logrando la solución general de ecuaciones de hasta grado 4 y de sistemas lineales de ecuaciones. Asimismo, introduce los logaritmos, métodos aproximados para el cálculo de raíces y profundiza en los métodos literales para dar mayor generalidad al concepto de número.
Joseph-Louis Lagrange (1771-1772 - Reflexiones sobre la resolución algebraica de las ecuaciones): Lagrange realiza una recopilación y un análisis crítico de todos los métodos de resolución conocidos hasta la época. Su enfoque introduce conceptos fundamentales que preparan el terreno para la teoría de números moderna y el álgebra abstracta, tales como la posibilidad de descomposición en factores, las relaciones entre los ceros y los coeficientes de una ecuación, y el estudio de los grupos de permutaciones de las raíces. Estas investigaciones dieron lugar a los teoremas iniciales de la Teoría de Grupos.
El paso del lenguaje simbólico y los métodos del Renacimiento hacia el álgebra formal y la teoría de números se dio estructurando primero el álgebra como una generalización de la aritmética (Newton), sistematizando luego la resolución de ecuaciones y expandiendo el concepto de número (Euler), para finalmente analizar de manera crítica la estructura interna de dichas ecuaciones a través de las permutaciones y las relaciones de sus raíces (Lagrange).
