El descubrimiento de los logaritmos a principios del siglo XVII fue una de las mayores revoluciones matemáticas, ya que permitió simplificar cálculos astronómicos y de navegación extremadamente complejos al transformar multiplicaciones y divisiones en simples sumas y restas. Esta herramienta redujo drásticamente el error humano y el tiempo de trabajo de los científicos de la época, permitiendo avances fundamentales en la física y la ingeniería. En la actualidad, su importancia persiste, pues son la base para modelar fenómenos de crecimiento exponencial, medir la intensidad de los sonidos (decibelios) o la magnitud de los terremotos (escala Richter).
En el devenir histórico de las matemáticas, este acontecimiento es la continuación cronológica inmediata del tema que abordé en el post Prostaféresis, el eslabón olvidado. En la historia de las ciencias, existe un fenómeno fascinante donde las ideas parecen "flotar en el aire" cuando las necesidades técnicas y el rigor teórico alcanzan un punto de maduración crítica. Al igual que ocurrió con la geometría analítica (ver el post Descartes, Fermat y la Geometría Analítica ) o el desarrollo del cálculo infinitesimal (ver el post Newton, Leibniz y la invención de cálculo infinitesimal), donde mentes brillantes llegaron a conclusiones similares de forma independiente, el nacimiento de los logaritmos no fue un evento aislado, sino una respuesta inevitable a la asfixiante complejidad de los cálculos de la época. Bajo esta atmósfera de innovación simultánea, surgen las figuras de John Napier, Jobst Bürgi y Henry Briggs, tres pilares fundamentales que, desde distintos enfoques y geografías, dieron forma a esta herramienta que cambiaría para siempre el rumbo de las matemáticas y la astronomía.
Antecedentes
Sin lugar a dudas, los antecedentes más directos de los logaritmos son los mismos que los que propiciaron el desarrollo de los métodos prostaferéticos, además de la complejidad intrínseca de dichos métodos. pero desde antes existían algunos otros estudios que actuaron como premisas, de ellos los dos más significaditos son:
1.- Aunque Arquímedes no inventó los logaritmos, sentó sus bases conceptuales en su obra titulada "El Arenario" (o El contador de arena). En este tratado, intentaba demonstrar que era posible cuantificar algo tan vasto como los granos de arena necesarios para llenar el universo. Para manejar cifras tan colosales, desarrolló un sistema de potencias de base \(10^8\) y, en el proceso, observó una propiedad fundamental que hoy representamos así:
Arquímedes razonó de la siguiente manera:
«Para multiplicar entre sí dos números cualesquiera de la sucesión inferior, basta con sumar los dos números de la sucesión superior situados sobre ellos. El resultado de dicha suma debe buscarse nuevamente en la sucesión superior; el número que se encuentre justo debajo, en la sucesión inferior, será el producto deseado».
En términos modernos, Arquímedes comprendió que para multiplicar, por ejemplo, \(10^2\) por \(10^3\), el resultado es simplemente \(10^{2+3} = 10^5\). Esta correspondencia entre la suma de exponentes y la multiplicación de bases constituye la esencia misma del logaritmo. Por esta razón, muchos historiadores consideran a Arquímedes el "abuelo" intelectual de John Napier, quien 1,800 años después perfeccionaría esta idea para dar vida a las tablas logarítmicas.
2.- En su obra Arithmetica integra publicada en 1544, Michael Stifel formalizó la relación entre las progresiones aritméticas y geométricas, sentando las bases de las propiedades logarítmicas modernas:
Stifel fue un visionario al comprender que las operaciones de un nivel de dificultad superior en la progresión geométrica se reducen a un nivel inferior en la aritmética: la potenciación se vuelve multiplicación, y la radicación se transforma en una simple división. Fue el puente necesario para actualizar el trabajo de Arquímedes y crear las bases para el descubrimiento de los logaritmos.
A diferencia de muchos de sus predecesores, Stifel tiene el mérito de haber extendido la progresión aritmética hacia la izquierda del cero \( (-1, -2, -3) \). Esto le permitió integrar las fracciones \( (\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}) \) en el sistema, un paso gigante para la época que unificaba el tratamiento de números enteros y quebrados bajo una misma regla. Describió las leyes de los exponentes 150 años antes; lo más brillante de su texto es la descripción verbal de las propiedades que hoy conocemos para los logaritmos de un producto, un cociente, una potencia o una raíz. Aunque no usó la notación moderna, Stifel llamó a los números de la fila superior "exponentes", término que acuñó él mismo y que seguimos utilizando hoy en día.
El trío de descubridores
- John Napier (\(1550\)–\(1617\))
- Lord escocés y teólogo, es considerado el padre principal de los logaritmos. No era un matemático de profesión, sino un inventor que buscaba desesperadamente una forma de simplificar los tediosos cálculos astronómicos y de navegación de su época. En \(1614\) publicó su obra Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, donde presentó una herramienta que permitía sustituir las multiplicaciones por sumas.
- Su enfoque era cinemático, basado en la relación entre puntos que se mueven a distintas velocidades.
- Jobst Bürgi (\(1552\)–\(1632\))
- Relojero y fabricante de instrumentos suizo que trabajó en la corte de Rodolfo II en Praga junto a figuras como Johannes Kepler. De forma totalmente independiente a Napier, desarrolló su propio sistema de logaritmos antes de \(1610\) (aunque no lo publicó hasta \(1620\) por perfeccionismo y falta de tiempo).
- Su método era más algebraico y se basaba en progresiones geométricas, demostrando que en el siglo \(XVII\) el concepto de logaritmo era una necesidad latente en toda Europa.
- Henry Briggs (\(1561\)–\(1630\))
- Matemático inglés y profesor en Londres que, al leer la obra de Napier, quedó tan fascinado que viajó hasta Escocia para conocerlo. Fue Briggs quien sugirió la mejora crucial: utilizar el número \(10\) como base (logaritmos decimales) y establecer que el logaritmo de \(1\) fuera igual a \(0\). Gracias a su inmenso trabajo de cálculo manual, publicó tablas logarítmicas extremadamente precisas que se convirtieron en el estándar mundial durante siglos.
Definición cinemática de los logaritmos de Napier
- Definición de Logaritmo según Napier.
- Sean \(\overline{AB}\) un segmento y \(\overrightarrow{FG}\) una semirrecta. Supongamos que los carruajes \(c\) y \(p\) parten simultáneamente de \(A\) y \(F\), en dirección a \(B\) y \(G\) respectivamente, con la misma velocidad inicial. Si el carruaje \(p\) mantiene su velocidad constante durante todo el trayecto y la velocidad del carruaje \(c\) es igual a la distancia \(y = \overline{cB}\), entonces llamaremos logaritmo de \(y\) a la longitud \(x = \overline{Fp}\).
- Con notación actual la solución es:
-
$$ \begin{array}{rcccl} \text{Vel}_c = y = -\frac{dy}{dt} & \Rightarrow & \frac{dy}{y} = -dt & \Rightarrow & \ln(y) = -t + \ln(10^7). \\ \text{VIni}_c = \text{VIni}_p = \frac{dx}{dt}=10^7 \, (\text{Napier}) & \Rightarrow & dt = 10^{-7}dx & \Rightarrow & t = 10^{-7}x. \end{array} $$
Etimología de la palabra logaritmo
La palabra logaritmo es un neologismo creado por el propio John Napier en el siglo XVII, y su origen es puramente griego. Napier combinó dos términos para describir exactamente qué hacían estos números:
- Logos (λόγος): Que en este contexto significa "proporción", "razón" o "relación".
- Arithmos (ἀριθμός): Que significa "número".
Por lo tanto, etimológicamente, un logaritmo es un "número de proporciones". Napier llegó a los logaritmos comparando dos progresiones: una aritmética y otra geométrica. Al darse cuenta de que podía usar los "números de la progresión aritmética" para representar los "números de la progresión geométrica" (las proporciones), acuñó el término para reflejar esa relación matemática. Antes de decidirse por "logaritmo", Napier solía llamarlos simplemente "números artificiales", para diferenciarlos de los números naturales que se usaban en los cálculos comunes.
La regla de cálculo
La regla de cálculo nació en el siglo XVII como la materialización física de los cálculos con logaritmos. Poco después de que este publicara sus tablas de logaritmos en 1614, matemáticos como Edmund Gunter y William Oughtred comprendieron que, al colocar escalas logarítmicas una al lado de la otra y deslizarlas, las multiplicaciones y divisiones complejas se convertían en simples sumas y restas visuales. Este ingenioso diseño eliminó la necesidad de realizar cálculos manuales tediosos, sentando las bases de la ingeniería moderna.
Durante los siglos XIX y XX, el instrumento alcanzó su madurez técnica con la incorporación del cursor móvil por parte de Amédée Mannheim. Esta mejora permitió una precisión sin precedentes, convirtiendo a la regla de cálculo en la herramienta indispensable para la Revolución Industrial y la carrera espacial. Con ella se diseñaron desde los grandes puentes de acero hasta las misiones Apolo de la NASA, consolidándose como el símbolo de estatus y conocimiento de científicos e ingenieros en todo el mundo.
Sin embargo, su reinado de tres siglos terminó de forma abrupta en la década de 1970 con la llegada de la electrónica de bolsillo. La aparición de calculadoras como la HP-35 en 1972 ofreció una precisión digital de diez dígitos frente a los tres o cuatro de la regla analógica, además de una velocidad instantánea. Para 1980, la producción masiva de reglas de cálculo había cesado casi por completo, quedando relegadas de las mesas de diseño a las vitrinas de los museos como un testamento de la era del cálculo logarítmico manual.
Evolución posterior
El impacto de los logaritmos en el desarrollo de la ciencia fue inmediato y revolucionario. Tras el descubrimiento de Napier, figuras de la talla de Tycho Brahe y Johann Kepler acogieron y divulgaron rápidamente esta herramienta, permitiendo avances astronómicos sin precedentes. Esta utilidad fue tan determinante que el matemático Laplace afirmaría que los logaritmos, al acortar los cálculos laboriosos, "duplicaron la vida de los astrónomos", liberándolos de meses de aritmética tediosa para centrarse en la observación del cosmos.
Más allá de su utilidad práctica en el cálculo, la evolución teórica de este concepto alcanzó su madurez a principios del siglo XVIII gracias a Leonhard Euler. Fue él quien estableció formalmente los nexos entre la función exponencial \( a^x = b \) y su función inversa, el logaritmo \( x = \log_a b \). De este modo, lo que comenzó como un ingenioso método para simplificar operaciones se consolidó como uno de los pilares fundamentales del análisis matemático moderno, conectando para siempre las potencias con su contraparte logarítmica.
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