Desde las arenas de Siracusa, surgió una mente que no se limitó a observar el mundo, sino que lo descifró mediante leyes inmutables. Mientras otros buscaban respuestas en los mitos, él las halló en la geometría del círculo y el equilibrio de las pesas. Su legado no fue una simple herencia de fórmulas, sino la creación de un nuevo lenguaje para la realidad. Newton dijo "Si he logrado ver más lejos, ha sido porque he subido a hombros de gigantes", al mencionar a Arquímedes en clases me gusta presentarlo con la siguiente frase:
"En la historia de las matemáticas abundan genios que alcanzaron la gloria alzándose sobre hombros de gigantes. Arquímedes, en cambio, no tuvo hombros sobre los que subir; él fue quien cimentó el suelo que todos ellos transitaron."
Este post lo dedicamos a dar una descripción breve de cada uno de aquellos tratados que han llegado hasta nuestros días. En probablemente en orden cronológico la lista es la siguiente:
- Sobre el equilibrio de las figuras planas, I y II.
- Cuadratura de la parábola.
- Sobre la esfera y el cilindro, I y II.
- Sobre las espirales.
- Sobre los conoides y los esferoides.
- Sobre los cuerpos flotantes, I y II.
- Medición de un círculo.
- El contador de arena.
- El Método.
La edición definitiva de las obras de Arquímedes se debe a L. Heiberg, quien en 1906 protagonizó uno de los hallazgos más fascinantes de la ciencia: el manuscrito de El Método. Esta obra, que se creía perdida, sobrevivió oculta en un palimpsesto del siglo XIII en Constantinopla; es decir, un pergamino donde el texto original fue raspado para escribir, encima otro, en este caso un libro de oraciones del siglo XIII. El palimpsesto era una práctica usual para reutilizar un preciado pergamino. A pesar de la dificultad para leer bajo la nueva escritura, Heiberg logró descifrar este tratado revolucionario. Gracias a este rescate, El Método recuperó su lugar legítimo como la última y más brillante joya en la corona científica de Arquímedes.
1.- Sobre el equilibrio de las figuras planas, I y II
En "Sobre el equilibrio de las figuras planas, I y II", Arquímedes establece los fundamentos matemáticos de la estática al formular rigurosamente la ley de la palanca y desarrollar el concepto de centro de gravedad. En el Libro I demuestra que los cuerpos están en equilibrio cuando los pesos son inversamente proporcionales a sus distancias al punto de apoyo y calcula el centro de gravedad de figuras como segmentos, triángulos y paralelogramos; en el Libro II amplía estos métodos al estudio de figuras curvas, especialmente el segmento de parábola, utilizando procedimientos geométricos que anticipan ideas del cálculo integral. 2.- Cuadratura de la parábola
En "Cuadratura de la parábola", Arquímedes demuestra que el área de un segmento parabólico es igual a cuatro tercios del área del triángulo inscrito que tiene la misma base y altura. Para ello utiliza el método de agotamiento, construyendo una sucesión infinita de triángulos cada vez más pequeños cuya suma forma una progresión geométrica, anticipando así procedimientos propios del cálculo integral. La obra es un ejemplo sobresaliente del rigor geométrico griego y como la anterior, un antecedentes del cálculo infinitesimal.
3.- Sobre la esfera y el cilindro, I y II
En "Sobre la esfera y el cilindro (I y II)", Arquímedes estudia las relaciones geométricas entre la esfera y el cilindro que la circunscribe, estableciendo resultados sorprendentes para su época. Demuestra que el volumen y el área de la superficie de una esfera son exactamente dos tercios del volumen y del área del cilindro circunscrito, incluyendo las bases, y proporciona pruebas rigurosas mediante el método de exhaución. Estas investigaciones no solo reflejan su maestría matemática y su intuición geométrica, sino que también subrayan la elegancia y precisión de sus descubrimientos, lo que llevó a que Arquímedes mismo pidiera que se representara un cilindro y una esfera en su tumba como homenaje a este logro.
4.- Sobre las espirales
El contenido de este trabajo ya se ha tratado en el post "Sobre Espirales" de Arquímedes y el cálculo de tangentes. En "Sobre las espirales", se estudian las propiedades de la espiral que hoy lleva el nombre de Arquímedes, generada por un punto que se mueve con velocidad uniforme a lo largo de una recta que gira también uniformemente alrededor de un punto fijo. En la obra determina tangentes a la curva y calcula áreas relacionadas con la espiral mediante métodos geométricos rigurosos, aplicando procedimientos cercanos al método de agotamiento. El tratado destaca por combinar cinemática y geometría, ampliando el estudio griego más allá de las curvas clásicas como la circunferencia y anticipando técnicas que luego serían fundamentales en el cálculo.
5.- Sobre los conoides y los esferoides
El tratado "Sobre los conoides y los esferoides" de Arquímedes es una obra fundamental de la matemática griega en la que el autor estudia los volúmenes y propiedades de sólidos curvos generados por la rotación de figuras planas, como parábolas e hipérbolas, alrededor de un eje. En este trabajo, Arquímedes demuestra, mediante rigurosos razonamientos geométricos y el método de exhaución (antecedente del cálculo integral), cómo calcular el volumen de estos sólidos —como los paraboloides y esferoides— y establece comparaciones precisas entre ellos y figuras más simples como el cilindro o el cono. La obra destaca por su profundidad teórica y por anticipar conceptos clave del cálculo infinitesimal, mostrando la extraordinaria capacidad de Arquímedes para combinar intuición geométrica y demostración formal.
6.- Sobre los cuerpos flotantes, I y II.
En "Sobre los cuerpos flotantes, I y II", Arquímedes establece los fundamentos de la hidrostática al demostrar que un cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido desalojado, principio que hoy lleva su nombre. En estos tratados analiza las condiciones de equilibrio de los cuerpos flotantes y sumergidos, especialmente de formas geométricas regulares como el segmento de paraboloide, determinando cuándo flotan y en qué posición lo hacen según la relación entre su peso y el del líquido. Mediante razonamientos geométricos rigurosos, Arquímedes no solo explica por qué los objetos flotan o se hunden, sino que también estudia su estabilidad, sentando así las bases científicas para la física de los fluidos.
7.- Medición de un círculo
En "Medición de un círculo", Arquímedes presenta una de las aproximaciones más precisas de la Antigüedad al valor de π, demostrando que la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo está comprendida entre 3(10/71) (aprox. 3.1408) y 3(1/7) (aprox. 3.1429). Para lograrlo, emplea el método de exhaución, inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares de hasta 96 lados alrededor de un círculo, lo que le permite acotar progresivamente su perímetro y estimar su longitud con gran exactitud. Además, demuestra que el área del círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base es la circunferencia y cuya altura es el radio, sentando así bases fundamentales para el desarrollo posterior de la geometría y el cálculo.8.- El contador de arena (arenario)
En "El contador de arena", Arquímedes se propone demostrar que es posible expresar numéricamente cantidades extremadamente grandes, como el número de granos de arena que podrían llenar el universo conocido en su época. Para ello desarrolla un innovador sistema de numeración capaz de representar cifras mucho mayores que las contempladas por la notación griega tradicional, introduciendo órdenes sucesivos de magnitud. Además, parte del modelo cosmológico de Aristarco de Samos para estimar el tamaño del universo y realizar sus cálculos, combinando así matemática y astronomía. La obra no solo exhibe su genialidad aritmética, sino que también amplía los límites conceptuales sobre el infinito y la representación de números enormes.9.- El Método
En "El Método", Arquímedes expone una estrategia heurística basada en principios mecánicos para descubrir resultados geométricos, especialmente áreas y volúmenes de figuras curvas. A través de la idea de equilibrar figuras en una balanza imaginaria, compara secciones infinitesimales de distintos cuerpos y deduce relaciones que luego demuestra rigurosamente por métodos geométricos tradicionales, como el de exhaución. En esta obra revela cómo utilizaba razonamientos físicos como herramienta preliminar de investigación matemática, anticipando conceptos cercanos al cálculo integral y mostrando el proceso creativo detrás de sus demostraciones formales.
Mientras que los "Elementos" de Euclides fueron una compilación de los resultados de sus
predecesores, cada uno de los tratados de Arquímedes constituye una aportación original e inédita al saber matemático.
La obra de Arquímedes trasciende su tiempo por la profunda combinación de intuición, rigor matemático y visión científica que la caracteriza. Sus estudios sobre geometría, hidrostática y mecánica no solo sentaron las bases del cálculo y la física moderna, sino que también inspiraron a generaciones de matemáticos, ingenieros y científicos a explorar los límites del conocimiento. Arquímedes demostró que la abstracción matemática podía aplicarse al mundo real, desde el movimiento de cuerpos flotantes hasta la medición de volúmenes complejos. Como dijo Galileo Galilei,
“No hay ningún punto del universo que no deba obedecer a los principios que Arquímedes ha descubierto”
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