De números IMPOSIBLES a números COMPLEJOS

Gerolamo Cardano
(1501–1576)

Todo empezó en el siglo XVI cuando Gerolamo Cardano se enfrentó a un problema sencillo: dividir 10 en dos partes cuyo producto sea 40. Las soluciones que obtuvo fueron números de la forma \(5 + \sqrt{-15}\) y \(5 - \sqrt{-15}\). Aunque Cardano utilizó estos objetos en sus cálculos, los consideraba misteriosos y difíciles de interpretar, en cierta ocasión confesó que le producían una auténtica “tortura mental” y que no sabía qué hacer con ellos.

Rafael Bombelli
(1526–1572)

El siguiente paso fundamental fue dado por Rafael Bombelli, quien introdujo una notación específica para las cantidades imaginarias, utilizando expresiones equivalentes a \[ i=\sqrt{-1}, \qquad -i=-\sqrt{-1}, \] y estableció reglas para operar con ellas. Bombelli empleó además números complejos en el tratamiento de las ecuaciones cúbicas, especialmente en el denominado casus irreducibilis. Su trabajo fue decisivo porque convirtió unas cantidades que inicialmente parecían absurdas o imposibles en objetos con los que era posible realizar cálculos sistemáticos.

René Descartes
(1596–1650)

Durante el siglo XVII continuó la discusión sobre la naturaleza de estos números. Albert Girard los denominó soluciones imposibles. René Descartes, en su La géométrie (1637), acuñó el término “números imaginarios”. Escribió que para toda ecuación se pueden imaginar tantas raíces como indica su grado, pero que en muchos casos “no existe ninguna cantidad que corresponda a lo que uno imagina”.

Descartes observó que una ecuación algebraica podía tener tantas raíces como indicaba su grado, aunque algunas de ellas no correspondieran a cantidades que pudieran interpretarse como números reales. Esta observación contribuyó a consolidar el uso de los números complejos en el álgebra.

Después de Descartes, los principales matemáticos comenzaron a utilizar libremente los números complejos. Entre ellos se encuentran Johann Bernoulli, que empleó logaritmos complejos en la transformación de integrales, y Roger Cotes, Abraham de Moivre y Leonhard Euler, quienes trabajaron con relaciones trigonométricas que hoy reconocemos como fundamentales para el análisis complejo. En particular, se utilizaba la fórmula que actualmente conocemos como fórmula de De Moivre: \((\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx)\) que establece una conexión profunda entre los números complejos y la trigonometría.

El impacto de Euler

Leonhard Euler
(1707–1783)

Uno de los avances más importantes fue la interpretación geométrica de los números complejos. Euler representó un número complejo como un punto del plano mediante sus coordenadas rectangulares. Así, un número \(z=x+iy;\) puede visualizarse como el punto \((x,y)\) del plano complejo.

Al introducir coordenadas polares, Euler escribió \(x+iy=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\), lo que le permitía interpretar el módulo \(r\) y el argumento \(\varphi\) geométricamente.

Euler también estudió las raíces de la ecuación \(z^n=1,\) mostrando que pueden representarse como los vértices de un polígono regular en el plano complejo. De esta manera, una cuestión puramente algebraica adquiría una interpretación geométrica muy clara.

Otro de los resultados fundamentales asociados con Euler es la siguiente fórmula que hoy conocemos con su nombre \[ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi. \] Esta fórmula establece una conexión entre tres conceptos esenciales de las matemáticas: la exponencial, la trigonometría y los números complejos. Gracias a ella, la representación polar de un número complejo puede escribirse de forma especialmente sencilla como \(z=re^{i\varphi}.\)

Otra consecuencia especialmente elegante de la fórmula de Euler, es la siguiente identidad que también lleva su nombre

Su importancia no reside solo en su sencillez, sino en que establece una sorprendente conexión entre cinco de las constantes más importantes de las matemáticas: \(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\) y \(0\). Puede afirmarse con justicia que la historia de estas cinco constantes resume de forma extraordinariamente densa y elegante los momentos más decisivos y fundacionales de las matemáticas  hasta el siglo XIX. Por eso muchos matemáticos y divulgadores (desde Richard Feynman hasta Keith Devlin) han dicho que la identidad de Euler es “la fórmula más bella de las matemáticas” y que en ella “se concentra una parte esencial de la historia del pensamiento matemático”.  

Euler también formuló lo que hoy conocemos como el teorema fundamental del álgebra. En esencia, afirmó que todo polinomio puede factorizarse en factores lineales o cuadráticos con coeficientes reales. Sin embargo, las demostraciones de Euler todavía presentaban dificultades desde el punto de vista de la fundamentación rigurosa. En particular, su razonamiento suponía, de una manera u otra, la existencia de las raíces que pretendía demostrar. Este aspecto resulta especialmente interesante desde una perspectiva histórica: el uso de los números complejos se había extendido mucho antes de que existiera una fundamentación matemática completamente satisfactoria de su naturaleza.

Hacia una definición rigurosa de los números complejos

Como señalamos anteriormente, durante el siglo XVIII, Euler conocía ya la representación geométrica de los números complejos, pero todavía no había proporcionado una definición completamente satisfactoria del concepto de número complejo.

La situación cambió durante el siglo XIX. Caspar Wessel, en 1797, Jean-Robert Argand, en 1806, John Warren, en 1828, y Carl Friedrich Gauss, en 1831, desarrollaron interpretaciones geométricas de la suma y la multiplicación de números complejos.

Carl Friedrich Gauss
(1777–1855)

Gauss hizo cuatro demostraciones rigurosas del teorema fundamental del álgebra: la primera en su tesis doctoral de 1799 (de carácter geométrico-topológico, evitando hablar de “raíces complejas” y se centrandose en la factorización real), dos más en 1816 (una algebraica y otra analítica) y una cuarta en 1849, con motivo del cincuentenario de su doctorado. En esta última demostración, ya aceptando plenamente los números complejos, reformuló el teorema de forma más cercana a la actual:

Todo polinomio de grado $n$ (incluso con coeficientes complejos) se puede descomponer en $n$ factores lineales (simples).

En 1831, dentro de su trabajo sobre residuos bicuadráticos, Gauss introdujo el término «números complejos» (en lugar de «imaginarios») y ofreció una definición geométrica clara y rigurosa, representándolos como puntos del plano y estableciendo de forma precisa las operaciones de suma y multiplicación como operaciones con segmentos dirigidos, lo que contribuyó decisivamente a su aceptación plena en la matemática.

La búsqueda de una definición matemática más precisa continuó en el siglo XIX. En 1843, William Rowan Hamilton definió los números complejos como pares de números reales dotados de reglas convencionales de suma y multiplicación. Esta interpretación permitió considerar \(z=a+bi\) como el par ordenado \((a,b),\) y definir las operaciones algebraicas directamente sobre dichos pares.

Por otra parte, en 1847 Augustin-Louis Cauchy propuso una formulación algebraica diferente: interpretar los números complejos como clases de equivalencia de polinomios reales módulo el polinomio \( x^2+1.\) Esta construcción proporciona una fundamentación algebraica del número \(i\), pues en el cociente se tiene \(x^2=-1.\)

Con los números complejos quedaba completa la cadena de sistemas numéricos clásicos o fundamentales, tal como los conocemos hoy y aparecen en la siguiente representación: \[\begin{array}{ll} \mathbb{C} & \mbox{Complejos} \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{Reales} \begin{cases} \mathbb{Q} & \mbox{Racionales} \begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{Enteros} \begin{cases} \mathbb{N} & \mbox{Naturales} \\ & \mbox{Cero} \\ & \mbox{Enteros negativos} \end{cases}\\ & \mbox{Fraccionarios} \end{cases}\\ & \mbox{Irracionales} \end{cases}\\ & \mbox{Imaginarios} \end{cases} \end{array}\]

La evolución histórica descrita puede resumirse como un recorrido desde la perplejidad inicial ante expresiones como \(\sqrt{-1}\) hasta su aceptación como objetos matemáticos plenamente definidos. Cardano introdujo estas cantidades en el contexto de la resolución de ecuaciones; Bombelli desarrolló reglas para operar con ellas; Descartes popularizó el término imaginario; Euler proporcionó herramientas fundamentales para su interpretación geométrica y analítica; y, finalmente, Wessel, Argand, Gauss, Hamilton y Cauchy contribuyeron a establecer representaciones y construcciones matemáticas rigurosas. Los números complejos ilustran cómo un concepto considerado inicialmente «imposible» puede transformarse, mediante el desarrollo progresivo de las ideas matemáticas, en una estructura fundamental del álgebra y del análisis.

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Lectura recomendada: 

• El tesoro del pirata.. 

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La Inducción completa o el efecto dominó en las matemáticas

La historia de la inducción matemática o inducción completa es la evolución de una intuición lógica —análoga al efecto dominó— hasta convertirse en una de las herramientas de demostración más rigurosas de la ciencia. Aunque el nombre sugiere una inferencia «inductiva», en realidad es un razonamiento deductivo que permite demostrar proposiciones para infinitos números enteros.

En su estructura moderna, el principio se basa en dos pasos fundamentales para demostrar que una propiedad \( \mathcal{P}(n) \) es cierta para todo número natural \( n \):

1. Caso base o inicio de inducción: Probar que la afirmación es verdadera para el primer valor (habitualmente \( n=0 \) o \( n=1 \)).
2. Paso inductivo o relación de inducción: Asumir que la afirmación es cierta para un número \( n=k \) arbitrario (Hipótesis de inducción) y demostrar que, bajo esa suposición, la afirmación también debe ser cierta para \( n=k+1 \) (Tesis de inducción o tesis inductiva).

Ejemplos

1.- Un ejemplo gráfico de aplicación de este principio, el lector lo puede encontrar en la entrada de este blog llamada La Torre de Hanoi y el fin del mundo.

 
 

2.- El problema del cocinero perezoso (también conocido como el problema de las líneas en el plano o los números perezosos del pastelero) plantea lo siguiente: 

\(\mathcal{P}(n)\): El número máximo de trozos en los que se puede cortar una tortilla de patatas (pizza o pastel) mediante \(n\) cortes rectos es \( T(n) =\frac{n(n+1)}{2}+1\).

 La siguiente imagen nos muestra lo que sucede al experimentar con los primeros cortes:

Inicio de inducción. Para \( n=0 \) se tiene que \( T(0) =1\) lo que coincide con toda la tortilla cuando no se ha realizado ningún corte.

Relación de inducción. 

• Asumimos que la fórmula es correcta para un número arbitrario de cortes \( k \ge 0 \). Es decir, suponemos cierto que: \( T(k) = \frac{k(k + 1)}{2} + 1\) (Hipótesis Inductiva).
•  Debemos demostrar que, al añadir el corte número \( k + 1 \), el total de piezas \( p_{k+1} \) cumple la misma fórmula sustituyendo \( n \) por \( k + 1 \). Es decir, \( T(k+1) = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} + 1 \).

  Notemos que, al realizar el corte número \(k + 1\), para maximizar el número de trozos, la nueva recta debe cruzar a las \(k \) rectas anteriores en puntos distintos. Por tanto, al cortar $k$ rectas, la nueva línea recta queda dividida en \(k + 1\) segmentos (los tramos interiores entre cruces más los dos extremos). Cada uno de esos \(k + 1\) segmentos atraviesa una trozo existente y la divide en dos partes, añadiendo exactamente 1 trozo nuevo por segmento. Por lo tanto, la relación de recurrencia es: \( T(k+1) = T(k) + k+1 \).

  Utilizando la hipótesis inductiva en la relación de recurrencia anterior se tiene que: \[T(k+1) = T(k) + k+1= \frac{k(k + 1)}{2}+k+2= \frac{k(k + 1)+2(k+1)}{2}+1=\frac{(k + 1)(k + 2)}{2} + 1, \] tal como debíamos demostrar.

3.- Caso base o inicio de inducción es necesario. Si suprimimos el caso base o inicio de inducción podemos llegar a conclusiones erróneas, como en el siguiente ejemplo:

Queremos probar la proposición \( \mathcal{P}(n) \), la cual afirma que \( n = n + 1 \) para todo número natural \( n \).

Si suprimimos el caso base, por hipótesis de inducción tenemos que para \( n=k \) se cumple que \( k=k+1 \). Entonces debemos demostrar que \( \mathcal{P}(k+1) \) es cierta. Sumamos \( 1 \) a ambos lados de la igualdad de la hipótesis y obtenemos \( k + 1 = (k + 1) + 1 \). Dado que hemos llegado exactamente a la estructura \( \mathcal{P}(k+1) \), el paso inductivo es algebraicamente irreprochable: si la propiedad se cumpliera para \( k \), obligatoriamente se cumpliría para \( k+1 \). Pero no hemos comprobado un caso base (\( n = 1 \)) y, obviamente, si intentamos verificar si \( 1 = 1 + 1 \), vemos que \( 1 = 2 \) es totalmente falso.

4.- La relación de inducción es necesaria. La inducción incompleta (o inducción empírica) es un tipo de razonamiento inductivo en el cual se extrae una conclusión general a partir de la observación empírica de solo una muestra de casos donde se cumple la propiedad \( \mathcal{P}(n) \). Si queremos probar que dicha propiedad se cumple para todo número natural \( n \) y obviamos el paso inductivo, podemos llegar a una conclusión errónea, como en el siguiente ejemplo debido al célebre matemático suizo Leonhard Euler:

Al evaluar el polinomio \( p(n) = n^2 + n + 41 \) para los primeros 40 enteros no negativos (\( 0 \le n \le 39 \)), obtenemos: \( p(0) = 41 \), \( p(1) = 43 \), \( p(2) = 47 \), \( p(3) = 53 \), \( \dots \), \( p(39) = 1601 \). Mediante esta observación empírica, en todos los 40 casos observados \( p(n) \) es un número primo, y esto pudiera llevarnos a afirmar que para todo número natural \( n \), el valor \( p(n) \) es un número primo. Sin embargo, al no haber realizado la demostración formal mediante el paso inductivo, la afirmación falla para \( n = 40 \), ya que \( p(40) = 1681 = 41^2 \), es decir, \( p(40) \) no es un número primo.

Destaquemos que los dos últimos ejemplos muestran que no podemos prescindir de niguno de los dos pasos con los que consta el principio de inducción, ambos son necesarios. 

 Antecedentes

El primer ejemplo, debidamente documentado, de aplicación implícita del principio de inducción lo encontramos en el Libro IX de los Elementos de Euclides que data del Siglo IV a.C.(en particular, en la famosa Proposición 20), Euclides demostró que hay más números primos que cualquier cantidad dada de números primos (lo que hoy resumimos como «existen infinitos números primos»).

Aunque no utilizó la inducción matemática formal, ni la notación algebraica moderna —ya que las matemáticas griegas eran fundamentalmente geométricas y visuales—, su razonamiento sigue una estructura recursiva e implícita paso a paso que anticipó el pensamiento inductivo.Euclides no intentó demostrar la infinitud hablando del «infinito» directamente (un concepto que los griegos evitaban), sino que demostró un procedimiento que siempre puede dar un paso más.

El razonamiento de Euclides, en versión moderna, es como a continuación:

1. Supongamos que existen \(n\) números  primos, donde \(n \in \mathbf{N}\) es fijo. Denotemos dicha lista de números pr1mos como \(\{p_1,p_2, \dots,p_n\}\).
2. Ahora construyamos el número \(p_*=1+\prod_{k=1}^n p_k\). Notemos que \(p_*\) no es divisible por ninguno de los número primos que se encuentran en la lista, por tanto \(p_*\) es un número primo diferente de todos los que aparecen en la lista, lo que contradice nuestro supuesto de que solo existían \(n\) número primos.

En resumen, la demostración de Euclides se considera un antecesor del principio de inducción debido a que:

•  Es un algoritmo constructivo: Euclides no solo afirma que existe otro primo, sino que muestra el mecanismo lógico exacto para encontrarlo a partir de cualquier lista dada.
• Carácter "Paso a Paso" (Mecanismo generador): El argumento demuestra que, dado cualquier número entero \(n\) de primos, siempre es posible generar al menos el primo \(n+1\). Al poder repetirse el proceso de manera indefinida, la lista nunca se agota.

Mucho más tarde, en el mundo islámico, el matemático Al-Karaji (aproximadamente por el año 1000) aplicó una forma primitiva de paso inductivo para demostrar la fórmula del binomio y la suma de cubos enteros. Lo que hizo Al-Karaji fue en lugar de demostrar una propiedad para un número general \(k\) y dar el salto al caso \(k+1\), utilizó un razonamiento escalonado: Demostraba la regla para \(n=1\), luego el caso \(n=2\) basándose en el resultado obtenido para \(n=1\)luego el caso \(n=3\) basándose en \(n=2\), y así sucesivamente para varios números (por ejemplo, hasta el 5 o 10). Al observar que el patrón se repetía de manera idéntica, añadía una frase que significaba "y así sucesivamente hasta el infinito", generalizando la regla.

En resumen, aunque le faltaba la formalización rigurosa que se logró siglos después con la abstracción algebraica moderna, Al-Karaji fue el primero en estructurar un argumento de naturaleza inductiva para demostrar patrones numéricos infinitos.

El camino hacia el rigor

•  Francesco Maurolico y la primera demostración explícita (1575). El sacerdote y matemático siciliano Francesco Maurolico publicó Arithmeticorum libri duo. En esta obra demostró explícitamente que la suma de los primeros \(n\) números impares es igual a \(n^2\), estableciendo primero el caso base y demostrando formalmente que si la propiedad se cumple para un número, se cumple para el siguiente.
• Blaise Pascal y el Triángulo Aritmético (1654). Pascal formalizó y popularizó el método en su Traité du triangle arithmétique. Pascal utilizó el principio explícitamente para demostrar las propiedades de los coeficientes binomiales, reconociendo el patrón dual: probar la verdad del primer caso y demostrar que la verdad de un caso implica la del siguiente.
• Adopción del nombre 'Inducción' en 1838. Aunque Jacob Bernoulli y De Moivre contribuyeron a su desarrollo en los siglos XVII y XVIII, fue Augustus De Morgan quien acuñó oficialmente el término "Mathematical Induction" en un artículo para la  Penny Cyclopaedia, dándole una identidad clara dentro del análisis matemático.
•  Axiomatización formal (1889). El matemático italiano Giuseppe Peano incluyó la inducción como uno de sus célebres Axiomas de Peano para construir los números naturales. A partir de este momento, la inducción dejó de ser solo una técnica de demostración para convertirse en la definición axiomática misma del conjunto de los números naturales.

 En definitiva, la inducción matemática es mucho más que un simple formalismo técnico: es el resultado de un fascinante viaje histórico que comenzó con los ingeniosos razonamientos iterativos de pioneros como Euclides y Al-Karaji y que, con el paso del tiempo, evolucionó hasta convertirse en uno de los pilares lógicos que hoy nos permiten tender un puente sólido entre lo particular y lo general, y pasar de lo finito a lo infinito numerable. Comprender su evolución nos recuerda que detrás de cada demostración rigurosa hay siglos de curiosidad, ingenio y esfuerzo humano. Y nos muestra que, con una base sólida y una regla clara, incluso aquello que parece inalcanzable puede llegar a demostrarse. 

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 Lecturas complementarias. 

• La Torre de Hanoi y el fin del mundo.
• Elementos de Euclides.

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Googol vs. Googolplex: El origen matemático de Google

Hoy, la palabra Google forma parte de nuestro vocabulario cotidiano. La utilizamos para buscar información, resolver una duda o encontrar prácticamente cualquier cosa en Internet. Lo que quizá no resulte tan conocido es que detrás de este nombre se encuentra una curiosa historia matemática que comienza con un número gigantesco, un matemático y un niño de nueve años.

Ese número es el googol (gúgol en español), que se define como \(10^{100}\), es decir, un 1 seguido de cien ceros. Aunque escribirlo completo no resulta especialmente práctico, desde el punto de vista matemático es un número muy sencillo y por enorme que pueda parecernos, sigue siendo un número finito.

La historia de su nombre se remonta a la década de 1920 y tiene como protagonista al matemático estadounidense Edward Kasner (1878–1955), profesor de la Universidad de Columbia. Kasner estaba interesado en los números extraordinariamente grandes y en la dificultad que tenemos para imaginar cantidades que escapan por completo de nuestra experiencia cotidiana. Según la historia que el propio Kasner difundió, durante un paseo acompañado por su sobrino de nueve años, Milton Sirotta, surgió la cuestión de cómo llamar a un número tan enorme. Kasner decidió preguntarle al niño qué nombre le pondría a un número formado por un 1 seguido de cien ceros. La respuesta fue una palabra aparentemente inventada de la nada: googol. Kasner quedó satisfecho con aquella ocurrencia y decidió adoptar el término. La palabra no tenía ninguna tradición matemática: había nacido de la imaginación de un niño y, sin embargo, estaba a punto de incorporarse al lenguaje de la divulgación matemática.

Pero la conversación no terminó ahí. Kasner preguntó también qué nombre podría darse a un número todavía mayor, definido como \(10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}\) y su sobrino propuso otra palabra: googolplex (gúgolplex en español), es decir un googloplex es un uno seguido de un googol de ceros ( \(10^{100}\) ceros).

La historia de estos nombres no quedó reducida a aquella conversación familiar. En 1938, Kasner publicó un artículo titulado New Names in Mathematics, en el que introdujo los términos googol y googolplex. Dos años después, en 1940, publicó junto con James R. Newman el conocido libro Mathematics and the Imagination, que contribuyó a popularizarlos.

El atractivo del googol no reside en alguna propiedad matemática especialmente profunda, sino en la enorme cantidad que representa y en la facilidad con la que puede definirse. Es un buen ejemplo de cómo una expresión muy sencilla puede describir una cantidad que escapa completamente a nuestra intuición. También permite comprender una diferencia fundamental: ser extraordinariamente grande no significa ser infinito.

Podemos comparar, por ejemplo, el googol con algunas estimaciones del número de partículas del universo observable, que se sitúan alrededor de \(10^{80}\), dependiendo de qué partículas se contabilicen y del modelo utilizado. En cualquier caso, como comparación de órdenes de magnitud, tenemos $$ 10^{80} \ll 10^{100} \; \text{ y por tanto } \; {10^{100}}/{10^{80}}=10^{20}. $$ Así que un googol no es solo grande; supera la cantidad de todos los átomos de todo lo que podemos ver en cualquier dirección a lo largo de miles de millones de años luz de espacio.

Pero incluso el googol resulta diminuto frente al googolplex. Pues un googolplex es tan grande que resulta físicamente imposible escribirlo en su forma decimal completa, ya que requeriría más espacio del que existe en todo el universo observable. En efecto, un googolplex es 10 elevado a la potencia de un googol y un googol es un número mayor que la cantidad de átomos en el universo observable. Si intentáramos escribir un cero por cada átomo del universo observable, nos quedaríamos sin átomos antes siquiera de empezar. Sencillamente, no existe suficiente materia física para representar este número de forma escrita.

Y aquí es donde la idea se vuelve aún más interesante, podemos seguir construyendo números cada vez mayores sin necesidad de recurrir al infinito, basta con aumentar los exponentes, utilizar factoriales o construir expresiones como torres de potencias. Por ejemplo el número de Shannon (cantidad de partidas de ajedrez posibles) es igual a \(10^{120}\), obviamente mayor que el googol. Pero en el mundo de las matemáticas, aparecen números que hacen que el googolplex parezca microscópico en demostraciones y teoremas cotidianos. El número de Graham, por ejemplo, es tan astronómicamente mayor que un googolplex que no existe una forma significativa ni siquiera de compararlos; comparado con él, el googolplex prácticamente se reduciría a cero. El universo tiene un límite de tamaño, pero las matemáticas, no. Y esa brecha entre la realidad física y la abstracción pura es una de las cosas más extraordinarias de ser un ser pensante en este cosmos. Hemos creado un lenguaje capaz de describir cosas que nuestro universo no es lo suficientemente grande para contener.

Del googol a Google y del googolplex a Googleplex

La historia podría haber terminado como una curiosa anécdota de la divulgación matemática. Sin embargo, varias décadas después, la palabra googol reapareció en un contexto completamente diferente.

En 1995, Larry Page y Sergey Brin se conocieron en la Universidad de Stanford y comenzaron a trabajar en un proyecto destinado a organizar la enorme cantidad de información que empezaba a acumularse en la World Wide Web. El proyecto recibió inicialmente el nombre de BackRub, pero sus creadores buscaban un nombre que reflejara mejor la magnitud de su propósito.

Googleplex, la sede principal de Google en Mountain View, California

La inspiración llegó precisamente del término matemático googol. De él surgió el nombre Google, una ligera modificación de la palabra que Kasner había introducido décadas antes. La elección resultaba especialmente apropiada para un buscador cuya finalidad era organizar cantidades cada vez mayores de información.

Existe una versión muy difundida según la cual los fundadores pretendían llamar a la empresa Googol, pero que el nombre terminó escribiéndose Google debido a un error al registrarlo. Sin embargo, conviene tomar esta explicación con cierta cautela. La relación con googol está reconocida, pero no es necesario atribuir el origen del nombre exclusivamente a una errata; resulta más prudente hablar de una referencia o juego de palabras con el término matemático.

La conexión tampoco terminó con el nombre de la empresa. La sede principal de Google en Mountain View, California, es conocida como el Googleplex, un nombre que recuerda directamente al googolplex.

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Lectura recomendada: El número de Shannon: ¿cuántas partidas de ajedrez son posibles?

El número de Shannon: ¿cuántas partidas de ajedrez son posibles?

Claude Elwood Shannon (1916–2001)

El ajedrez es un juego engañosamente simple en sus reglas: un tablero de 64 casillas, 32 piezas y dos jugadores turnándose para mover. Sin embargo, detrás de esa aparente sencillez se esconde un universo matemático tan inconmensurable que desafía nuestra imaginación. A mediados del siglo XX, un científico fascinado por los enigmas de la mente y la tecnología intentó calcular cuántas partidas diferentes podían llegar a jugarse jamás. El resultado de su cálculo, bautizado como el Número de Shannon, demostró que el ajedrez tiene más caminos posibles que átomos existen en todo el universo conocido.

Todo comenzó en 1950. Claude Shannon, un brillante matemático y criptógrafo estadounidense que ya era famoso por haber sentado las bases de la era digital y la teoría de la información, publicó un artículo pionero titulado "Programming a Computer for Playing Chess" ("Programando una computadora para jugar al ajedrez"). En aquella época, las computadoras eran máquinas gigantescas, lentas y rudimentarias. Shannon no quería enseñar a una computadora a jugar simplemente por entretenimiento; su meta era descubrir si las máquinas podían aprender a resolver problemas complejos del mundo real utilizando la lógica. Para ello, decidió probar si una computadora podía "resolver" el ajedrez calculando cada posible jugada de principio a fin, una estrategia conocida como fuerza bruta.

Para comprobar si este método era viable, Shannon hizo un cálculo muy sencillo. Observó que, en una partida promedio entre humanos, cada jugador suele tener unas \(30\) opciones distintas de movimiento en su turno. Además, notó que una partida estándar suele durar alrededor de \(40\) jugadas por bando (lo que equivale a \(80\) turnos individuales en total). Si en cada uno de esos \(80\) turnos multiplicamos las \(30\) opciones posibles, obtenemos la célebre ecuación \( 30^{80} \approx 10^{120}\)

Ese número, un uno seguido de 120 ceros (\(10^{120}\)), es el Número de Shannon. Para comprender lo descomunal que es esta cifra, basta compararla con el cosmos: los astrónomos estiman que en todo el universo observable hay entre \(10^{78}\) y \(10^{80}\) átomos. Esto significa que si cada átomo del universo fuera un universo entero por sí mismo, aún no nos acercaríamos a la cantidad de partidas de ajedrez únicas que se pueden jugar. Incluso si la computadora más potente construida jamás evaluara miles de millones de jugadas por segundo desde el origen del universo, apenas habría arañado la superficie de este número.

El 10 de febrero de 1996, el ordenador Deep Blue gano la primera partida del enfrentamiento con Gary Kasparov en 37 movimientos con piezas blancas.  

Esta abrumadora realidad cambió para siempre el rumbo de la inteligencia artificial. Claude Shannon demostró que era absolutamente imposible que una máquina ganara al ajedrez explorando todas las combinaciones posibles. En su lugar, las computadoras debían aprender a "pensar" como lo hacen los grandes maestros humanos: no mirando todas las jugadas, sino descartando las malas estrategias mediante la intuición, la lógica y la evaluación de patrones. Gracias a esta revelación, nacieron los algoritmos de evaluación y las técnicas de búsqueda inteligente que décadas más tarde permitirían a supercomputadoras como Deep Blue derrotar a Garry Kasparov en 1996, y a la inteligencia artificial moderna, como AlphaZero, dominar el juego a niveles superiores. En definitiva, el Número de Shannon no solo reveló la insondable profundidad del ajedrez, sino que obligó a las máquinas a desarrollar las primeras chispas de inteligencia artificial.

Comprando un teorema: La historia tras la regla de L'Hôpital

Guillaume François Antoine de l'Hôpital
(marqués de l'Hôpital y de Sainte-Mesme)
(1661-1704)

En los cursos básicos de cálculode todo el mundo, la conocida como Regla de L'Hôpital es una herramienta indispensable. Todo estudiante que se enfrenta al cálculo diferencial aprende pronto esta elegante fórmula que permite resolver la molesta indeterminación \(\frac{0}{0}\) al calcular el límite de un cociente de funciones derivables:

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)} \quad \text{donde } f(a) = g(a) = 0 \text{ y } g'(a) \neq 0$$

(Formulación moderna del teorema para la resolución de indeterminaciones de la forma 0/0.)

Sin embargo, detrás de esta fórmula anterior se esconde una de las historias más singulares de la ciencia: un relato victorioso de mecenazgo, acuerdos financieros de confidencialidad y una disputa por la autoría intelectual que tardó más de dos siglos y medio en resolverse por completo.

Para comprender este enigma debemos viajar a finales del siglo XVII, una época de ebullición intelectual en Europa. En los años 1684 y 1686, el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz había publicado dos breves artículos en los que presentaba al mundo erudito una herramienta revolucionaria: el cálculo infinitesimal. Entre las pocas personas que comprendieron de inmediato el inmenso potencial de este nuevo lenguaje se encontraba Guillaume François Antoine de L'Hospital (o de L'Hôpital), un noble francés y marqués fascinado por las matemáticas.

Consciente de que no poseía el genio ni la dedicación suficiente para dominar por sí mismo aquel fascinante pero complejo sistema, el marqués de L'Hôpital decidió contratar a un tutor de primer nivel. Entre 1691 y 1692 acogió en su residencia de París y más tarde en su finca de campo al joven matemático y físico suizo Johann Bernoulli (ver la entrada La Dinastía Matemática de los Bernoulli), un talento excepcional que dominaba el cálculo leibniziano como nadie más en la época. Durante esos meses, Bernoulli le impartió lecciones privadas y le transmitió los avances más recientes de la disciplina.

Johann Bernoulli (1667-1748)

Cuando Bernoulli regresó a su Basilea natal, la relación entre ambos no se interrumpió, sino que tomó un giro financiero inusual. En aquel momento, Bernoulli era un científico brillante pero sin recursos económicos, recién casado y desesperado por encontrar un empleo estable. Viendo la oportunidad perfecta, el marqués de L'Hôpital le envió una propuesta por carta el 7 de marzo de 1694.

En dicha carta, el noble le ofrecía una sustanciosa pensión de 300 libras anuales (prometiendo aumentarla pronto) a cambio de un compromiso de exclusividad matemática. L'Hôpital no le exigía dedicación exclusiva, sino que le pedía ocasionalmente algunas horas de su tiempo para trabajar en los problemas que él le enviase. No obstante, el contrato incluía dos cláusulas de confidencialidad estrictas: Bernoulli debía comunicarle al marqués todos sus nuevos descubrimientos y se comprometía firmemente a no compartir copias de sus notas ni hallazgos con nadie más, mencionando explícitamente que no quería que se hiciesen públicos.

«Le daré con gusto una pensión de trescientas libras... Prometo aumentar pronto esta pensión... No tengo la insensatez de solicitarle todo su tiempo, sino que solo le pediré que me dedique ocasionalmente algunas horas de su tiempo para trabajar en lo que le pida y también para comunicarme sus descubrimientos, con la solicitud de no mencionárselos a otros.»
— Fragmento de la carta enviada por L'Hôpital a Bernoulli el 7 de marzo de 1694.

Para el joven científico suizo, aquella bolsa de dinero cayó literalmente del cielo. Aunque la carta de respuesta de Bernoulli se perdió, se sabe por la correspondencia posterior que aceptó gustosamente las condiciones el 22 de julio de 1694. Fue precisamente en esa misma carta del 22 de julio donde Bernoulli expuso formalmente a su mecenas la regla geométrica para resolver la indeterminación \(\frac{0}{0}\). El razonamiento de Bernoulli era elegantemente geométrico. Consideró dos curvas, \(y = f(x)\) y \(y = g(x)\), que se intersecan en el mismo punto \(P\) del eje de abscisas, de modo que en \(x = a\) se cumple que \(f(a) = g(a) = 0\). Al desplazarse una pequeña distancia \(h\), el cociente \(\frac{f(a+h)}{g(a+h)}\) se aproxima al cociente entre las diferenciales de ambas funciones, de modo que en el límite se obtiene:

$$\text{En palabras de Bernoulli: } \quad \text{Valor en el límite } = \frac{\text{diferencial del numerador}}{\text{diferencial del denominador}}$$

(Razonamiento original de Bernoulli expresado en su carta de julio de 1694)

Para ilustrar su hallazgo, Bernoulli proporcionó en sus cartas ejemplos concretos que evidenciaban la aplicación práctica de su regla. Uno de los más destacados consistía en evaluar para \(x = a\) la función:

$$y = \frac{a\sqrt{ax} - x^2}{a - \sqrt{ax}} \quad \implies \quad \text{cuyo resultado exacto es } y = 3a$$

Dos años más tarde, en 1696, vio la luz un libro histórico: Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, firmado por el marqués de L'Hôpital. Fue el primer libro de texto impreso en la historia dedicado al cálculo diferencial. En el ítem n.º 163 del libro aparecía de forma destacada la regla para resolver la indeterminación \(\frac{0}{0}\). Los ejemplos utilizados en el texto eran idénticos a los de Bernoulli, salvo pequeñas modificaciones. Por ejemplo, L'Hôpital transformó el ejemplo anterior en la siguiente variante:

$$y = \frac{a^2 - ax}{a - \sqrt{ax}} \quad \implies \quad \text{obteniendo como resultado } y = 2a, $$ que no es más que una adaptación realizada por L'Hôpital en su obra de 1696 a partir del ejemplo de Bernoulli

Página 145 con el item n.º 163 (la regla de L'Hôpital) en su versión original

En el prefacio de la obra, L'Hôpital expresó un agradecimiento genérico a Leibniz y a Bernoulli, indicando que se había servido libremente de sus descubrimientos y devolviéndoles abiertamente el crédito que quisieran reclamar. Sin embargo, no precisó en ningún momento qué teoremas específicos pertenecían a Bernoulli. Atado por el contrato financiero y el cobro regular de su pensión, Bernoulli mantuvo un silencio educado en público mientras el marqués estuvo con vida.

Tras la muerte de L'Hôpital en 1704, Bernoulli se sintió libre de su compromiso y reclamó públicamente la autoría de la regla para \(\frac{0}{0}\). No obstante, la comunidad matemática de la época recibió sus afirmaciones con escepticismo. Bernoulli se había ganado con los años la reputación de ser un hombre mezquino y codicioso, por lo que muchos pensaron que simplemente intentaba arrebatarle el mérito al difunto marqués sin aportar pruebas tangibles.

El misterio permaneció sin resolver durante siglos, hasta que dos hallazgos documentales en el siglo XX le devolvieron la justicia histórica a Bernoulli. En 1922 se descubrió y publicó el manuscrito original de Bernoulli sobre cálculo diferencial redactado entre 1691 y 1692, cuya estructura e ideas coincidían ampliamente con la obra de L'Hôpital. Finalmente, en 1955, la publicación de la correspondencia privada de Bernoulli sacó a la luz la carta de 1694 con los términos exactos del pacto económico y la demostración original de la regla.

No obstante es justo reconoce que Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, inicialmente publicado de forma anónima en 1696 por el marqués de L'Hôpital —aunque fundamentado esencialmente en las lecciones impartidas por Johann Bernoulli—, posee una trascendencia histórica incalculable al ser considerado el primer manual o libro de texto sistemático de cálculo diferencial de la historia. Su publicación supuso un hito fundamental en la democratización del conocimiento científico: estructuró y clarificó las complejas e incipientes ideas sobre los infinitesimales desarrolladas por Gottfried Wilhelm Leibniz y los hermanos Bernoulli, transformando un cuerpo temático disperso y de difícil acceso en una disciplina matemática didáctica, coherente y aplicable. Además de inmortalizar la célebre regla de L'Hôpital para la resolución de indeterminaciones, el tratado sirvió como el principal puente de aprendizaje para generaciones de matemáticos durante el siglo XVIII, estableciendo la notación y las bases metodológicas que consolidaron al cálculo como la herramienta científica definitoria de la Edad Moderna.

A la luz de esta verdad histórica, ¿deberíamos rebautizar el teorema como "Regla de Bernoulli"? El historiador de las matemáticas Dirk J. Struik argumentó con contundencia que no. En primer lugar, la célebre familia suiza ya cuenta con numerosos teoremas, ecuaciones y principios que llevan su nombre (debidos a Jakob, Johann y Daniel Bernoulli).

En segundo lugar, Struik señala que si la ciencia pretendiera rebautizar todas las reglas y teoremas basándose strictly en las leyes de la prioridad histórica, la nomenclatura científica caería en un caos absoluto:

El Teorema de Pitágoras era perfectamente conocido y aplicado por los matemáticos babilonios más de un milenio antes de la época de Pitágoras; las famosas Ecuaciones de Cauchy-Riemann del análisis complejo fueron desarrolladas previamente por Jean d'Alembert y Leonhard Euler; el Teorema de Taylor ya había sido anticipado por James Gregory y posiblemente por matemáticos indios hacia el año 1500; el célebre Triángulo de Pascal era utilizado por el matemático chino Yang Hui en el siglo XIII; y el llamado Método de Horner para ecuaciones algebraicas era manejado con destreza por Chhin Chiu-shao siglos antes de Horner.

Frecuentemente, los nombres que quedan grabados en la historia de la ciencia pertenecen a aquellas personas que, mediante su esfuerzo explicativo o editorial, lograron que esos conocimientos se volvieran populares, accesibles y comprendidos por la comunidad.

En este sentido, el marqués de L'Hôpital merece un lugar de honor. Pagó legítimamente por las lecciones y descubrimientos de Bernoulli, los organizó con impecable claridad pedagógica y los puso a disposición del mundo. Su libro no solo fue el primero impreso sobre la materia, sino que poseía una calidad tan excepcional que se mantuvo como la obra de referencia para aprender cálculo diferencial durante más de medio siglo, contando con traducciones al inglés y latín y reediciones hasta 1790.

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Esta entrada está basada en el artículo: Struik, D. J. (1963). «The Origin of L'Hôpital's Rule». The Mathematics Teacher, 56(4), 257–260.

De Riemann a Lebesgue: la evolución del concepto de integral

El concepto de integral definida atravesó una fascinante transformación histórica, evolucionando desde los métodos geométricos de la Antigüedad —como el método de exhaustión de Eudoxo y Arquímedes para calcular áreas mediante aproximaciones—, pasando por las ideas puramente geométricas de los «indivisibles» de Bonaventura Cavalieri en el siglo XVII, hasta alcanzar su primer gran hito con las formulaciones infinitesimales de Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Sin embargo, el siglo XIX exigió una transición crítica impulsada por el auge del rigor analítico de Augustin-Louis Cauchy y Karl Weierstrass, lo que hizo imprescindible fundamentar la integración sobre una definición precisa basada en el concepto formal de límite. Este esfuerzo cristalizó a mediados del siglo XIX con la integral de Riemann y su aproximación mediante sumas de rectángulos, continuó con la generalización de Thomas Joannes Stieltjes al introducir funciones integradoras de peso, y alcanzó su forma moderna a comienzos del siglo XX con la integral de Henri Lebesgue y la teoría de la medida, un desarrollo motivado en gran parte por el estudio de las series de Fourier y la necesidad teórica de integrar funciones «patológicas» con conjuntos densos de discontinuidades. 

Bernhard Riemann (1826-1866), Thomas Joannes Stieltjes (1856-1894) y Henri Léon Lebesgue (1875-1941)

1. La integral de Riemann (mediados del siglo XIX)

Bernhard Riemann (1826–1866) introdujo su definición en su Habilitationsschrift de 1854, titulada Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (“Sobre la representabilidad de una función mediante una serie trigonométrica”), presentada en Gotinga bajo la influencia de Dirichlet. El trabajo se publicó póstumamente en 1868.

Riemann partió del trabajo de Cauchy (quien había formalizado la integral para funciones continuas mediante sumas de Riemann–Cauchy) y de las investigaciones de Dirichlet sobre la convergencia de series de Fourier. Dirichlet había mostrado que funciones continuas a trozos (con un número finito de discontinuidades) admitían desarrollo en series de Fourier. Riemann buscó ampliar el alcance a funciones con discontinuidades más numerosas.

Definición clave. Se considera una función acotada \(f\) en un intervalo \([a,b]\). Se toma una partición

\[ P = \{a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\} \]

y se forman las sumas de Riemann

\[ S(f,P,\xi) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i - x_{i-1}), \]

donde \(\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]\). La integral existe si el límite de estas sumas existe cuando la norma de la partición (la longitud del subintervalo más largo) tiende a cero, independientemente de la elección de los puntos \(\xi_i\).

Riemann dio un criterio de integrabilidad (en términos de la oscilación de la función en los subintervalos) y construyó ejemplos de funciones Riemann-integrables con un conjunto denso de discontinuidades. Esto superaba las limitaciones de Cauchy y permitía tratar muchas funciones que aparecían en el análisis de Fourier.

Sin embargo, la integral de Riemann tenía debilidades importantes:

• No caracteriza fácilmente la clase de funciones integrables (esto se resolvió más tarde con la condición de Lebesgue: una función acotada es Riemann-integrable si y solo si es continua casi en todas partes, es decir, el conjunto de discontinuidades tiene medida cero).
• Se comporta mal con límites: el límite de una sucesión de funciones Riemann-integrables no necesariamente es Riemann-integrable, y no siempre se puede intercambiar límite e integral.
• El teorema fundamental del cálculo falla en casos patológicos. En 1881, Vito Volterra construyó un ejemplo de una función derivable con derivada acotada pero no Riemann-integrable.

Gaston Darboux (1875) reformuló la definición mediante sumas superiores e inferiores, lo que es la versión que se enseña habitualmente hoy bajo el nombre de “integral de Riemann”.

2. La integral de Riemann–Stieltjes (finales del siglo XIX)

En 1894, Thomas Joannes Stieltjes (1856–1894) introdujo una generalización natural mientras estudiaba el problema de los momentos: dada una sucesión de números \(\{\mu_n\}\), encontrar una distribución de masas \(\alpha\) tal que

\[ \int_0^\infty x^n \, d\alpha(x) = \mu_n. \]

Stieltjes reemplazó el incremento \(x_i - x_{i-1}\) por \(\alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})\), donde \(\alpha\) es una función de variación acotada (o monótona creciente). La suma de Riemann–Stieltjes es

\[ \sum f(\xi_i) \bigl[\alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})\bigr]. \]

Cuando \(\alpha(x) = x\), se recupera la integral de Riemann.

Esta integral unifica el tratamiento de distribuciones continuas y discretas (sumas ponderadas) y resulta especialmente útil en análisis funcional (teorema de representación de Riesz: el dual de \(C[a,b]\) se identifica con las integrales de Riemann–Stieltjes respecto a funciones de variación acotada) y en probabilidad (expectativas respecto a funciones de distribución).

La integral de Riemann–Stieltjes hereda muchas de las limitaciones de la de Riemann (problemas con discontinuidades comunes de \(f\) y \(\alpha\), comportamiento con límites, etc.), pero sirvió de puente conceptual hacia teorías más generales.

3. La integral de Lebesgue (principios del siglo XX)

Henri Lebesgue (1875–1941) resolvió las deficiencias principales de la teoría de Riemann. En 1901 publicó Sur une généralisation de l’intégrale définie y en 1902 presentó su tesis doctoral Intégrale, longueur, aire, donde desarrolló la teoría de la medida de Lebesgue y la integral asociada.

Lebesgue partió de los trabajos de Camille Jordan (contenido de Jordan) y Émile Borel (medida de Borel y conjuntos Borelianos). Construyó una medida (la medida de Lebesgue) que asigna “longitud” de manera coherente a una clase mucho más amplia de subconjuntos de \(\mathbb{R}\) (los conjuntos medibles de Lebesgue), incluyendo conjuntos que no son intervalos ni uniones contables de ellos.

La diferencia conceptual fundamental

La diferencia esencial entre ambas integrales se entiende mejor mediante una metáfora que el propio Lebesgue empleó:

«Tengo que pagar una cierta suma que he reunido en mi bolsillo. Saco los billetes y monedas y se los doy al acreedor en el orden en que los encuentro hasta alcanzar el total. Esto es la integral de Riemann. Pero puedo proceder de otra manera: después de sacar todo el dinero de mi bolsillo, ordeno los billetes y monedas según su valor y pago los montones uno tras otro. Esto es mi integral.»

En términos matemáticos:

• Riemann particiona el dominio (el eje \(x\)). Divide el intervalo \([a,b]\) en subintervalos pequeños y en cada uno elige un valor de la función \(f(\xi_i)\). Multiplica ese valor por la longitud del subintervalo y suma. El área se aproxima sumando “rectángulos verticales”.
• Lebesgue particiona el rango (el eje \(y\)). En lugar de preguntarse “¿cuánto vale la función en este pequeño intervalo de \(x\)?”, se pregunta “¿en qué conjunto de \(x\) la función toma valores entre \(y_k\) y \(y_{k+1}\)?”. Luego multiplica ese valor \(y_k\) por la medida (“longitud”) del conjunto donde ocurre, y suma.

Visualmente: Riemann corta la región bajo la curva en tiras verticales finas; Lebesgue la corta en tiras horizontales y mide cuánto “ancho” tiene cada altura.

Construcción formal (esbozo)

Para una función \(f \geqslant 0\) medible:

1. Se comienza con funciones simples: funciones que toman solo un número finito de valores. Si \[ \varphi = \sum_{k=1}^n c_k \, \mathbf{1}_{E_k}, \] donde los \(E_k\) son conjuntos medibles disjuntos y \(\mathbf{1}_{E_k}\) es la función característica de \(E_k\), entonces se define \[ \int \varphi \, d\mu = \sum_{k=1}^n c_k \, \mu(E_k). \] Aquí \(\mu(E_k)\) es la medida de Lebesgue del conjunto \(E_k\) (su “longitud” generalizada).
2. Para una función medible no negativa arbitraria \(f\), se aproxima por una sucesión creciente de funciones simples \(\varphi_n \uparrow f\) y se define \[ \int f \, d\mu = \lim_{n\to\infty} \int \varphi_n \, d\mu \] (el límite puede ser \(+\infty\)).
3. Para funciones de signo variable se descompone \(f = f^+ - f^-\) y se exige que ambas partes tengan integral finita.

Esta construcción permite integrar muchas más funciones que Riemann. El ejemplo clásico es la función de Dirichlet:

\[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in \mathbb{Q}, \\ 0 & \text{si } x \notin \mathbb{Q}. \end{cases} \]

Esta función es discontinua en todo punto. No es Riemann-integrable en ningún intervalo (las sumas superiores siempre valen la longitud del intervalo y las inferiores valen 0). Sin embargo, es Lebesgue-integrable: el conjunto de los racionales tiene medida cero, por lo que \(\int f = 0\).

Ventajas decisivas de la integral de Lebesgue

• Toda función Riemann-integrable (acotada en un intervalo compacto) es Lebesgue-integrable y las integrales coinciden.
• Se pueden intercambiar límites e integrales bajo condiciones muy generales (teorema de la convergencia monótona y teorema de la convergencia dominada). Esto es fundamental en el análisis moderno y en la teoría de series de Fourier.
• El teorema fundamental del cálculo se restablece de forma mucho más general: toda función absolutamente continua es la integral indefinida de su derivada (que existe casi en todas partes).
• Proporciona el marco natural para la teoría de la probabilidad moderna (una variable aleatoria es una función medible, la esperanza es una integral de Lebesgue) y para los espacios de funciones \(L^p\), base del análisis funcional.

Lebesgue también combinó su teoría con la de Stieltjes, dando lugar a la integral de Lebesgue–Stieltjes (desarrollada plenamente por Johann Radon y otros), que generaliza ambas.

La trayectoria Riemann \(\to\) Riemann–Stieltjes \(\to\) Lebesgue refleja el paso de una teoría anclada en particiones del dominio y sumas de áreas de rectángulos a una teoría basada en la medida de conjuntos y el “agrupamiento por valores”. Riemann respondió a las necesidades de las series de Fourier de mediados del siglo XIX; Stieltjes amplió el concepto para problemas de momentos y análisis funcional; Lebesgue, a comienzos del XX, proporcionó el marco robusto y general que domina el análisis real, la teoría de la medida y gran parte de la matemática aplicada contemporánea.La “teoría de la integración” propiamente dicha es, en gran medida, una creación del siglo XX, aunque el concepto de área bajo una curva sea milenario. 

El matemático estadounidense de origen croata William Feller (1906-1970), conocido por sus contribuciones a la teoría de la probabilidad, expresó:

«Cualquiera que intente trabajar en la teoría de la probabilidad moderna sin la integral de Lebesgue se encontrará pronto en la posición de un hombre que intenta construir un rascacielos utilizando solo ladrillos y barro sin estructura de acero.»

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Lecturas complementarias: 

• Antecedentes del Cálculo Infinitesimal de Newton y Leibniz.
• Newton, Leibniz y la invención de cálculo infinitesimal.
• La obra matemática de Arquímedes.
• Lúnulas de Hipócrates. 

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