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| Guillaume François Antoine de l'Hôpital (marqués de l'Hôpital y de Sainte-Mesme) (1661-1704) |
(Formulación moderna del teorema para la resolución de indeterminaciones de la forma 0/0.)
Sin embargo, detrás de esta fórmula anterior se esconde una de las historias más singulares de la ciencia: un relato victorioso de mecenazgo, acuerdos financieros de confidencialidad y una disputa por la autoría intelectual que tardó más de dos siglos y medio en resolverse por completo.
Para comprender este enigma debemos viajar a finales del siglo XVII, una época de ebullición intelectual en Europa. En los años 1684 y 1686, el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz había publicado dos breves artículos en los que presentaba al mundo erudito una herramienta revolucionaria: el cálculo infinitesimal. Entre las pocas personas que comprendieron de inmediato el inmenso potencial de este nuevo lenguaje se encontraba Guillaume François Antoine de L'Hospital (o de L'Hôpital), un noble francés y marqués fascinado por las matemáticas.
Consciente de que no poseía el genio ni la dedicación suficiente para dominar por sí mismo aquel fascinante pero complejo sistema, el marqués de L'Hôpital decidió contratar a un tutor de primer nivel. Entre 1691 y 1692 acogió en su residencia de París y más tarde en su finca de campo al joven matemático y físico suizo Johann Bernoulli (ver la entrada La Dinastía Matemática de los Bernoulli), un talento excepcional que dominaba el cálculo leibniziano como nadie más en la época. Durante esos meses, Bernoulli le impartió lecciones privadas y le transmitió los avances más recientes de la disciplina.
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| Johann Bernoulli (1667-1748) |
En dicha carta, el noble le ofrecía una sustanciosa pensión de 300 libras anuales (prometiendo aumentarla pronto) a cambio de un compromiso de exclusividad matemática. L'Hôpital no le exigía dedicación exclusiva, sino que le pedía ocasionalmente algunas horas de su tiempo para trabajar en los problemas que él le enviase. No obstante, el contrato incluía dos cláusulas de confidencialidad estrictas: Bernoulli debía comunicarle al marqués todos sus nuevos descubrimientos y se comprometía firmemente a no compartir copias de sus notas ni hallazgos con nadie más, mencionando explícitamente que no quería que se hiciesen públicos.
«Le daré con gusto una pensión de trescientas libras... Prometo aumentar pronto esta pensión... No tengo la insensatez de solicitarle todo su tiempo, sino que solo le pediré que me dedique ocasionalmente algunas horas de su tiempo para trabajar en lo que le pida y también para comunicarme sus descubrimientos, con la solicitud de no mencionárselos a otros.»
— Fragmento de la carta enviada por L'Hôpital a Bernoulli el 7 de marzo de 1694.
Para el joven científico suizo, aquella bolsa de dinero cayó literalmente del cielo. Aunque la carta de respuesta de Bernoulli se perdió, se sabe por la correspondencia posterior que aceptó gustosamente las condiciones el 22 de julio de 1694. Fue precisamente en esa misma carta del 22 de julio donde Bernoulli expuso formalmente a su mecenas la regla geométrica para resolver la indeterminación \(\frac{0}{0}\). El razonamiento de Bernoulli era elegantemente geométrico. Consideró dos curvas, \(y = f(x)\) y \(y = g(x)\), que se intersecan en el mismo punto \(P\) del eje de abscisas, de modo que en \(x = a\) se cumple que \(f(a) = g(a) = 0\). Al desplazarse una pequeña distancia \(h\), el cociente \(\frac{f(a+h)}{g(a+h)}\) se aproxima al cociente entre las diferenciales de ambas funciones, de modo que en el límite se obtiene:
$$\text{En palabras de Bernoulli: } \quad \text{Valor en el límite } = \frac{\text{diferencial del numerador}}{\text{diferencial del denominador}}$$(Razonamiento original de Bernoulli expresado en su carta de julio de 1694)
Para ilustrar su hallazgo, Bernoulli proporcionó en sus cartas ejemplos concretos que evidenciaban la aplicación práctica de su regla. Uno de los más destacados consistía en evaluar para \(x = a\) la función:
$$y = \frac{a\sqrt{ax} - x^2}{a - \sqrt{ax}} \quad \implies \quad \text{cuyo resultado exacto es } y = 3a$$Dos años más tarde, en 1696, vio la luz un libro histórico: Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, firmado por el marqués de L'Hôpital. Fue el primer libro de texto impreso en la historia dedicado al cálculo diferencial. En el ítem n.º 163 del libro aparecía de forma destacada la regla para resolver la indeterminación \(\frac{0}{0}\). Los ejemplos utilizados en el texto eran idénticos a los de Bernoulli, salvo pequeñas modificaciones. Por ejemplo, L'Hôpital transformó el ejemplo anterior en la siguiente variante:
$$y = \frac{a^2 - ax}{a - \sqrt{ax}} \quad \implies \quad \text{obteniendo como resultado } y = 2a, $$ que no es más que una adaptación realizada por L'Hôpital en su obra de 1696 a partir del ejemplo de Bernoulli
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| Página 145 con el item n.º 163 (la regla de L'Hôpital) en su versión original |
En el prefacio de la obra, L'Hôpital expresó un agradecimiento genérico a Leibniz y a Bernoulli, indicando que se había servido libremente de sus descubrimientos y devolviéndoles abiertamente el crédito que quisieran reclamar. Sin embargo, no precisó en ningún momento qué teoremas específicos pertenecían a Bernoulli. Atado por el contrato financiero y el cobro regular de su pensión, Bernoulli mantuvo un silencio educado en público mientras el marqués estuvo con vida.
Tras la muerte de L'Hôpital en 1704, Bernoulli se sintió libre de su compromiso y reclamó públicamente la autoría de la regla para \(\frac{0}{0}\). No obstante, la comunidad matemática de la época recibió sus afirmaciones con escepticismo. Bernoulli se había ganado con los años la reputación de ser un hombre mezquino y codicioso, por lo que muchos pensaron que simplemente intentaba arrebatarle el mérito al difunto marqués sin aportar pruebas tangibles.
El misterio permaneció sin resolver durante siglos, hasta que dos hallazgos documentales en el siglo XX le devolvieron la justicia histórica a Bernoulli. En 1922 se descubrió y publicó el manuscrito original de Bernoulli sobre cálculo diferencial redactado entre 1691 y 1692, cuya estructura e ideas coincidían ampliamente con la obra de L'Hôpital. Finalmente, en 1955, la publicación de la correspondencia privada de Bernoulli sacó a la luz la carta de 1694 con los términos exactos del pacto económico y la demostración original de la regla.
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| Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, 1696 |
No obstante es justo reconoce que Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, inicialmente publicado de forma anónima en 1696 por el marqués de L'Hôpital —aunque fundamentado esencialmente en las lecciones impartidas por Johann Bernoulli—, posee una trascendencia histórica incalculable al ser considerado el primer manual o libro de texto sistemático de cálculo diferencial de la historia. Su publicación supuso un hito fundamental en la democratización del conocimiento científico: estructuró y clarificó las complejas e incipientes ideas sobre los infinitesimales desarrolladas por Gottfried Wilhelm Leibniz y los hermanos Bernoulli, transformando un cuerpo telemático disperso y de difícil acceso en una disciplina matemática didáctica, coherente y aplicable. Además de inmortalizar la célebre regla de L'Hôpital para la resolución de indeterminaciones, el tratado sirvió como el principal puente de aprendizaje para generaciones de matemáticos durante el siglo XVIII, estableciendo la notación y las bases metodológicas que consolidaron al cálculo como la herramienta científica definitoria de la Edad Moderna.
A la luz de esta verdad histórica, ¿deberíamos rebautizar el teorema como "Regla de Bernoulli"? El historiador de las matemáticas Dirk J. Struik argumentó con contundencia que no. En primer lugar, la célebre familia suiza ya cuenta con numerosos teoremas, ecuaciones y principios que llevan su nombre (debidos a Jakob, Johann y Daniel Bernoulli).
En segundo lugar, Struik señala que si la ciencia pretendiera rebautizar todas las reglas y teoremas basándose strictly en las leyes de la prioridad histórica, la nomenclatura científica caería en un caos absoluto:
El Teorema de Pitágoras era perfectamente conocido y aplicado por los matemáticos babilonios más de un milenio antes de la época de Pitágoras; las famosas Ecuaciones de Cauchy-Riemann del análisis complejo fueron desarrolladas previamente por Jean d'Alembert y Leonhard Euler; el Teorema de Taylor ya había sido anticipado por James Gregory y posiblemente por matemáticos indios hacia el año 1500; el célebre Triángulo de Pascal era utilizado por el matemático chino Yang Hui en el siglo XIII; y el llamado Método de Horner para ecuaciones algebraicas era manejado con destreza por Chhin Chiu-shao siglos antes de Horner.
Frecuentemente, los nombres que quedan grabados en la historia de la ciencia pertenecen a aquellas personas que, mediante su esfuerzo explicativo o editorial, lograron que esos conocimientos se volvieran populares, accesibles y comprendidos por la comunidad.
En este sentido, el marqués de L'Hôpital merece un lugar de honor. Pagó legítimamente por las lecciones y descubrimientos de Bernoulli, los organizó con impecable claridad pedagógica y los puso a disposición del mundo. Su libro no solo fue el primero impreso sobre la materia, sino que poseía una calidad tan excepcional que se mantuvo como la obra de referencia para aprender cálculo diferencial durante más de medio siglo, contando con traducciones al inglés y latín y reediciones hasta 1790.
Esta entrada está basada en el artículo: Struik, D. J. (1963). «The Origin of L'Hôpital's Rule». The Mathematics Teacher, 56(4), 257–260.
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