De Riemann a Lebesgue: la evolución del concepto de integral

El concepto de integral definida atravesó una fascinante transformación histórica, evolucionando desde los métodos geométricos de la Antigüedad —como el método de exhaustión de Eudoxo y Arquímedes para calcular áreas mediante aproximaciones—, pasando por las ideas puramente geométricas de los «indivisibles» de Bonaventura Cavalieri en el siglo XVII, hasta alcanzar su primer gran hito con las formulaciones infinitesimales de Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Sin embargo, el siglo XIX exigió una transición crítica impulsada por el auge del rigor analítico de Augustin-Louis Cauchy y Karl Weierstrass, lo que hizo imprescindible fundamentar la integración sobre una definición precisa basada en el concepto formal de límite. Este esfuerzo cristalizó a mediados del siglo XIX con la integral de Riemann y su aproximación mediante sumas de rectángulos, continuó con la generalización de Thomas Joannes Stieltjes al introducir funciones integradoras de peso, y alcanzó su forma moderna a comienzos del siglo XX con la integral de Henri Lebesgue y la teoría de la medida, un desarrollo motivado en gran parte por el estudio de las series de Fourier y la necesidad teórica de integrar funciones «patológicas» con conjuntos densos de discontinuidades. 

Bernhard Riemann (1826-1866), Thomas Joannes Stieltjes (1856-1894) y Henri Léon Lebesgue (1875-1941)

1. La integral de Riemann (mediados del siglo XIX)

Bernhard Riemann (1826–1866) introdujo su definición en su Habilitationsschrift de 1854, titulada Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (“Sobre la representabilidad de una función mediante una serie trigonométrica”), presentada en Gotinga bajo la influencia de Dirichlet. El trabajo se publicó póstumamente en 1868.

Riemann partió del trabajo de Cauchy (quien había formalizado la integral para funciones continuas mediante sumas de Riemann–Cauchy) y de las investigaciones de Dirichlet sobre la convergencia de series de Fourier. Dirichlet había mostrado que funciones continuas a trozos (con un número finito de discontinuidades) admitían desarrollo en series de Fourier. Riemann buscó ampliar el alcance a funciones con discontinuidades más numerosas.

Definición clave. Se considera una función acotada \(f\) en un intervalo \([a,b]\). Se toma una partición

\[ P = \{a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\} \]

y se forman las sumas de Riemann

\[ S(f,P,\xi) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i - x_{i-1}), \]

donde \(\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]\). La integral existe si el límite de estas sumas existe cuando la norma de la partición (la longitud del subintervalo más largo) tiende a cero, independientemente de la elección de los puntos \(\xi_i\).

Riemann dio un criterio de integrabilidad (en términos de la oscilación de la función en los subintervalos) y construyó ejemplos de funciones Riemann-integrables con un conjunto denso de discontinuidades. Esto superaba las limitaciones de Cauchy y permitía tratar muchas funciones que aparecían en el análisis de Fourier.

Sin embargo, la integral de Riemann tenía debilidades importantes:

• No caracteriza fácilmente la clase de funciones integrables (esto se resolvió más tarde con la condición de Lebesgue: una función acotada es Riemann-integrable si y solo si es continua casi en todas partes, es decir, el conjunto de discontinuidades tiene medida cero).
• Se comporta mal con límites: el límite de una sucesión de funciones Riemann-integrables no necesariamente es Riemann-integrable, y no siempre se puede intercambiar límite e integral.
• El teorema fundamental del cálculo falla en casos patológicos. En 1881, Vito Volterra construyó un ejemplo de una función derivable con derivada acotada pero no Riemann-integrable.

Gaston Darboux (1875) reformuló la definición mediante sumas superiores e inferiores, lo que es la versión que se enseña habitualmente hoy bajo el nombre de “integral de Riemann”.

2. La integral de Riemann–Stieltjes (finales del siglo XIX)

En 1894, Thomas Joannes Stieltjes (1856–1894) introdujo una generalización natural mientras estudiaba el problema de los momentos: dada una sucesión de números \(\{\mu_n\}\), encontrar una distribución de masas \(\alpha\) tal que

\[ \int_0^\infty x^n \, d\alpha(x) = \mu_n. \]

Stieltjes reemplazó el incremento \(x_i - x_{i-1}\) por \(\alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})\), donde \(\alpha\) es una función de variación acotada (o monótona creciente). La suma de Riemann–Stieltjes es

\[ \sum f(\xi_i) \bigl[\alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})\bigr]. \]

Cuando \(\alpha(x) = x\), se recupera la integral de Riemann.

Esta integral unifica el tratamiento de distribuciones continuas y discretas (sumas ponderadas) y resulta especialmente útil en análisis funcional (teorema de representación de Riesz: el dual de \(C[a,b]\) se identifica con las integrales de Riemann–Stieltjes respecto a funciones de variación acotada) y en probabilidad (expectativas respecto a funciones de distribución).

La integral de Riemann–Stieltjes hereda muchas de las limitaciones de la de Riemann (problemas con discontinuidades comunes de \(f\) y \(\alpha\), comportamiento con límites, etc.), pero sirvió de puente conceptual hacia teorías más generales.

3. La integral de Lebesgue (principios del siglo XX)

Henri Lebesgue (1875–1941) resolvió las deficiencias principales de la teoría de Riemann. En 1901 publicó Sur une généralisation de l’intégrale définie y en 1902 presentó su tesis doctoral Intégrale, longueur, aire, donde desarrolló la teoría de la medida de Lebesgue y la integral asociada.

Lebesgue partió de los trabajos de Camille Jordan (contenido de Jordan) y Émile Borel (medida de Borel y conjuntos Borelianos). Construyó una medida (la medida de Lebesgue) que asigna “longitud” de manera coherente a una clase mucho más amplia de subconjuntos de \(\mathbb{R}\) (los conjuntos medibles de Lebesgue), incluyendo conjuntos que no son intervalos ni uniones contables de ellos.

La diferencia conceptual fundamental

La diferencia esencial entre ambas integrales se entiende mejor mediante una metáfora que el propio Lebesgue empleó:

«Tengo que pagar una cierta suma que he reunido en mi bolsillo. Saco los billetes y monedas y se los doy al acreedor en el orden en que los encuentro hasta alcanzar el total. Esto es la integral de Riemann. Pero puedo proceder de otra manera: después de sacar todo el dinero de mi bolsillo, ordeno los billetes y monedas según su valor y pago los montones uno tras otro. Esto es mi integral.»

En términos matemáticos:

• Riemann particiona el dominio (el eje \(x\)). Divide el intervalo \([a,b]\) en subintervalos pequeños y en cada uno elige un valor de la función \(f(\xi_i)\). Multiplica ese valor por la longitud del subintervalo y suma. El área se aproxima sumando “rectángulos verticales”.
• Lebesgue particiona el rango (el eje \(y\)). En lugar de preguntarse “¿cuánto vale la función en este pequeño intervalo de \(x\)?”, se pregunta “¿en qué conjunto de \(x\) la función toma valores entre \(y_k\) y \(y_{k+1}\)?”. Luego multiplica ese valor \(y_k\) por la medida (“longitud”) del conjunto donde ocurre, y suma.

Visualmente: Riemann corta la región bajo la curva en tiras verticales finas; Lebesgue la corta en tiras horizontales y mide cuánto “ancho” tiene cada altura.

Construcción formal (esbozo)

Para una función \(f \geqslant 0\) medible:

1. Se comienza con funciones simples: funciones que toman solo un número finito de valores. Si \[ \varphi = \sum_{k=1}^n c_k \, \mathbf{1}_{E_k}, \] donde los \(E_k\) son conjuntos medibles disjuntos y \(\mathbf{1}_{E_k}\) es la función característica de \(E_k\), entonces se define \[ \int \varphi \, d\mu = \sum_{k=1}^n c_k \, \mu(E_k). \] Aquí \(\mu(E_k)\) es la medida de Lebesgue del conjunto \(E_k\) (su “longitud” generalizada).
2. Para una función medible no negativa arbitraria \(f\), se aproxima por una sucesión creciente de funciones simples \(\varphi_n \uparrow f\) y se define \[ \int f \, d\mu = \lim_{n\to\infty} \int \varphi_n \, d\mu \] (el límite puede ser \(+\infty\)).
3. Para funciones de signo variable se descompone \(f = f^+ - f^-\) y se exige que ambas partes tengan integral finita.

Esta construcción permite integrar muchas más funciones que Riemann. El ejemplo clásico es la función de Dirichlet:

\[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in \mathbb{Q}, \\ 0 & \text{si } x \notin \mathbb{Q}. \end{cases} \]

Esta función es discontinua en todo punto. No es Riemann-integrable en ningún intervalo (las sumas superiores siempre valen la longitud del intervalo y las inferiores valen 0). Sin embargo, es Lebesgue-integrable: el conjunto de los racionales tiene medida cero, por lo que \(\int f = 0\).

Ventajas decisivas de la integral de Lebesgue

• Toda función Riemann-integrable (acotada en un intervalo compacto) es Lebesgue-integrable y las integrales coinciden.
• Se pueden intercambiar límites e integrales bajo condiciones muy generales (teorema de la convergencia monótona y teorema de la convergencia dominada). Esto es fundamental en el análisis moderno y en la teoría de series de Fourier.
• El teorema fundamental del cálculo se restablece de forma mucho más general: toda función absolutamente continua es la integral indefinida de su derivada (que existe casi en todas partes).
• Proporciona el marco natural para la teoría de la probabilidad moderna (una variable aleatoria es una función medible, la esperanza es una integral de Lebesgue) y para los espacios de funciones \(L^p\), base del análisis funcional.

Lebesgue también combinó su teoría con la de Stieltjes, dando lugar a la integral de Lebesgue–Stieltjes (desarrollada plenamente por Johann Radon y otros), que generaliza ambas.

La trayectoria Riemann \(\to\) Riemann–Stieltjes \(\to\) Lebesgue refleja el paso de una teoría anclada en particiones del dominio y sumas de áreas de rectángulos a una teoría basada en la medida de conjuntos y el “agrupamiento por valores”. Riemann respondió a las necesidades de las series de Fourier de mediados del siglo XIX; Stieltjes amplió el concepto para problemas de momentos y análisis funcional; Lebesgue, a comienzos del XX, proporcionó el marco robusto y general que domina el análisis real, la teoría de la medida y gran parte de la matemática aplicada contemporánea.La “teoría de la integración” propiamente dicha es, en gran medida, una creación del siglo XX, aunque el concepto de área bajo una curva sea milenario. 

El matemático estadounidense de origen croata William Feller (1906-1970), conocido por sus contribuciones a la teoría de la probabilidad, expresó:

«Cualquiera que intente trabajar en la teoría de la probabilidad moderna sin la integral de Lebesgue se encontrará pronto en la posición de un hombre que intenta construir un rascacielos utilizando solo ladrillos y barro sin estructura de acero.»

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Lecturas complementarias: 

• Antecedentes del Cálculo Infinitesimal de Newton y Leibniz.
• Newton, Leibniz y la invención de cálculo infinitesimal.
• La obra matemática de Arquímedes.
• Lúnulas de Hipócrates. 

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