Babilonia, el ultimo eslabón de la preciencia matemática.

Las matemáticas en Babilonia

Mucho antes de que Grecia sistematizara el pensamiento lógico, las llanuras de Mesopotamia se convirtieron en el primer gran "laboratorio de datos" de la humanidad. Gracias a la escritura cuneiforme, los babilonios no solo registraron transacciones, sino que desarrollaron un sofisticado sistema de numeración posicional en base 60. Esta flexibilidad sexagesimal les permitió dominar el cálculo de fracciones con una precisión asombrosa y crear complejas tablas de números para realizar operaciones fundamentales, extraer raíces cuadradas y registrar ternas pitagóricas  siglos antes del nacimiento de Pitágoras.

Este arsenal numérico no era mera curiosidad; era la herramienta principal para una geometría y astronomía aplicadas que les permitía predecir eclipses y delimitar terrenos con rigor matemático. En sus tablillas encontramos la resolución de ecuaciones lineales, de segundo grado y hasta algunas cúbicas, tratadas mediante algoritmos paso a paso que revelan una mente profundamente algebraica. Sin embargo, nos queda una pregunta fascinante: 

¿llegaron a realizar demostraciones formales o su saber era puramente empírico? 

Al explorar su legado, nos asomamos al último y más brillante peldaño de la matemática pre-científica, justo antes de que el rigor deductivo transformara este arte en la ciencia que conocemos hoy.

El sistema de numeración sexagesimal

 El sistema de numeración babilonio, desarrollado hacia el segundo milenio a.C., fue el primer sistema posicional de la historia, lo que significa que el valor de un símbolo dependía de su ubicación en la cifra. A diferencia de nuestro sistema decimal (base \(10\)), ellos utilizaban una base \(60\) (sexagesimal). Para escribir los números del \(1\) al \(59\), empleaban una combinación aditiva de solo dos marcas cuneiformes: un "clavo" (\(\curlyvee\)) para la unidad y la "cuña" hotizontal (\(\prec\)) para la decena.

La gran ventaja de la base \(60\) es su alta divisibilidad, ya que el \(60\) tiene doce divisores (\(1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\)), lo que facilitaba enormemente el cálculo con fracciones sexagesimales sin recurrir a infinitos decimales complejos. Al igual que hoy escribimos \(1.5\) para representar \(1 + \frac{5}{10}\), los babilonios usaban posiciones a la derecha para representar potencias inversas de sesenta: \(\frac{1}{60}, \quad \frac{1}{60^2}, \quad \frac{1}{60^3} \dots \).

El número 2026 en el sistema posicional babilonio se descompone como: \[2026= (33 \times 60^1) + (46 \times 60^0)= \, \prec\! \prec\! \prec\!\! \curlyvee \! \! \!\curlyvee\!\! \! \curlyvee \;\begin{array}{c} \prec\!\prec\!\curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \prec\!\prec\!\curlyvee\! \!\curlyvee\!\! \curlyvee \end{array} \] y en la tablilla de un escriba, veríamos esos dos grupos de símbolos separados por un espacio.Note que si cambiamos de orden los dos grupos de símbolos, entonces:

\[\begin{array}{c}\prec\!\prec\!\curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \prec\!\prec\!\curlyvee\! \!\curlyvee\!\! \curlyvee \end{array} \; \prec\! \prec\! \prec\! \curlyvee \!\curlyvee\!\! \curlyvee \, = (46 \times 60^1) + (33 \times 60^0)=2793. \]

Lograron así una precisión asombrosa en mediciones astronómicas y arquitectónicas. Sin embargo, el sistema presentaba un desafío técnico: durante la mayor parte de su historia carecieron de un símbolo para el cero. Esto generaba ambigüedad, pues el mismo signo podía representar: \(1, \quad 60, \quad \text{o} \quad \frac{1}{60} \) según el contexto. Aunque más tarde introdujeron una marca para indicar un espacio vacío, el sistema babilónico dependía mucho de la interpretación del escriba, funcionando más como una herramienta de cálculo experta que como un lenguaje matemático universal. 

 La aritmética en Babilonia

 Aunque aquí utilizaremos los símbolos habituales para las operaciones aritméticas, los escribas no tenía símbolos para las mismas. 

 Suma y Resta. Como su sistema era aditivo (clavos para unidades, cuñas para decenas), simplemente agrupaban los símbolos. Si superaban 60 en una posición, realizaban un "desplazamiento" hacia la izquierda, igual que hacemos nosotros en base 10. Por ejemplo:

\[ \begin{aligned} 40+25= & \begin{array}{c} \prec\!\prec\\[-.5em] \prec\!\prec \end{array} + \begin{array}{l} \prec\!\curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \prec\,\curlyvee\! \curlyvee \end{array} = \curlyvee \;\; \begin{array}{c} \curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \curlyvee\! \curlyvee \end{array} . \\ 40-25=& \begin{array}{c} \prec\!\prec\\[-.5em] \prec\!\prec \end{array} - \begin{array}{l} \prec\!\curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \prec\,\curlyvee\! \curlyvee \end{array} = \; \prec \! \! \! \! \begin{array}{c} \curlyvee\!\!\curlyvee\! \!\curlyvee \\[-.5em] \curlyvee\! \curlyvee \end{array} . \end{aligned} \] 

Multiplicación. Normalmente dependían de tablas precalculadas, pero para números grandes usaban propiedades distributivas o identidades conocidas. Una de sus técnicas favoritas para multiplicar era aprovechar la diferencia de cuadrados:

\[ ab = \frac{(a+b)^2 - a^2 - b^2}{2} \]

Al tener tablas de cuadrados, este método les permitía obtener productos complejos mediante restas y divisiones por 2 (que era una operación trivial para ellos).

División. Esta operación consistía en multiplicar por el recíproco. Los babilonios no dividían; buscaban el recíproco en tablillas. Si querían dividir entre \(x\), buscaban \(1/x\) en su tabla y multiplicaban. Solo tenían recíprocos exactos para los llamados "números regulares" (aquellos cuyos factores primos eran 2, 3 o 5).

 Raíces Cuadradas. El método utilizado era iterativo. Por ejemplo para hallar \(\sqrt{n}\), usaban un método iterativo que promediaba una aproximación inicial \(x\) con \(n/x\):

\[ x_{nuevo} = \frac{x + \frac{n}{x}}{2} \]

Repitiendo este proceso, lograban una precisión asombrosa, como se evidencia en la tablilla YBC 7289.

La casa de las tablillas (Edubba)

Para los babilonios, la casa de las tablillas (Edubba) era  una especie de centro de cálculo integrado por tres pilares: el escriba (la unidad de procesamientol), la tablilla de arcilla (la unidad de almacenamiento) y el sistema sexagesimal (el lenguaje de programación). 

1. El centro de toda operación intelectual era el escriba (Tupsarru). Estos profesionales se formaban en la Edubba (la "Casa de las Tablillas"), que funcionaba como una mezcla de universidad y centro de computación. No solo escribían; eran algoritmos humanos. Eran capaces de resolver problemas que hoy clasificaríamos como álgebra cuadrática o cálculos de interés compuesto.
2.  Si comparamos con la actualidad, las tablillas eran sus discos duros. Tenían "archivos" para todo. En lugar de calcular cada vez, consultaban tablillas con listas de recíprocos, cuadrados, cubos y multiplicaciones. Esto agilizaba el trabajo, tal como una memoria caché.  Llevaban un control estricto de raciones, tierras y movimientos astronómicos.
3.  Su "lenguaje de programación" era la base 60, que hemos descrito anteriormente. 

En resumen, la casa de las tablillas era el área administrativa donde los escribas: 

• Recibían inputs: Datos sobre la cosecha o la posición de Venus.
• Procesaban: Usaban tablas de multiplicar y métodos algorítmicos (paso a paso).
• Generaban outputs: Un informe en arcilla que determinaba cuánta semilla se entregaría o cuándo sería el próximo eclipse.

 

Evidencias de una ciencia milenaria en tres tablillas

 

I.- La tablilla Plimpton 322 es una pieza arqueológica excepcional de la antigua Mesopotamia, grabada en arcilla entre los años 1822 y 1762 a. C. en la ciudad de Larsa (actual Irak). Fue descubierta a principios del siglo XX por el anticuario Edgar James Banks y posteriormente adquirida por el coleccionista George Arthur Plimpton, quien la donó en 1936 a la Universidad de Columbia en Nueva York, donde se custodia actualmente en su Biblioteca de Libros y Manuscritos Raros.

El contenido de la tableta consiste en una tabla de cuatro columnas y quince filas de números escritos en escritura cuneiforme bajo un sistema sexagesimal (base 60). Lo que la hace célebre es que contiene una lista de ternas pitagóricas, es decir, conjuntos de números que cumplen con la relación \(a^2 + b^2 = c^2\). Esto demuestra que los babilonios manejaban conceptos geométricos y algebraicos avanzados más de mil años antes de que el matemático griego Pitágoras formalizara su famoso teorema.

Aunque su interpretación exacta sigue siendo motivo de debate entre los historiadores, se cree que la tableta no era un simple registro contable, sino una herramienta educativa o una tabla trigonométrica primitiva. Su estructura sugiere que era utilizada por escribas para calcular las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo, lo que la convierte en uno de los documentos matemáticos más sofisticados de la antigüedad. 

II.- La tablilla YBC 7289 es un pequeño disco de arcilla del periodo paleo-babilónico (aprox. 1800-1600 a. C.) que representa uno de los logros matemáticos más impresionantes de la antigüedad. Fue descubierta a principios del siglo XX y actualmente se custodia en la Colección Babilónica de la Universidad de Yale (de ahí sus siglas Yale Babylonian Collection) en New Haven, Estados Unidos. Su importancia radica en que muestra un cuadrado con sus dos diagonales trazadas y números grabados en escritura cuneiforme que revelan un cálculo de precisión asombrosa para su época.

El contenido de la tablilla es una aproximación extremadamente exacta de la raíz cuadrada de dos (\(\sqrt{2}\)), expresada en el sistema sexagesimal (base 60). Los escribas babilónicos calcularon este valor con una precisión equivalente a seis decimales modernos, lo que demuestra que no solo conocían la relación entre los lados de un cuadrado y su diagonal mucho antes que Pitágoras, sino que también habían desarrollado métodos iterativos para extraer raíces cuadradas. Es considerada la prueba definitiva de la sofisticación de la geometría y la aritmética babilónicas en el mundo antiguo. 

 

III.- La tablilla Si.427 es un artefacto de arcilla del periodo paleo-babilónico (aprox. 1900-1600 a. C.) que representa el ejemplo más antiguo conocido de geometría aplicada a la topografía. Fue descubierta en 1894 por una expedición francesa en la antigua ciudad de Sippar (actual Irak). Durante décadas permaneció en el Museo Arqueológico de Estambul, en Turquía, hasta que investigaciones publicadas en 2021 revelaron su verdadero propósito como un documento catastral de alta precisión.

El contenido de la tablilla detalla la partición de un terreno tras su venta, utilizando un plano con límites precisos de parcelas. Lo que la hace históricamente única es el uso de ternas pitagóricas (como \(3, 4, 5\)) para trazar ángulos rectos perfectos en los linderos del campo. Este hallazgo demuestra que los babilonios no solo conocían la relación \(a^2 + b^2 = c^2\) siglos antes que Pitágoras, sino que la utilizaban de forma práctica para resolver disputas legales sobre la propiedad de la tierra mediante la agrimensura.

 

¿Hubo demostraciones?

Aunque no tenemos evidencia de "teoremas" con la estructura griega de Hipótesis -> Tesis -> Demostración, los babilonios poseían un pensamiento algorítmico. Sus textos dictaban: "Haz esto, luego aquello, y obtendrás el resultado". Este enfoque práctico fue la base necesaria para que la matemática pasara de ser una herramienta administrativa a una ciencia teórica.

De hecho, la historia de la matemática no es una serie de eventos aislados, sino un relevo de sabiduría a través del Mediterráneo. No es casualidad que los grandes padres del pensamiento griego —figuras como Tales de Mileto, Pitágoras o incluso el propio Demócrito— fueran incansables viajeros que recorrieron estas tierras. Al caminar por los zigurats y consultar las bibliotecas de tablillas, estos sabios "bebieron de las fuentes" del conocimiento caldeo y babilonio. Fue allí donde probablemente aprendieron los secretos de los triángulos, la astronomía y las proporciones que más tarde formalizarían en sus propias escuelas. Al absorber ese pensamiento algorítmico de Oriente, pudieron transformarlo en la lógica deductiva que hoy define nuestra ciencia.

Así, la elegancia de los primeros  teorema griegos no es más que el perfeccionamiento de una receta babilónica que ya funcionaba miles de años antes.

 

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