domingo, 8 de enero de 2012

Aquiles y la tortuga


Leucipo de Mileto (480- 420 a. C.) y Demócrito de Abdera (460-370 a. C.) crearon la teoría atomística, según la cual, los objetos están formados por la mezcla de diminutas partículas individuales e imperceptibles que solo difieren en forma y posición.  Tal especulación científica para la época, tenía su base en la noción de átomo geométrico. Dicha noción tiene su origen en el  considerar que un segmento de línea, un área o un volumen está compuestos por un número grande pero finito de átomos indivisibles. El cálculo del volumen era entonces la suma de los volúmenes de todos los átomos que le componían. Así por ejemplo, Demócrito estableció correctamente la fórmula del volumen de un cono y de una pirámide. Introduciendo la noción de estratificación en la matemática mediante el concepto de átomo geométrico, que hoy utilizamos en la sumas integrales.
Quizás el mayor conocimiento del método atomístico que se tiene es debido a las críticas que se le señalaron. Entre las más importantes y conocidas están las de Zenón de Elea (490-430 a. C.), quien elaboró un conjunto de paradojas que ponen de manifiesto las incongruencias que surgen de considerar el espacio como suma de puntos. Con las paradojas de Zenón se evidenciaba que si se buscaban demostraciones exactas y soluciones lógicas a los problemas de estratificación era imposible utilizar el infinito mediante la concepción atomística. Para lograr estas demostraciones es necesario considerar elementos de paso al límite al menos implícitamente, pero esto se consiguió  mucho después.
Probablemente la más famosa de todas las paradojas sea la de Aquiles y la tortuga que se reproduce a continuación:
Aquiles y una tortuga realizan una carrera de un stadion plano. El stadion  es una unidad de medida para distancias utilizada en la Grecia antigua, aquí para simplificar consideraremos que son  aproximadamente 200 metros planos.
Sabemos que Aquiles, apodado el de los pies ligeros, es un excelente corredor. Supongamos que Aquiles  es 10 veces más rápido que la tortuga. Para la carrera de un stadion plano, Aquiles le da a la tortuga una ventaja de medio stadion (100 metro).   La posición de Aquiles en un tiempo t la denotaremos por A(t) y la posición de la  tortuga por T(t), de esa forma al inicio A(0)=0 y T(0)=100.
Si Aquiles tarda  9,9 segundos  en recorrer los primeros 100 metros, entonces A(9,9)=T(0) < T(9,9), ya que la tortuga en igual tiempo ha adelantado hasta la posición T(9,9). Para llegar a la posición T(9,9) desde la meta, Aquiles invierte un tiempo t_1=9,9+ 1/10=10 segundos y se tiene que  A(10)=T(9,9) < T(10), pues la tortuga ha continuado su trayecto. Repitiendo el razonamiento anterior, podemos concluir intuitivamente que es imposible que Aquiles alcance al la tortuga.
La respuesta es la siguiente: si Aquiles llega a la posición T(0) en 9,9 segundos, recorrerá la distancia entre T(0) y T(9,9) en 0,1 segundo, la distancia entre T(9,9) y T(10) en en 0.01 segundos y así sucesivamente. En conclusión Aquiles alcanza a la tortuga en:

El error de la intuición está en suponer que la suma de infinitas cantidades positivas debe ser necesariamente infinito.

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