El axioma de elección y la paradoja de Banach-Tarski

I.- El Axioma de Elección

Ernst Zermelo
(1871-1953)

Uno de los postulados de la matemática contemporánea mas controvertidos, sino el que más, es el Axioma de Elección, enunciado en 1904 por el matemático alemán Ernst Zermelo. Su formulación es simple e "intuitiva"

"Dada una colección de conjuntos no vacíos cualesquiera, existe otro conjunto que contiene un elemento elegido de cada uno de esos conjuntos"

Es obvio que el procedimiento de elección puede llevarse a cabo si la colección está formada por un número finito de conjuntos o si existe alguna regla bien determinada que nos permita elegir un único elemento de cada conjunto de la colección. No obstante, el axioma tiene su mayor relevancia cuando la colección está formada por infinitos conjuntos. 

 El matemático inglés Bertrand Russell (1872-1970) ilustró acertadamente, de manera informal, este hecho con la siguiente parodia:

Un lord inglés caprichoso e infinitamente rico tenía infinitos trajes, zapatos, sombreros, etc. Un día ordenó a su mayordomo:
- Walter, quiero que pongas una fila de zapatos en el pasillo, de forma que haya un zapato de cada uno de mis pares.
Naturalmente, el pasillo era infinitamente largo. Walter quedó pensativo, y en seguida ordenó a los infinitos criados que tomaran de cada par de zapatos el correspondiente al pie izquierdo, y que los pusieran en fila en el pasillo. Así cumplió Walter la orden, pero al día siguiente, el lord se lo puso más difícil:

- Walter , quiero que pongas en el pasillo un calcetín de cada uno de mis pares de calcetines.
Después de reflexionar, Walter respondió:
-My lord, para hacer eso necesito el axioma de elección.

Zermelo introdujo el Axioma de Elección para demostrar el Principio de Buen Ordenamiento,  que hoy sabemos es equivalente al axioma. El principio, es un resultado no menos  polémico que el axioma y afirma que en todo conjunto no vacío se puede establecer un orden similar al que conocemos para los números naturales, es decir dados dos elementos distintos cualesquiera podemos saber cual es el mayor (o el menor) y que todo subconjunto contiene un "primer elemento" (elemento minimal).
Hoy en día, el Axioma de Elección  es generalmente aceptado y utilizado  sin reservas por la mayoría de los matemáticos. Aunque existen  corrientes de pensamiento que lo rechazan o que estudian su repercución  en otros resultados contradictorios. Su acceptación se debe a que  como consecuencia del mismo se pueden demostrar teoremas muy importantes el  de  Tychonoff  en Topología, el  de  Hahn-Banach  en Análisis Funcional,  así  como  la  propia fundamentación  del  Análisis  No-Standard  y el Teorema de Banach-Tarski al que dedicamos la segunda parte de este post.

 

II.- La paradoja de Banach-Tarski

El Teorema original fue enunciado y demostrado en 1924 por los matemáticos polacos S. Banach y A. Tarski en el artículo  "Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes",   Fundamenta Mathematicae 6, 244–277. El siguiente enunciado es una versión informal del teorema para facilitar su comprención.

  Teorema de Banach-Tarski. Dada una esfera (maciza) en el espacio tridimensional, existe una descomposición de dicha esfera en un número finito  de trozos sin intersección, de modo que, aplicando "movimientos oportunos" a una parte de ellas, podemos obtener una esfera idéntica a la primera y los mismo   podemos hacer con las partes restantes para obtener otra  esfera idéntica a las dos anteriores.

 

Obviamente si hablamos de que cada una de las partes es "medible", sólidos en el sentido tradicional, los movimientos oportunos (rotaciones y translaciones) que se realizan claramente conservan el volumen. Pero en este caso cada una de los trozos desgajados de la esfera es un  "conjunto no medible" y en consecuencia no tiene puede conservar una propiedad que no tiene (el volumen). La construcción de cada uno de los trozos  se basa en el Axioma de Elección, para realizar una cantidad no numerable de elecciones arbitrarias. 

En la demostración original, Banach y Tarski, utilizarón una descomposición de la esfera en ocho trozos, hoy sabemos que el menor número de trozos que se puede utilizar en la descomposición es cinco. Aunque el teorema contradice la intuición (por lo que le llamamos paradoja) su  demostración es rigurosa y no contiene errores.

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Al lector avanzado que se interese en el tema le recomiendo

1.- Stan Wagon, The Banach–Tarski Paradox, Cambridge University Press, 1994. 
2.- Marta Macho-Stadler, ¿Puede una rana hacerse tan grande como un buey? Banach y Tarski responden. 

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