La Isla del Tesoro

 Es frecuente que la introducción de los números complejos comience por la conocida frase del matemático francés Jacques Hadamard (1865-1963):
"El camino más corto entre dos verdades del campo real pasa con frecuencia por el campo complejo".
La frase, en principio resulta incomprensible para el estudiante novato. Una de los problemas elementales más originales y hermosos para ilustrarla, corresponde al físico y astrónomo ucraniano George Gamow (1904-1968) y aparece en su libro de divulgación científica One Two Three ... Infinity: Facts and Speculations of Science (1947, pág. 35-37). El problema de La isla del tesoro, en esencia, se enuncia como a continuación:

Un joven encontró; entre los documentos de su bisabuelo un trozo de pergamino que contenía las instrucciones para encontrar un tesoro enterrado en una isla desierta. El contenido era el siguiente:

Navega hasta los ... latitud norte y los ... de longitud oeste, allí encontrarás una isla, y un prado en su costa sur. En el prado hay un roble, un pino y una horca. Camina de la horca al roble contando los pasos. Al llegar al roble, gira a la derecha en ángulo recto, da el mismo número de pasos y clava una estaca. Regresa a la horca, camina ahora en dirección al pino, contando el número de pasos. Al llegar al pino, gira a la izquierda en ángulo recto, camina el mismo número de pasos y clava otra estaca. Finalmente, une ambas estacas con una cuerda y en el punto medio entre ellas está enterrado el tesoro.

Siguiendo las instrucciones, el joven encontró la isla, el prado, el roble y el pino. Pero había transcurrido demasiado tiempo desde que su bisabueloenterró el tesoro y de la horca no quedaba rastro alguno, había desaparecido.

¿Puedes ayudar al joven a encontrar el tesoro sin conocer la ubicación de la horca?

Respuesta:

Cuando el joven llega a la isla solo encuentra en ella el roble Z₁ y el pino Z₂ (ver la figura). Coloquemos en un lugar arbitrario del mapa un tercer punto O, que será el origen de coordenadas y tracemos los ejes cartesianos. destaquemos que fijado O, los únicos datos que poseemos son ₁ y Z₂.

De acuerdo al procedimiento empleado para enterrar sabemos que inicialmente existía una horca en un punto del plano Z₃ que desconocemos donde se encuentra.

Intentemos determinar la posición de la primera estaca E₁. El bisabuelo ató la cuerda a Z₁, caminó hasta Z₃ contando los pasos y sin soltar la cuerda realizó una rotación de magnitud r₁=- π/2 (tiene signo negativo porque es una rotación en dirección horaria), camina una cantidad de pasos igual y clavó la estaca E₁, luego:

E₁=Z₁+(Z₃-Z₁) (Cos(π/2)-i Sen(π/2))=Z₁-i (Z₃-Z₁).

Razonando de forma análoga llegamos a que la posición de la segunda estaca E₂ (la rotación ahora es r₂= π/2 ) es:

E₂=Z₂+(Z₃-Z₂) (Cos(π/2)+i Sen(π/2))=Z₂+ i (Z₃-Z₂) .

El tesoro fue enterrado en el punto medio del segmento que una las dos estacas (T) luego su posición será:

T=(E₁+E₂)/2=(Z₁+Z₂)/2+i(Z₁-Z₂)/2.

Note que la posición del tesoro es independiente de la posición de la horca y solo depende de los números Z₁ y Z₂ que son conocidos. 

La solución se interpreta de la siguiente manera:

1.  Partiendo del árbol Z₁, el joven debe caminar hasta el punto medio entre los dos árboles ((Z₁+Z₂)/2). 
2.  Realizar un giro de un ángulo recto a la izquierda (en dirección contraria a las manecillas del reloj) (ya que se multiplica por i=Cos(π/2)+i Sen(π/2)). 
3.  Caminar en la dirección anterior una distancia igual a la recorrida hasta el punto medio, es decir igual a la mitad de la distancia entre los dos árboles es decir |(Z₁-Z₂)/2|. 
4.  Al llegar a la posición anterior el tesoro estará bajo los pies del joven.