Álgebra Geométrica

Pitágoras de Samos(580-520 a. C.) y sus seguidores (los pitagóricos) realizaron aportes significativos en Matemáticas, Astronomía y Música. Partiendo de la recopilación de hechos concretos que tenían como base los problemas prácticos relacionados con la necesidad de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas, lograron producir resultados abstractos que unieron en sistemas teóricos. La Aritmética, como conjunto de conocimientos relacionados con las propiedades generales de las operaciones con números naturales se fue separando como una rama independiente y sometieron la Geometría a un proceso de abstracción y sistematización.

El descubrimiento de la existencia de irracionales mediante la imposibilidad de expresar la diagonal de un cuadrado como múltiplo y/o parte de sus lados les indujo a considerar que existen más segmentos que números. Para dar respuesta a la necesidad de una teoría que abarca magnitudes racionales e irracionales crearon un método de cálculo geométrico general conocido como Álgebra Geométrica. Así la suma era interpretada como adición de segmentos, el producto de a por b como rectángulo de lados a y b, etc.

El Álgebra Geométrica alcanzó su máximo esplendor en Elementos de Euclides de Alejandría (365-300 a. C.) y Cónicas de Apolonio de Perga (247-205 a. C.), con la restricción a la regla y el compás como únicos medios auxiliares posibles en las construcciones geométricas. En correspondencia con el ideal de recta y circulo como perfección de lo recto y lo curvo, según Platon (427-348 a. C.). Bajo este método de cálculo geométrico la resolución de ecuaciones cuadráticas fue vista como problema de anexión de áreas y las identidades algebraicas como conjunto de posiciones geométricas, según muestran los siguientes ejemplos:

I.- Método de anexión de áreas para la resolución de la ecuación lineal α.β = δ .x.

1. Construimos el rectángulo ABOH de lados α y β.
2. Anexamos el BCDO de lados α y δ.
3. Se prolongan la diagonal de BCDO y el lado AH hasta su intersección en G.
4. Con G construimos el rectángulo DEFO, cuyo lado DE es la solución.

II.- Solución de la ecuación x² + β² =2 α x. 

1. Trazamos el segmento OA de longitud α.
2. Por uno de los extremos de OA se traza perpendicularmente el segmento OB de longitud β.
3. Tomando el compás con abertura α, apoyados en B se determina el punto C.
4. La solución de la ecuación es el segmento CA.

Nota: Por el teorema de Pitágoras (α-x)² + β² = α² , lo que es equivalente a la ecuación original.