El Hotel de Hilbert

Una cadena hotelera decide construir el hotel más grande del mundo. Para ello  se proponen  construir un hotel con infinitas habitaciones, ya que nadie podrá construir un hotel más grande.
Solo había una condición: si llegaba un nuevo huésped, los demás se tendrían que cambiar de habitación para que todos se hospedaran.
Una vez inaugurado, el éxito fue tal que de inmediato se llenaron  sus infinitas habitaciones con infinitos huéspedes y colgaron el siguiente cartel:

1.- Al siguiente día, llegó una persona pidiendo una habitación libre y el recepcionista comunicó a los huéspedes "Por favor, todos los huéspedes deben cambiar a la habitación siguiente". De modo tal que la primera habitación quedaba vacía para alojar al recién llegado como muestra la siguiente figura:

2.- El segundo día llegó un autobús infinito con infinitas personas para hospedarse, entonces el recepcionista pensó durante unos segundos y  comunicó a los huéspedes "Por favor, todo huésped alojado en una habitación con número n debe mudarse a la habitación con número 2n". De esa forma todos los huéspedes que ya estaban alojados en el hotel, fueron reubicados en habitaciones con números de orden par. Quedando las habitaciones impares para los infinitos recién llegados, como muestra la figura:

3.- El éxito del hotel fue tan grande, que al tercer día llegaron infinitos autobuses numerados,  cada uno con infinitas personas, para hospedarse. Entonces el recepcionista pensó durante unos minutos y  comunicó a los huéspedes: "Atención por favor, sean n el número de su autobús, en caso de que ya esté  hospedado   n=0, y m el número de su asiento o el de su habitación actual según sea el caso.  Entonces le corresponderá en el hotel la habitación h, donde h se calcula mediante la fórmula h= (n+m)(n+m-1)/2+m+1."
La nueva distribución de habitaciones permitió que los infinitos huéspedes permanecieran alojados, además alojar a los infinitos recién llegados en cada uno de los  infinitos autobuses y  continuar con el hotel lleno. La siguiente figura muestra la distribución de habitaciones que realizó el recepcionista,  cada persona tiene arriba a la derecha el número de  habitación que le corresponde.

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El Hotel Infinito de Hilbert es una construción abstracta, creada por el matemático alemán David Hilbert (1862-1943), para mostrar de manera simple e intuitiva, hechos paradójicos relacionados con el concepto matemático de infinito numerable.

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