El Hotel de Hilbert

Una cadena hotelera decide construir el hotel más grande del mundo. Para ello  se proponen  construir un hotel con infinitas habitaciones, ya que nadie podrá construir un hotel más grande.
Solo había una condición: si llegaba un nuevo huésped, los demás se tendrían que cambiar de habitación para que todos se hospedaran.
Una vez inaugurado, el éxito fue tal que de inmediato se llenaron  sus infinitas habitaciones con infinitos huéspedes y colgaron el siguiente cartel:

1.- Al siguiente día, llegó una persona pidiendo una habitación libre y el recepcionista comunicó a los huéspedes "Por favor, todos los huéspedes deben cambiar a la habitación siguiente". De modo tal que la primera habitación quedaba vacía para alojar al recién llegado como muestra la siguiente figura:

2.- El segundo día llegó un autobús infinito con infinitas personas para hospedarse, entonces el recepcionista pensó durante unos segundos y  comunicó a los huéspedes "Por favor, todo huésped alojado en una habitación con número n debe mudarse a la habitación con número 2n". De esa forma todos los huéspedes que ya estaban alojados en el hotel, fueron reubicados en habitaciones con números de orden par. Quedando las habitaciones impares para los infinitos recién llegados, como muestra la figura:

3.- El éxito del hotel fue tan grande, que al tercer día llegaron infinitos autobuses numerados,  cada uno con infinitas personas, para hospedarse. Entonces el recepcionista pensó durante unos minutos y  comunicó a los huéspedes: "Atención por favor, sean n el número de su autobús, en caso de que ya esté  hospedado   n=0, y m el número de su asiento o el de su habitación actual según sea el caso.  Entonces le corresponderá en el hotel la habitación h, donde h se calcula mediante la fórmula h= (n+m)(n+m-1)/2+m+1."
La nueva distribución de habitaciones permitió que los infinitos huéspedes permanecieran alojados, además alojar a los infinitos recién llegados en cada uno de los  infinitos autobuses y  continuar con el hotel lleno. La siguiente figura muestra la distribución de habitaciones que realizó el recepcionista,  cada persona tiene arriba a la derecha el número de  habitación que le corresponde.

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El Hotel Infinito de Hilbert es una construción abstracta, creada por el matemático alemán David Hilbert (1862-1943), para mostrar de manera simple e intuitiva, hechos paradójicos relacionados con el concepto matemático de infinito numerable.

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Aquiles y la tortuga

Leucipo de Mileto (480- 420 a. C.) y Demócrito de Abdera (460-370 a. C.) crearon la teoría atomística, según la cual, los objetos están formados por la mezcla de diminutas partículas individuales e imperceptibles que solo difieren en forma y posición.  Tal especulación científica para la época, tenía su base en la noción de átomo geométrico. Dicha noción tiene su origen en el  considerar que un segmento de línea, un área o un volumen está compuestos por un número grande pero finito de átomos indivisibles. El cálculo del volumen era entonces la suma de los volúmenes de todos los átomos que le componían. Así por ejemplo, Demócrito estableció correctamente la fórmula del volumen de un cono y de una pirámide. Introduciendo la noción de estratificación en la matemática mediante el concepto de átomo geométrico, que hoy utilizamos en la sumas integrales.
Quizás el mayor conocimiento del método atomístico que se tiene es debido a las críticas que se le señalaron. Entre las más importantes y conocidas están las de Zenón de Elea (490-430 a. C.), quien elaboró un conjunto de paradojas que ponen de manifiesto las incongruencias que surgen de considerar el espacio como suma de puntos. Con las paradojas de Zenón se evidenciaba que si se buscaban demostraciones exactas y soluciones lógicas a los problemas de estratificación era imposible utilizar el infinito mediante la concepción atomística. Para lograr estas demostraciones es necesario considerar elementos de paso al límite al menos implícitamente, pero esto se consiguió  mucho después.
Probablemente la más famosa de todas las paradojas sea la de Aquiles y la tortuga que se reproduce a continuación:

Aquiles y una tortuga realizan una carrera de un stadion plano. El stadion  es una unidad de medida para distancias utilizada en la Grecia antigua, aquí para simplificar consideraremos que son  aproximadamente 200 metros planos.
Sabemos que Aquiles, apodado el de los pies ligeros, es un excelente corredor. Supongamos que Aquiles  es 10 veces más rápido que la tortuga. Para la carrera de un stadion plano, Aquiles le da a la tortuga una ventaja de medio stadion (100 metro).   La posición de Aquiles en un tiempo t la denotaremos por A(t) y la posición de la  tortuga por T(t), de esa forma al inicio A(0)=0 y T(0)=100.
Si Aquiles tarda  9,9 segundos  en recorrer los primeros 100 metros, entonces A(9,9)=T(0) < T(9,9), ya que la tortuga en igual tiempo ha adelantado hasta la posición T(9,9). Para llegar a la posición T(9,9) desde la meta, Aquiles invierte un tiempo t_1=9,9+ 1/10=10 segundos y se tiene que  A(10)=T(9,9) < T(10), pues la tortuga ha continuado su trayecto. Repitiendo el razonamiento anterior, podemos concluir intuitivamente que es imposible que Aquiles alcance al la tortuga.

La respuesta es la siguiente: si Aquiles llega a la posición T(0) en 9,9 segundos, recorrerá la distancia entre T(0) y T(9,9) en 0,1 segundo, la distancia entre T(9,9) y T(10) en en 0.01 segundos y así sucesivamente. En conclusión Aquiles alcanza a la tortuga en:

El error de la intuición está en suponer que la suma de infinitas cantidades positivas debe ser necesariamente infinito.