Álgebra Geométrica

Pitágoras de Samos(580-520 a. C.) y sus seguidores (los pitagóricos) realizaron aportes significativos en Matemáticas, Astronomía y Música. Partiendo de la recopilación de hechos concretos que tenían como base los problemas prácticos relacionados con la necesidad de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas, lograron producir resultados abstractos que unieron en sistemas teóricos. La Aritmética, como conjunto de conocimientos relacionados con las propiedades generales de las operaciones con números naturales se fue separando como una rama independiente y sometieron la Geometría a un proceso de abstracción y sistematización.

El descubrimiento de la existencia de irracionales mediante la imposibilidad de expresar la diagonal de un cuadrado como múltiplo y/o parte de sus lados les indujo a considerar que existen más segmentos que números. Para dar respuesta a la necesidad de una teoría que abarca magnitudes racionales e irracionales crearon un método de cálculo geométrico general conocido como Álgebra Geométrica. Así la suma era interpretada como adición de segmentos, el producto de a por b como rectángulo de lados a y b, etc.

El Álgebra Geométrica alcanzó su máximo esplendor en Elementos de Euclides de Alejandría (365-300 a. C.) y Cónicas de Apolonio de Perga (247-205 a. C.), con la restricción a la regla y el compás como únicos medios auxiliares posibles en las construcciones geométricas. En correspondencia con el ideal de recta y circulo como perfección de lo recto y lo curvo, según Platon (427-348 a. C.). Bajo este método de cálculo geométrico la resolución de ecuaciones cuadráticas fue vista como problema de anexión de áreas y las identidades algebraicas como conjunto de posiciones geométricas, según muestran los siguientes ejemplos:

I.- Método de anexión de áreas para la resolución de la ecuación lineal α.β = δ .x.

1. Construimos el rectángulo ABOH de lados α y β.
2. Anexamos el BCDO de lados α y δ.
3. Se prolongan la diagonal de BCDO y el lado AH hasta su intersección en G.
4. Con G construimos el rectángulo DEFO, cuyo lado DE es la solución.

II.- Solución de la ecuación x² + β² =2 α x. 

1. Trazamos el segmento OA de longitud α.
2. Por uno de los extremos de OA se traza perpendicularmente el segmento OB de longitud β.
3. Tomando el compás con abertura α, apoyados en B se determina el punto C.
4. La solución de la ecuación es el segmento CA.

Nota: Por el teorema de Pitágoras (α-x)² + β² = α² , lo que es equivalente a la ecuación original.

El tesoro del pirata

 Es frecuente que la introducción de los números complejos comience por la conocida frase del matemático francés Jacques Hadamard (1865-1963):

"El camino más corto entre dos verdades del campo real pasa con frecuencia por el campo complejo".

La frase, en principio resulta incomprensible para el estudiante novato. El tesoro del pirata es uno de los  problemas elementales más originales y hermosos para ilustrar la afirmación. La autoría del problema corresponde  al físico y astrónomo ucraniano George Gamow (1904-1968) y aparece en su libro de divulgación científica One Two Three ... Infinity: Facts and Speculations of Science (1947, pág. 35-37). 

 

El problema del tesoro del pirata que enunciamos a continuación es una variación del original de Gamow. 

 Se ha encontrado  un documento antiguo,  con las instrucciones de donde fue enterrado  el  tesoro del pirata. El contenido es el siguiente:

Navega hasta los ... latitud norte y los ... de longitud oeste, allí encontrarás una isla, y un prado. En el prado hay un roble, una palmera y una horca. Camina de la horca al roble  contando los pasos. Al llegar al roble, gira a la izquierda en ángulo recto, da el mismo número de pasos y clava una estaca. Regresa a la horca, camina ahora en dirección a la palmera, contando el número de pasos. Al llegar a la palmera, gira a la derecha en ángulo recto, camina el mismo número de pasos y clava otra estaca. Finalmente, une ambas estacas con una cuerda y en el punto medio entre ellas es donde está enterrado el tesoro.

Siguiendo las instrucciones, se ha encontrado la isla, el prado, el roble y la palmera. Pero había transcurrido demasiado tiempo  y de la horca no quedaba rastro alguno.    

¿Puedes  encontrar el tesoro? 

 Solución:

Consideremos la recta que pasa por Z_{1 y} Z₂  como el eje real del plano complejo con origen de coordenadas  O en  Z₁. En consecuencia, la perpendicular trazada por O será el eje imaginario. Los únicos datos que poseemos son  Z₁ y Z₂ , que en el plano descrito serán Z₁=0 y Z₂=X.

 De acuerdo al procedimiento empleado para enterrar el tesoro, sabemos que inicialmente existía una horca en un punto del plano Z₃ que desconocemos donde se encuentra.

 1.- Determinemos la posición de la primera estaca E₁. El pirata ató la cuerda a Z₃, caminó hasta Z₁ contando los pasos y realizó una rotación, en contra de las manecillas del reloj, de magnitud R₁= π/2, caminó una cantidad de pasos igual y clavó la estaca E₁, luego:

E₁= Z₃ e^{i π/2}= Z₃ (cos(π/2)+i sen(π/2))= i Z₃.

2.- Determinemos la posición de la segunda estaca E₂.  Razonando de forma análoga llegamos a que la posición de la segunda estaca E₂ (la rotación ahora es R₂= -π/2 ) es:

E₂=X+(Z₃-X) e^{-i π/2} = X+(Z₃-X) (cos(π/2)-i sen(π/2))=X-i (Z₃-X)=X(1+i)-i Z₃.

3.- Determinemos la posición del tesoro T. El tesoro fue enterrado en  el punto medio (T) del segmento que una las dos estacas (E₁y E₂), por tanto:

T=(E₁+E₂)/2=(X/2)+i (X/2).

Claroline una plataforma de gestion del aprendizaje

Claroline (CLAss ROom on LINE)  es un  sistema de gestión de aprendizaje (LMS), originalmente desarrollado en el IPM (Institut de Pédagogie universitaire et des multimedias de la  Universidad Católica de Louvain, Bélgica), actualmente es fruto de la colaboración entre varias instituciones y desarrolladores de distintas partes del mundo.

 Plataforma de aprendizaje y trabajo virtual (eLearning y eWorking) de licencia GNU/GPL, multiplataforma,  que permite a los profesores confeccionar cursos online y gestionar las actividades de aprendizaje y colaboración en la web. Traducido a 35 idiomas, Claroline tiene una gran comunidad de  usuarios en cientos de organizaciones de más de 90 países diferentes.

 La plataforma es adaptable y ofrece un entorno de trabajo flexible y ajustable. Proporciona una lista amplia de herramientas que permiten:

•     Escribir la descripción de un curso.
•     Publicar documentos en  formato texto, PDF, HTML, video, etc.
•     Administrar foros  públicos o privados.
•     Desarrollar caminos de aprendizaje.
•     Creación de grupos de estudiantes.
•     Preparar ejercicios online.
•     Administrar una agenda con tareas y fechas límites.
•     Publicar anuncios (también por e-mail).
•     Proponer tareas manejadas a través de la red.
•     Ver las estadísticas de la actividad de los usuarios.
•     Usar la herramienta wiki para escribir documentos en colaboración.

He utilizado este software en la docencia, durante casi toda la última década, en distintas universidades y plataformas. Al compararlo con otras alternativas que he utilizado, como Moodle o Dokeos, creo que está mejor adaptado a la gestión del aprendizaje, de uso  intuitivo, ágil y muy estable.

Larga vida al EIBPOA

Del 1 al 3 de Junio de 2011, se celebró el Primer Encuentro Iberoamericano de Polinomios Ortogonales y Aplicaciones en la Universidad Nacional de Colombia (sede Bogotá). Organizado por un grupo de jóvenes doctores egresado del Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática de la Universidad Carlos III de Madrid, entre los que destacan Herbert Dueñas, Luis Garza y Edmundo Huertas. La página del encuentro contiene enlaces a los documentos de los cursos y las charlas.

Agradezco profundamente a los organizadores la invitación a impartir uno de los cursos y poder constatar como la semilla sembrada en nuestro programa de doctorado ha geminado y se propaga por América. Asistieron varias decenas de jóvenes y otros tan solo un infinitésimo menos jóvenes, que mostraron gran interés en la temática y motivación para trabajar en ella.

Mis mejores deseos a los organizadores en su empeño crear un grupo de trabajo y un foro regional, que permita la interacción e intercambio de ideas entre investigadores, académicos y estudiantes que desarrollen su trabajo en el área de Polinomios Ortogonales. Tengo la grata impresión de haber asistido al nacimiento de una iniciativa que perdurará en el tiempo, larga vida a los Encuentros Iberoamericanos de Polinomios Ortogonales y Aplicaciones.

Surveys in Approximation Theory

Surveys in Approximation Theory (SAT), es una publicación periódica (desde 2005) de artículos gratuitos en formato electrónico sobre teoría de aproximación y áreas afines. Los surveys está dirigidos en particular a graduados en matemáticas y en general al personal interesado en la temática. Los surveys están  escritos por especialistas de reconocido prestigio, en un lenguaje accesible y orientados a introducir al lector en esta área, ofreciendo un estado del arte actualizado.

Lúnulas de Hipócrates

Hipócrates de Quios (aprox. 470 - 410 a. C.. a. C.), escribió una obra titulada Elementos para aglutinar todo el saber matemático de su época. Incluida en los libros primero y segundo de la colección que Euclides tituló con igual nombre. En ella la tendencia de abstracción y sistematización de la geometría encontró un fuerte impulso. Partiendo de un sistema de axiomas o verdades a priori, que tenían carácter intuitivo, utilizó por primera vez el conocido esquema Premisa-Teorema-Demostración. Introdujo la designación de figuras geométricas por letras y el método de demostración por el absurdo. Fue el primero en calcular áreas de regiones delimitadas por segmentos curvilíneos no rectos, en relación con el problema de la cuadratura del círculo.

Hipócrates demostró que la lúnula delimitada por los arcos  E y F que aparece en la figura, tiene la misma área que el triángulo ABO. La  demostración consiste en probar que  área de AFBOA (un cuarto de círculo) es igual en el área del semicírculo AEBDA. Restando la zona en forma de medialuna, AFBDA, de ambas, se tiene que el área del  triángulo ABO es área igual de la lunula AEBFA. El centro del círculo al que pertenece el  arco AEB es el punto D, que es el punto medio de la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles ABO. Por lo tanto el diámetro CA  del círculo más grande ABC es raíz de dos  por el diámetro del círculo más pequeño que contiene al  arco AEB. Entonces, el círculo más pequeño tiene la mitad del área del círculo más grande y en consecuencia el semicírculo delimitado por el arco AEB y el diámetro AB  tiene la misma área que el cuarto de círculo AFBOA.

"Sobre Espirales" de Arquímedes y el cálculo de tangentes

En "Sobre Espirales", Arquímedes define su espiral como composición de dos movimientos uniformes, uno rectilíneo y otro circular (Definición 1).

"Si una línea recta que permanece fija en un extremo, se la hace girar en el plano con velocidad constante y, al mismo tiempo, se mueve un punto sobre la recta con velocidad constante comenzando por el extremo fijo, el punto describe en el plano una espiral."

El libro contiene 28 proposiciones distribuidas de la manera siguiente: de la 1 a la 11 son resultados preliminares, de la 13 a la 20 se estudian las tangentes a la espiral y de la 21 a la 28 áreas delimitadas por segmentos de recta y trozos de la espiral. El objetivo del trabajo era el estudio de la espiral como medio para el cálculo del perímetro de la circunferencia y la resolución de  problemas clásico de la matemática griega como la cuadratura del círculo y la  trisección del ángulo. El siguiente problema (relacionado con la proposición 20) es un ejemplo del  talento creativo de Arquímedes y uno de los primeros antecedentes del cálculo diferencial.

 

Hallar la tangente a la espiral e en el punto A. 

1. El método consiste en encontrar la magnitud de la subtangente OC (determinar C).
2. El ángulo AOC es recto, consideremos ahora el triángulo diferencial ABD formado por el incremento en el radio vector (DB), el arco de circunferencia DA y el segmento AB de la tangente.
3. Los ángulos DAB y OCA son iguales, luego los triángulos DBA y AOC son aproximadamente semejantes.
4. Entonces OC/OA = DA/DB, es decir OC/ρ = ρ (Δθ/Δρ)  y por tanto OC = ρ².

Mecanismos de Tchebyshev

A mediados del siglo XIX, Chebyshev realizó un recorrido por varias factorías de construcción de maquinaria en distintos países de europa, interesándose especialmente por  las máquinas de vapor construidas por  James Watt. Dedicó mucha atención al perfeccionamiento del mecanismo, llamado paralelogramo de Watt, que convierte el movimiento circular en rectilíneo. Este mecanismo, fundamental en las máquinas de vapor, resultaba tan imperfecto que la varilla del pistón realizaba un recorrido curvilíneo en vez del rectilíneo deseado,  dando lugar a muchas fricciones que estropeaban las máquinas.  Chebyshev, mediante el desarrollo de los fundamentos de la teoría de polinomios ortogonales y la aproximación de funciones,  resuelve el paralelogramo de Watt y crea  fórmulas generales que permiten la resolución de diversos tipos de mecanismos y problemas.  Fue el creador de  más de 40 mecanismos y máquinas que asombraron a sus contemporáneos por su ingenio.   Además, realizó alrededor  de 80 modificaciones de los mismos.

El sitio Mechanisms by Tchebyshev está dedicado a conservar la memoria de todos aquellos ingenios mecánicos, que Tchebyshev ideó, mediante excelentes animaciones por ordenador, fotografías de sus implementaciones reales y grabados de la época.

Trilogía en Polinomios Ortogonales

Los tres libros que aparecen a continuación, realizados bajo en auspicio de la Escuela Venezolana de Matemáticas (EVM), constituyen una unidad temática sobre aspectos básicos y tendencias actuales en  la teoría de polinomios ortogonales, extensiones y aplicaciones. En ellos el lector encontrará los fundamentos de una de las áreas de la matemática aplicada más activas en las últimas décadas.

1. Polinomios Ortogonales.  Guillemo López Lagomasino y Héctor Pijeira Cabrera, IVIC-EVM, Caracas, 2001.
2. Ortogonalidad y Cuadraturas sobre la Circunferencia Unidad.  Pablo González Vera y  Leyla Daruis Luis, IVIC-EVM, Caracas, 2005. 
3. Polinomios Ortogonales no Estándar. Propiedades Algebraicas y Analíticas.  Francisco Marcellán Español y Yamilet Quintana, IVIC-EVM, Caracas, 2009.

Bibliografía OnLine sobre LaTeX

La  cantidad abrumadora de infromación en formato digital, que disponemos hoy en día, en ocaciones nos dificulta encontrar lo más adecuado a nuestro interés. Sobre la documentación en castellano para la composición de textos científicos con LaTeX  recomiendo utilizar, por usuarios de nivel básico o intermedio, los siguientes documentos:

1. La introducción no-tan-corta a LaTeX2e. Excelente manual de cabecera para LaTeX. Traducción de Carlos Carleos del The Not So Short Introduction to LaTeX2e, de Tobias Oetiker, Hubert Partl, Irene Hyna y Elisabeth Schlegl, apoyado en el Una descripción de LaTeX2e de Tomás Bautista. Es un documento de referencia libre en español para trabajar con LaTeX.
2. Edición de textos científicos LaTeX. Composición, Diseño Editorial, Gráficos, Inkscape, Tikz y Presentaciones Beamer. Texto de  Alexander Borbón  y Walter Mora. Manual actualizado sobre  aspectos básicos e intermedios de la  composición tipográfica LaTeX. Se desarrollan tópicos que tienen que ver con paquetes especiales. Los temas que se han incluido son los tópicos más frecuentes en la edición de libros y artículos sobre matemáticas.
3. The Comprehensive LaTeX Symbol List. La lista completa de símbolos en  LaTeX. Contiene  más de 5.900 comandos para los símbolos comúnmente disponibles en LaTeX. Algunos de estos símbolos están  disponible en todas las distribuciones de LaTeX, mientras que otros  requieren de los paquetes específicos que menciona el documento. Es un documento imprescindible para la composición de textos con LaTeX, disponible en inglés.

Formatos de documentos más comunes

PS (PostScript). Formato de documentos desarrollados en el lenguaje de descripción de páginas (PDL, page description language) PostScript, es un estándar para comunicarse con una impresora. También se utiliza  como formato de transporte de archivos gráficos, aunque suelen ser  de gran tamaño. Ghostscript es una implementación abierta de un intérprete del lenguaje PostScript y GSview un visor para dichos documentos.
El PostScript encapsulado, o EPS, es un formato de archivo gráfico. Un archivo EPS es un archivo PostScript con ciertas restricciones adicionales, para facilitar la inclusión del EPS dentro de otro documento PostScript. Como mínimo, un archivo EPS contiene un comentario BoundingBox (bordes de la caja), que describe  el rectángulo que contiene a la imagen.

DVI (DeVice Independent). Formato de archivo  utilizado como salida por  TeX(LaTeX).  Su nombre se debe a que el DVI está escrito en un lenguaje que puede ser leído independientemente  del dispositivo utilizado (impresora o software). Los archivos DVI contienen datos binarios que describen cómo debe mostrarse la página en la pantalla. Para poder leer o imprimir un archivo DVI, por lo general se utiliza un postprocesador para convertirlo en  archivos PDF o PS, o leerlos directamente utilizando un visor apropiado (como el YAP incluido en el MikTeX).

PDF (Portable Document Format), Es un formato de almacenamiento de documentos, desarrollado por la empresa Adobe Systems. Este formato es de tipo compuesto (imagen vectorial, mapa de bits y texto). Está especialmente ideado para documentos susceptibles de ser impresos (derivado de PostScript), ya que especifica toda la información necesaria para la presentación final del documento. Actualmente es el formato de archivo estándar para intercambio de información en formato digital. El lector por excelencia es el Adobe reader, pero actualmente posee varias alternativas como Sumatra PDF (con los sistemas TeX-LaTeX permitiendo realizar forward/inverse search)   y el Foxit Reader (muy ligero y rápido).

DjVu.  Formato de archivo diseñado para almacenar imágenes digitalizadas de alta calidad en un mínimo de espacio. Ha sido promovido como una alternativa al PDF, y en la actualidad supera a este en la mayoría de los documentos digitalizados mediante un escáner. Incorpora varias tecnologías  como separación de capas de imágenes, carga progresiva, codificación aritmética y compresión sin pérdida para imágenes bitonales (dos colores). Al igual que PDF, Djvu puede contener una capa de texto obtenida mediante un proceso de OCR (Optical Character Recognition), haciendo fácil las operaciones de copiado y pegado en otros documentos. Un visor de documentos DjVu muy difundido es el WinDjVu/MacDjVu.

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Evince es un visor de documentos, multiplataforma del proyecto GNOME, que también está disponible para Windows. Permite visualizar los formatos PDF, PostScript, DjVu, TIFF y DVI.

Catálogo de software CDLibre.org

CDlibre.org es un catálogo en linea, que recopila programas y enlaces a programas de libre distribución para windows desde 2003, creado por Bartolomé Sintes Marco. Dispone de un boletín semanal de libre suscripción, que informa sobre las  novedades y actualizaciones periódicas.  El catálogo contiene aplicaciones para realizar todo tipo de tareas con el ordenador, con enlaces a su página original y posibilidad de descargarlos directamente. Realiza recopilaciones mensuales en imágenes ISO de CDs y DVDs con software libre, totalmente gratuito y clasificadas  por áreas temáticas.

Descargar e instalar complete MiKTeX system

Descargar e instalar complete MiKTeX system, por diversas razones técnicas  o de inexperiencia suele ser una tarea ardua y tediosa. Normalmente el MiKTeX Net Installer de la versión correspondiente debía funcionar bien, pero en la práctica con frecuencia  se interrumpe la descarga-instalación  o se pierde paquetes que luego debemos reinstalar manualmente. Algo similar sucede con  Update del programa, una vez instalado.

Por la importancia que revisten los sistemas TeX (LaTeX) y su buen funcionamiento,  los que suelo hacer es crear un repositorio local en un dispositivo de almacenamiento temporal y actualizarlo periódicamente (una vez por semestre). En lo sucesivo cualquier instalación o actualización la realizo desde el repositorio local. Los pasos son los siguientes:

1.- Crear repositorio local del complete MikTeX system.

1.1- Crear una carpeta con el nombre MikTeX (o el que desee) en el dispositivo de almacenamiento (disco duro interno o externo, memoria USB, etc.). La instalación/actualización se ejecuta más rápido desde el duro interno.

1.2- Instalar un cliente de descargar FTP. Usualmente utilizo el cliente Filezilla (http://filezilla-project.org/) de la Fundación Mozilla, de excelentes prestaciones y bajo licencia GNU-GPL. Como Filezilla lo utilizo casi únicamente para actualizar mi repositorio local en la carpeta MikTeX, prefiero instalar la versión portable de FileZilla (http://portableapps.com/apps/internet/filezilla_portable) en el mismo dispositivo de almacenamiento temporal donde se encuentra el repositorio. de esa manera, no ocupa lugar en el ordenador y está disponible cuando lo necesito para estos menesteres.

1.3- Una vez instalado el Filezilla, abrirlo y colocar en Servidor: la dirección ftp://www.ctan.org/tex-archive/systems/win32/miktex/tm/packages/
u otra de equivalente de los mirros que pueden encontrarse en la página http://www.ctan.org/ . En mi experiencia la dirección sugerida es la que mejor funciona y corresponde al servidor central de la Comprehensive TeX Archive Network (CTAN).
Una vez introducida la dirección oprimir la tecla de entrada  (intro). En la panel superior de filezilla aparecerá el proceso de conexión y una vez realizada la conexión en el panel derecho aparecerá el contenido de la carpeta www.ctan.org/tex-archive/systems/win32/miktex/tm/packages/ del servidor ftp de CTAN.

1.4.- En el panel izquierdo del explorado de Filezilla localizar la carpeta local de nuestro repositorio (que hemos llamado MikteX). Marcar el contenido del panel izquierdo y arrastrar al panel derecho, donde se encuentra nuestra carpeta MikteX. Filezilla comenzará a descargar todos los componentes del complete MikTeX system a nuestro repositorio local.

1.5.- Cuando la operación anterior halla finalizado, subir dos niveles en la estructura de directorios del panel derecho (donde aparece el servidor CTAN), entrar en la carpeta setup y copiar a nuestro repositorio el programa de instalación. Por ejemplo en la versión actual se llama setup-2.9.3959.exe para widows de 32 bits y setup-2.9.4100-x64.exe para 64 bits (el número después de setup es el de la correspondiente versión). Note que en esa carpeta se encuentran además los instaladores de las versiones básica, portable y anteriores, pero usted solo necesita copiar el .exe que comience por setup y le acompañe en número de versión más reciente. Después de esta operación ya puede desconectarse del servidor (opción en la parte superior del menú) y cerrar el Filezilla.

2.- Instalar complete MikTeX system. Entrar en el repositorio local (carpeta Miktex) y ejecutar  el instalador, es decir el archivo  setup-*********.exe y seguir los pasos que indica.

3.- Actualizar el repositorio local de complete MikTeX system. Seguir los pasos 1.3 y 1.4, al comenzar a copiar Filezilla le preguntará si sobre escribe los archivos existente, marque la opción solo si el archivo de origen es más reciente y aplicar a todos. De esa forma actualiza su repositorio local. Para actualizar la versión instalada, seleccione Inicio>Todos los programas>Miktex xxx>Maintenance (Admin)>Update (Admin). Se abre la herramienta de actualización de MikTeX, seleccione I want to get updated packages from local package repository, seleccione la carpeta del repositorio local y siga los pasos que indica la herramienta.

Gráficos con Mayura Draw

Mayura Draw es un programa de ilustración vectorial intuitivo,  pequeño  y muy ligero.  La interface recuerda al paint de windows.
Es una herramienta muy fexible para la construcción de diagramas y gráficos como los contenidos en las publicaciones matemáticas. Cuenta con todas la opciones usuales para la creación y modificación de imágenes. Importa y exporta desde y hacia los formatos más comunes. En particular, permite crear archivos de imágenes en formato postscript encapsulado (EPS) compatibles con los utilizados por el sistema TeX (LaTeX) y derivados. Mayura Draw es un programa comercial poco conocido, de precio reducido y para plataformas MS Windows. Puede descargarse una versión shareware desde la página oficial.

TeXample.net galería de gráficos en LaTeX

TeXample.net es un repositorio de archivos  TeX (LaTeX) y sistemas derivados, creado y mantenido por Kjell Magne Fauske. Cuenta con una extensa galería de gráficos creados con los paquetes  PGF y TikZ, por usuarios de todo el mundo.  La galería tiene más de mil visitas diarias.

Los paquetes TikZ y PGF constituyen una herramienta  muy potente para crear gráficos en los documentos LaTeX. Múltiples ejemplos que ilustran su potencia se puede encontrar en TeXamples.net, además del código fuente para generarlos.

The PracTeX Journal (TPJ)

The PracTeX Journal (TPJ) es una publicación electrónica periódica  patrocinada por el TeX Users Group (TUG), que se dedicada al intercambio de experiencias prácticas en el uso de TeX, LaTeX y otros sistemas derivados.  Se considera un complemento de la publicación impresa TUGboat del TUG. Actualmente ha perdido regularidad en su publicación, no obstante algunos de sus artículos continúan siendo una buena referencia para la realización de presentaciones, posters, tesis, memorias, etc. A continuación aparece una lista de artículos publicados en  el TPJ, que considero de gran ayuda:

Destacado.

1. The MathTimeProfessional Fonts Or, How I Wasted the Last Twenty Years of my Life,  Mike Spivak.
2. A Survey of Free Math Fonts for TeX and LaTeX, Stephen Hartke.

Escribiendo

1. Writing posters in LaTeX, Tomas Morales de Luna.
2. Using LaTeX for writing a thesis, Vishal Kumar.
3. Writing a thesis with LaTeX, Lapo Mori.
4. Writing the curriculum vitæ with LaTeX, Lapo Mori and Maurizio Himmelmann.
5. Beamer by Example, Andrew Mertz and William Slough.
6. Scientific Presentations with LaTeX, Marius Hofert and Markus Kohm.
7. Writing your dissertation using LaTeX, Keith Jones. 
8. A new package for conference proceedings, Vincent Verfaille. 

Gráficos

1. Strategies for including graphics in LaTeX documents, Klaus Hoeppner.
2. Graphics in LaTeX, Claudio Beccari.
3. Graphics with PGF and TikZ, Andrew Mertz and William Slough.
4. Useful Vector Graphic Tools for LaTeX Users, Tomas Morales de Luna.

Referencias.

1. Managing Citations and Your Bibliography with BibTeX, Jürgen Fenn. 
2. LaTeX and the different bibliography styles, Federico Garcia.

Gráficos con Inkscape

Inkscape es un editor de gráficos vectoriales de licencia GNU GPL, con capacidades similares a Illustrator, Freehand, CorelDraw o Xara X, usando el estándar de la W3C: el formato de archivo Scalable Vector Graphics (SVG). Las características soportadas incluyen: formas, trazos, texto, marcadores, clones, mezclas de canales alfa, transformaciones, gradientes, patrones y agrupamientos. Inkscape también soporta meta-datos Creative Commons, edición de nodos, capas, operaciones complejas con trazos, vectorización de archivos gráficos, texto en trazos, alineación de textos, edición de XML directo y mucho más. Puede importar formatos como Postscript, EPS, JPEG, PNG, y TIFF y exporta PNG asi como muchos formatos basados en vectores.
El objetivo principal de Inkscape es crear una herramienta de dibujo potente y cómoda, totalmente compatible con los estándares XML, SVG y CSS. También queremos mantener una próspera comunidad de usuarios y desarrolladores usando un sistema de desarrollo abierto y orientado a las comunidades, y estando seguros de que Inkscape sea fácil de aprender, de usar y de mejorar.
 Inkscape es la herramienta adecuada para crear y procesar gráficos e ilustraciones en  formato EPS u otros, con el objetivo de incorporarlos em documentos matemáticos.

Scilab

Scilab es un software de análisis numérico (NAS) multiplataforma y bajo licencia CeCILL (GPL compatible)  Su base esta formada por un  interprete  por cientos de rutinas de calculo matricial, análisis numérico y visualización gráfica. Al igual que GNU Octave su equivalente comercial es Matlab.

Scilab  fue desarrollado inicialmente por INRIA (Institut National de Recherche en Informatique et Automatique) y la ENPC (École Nationale des Ponts et Chaussées) desde 1990. Posee numerosas herramientas para: gráficos 2-D y 3-D, animación, álgebra lineal, matrices dispersas, Polinomios y funciones racionales, Simulación: programas de resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales (explícitas e implícitas), Xcos: simulador por diagramas en bloque de sistemas dinámicos híbridos, Control clásico, robusto, optimización LMI, Optimización diferenciable y no diferenciable, tratamiento de señales, grafos y redes, Scilab paralelo empleando PVM, estadísticas, creación de GUIs, interfaz con el cálculo simbólico (Maple, MuPAD) e interfaz con TCL/TK.

GNU Octave

GNU Octave es un software de análisis numérico (NAS) provisto de un lenguaje de alto nivel orientado cálculo numérico escrito en C++ usando la biblioteca STL, multiplataforma  y con licencia GNU GPL. Posee una interfaz orientada a la línea de comandos (consola), que permite la resolución de problemas numéricos. Octave nació alrededor del año 1988, y fue concebido originalmente para ser usado en un curso de diseño de reactores químicos para los alumnos de Ingeniería Química de la Universidad de Texas y la Universidad de Wisconsin-Madison. Posteriormente en el año 1992, se decide extenderlo y comienza su desarrollo a cargo de John W. Eaton. El nombre surge del nombre de un profesor de unos de los autores conocido por sus buenas aproximaciones por medio de cálculos mentales a problemas numéricos.

Octave posee una gran cantidad de herramientas que permiten resolver problemas de álgebra lineal, cálculo de raíces de ecuaciones no lineales, integración de funciones ordinarias, manipulación de polinomios, integración de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales algebraicas. Sus funciones también se pueden extender mediante funciones definidas por el usuario escritas en el lenguaje propio de Octave o usando módulos  escritos en lenguajes como C, C++ y Fortran entre otros. Posee un intérprete de su propio lenguaje, con sintaxis similar a Matlab (considerado su equivalente propietario).

Breve historia del Sistemas de Álgebra Computacional MAXIMA

Maxima-CAS es un sistema de algebra computacional (CAS, del inglés Computer Algebra System)  para la manipulación de expresiones simbólicas y numéricas,  incluyendo diferenciación, integración, series de Taylor, transformadas de Laplace, ecuaciones diferenciales ordinarias, sistemas de ecuaciones lineales,  polinomios, conjuntos, listas, vectores, matrices, tensores, etc. Maxima ofrece resultados numéricos de alta precisión mediante el uso de fracciones exactas, así como números enteros de precisión arbitraria y números de coma flotante. Maxima puede trazar funciones y datos en dos y tres dimensiones, así como animaciones.

El programa original se llamó Macsyma (Machine Aided Cognition's SYmbolic MAnipulator) y tuvo su nacimiento en el Proyecto MAC del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT) que funcionó entre 1967 y 1982. El Proyecto MAC fue un proyecto de investigación del MIT, patrocinado por la ARPA (Advanced Research Projects Agency), el Departamento de Defensa, el Departamento de Energía (DOE), así como algunos contribuyentes industriales. El proyecto se apoyó los esfuerzos previos de un equipo de investigadores pertenecientes al llamado "Grupo Mathlab", que ya estaban estudiando la posibilidad de emplear los ordenadores para resolver problemas matemáticos simbólicos, un desafío que en ese momento nunca había sido emprendido.

El diseño original del núcleo fue hecho por William A. Martin (1938-1981), Carl Engelman (1938-1983) y Joel Moses (1941-) en julio de 1968. Más adelante los dos primeros abandonaron sus aportaciones, siendo J. Moses el principal impulsor. La codificación comenzó en julio de 1969 con partes significativas del sistema que fueron diseñadas y programadas por P. Loewe, T. Williams, R. Fateman, E. Tsiang, P. Wang y J. Golden, entre otros.

Joel Moses trabajando sobre el procesador central y consola del ordenador DEC PDP-10, donde se instaló la primera versión de Macsyma. Portada del manual de Macsyma, versión 9 de 1977. Vista general del DEC PDP-10.

Macsyma y su descendiente Maxima están programados en Lisp (LISt Processing) lenguaje de programación de alto nivel, creado originalmente en 1958 por John McCarthy (1927-2011) y sus colaboradores en el MIT. Macsyma es considerado uno de los primeros sistemas expertos, que trabaja con información simbólica tanto de entrada como de salida de datos y es un programa potente.

El desarrollo del programa se realizó para el ordenador Programmed Data Processor model 10 (PDP-10), desarrollado por la empresa Digital Equipment Corporation (DEC), El PDP-10 funcionaba con el sistema operativo ITS (Incompatible Timesharing System) que fue uno de los sistema operativo más revolucionarios e influyentes en los primeros tiempos de los ordenadores y se desarrolló en el Laboratorio de Inteligencia Artificial del MIT. En sus primeros años Macsyma funcionó solamente en esta máquina y se podía acceder de forma remota desde Arpanet, un precursor de Internet y World Wide Web.

A medida que el software crecía en alcance y habilidad, el interés general que despertó condujo a portar el código, es decir, adaptar la versión escrita para el ITS de la PDP-10 a otras máquinas y sistemas operativos.

En 1982 el MIT transfiere una copia de Macsyma a la empresa Symbolics Inc. para su explotación económica, convirtiendo el código en propietario, Symbolics lo adquirió pensando más en evitar que el software pudiese ser explotado por competidores que en la propia obtención de un beneficio relevante gracias a su explotación. Otra copia se entregó al DOE (uno de los patrocinadores del Proyecto MAC) y esta versión se conoció como DOE-Macsyima.

En 1992 la copia de Symbolics Inc. es adquirida por Macsyma Inc para ser comercializado, pero fue perdiendo popularidad ante otros programas comerciales como Maple o Mathematica.

Paralelamente, desde el año 1982, y hasta su fallecimiento, William Schelter (1947-2001) en la Universidad de Texas mantuvo una versión del DOE-Macsyima a la que llamó Maxima y adaptó al estándar Common Lisp (dialecto de Lisp de propósito general), En 1998 Schelter obtuvo permiso del DOE para distribuir Maxima bajo la licencia GNU-GPL  y con ello relanzó el software, justo coincidiendo con la debacle de la versión comercial.

En la actualidad, el proyecto es un programa mantenido por un grupo de desarrolladores de varios países, que lo mejoran continuamente. Maxima es el único sistema basado en Macsyma que está todavía disponible públicamente y con una comunidad activa de usuarios, gracias a la naturaleza del software abierto.

Uno de los principales inconvenientes de Maxima para el usuario final, es que contaba con una consola de texto como interfaz de usuario. Pero con el tiempo han aparecido distintos entornos de trabajo que facilitan la interacción con el usuario, siendo wxMaxima el más popular. Esta es una interfaz gráfica desarrollada por Andrej Vodopivec, que es la que emplearemos y sobre la que profundizaremos a lo largo del curso. Otras interfaces son xMaxima y TeXmacs, pero también existen servidores de internet que permiten probar y ejecutar Maxima sin necesidad de instalarlo.

Logos de distintas versiones de Macsyma y Maxima.

¿Por qué utilizar Maxima-CAS en la enseñanza?

Lo primero que debemos comprobar para la utilización de un software matemático en la enseñanza, es si sus funcionalidades son adecuadas para los contenidos que se impartirán. En tal sentido sabemos que Maxima es capaz de:

• manipular expresiones simbólicas y/o numéricas, realizando diferentes tipos de simplificaciones, factorizaciones o desarrollos.
• realizar una amplia gama de operaciones matemáticas como diferenciación, integración, desarrollos en series, transformadas, resolución de ecuaciones algebraicas o diferenciales ordinarias, sistemas de ecuaciones lineales, operaciones con vectores, matrices y tensores, entre otras.
• producir resultados de alta precisión usando fracciones exactas, números enteros de precisión arbitraria y números de coma flotante con precisión variable.
• representar gráficamente funciones y datos en dos y tres dimensiones.
• generar código en otros lenguajes de programación, como Fortran.

Recordemos que hay muchos otros programas que cumplen con estos requisitos como: Mathematica (© Wolfram Research), Maple (© Maplesoft), MatLab (© MathWorks) o MathCad (© Parametric Technology Corporation). Uno de los grandes problemas de los programas contenidos en el listado anterior es el elevado coste de las licencias, que además no permiten distribuirlo a los estudiantes, solo podemos utilizarlo en laboratorios de informática.

También existen alternativas de software libre que cumplen con las funcionalidades antes mencionadas sin llegar al nivel en que están implementadas en Maxima o simplemente lo incorporan como motor de cálculos simbólicos. Siendo este el caso de SageMath (http://www.sagemath.org/), que es un CAS construido sobre paquetes matemáticos ya contrastados como NumPy, Sympy, PARI/GP o Maxima, que combina a través de un lenguaje común basado en Python. SageMath es apropiado para titulaciones de matemáticas, pero en las restantes es de propósito muy general y en ocasiones lento sobre MS-Windows.

Las características que hacen especial a Maxima para el proceso de enseñanza/aprendizaje, en particular para las ingenierías, son las siguientes:

Licencia GPL:

Maxima es distribuido bajo la licencia GNU-GPL, que se puede consultar en la página https://sourceforge.net/p/maxima/code/ci/master/tree/COPYING.

En consecuencia se tiene libertad para utilizarlo, libertad para modificarlo y adaptarlo a sus propias necesidades, libertad para distribuirlo, libertad para estudiarlo y aprender su funcionamiento. Esto significa que tanto profesores como alumnos pueden disponer de versiones con todas las funcionalidades en sus ordenadores personales, facilitando el aprendizaje autónomo de los estudiantes.

Repositorio online:

El repositorio de versiones de Maxima está disponible en la web https://sourceforge.net/projects/maxima/files/ de SourceForge, una central de desarrollos de software que controla y gestiona varios proyectos de software libre y actúa como un repositorio de código fuente y compilado para el usuario final.

Existe una amplia documentación, disponible en formato electrónico y de libre acceso en la Web http://maxima.sourceforge.net/es/documentation.html. Además, el estudiante dispone de acceso a múltiples aplicaciones desarrolladas por la comunidad de usuarios en la Web http://maxima.sourceforge.net/es/3rdpartycode.html.

Bajo consumo de recursos:

poca ocupación de disco y posibilidad de funcionar con procesadores anticuados.

Estabilidad de versiones:

Actualización frecuente del código, corrigiendo los bugs y mejorando la documentación. Se mantienen las características básicas durante el mayor tiempo posible, de forma que los manuales y materiales docentes tengan un tiempo razonable de vigencia. Constantemente se actualiza Maxima, corrigiendo bugs y mejorando el código y la documentación.

Multiplataforma:

Maxima es un software multiplataforma, incluyendo versiones para los sistemas operativos Windows, Linux, MacOS X y Android. Además posee versiones portables para ejecutar desde dispositivos como las memorias USB desde MS-Windows. También está disponible el código fuente para ser modificado y/o recompilado por los usuarios. La página http://maxima.cesga.es/ implementa Maxima para su uso desde Internet y está soportada por la Fundación Pública Galega Centro Tecnolóxico de Supercomputación de Galicia (CESGA).

Descargar Maxima-CAS y documentación

Descargar Maxima para:

Windows, Linux o MacOS X:

Conectarse a la web https://sourceforge.net/projects/maxima/files/ de SourceForge, seleccionar el sistema operativo de nuestro ordenador y pasar directamente a la página de versiones. Nosotros aquí nos focalizaremos en las versiones para MS-Windows. Normalmente hay dos versiones, una para ordenadores con sistema operativo de 64 bits y otra para 32 bits; si tiene duda, escoja la de 32 bits para ordenadores antiguos. Ocasionalmente en algunas versiones solo hay un programa de instalación en la correspondiente carpeta del repositorio.

Android:

La versión de Maxima para teléfonos móviles con sistema operativo Android se puede descargar desde el repositorio de Google Play o la Web Maxima on Android (https://play.google.com/store/apps/details?id=jp.yhonda).

Versión portable:

La versión portable de Maxima para ejecutar en MS-Windows desde dispositivos de almacenamiento externos, como las memorias USB, está disponible en versión de prueba en el enlace http://portableapps.com/node/23391.

Descargar libros y manuales:

• Breve Manual de MAXIMA, Robert Ipanaqué. Excelente manual de iniciación. 
• Manual de Referencia. 
• Repositorio de documentación en español.

Configuración del WinEdt

Algunas configuraciones especiales del Winedt para mejorar el entorno de trabajo en LaTeX:

1.- Diccionario Español, versión original de su creador Juan Luis Varona. Para instalar el diccionario español:

• Creamos el directorio "es" dentro del directorio "Dict" y descomprimimos en él el Zip que contiene el diccionario.
• Entramos en "Dictionary" del menú "Options" y nos quedamos en la pestaña que sale, "Dictionaries". Pulsamos el botón derecho y seleccionamos "Insert", como nombre podemos poner "Español", pulsamos nuevamente el botón derecho y seleccionamos "Browse", nos sale la típica ventana de Windows de abrir archivo, buscamos "ES.dic" y lo seleccionamos (debe estar en C:\Archivos de programa\WinEdt\Dict\es).
• Marcamos las casillas "Enabled", "Load On Start", "Save On Exit" y "Use for Completion", pulsamos "OK" y listo.
• Sal y entra del programa para que se active, o antes de pulsar "OK" selecciona "Load" en el menú que aparece al pulsar el botón derecho.
• Cada vez que se entra en el programa el diccionario se carga automáticamente por lo que tardará unos segundos más en hacerlo.
• Si sólo escribes en castellano puedes desactivar el diccionario de inglés, para ello selecciona el diccionario "English (Default)" y desmarca la casilla "Enabled".

2.- Repositorio de utilidades para Winedt desarrolladas por la comunidad de usuarios.

3.- Escribir "/" con solo presionar la tecla "º" sin necesidad de presionar simultaneamente "Alt Gr" . Seleccionar Options > Setting > Translations > Keyboard, marcar la casilla Enable for:, escribir en la casilla derecha tex y debajo el texto "o" -> "\", finalmente marcar la casilla After Strings.

4.- Al presionar las teclas o combinaciones de teclas para escribir ñ, caracteres acentuados o especiales aparezca en pantalla el corresponciente código Latex. Seleccionar Options > Setting > Translations > Keyboard y en la casilla debajo de enable for copiar el contenido del fichero WinEdt Translations , Al igual que en el item anterior deben estar marcada la casilla Enable for:, escribir en la casilla derecha tex y marcar la casilla After Strings.

5.- Al escribir "\begin{algo}" aparezca automáticamente el "\end{algo}" o al escribir llaves, corchetes, paréntesis u otros signos de agrupación de apertura aparezca automáticamente el signo de cierre Seleccionar . Options > Setting > Active Strings, en la columna izquierda seleccionar el símbolo o cadena de símbolos de apertura, marcar las casillas On Type y Dbl-Clik.

6.- Asociar algunas acciones frecuentes a teclas de poco uso en WinEdt, por ejemplo compilar LaTeX con la tecla TAB o visualizar el fichero DVI con la tecla ESC. Seleccionar Options > Menu Setup doble click sobre &Accessories selecionar la acción a automatizar (por ejemplo &LaTeX) ir a la casilla Shortcut en el boton derecho selecionar primero Erase y después More Keys.., en esta última sobre la ventana superior izquierda utilizando los botones disponibles escribir la tecla o combinación de teclas deseada (por ejemplo Tab).

LaTeX sobre memoria USB

La instalación de una distribución LATEX (MikTeX),  Gostscript,  Ghostview, un editor (como TeXMaker) y su configuración, resulta complejo a los usuarios. Por otro lado, a menudo les resulta frustrante no poder trabajar en otros ordenadores más que en el propio, por ejemplo cuando asistimos a un congreso sin nuestro ordenador personal.

Por lo anterior resulta oportuno disponer de una instalación operativa sobre un dispositivo extraíble (como una memoria USB) que nos permita ejecutar desde el mismo un entrono de trabajo LATEX familiar. La solución es instalar en nuestra memoria USB una distribución portable de LeTeX para sistemas Windows.

USBTeX contiene los instaladores de los siguientes programas:

- MiKTeX  version portable
- Ghostscript
- Ghostview 
- SumatraPDF (alternativa libre al Adobe Reader)
- Texmaker    (alternativa libre al WinEdt)

Como instalar 

No son necesarios permisos de administrador, por lo que el software se puede usar en cualquier sesión de usuario normal en Windows. Usualmente es software sobre memorias USB se ejecuta más lento, por ello es recomendado instalarlo en una memoria USB-2.0 o superior.

TeXmaker

Texmaker es un editor  multiplataforma  para código LaTeX con licencia GPL.  Conforma un entorno de trabajo integrado altamente configurable, con múltiples utilidades para la edición de textos científicos en LaTeX y su conversión a diversos formatos. Posee una versión portable para instalal en dispositivos de almacenamiento de información como memorias USD, CD, etc. Sin dudas la mejor alternativa  al tradicional editor propietario Winedt u otros.