Infinito potencial vs. infinito actual

Carrera potencialmente sin fin del motorista

Desde que Anaximandro (c. 610 a.C..-c. 546 a.C.), discípulo de Tales de Mileto, introdujo el concepto de lo ilimitado, el infinito ha ocupado un lugar central en la historia de las matemáticas y de la filosofía. Desde la Antigüedad griega se estableció una distinción fundamental entre el infinito potencial y el infinito actual, diferencia que condicionó el desarrollo del pensamiento matemático clásico y que solo fue superada plenamente en la matemática moderna, tras la obra de Georg Cantor (1845-1918). Esencialmente el infinito potencial es una posibilidad de crecimiento sin límites (es un proceso nunca concluido), mientras que el infinito actual es un objeto, un conjunto o una totalidad completa en si misma.

El infinito potencial y el infinito actual representan dos formas distintas de concebir el infinito en matemáticas. Mientras el primero dominó el pensamiento antiguo y medieval, el segundo se convirtió en un pilar indispensable de la matemática moderna. La comprensión de esta distinción es clave para entender tanto las paradojas antiguas como los fundamentos actuales del análisis matemático. 

El infinito potencial

El infinito potencial se entiende como un proceso que nunca se completa, pero que puede prolongarse indefinidamente. No existe como una totalidad acabada, sino como una posibilidad siempre abierta. Esta concepción fue aceptada por Aristóteles y dominó la matemática griega clásica.

En el infinito potencial, en cada momento solo existe una cantidad finita, aunque siempre sea posible ir más allá. El infinito no está dado, sino que se manifiesta en la posibilidad de continuar, es el ``siempre se puede uno más''.

Ejemplos

1. La sucesión de los números naturales: 1, 2, 3, 4, .... No existe un último número natural, pero en cada paso solo se considera un conjunto finito de números.Los números son potencialmente infinitos porque siempre puedes sumar uno más, pero nunca tienes ``todos'' los números en la mano al mismo tiempo.
2. La división de un segmento: 1 → 1/2 → 1/4 → 1/8 → ... El segmento puede dividirse indefinidamente, pero nunca se obtiene una colección infinita de partes al mismo tiempo.

El infinito actual

El infinito actual concibe el infinito como una totalidad completa y existente. En este caso, el infinito no es solo una posibilidad, sino un objeto matemático sobre el que se puede razonar como un todo, es el ``todo completo ahora''. Esta concepción fue rechazada por Aristóteles, pero es fundamental en la matemática moderna.

Ejemplos. 

1. El conjunto de los números naturales: ℕ = {1, 2, 3, 4, ...}. Aquí el conjunto infinito es considerado como un objeto dado que contiene simultáneamente infinitos elementos. Ya están todos ahí, no hace falta ``ir contándolos''.
2.  Las  series infinitas, como: $$\sum_{n=1}^{\infty} (1/2)^n =1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + (1/2)^n+ ... = 1.$$ En este caso, la suma infinita es tratada como una totalidad con un valor finito, lo cual solo es posible aceptando el infinito actual.

El Hotel de Hilbert

Hilbert propuso este ejemplo precisamente para defender las matemáticas de Georg Cantor, quien fue el primero en tratar el infinito como una entidad completa con la que se puede operar matemáticamente. El ejemplo en detalle se puede ver en el post El Hotel de Hilbert de este blog.

Antes de ellos, la mayoría de matemáticos solo aceptaban el infinito potencial. Hilbert usó el hotel para demostrar que, aunque el infinito actual genera resultados que parecen absurdos a nuestra intuición humana (como 1 + ∞ = ∞), es lógicamente consistente y no tiene contradicciones internas.

El experimento mental de Hilbert requiere que el infinito sea actual por una razón mecánica fundamental de la paradoja:

1. El hotel ya está construido: No es un hotel al que le están agregando habitaciones constantemente (eso sería potencial). El hotel tiene infinitas habitaciones y están todas ahí simultáneamente.
2. La simultaneidad de las acciones: Cuando llega un nuevo huésped y el gerente dice:

   “Que todos los huéspedes de la habitación n se muevan a la n+1”

   Esa acción ocurre de golpe.
   • Si fuera infinito potencial, nunca terminarías de mover a los huéspedes (el huésped 1 espera al 2, el 2 al 3, etc., en una cadena eterna).
   • Para que la paradoja funcione, debes ser capaz de manipular la totalidad del conjunto infinito como una sola cosa completa. 

    

"El infinito, como ninguna otra cuestión, ha conmovido siempre tan profundamente el alma de los hombres; el infinito, como ninguna otra idea, ha estimulado y fecundado tan provechosamente la razón; pero también el infinito, más que ningún otro concepto, necesita ser aclarado."

David Hilbert (Sobre el infinito, 1925) 

  

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