Álgebra Geométrica

Pitágoras de Samos(580-520 a. C.) y sus seguidores (los pitagóricos) realizaron aportes significativos en Matemáticas, Astronomía y Música. Partiendo de la recopilación de hechos concretos que tenían como base los problemas prácticos relacionados con la necesidad de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas, lograron producir resultados abstractos que unieron en sistemas teóricos. La Aritmética, como conjunto de conocimientos relacionados con las propiedades generales de las operaciones con números naturales se fue separando como una rama independiente y sometieron la Geometría a un proceso de abstracción y sistematización.

El descubrimiento de la existencia de irracionales mediante la imposibilidad de expresar la diagonal de un cuadrado como múltiplo y/o parte de sus lados les indujo a considerar que existen más segmentos que números. Para dar respuesta a la necesidad de una teoría que abarca magnitudes racionales e irracionales crearon un método de cálculo geométrico general conocido como Álgebra Geométrica. Así la suma era interpretada como adición de segmentos, el producto de a por b como rectángulo de lados a y b, etc.

El Álgebra Geométrica alcanzó su máximo esplendor en Elementos de Euclides de Alejandría (365-300 a. C.) y Cónicas de Apolonio de Perga (247-205 a. C.), con la restricción a la regla y el compás como únicos medios auxiliares posibles en las construcciones geométricas. En correspondencia con el ideal de recta y circulo como perfección de lo recto y lo curvo, según Platon (427-348 a. C.). Bajo este método de cálculo geométrico la resolución de ecuaciones cuadráticas fue vista como problema de anexión de áreas y las identidades algebraicas como conjunto de posiciones geométricas, según muestran los siguientes ejemplos:

I.- Método de anexión de áreas para la resolución de la ecuación lineal α.β = δ .x.

1. Construimos el rectángulo ABOH de lados α y β.
2. Anexamos el BCDO de lados α y δ.
3. Se prolongan la diagonal de BCDO y el lado AH hasta su intersección en G.
4. Con G construimos el rectángulo DEFO, cuyo lado DE es la solución.

II.- Solución de la ecuación x² + β² =2 α x. 

1. Trazamos el segmento OA de longitud α.
2. Por uno de los extremos de OA se traza perpendicularmente el segmento OB de longitud β.
3. Tomando el compás con abertura α, apoyados en B se determina el punto C.
4. La solución de la ecuación es el segmento CA.

Nota: Por el teorema de Pitágoras (α-x)² + β² = α² , lo que es equivalente a la ecuación original.

El tesoro del pirata

 Es frecuente que la introducción de los números complejos comience por la conocida frase del matemático francés Jacques Hadamard (1865-1963):

"El camino más corto entre dos verdades del campo real pasa con frecuencia por el campo complejo".

La frase, en principio resulta incomprensible para el estudiante novato. El tesoro del pirata es uno de los  problemas elementales más originales y hermosos para ilustrar la afirmación. La autoría del problema corresponde  al físico y astrónomo ucraniano George Gamow (1904-1968) y aparece en su libro de divulgación científica One Two Three ... Infinity: Facts and Speculations of Science (1947, pág. 35-37). 

 

El problema del tesoro del pirata que enunciamos a continuación es una variación del original de Gamow. 

 Se ha encontrado  un documento antiguo,  con las instrucciones de donde fue enterrado  el  tesoro del pirata. El contenido es el siguiente:

Navega hasta los ... latitud norte y los ... de longitud oeste, allí encontrarás una isla, y un prado. En el prado hay un roble, una palmera y una horca. Camina de la horca al roble  contando los pasos. Al llegar al roble, gira a la izquierda en ángulo recto, da el mismo número de pasos y clava una estaca. Regresa a la horca, camina ahora en dirección a la palmera, contando el número de pasos. Al llegar a la palmera, gira a la derecha en ángulo recto, camina el mismo número de pasos y clava otra estaca. Finalmente, une ambas estacas con una cuerda y en el punto medio entre ellas es donde está enterrado el tesoro.

Siguiendo las instrucciones, se ha encontrado la isla, el prado, el roble y la palmera. Pero había transcurrido demasiado tiempo  y de la horca no quedaba rastro alguno.    

¿Puedes  encontrar el tesoro? 

 Solución:

Consideremos la recta que pasa por Z_{1 y} Z₂  como el eje real del plano complejo con origen de coordenadas  O en  Z₁. En consecuencia, la perpendicular trazada por O será el eje imaginario. Los únicos datos que poseemos son  Z₁ y Z₂ , que en el plano descrito serán Z₁=0 y Z₂=X.

 De acuerdo al procedimiento empleado para enterrar el tesoro, sabemos que inicialmente existía una horca en un punto del plano Z₃ que desconocemos donde se encuentra.

 1.- Determinemos la posición de la primera estaca E₁. El pirata ató la cuerda a Z₃, caminó hasta Z₁ contando los pasos y realizó una rotación, en contra de las manecillas del reloj, de magnitud R₁= π/2, caminó una cantidad de pasos igual y clavó la estaca E₁, luego:

E₁= Z₃ e^{i π/2}= Z₃ (cos(π/2)+i sen(π/2))= i Z₃.

2.- Determinemos la posición de la segunda estaca E₂.  Razonando de forma análoga llegamos a que la posición de la segunda estaca E₂ (la rotación ahora es R₂= -π/2 ) es:

E₂=X+(Z₃-X) e^{-i π/2} = X+(Z₃-X) (cos(π/2)-i sen(π/2))=X-i (Z₃-X)=X(1+i)-i Z₃.

3.- Determinemos la posición del tesoro T. El tesoro fue enterrado en  el punto medio (T) del segmento que una las dos estacas (E₁y E₂), por tanto:

T=(E₁+E₂)/2=(X/2)+i (X/2).