Durante los siglos XV y XVI se desarrolló en Europa el periodo de transición entre la Edad Media y la Edad Moderna conocido como el Renacimiento. Este tiempo marca el inicio de una nueva forma de organización social basada en estados nacionales centralizados y una economía mercantil y preindustrial, surgida como consecuencia de diversos adelantos tecnológicos.
La principal línea de avance matemático se gestó en las crecientes ciudades mercantiles, bajo la influencia directa del comercio, la navegación, la astronomía y la topografía. Bajo este influjo, las matemáticas se desarrollaron inicialmente en dos direcciones fundamentales:
- Por un lado, las relaciones comerciales impulsaron la necesidad de perfeccionar los procedimientos de cálculo y el simbolismo algebraico, sentando las bases del álgebra moderna.
- Por otro lado, los avances en trigonometría fueron una consecuencia directa de la búsqueda de nuevas y mejores rutas comerciales. La necesidad de una navegación de altura (alejada de las costas) precisaba de conocimientos astronómicos rigurosos para la orientación en mar abierto.
El impacto en las matemáticas fue tal, que en un breve período de tiempo la trigonometría se separó de la astronomía, se constituyo en un sistema de conocimientos independiente y prácticamente con los componentes que la conforman actualmente. Bajo estos nuevos conocimientos, fue posible la navegación lejos de las costas y en consecuencia el descubrimiento de América (1492), al primer viaje marítimo alrededor de Africa (1492) y alrededor del mundo (1519).
El nombre propio más relevante de la trigonometría en este periodo fue Johannes Müller, conocido como Regiomontanus (traducción al latín de Königsberg, su ciudad natal). Su tratado "De triangulis omnimodis" (triángulos de cualquier género), escrito en 1464 e impreso póstumamente en 1533, influyó notablemente en el desarrollo posterior de esta disciplina. La obra constaba de cinco libros, en el primero da las definiciones básicas y algunos axiomas que serán la base de los 56 teoremas que enunciará. En el segundo de los libros establece la Ley del seno y la emplea en la resolución de problemas. Los libros III, IV y V tratan de trigonometría esférica. Esta obra representó una introducción completa a la materia, cuya principal diferencia con los tratados actuales radica en la ausencia de una notación simbólica adecuada. Asimismo, Regiomontanus destacó por el cálculo de tablas trigonométricas de alta precisión, esenciales para los cálculos científicos de la época.
A finales del siglo XVI y principios del XVII, los astrónomos y navegantes se enfrentaron a una crisis de eficiencia en el cálculo: la precisión requerida por las nuevas observaciones astronómicas obligaba a trabajar con números de muchos dígitos, convirtiendo las multiplicaciones y divisiones en procesos extremadamente lentos y propensos al error humano. En un mundo sin medios mecánicos ni la existencia de los logaritmos (que no se popularizarían hasta después de 1614), surgió la necesidad de la próstaféresis.
Se llama prostaféresis de aproximar la multiplicación y división de números mediante identidades trigonométricas. Durante el cuarto de siglo que precedió a la introducción del los logaritmos, la prostaféresis fue el único método conocido y aplicable a gran escala para aproximar rápidamente un producto de grandes números. El término prostaféresis, proviene de las palabras griegas prosthesis (adicción) y aphairesis (sustracción), dos de los pasos del proceso.
Al parecer fue el astrónomo egipcio Ibn Yunus (950-1009), fue el primero en encontrar y emplear en cálculos astronómicos, la identidad trigonométrica:
$$ 2 \cos \left(\alpha\right) \cos \left(\beta\right) = \cos (\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta).\qquad (*)$$
Veamos un ejemplo de cálculo prostaferético, calculando aproximadamente en producto entre 951 y 342:
- Escalar a [-1,1]. Dividir ambos números por 1000 para desplazar la coma decimal tres lugares a la izquierda. Nos quedan -1<0,951<1 y -1<0,342<1.
- Calcular Arcocosenos. Con una tabla se calcula $$\alpha=\arccos(0,342)\approx 70^{\circ}, \qquad \beta=\arccos(0,951)\approx 18^{\circ}.$$.
- Suma y diferencia de ángulos. $$\alpha+\beta=88, \;\;\; \alpha-\beta=52.$$
- Media de los cosenos. $$\frac{\cos(52) + \cos(88)}{2} \approx 0.325280486.$$
- Reescalar. Multiplicar el resultado anterior por 10002, es decir desplazar la coma decimal tantos lugares como lo hizo en el primer paso para cada uno de los factores, pero en sentido inverso.
- Se obtiene el resultado $$951 \times 342 \approx 325\,280, \text{ cuando el valor exacto es } 325\,242, \quad \text{error}=38.$$
Por tanto, la larga multiplicación de dos números podría sustituirse por la búsqueda en tablas, la suma y la reducción a la mitad. Estas reglas fueron reconocidas ya a principios del siglo XVI por Johannes Werner (1480-1549) en su obra "De triangulis sphaericis libri quatuor" (Cuatro libros sobre triángulos esféricos) de 1510, pero esta permaneció en forma manuscrita y en gran medida desconocida hasta los tiempos modernos.
Paul Wittich (1546- 1586), un matemático de Silesia que trabajaba con Tycho Brahe (1546-1601), parece haber redescubierto el método alrededor de 1580. Brahe consideraba la técnica como un secreto comercial importante y se molestó cuando Wittich la reveló a otros astrónomos en 1584. Tycho Brahe quedó aún más consternado cuando Ursus (oso en latín) (también conocido como Nicholai Reymers (1551-1600)) publicó el método como su propio descubrimiento en 1588. Durante ese tiempo, la Prostaféresis fue ampliamente utilizada, principalmente en los campos de la astronomía y la navegación.
Los matemáticos Joost Bürgi (1552-1632), Christopher Clavius(1538-1612) , François Viète (1540-1603) y John Napier (1550-1617), fueron algunos de los que contribuyeron a desarrollar y sistematizar el método. En particular, tanto Wittich como Yunis y Clavius eran astrónomos y a los tres se les ha atribuido desde distintas fuentes el descubrimiento del algoritmo. Su partidario más conocido fue Tycho Brahe, quien lo utilizó exhaustivamente para realizar cálculos astronómicos sistemáticamente. La prostaféresis también fue utilizada por John Napier, más recordado por introducir los logaritmos que la acabarían sustituyendo a la prostaféresis.
La fórmula del producto de los cosenos (*) fue la más utilizada para estos menesteres, pero también eran conocidas las siguientes:
$$\begin{array}{rcl}
\text{ Producto de senos.} \quad 2\operatorname{sen}\left(\alpha\right) \operatorname{sen} \left(\beta\right)& = & \cos(\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta). \\
\text{Productos mixtos.} \quad 2\operatorname{sen}\left( \alpha\right) \cos \left(\beta\right)& = & \operatorname{sen} (\alpha+\beta)+\operatorname{sen} (\alpha-\beta). \\
2\cos \left(\alpha\right) \operatorname{sen} \left(\beta\right)& = & \operatorname{sen}(\alpha+\beta)-\operatorname{sen} (\alpha-\beta).
\end{array}$$
El proceso era, en el mejor de los casos, engorroso y los matemáticos continuaron su búsqueda de técnicas más simples y potentes. Sus esfuerzos condujeron finalmente al desarrollo de logaritmos y de instrumentos capaces de proporcionar respuestas aproximadas pero adecuadas a problemas prácticos.
El descubrimiento de los logaritmos marcó la decadencia de la prostaféresis. Básicamente las fórmulas $$\log(\alpha\,\beta) = \log(\alpha)+\log(\beta), \quad \alpha\,\log(\beta) = \log\left(\beta^{\alpha}\right) \quad \text{y} \quad \log\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) = \log(\alpha)-\log(\beta),$$ certificaron la defunción del interés astronómico/matemático en la prostaféresis. aunque es justo reconocer que sus aplicaciones a la física la han revitalizado. La regla de cálculo se inventó en la década de 1620, poco después de que John Napier publicara el concepto del logaritmo en 1614 y actuó como acelerante en el desuso de los métodos prostaferéticos. No se conocieron reglas de cálculo basadas en la prostaféresis. Sobre los logaritmos, P.S. Laplace dijo: "acortando los cálculos laboriosos, duplicó la vida de los astrónomos" .
Las fórmulas prostaferéticas con funciones hiperbólicas que mencionamos a continuación, no fueron conocidas en esa época pues dichas funciones fueron introducidas en la década de los 1760s independientemente por el matemático italiano Vincenzo Riccati (1707-1775) y el matemático franco-alemán Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Para estas funciones, se tienen las siguientes fórmulas prostaferéticas:$$
\begin{array}{rrcl}
\text{Producto de cosenos hiperbólicos .} & 2 \cosh \left(\alpha\right) \cosh \left(\beta\right)& = & \cosh (\alpha-\beta)+\cosh(\alpha+\beta). \\
\text{Producto de senos hiperbólicos.} & 2 \operatorname{senh}\left(\alpha\right) \operatorname{senh} \left(\beta\right)& = & \cosh(\alpha-\beta)-\cosh (\alpha+\beta). \\
\text{Productos mixtos.} & 2 \operatorname{senh}\left( \alpha\right) \cosh \left(\beta\right)& = & \operatorname{senh} (\alpha+\beta)+\operatorname{senh} (\alpha-\beta). \\ &
2 \cosh \left(\alpha\right) \operatorname{senh} \left(\beta\right)& = & \operatorname{senh}(\alpha+\beta)-\operatorname{senh} (\alpha-\beta).
\end{array}
$$
La historia de la matemática —y de la ciencia en general— no es una línea recta de éxitos permanentes, sino una sucesión de herramientas útiles en su tiempo. Métodos como la prosthaphaeresis fueron esenciales cuando el cálculo directo era lento y costoso; resolvían problemas reales con los conocimientos disponibles entonces. Con el paso del tiempo, nuevos resultados, nuevas ideas y nuevas técnicas —como los logaritmos— hicieron esos métodos menos prácticos y acabaron relegándolos al olvido.
Este reemplazo no es accidental ni meramente cronológico: es una manifestación conjunta de lo histórico y lo lógico del conocimiento científico. Cada teoría y cada método surge de manera coherente a partir de los anteriores, responde a sus limitaciones y prepara el terreno para lo que vendrá después, aun cuando termine siendo superado. Que hoy estos procedimientos parezcan curiosidades olvidadas no les quita importancia; al contrario, revelan cómo el progreso científico se construye mediante aproximaciones sucesivas, donde incluso las soluciones abandonadas cumplen un papel esencial en la estructura del saber.
