Hipócrates de Quios (aprox. 470 - 410 a. C.. a. C.), escribió una obra titulada
Elementos para aglutinar todo el saber matemático de su época. Incluida en los libros primero y segundo de la colección que Euclides tituló con igual nombre. En ella la tendencia de abstracción y sistematización de la geometría encontró un fuerte impulso. Partiendo de un sistema de axiomas o verdades a priori, que tenían carácter intuitivo, utilizó por primera vez el conocido esquema Premisa-Teorema-Demostración. Introdujo la designación de figuras geométricas por letras y el método de demostración por el absurdo. Fue el primero en calcular áreas de regiones delimitadas por segmentos curvilíneos no rectos, en relación con el problema de la cuadratura del círculo.
Hipócrates demostró que la lúnula delimitada por los arcos E y F que aparece en la figura, tiene la misma área que el triángulo ABO. La demostración consiste en probar que área de AFBOA (un cuarto de círculo) es igual en el área del semicírculo AEBDA. Restando la zona en forma de medialuna, AFBDA, de ambas, se tiene que el área del triángulo ABO es área igual de la lunula AEBFA. El centro del círculo al que pertenece el arco AEB es el punto D, que es el punto medio de la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles ABO. Por lo tanto el diámetro CA del círculo más grande ABC es raíz de dos por el diámetro del círculo más pequeño que contiene al arco AEB. Entonces, el círculo más pequeño tiene la mitad del área del círculo más grande y en consecuencia el semicírculo delimitado por el arco AEB y el diámetro AB tiene la misma área que el cuarto de círculo AFBOA.
