Aquiles y la tortuga

Leucipo de Mileto (480- 420 a. C.) y Demócrito de Abdera (460-370 a. C.) crearon la teoría atomística, según la cual, los objetos están formados por la mezcla de diminutas partículas individuales e imperceptibles que solo difieren en forma y posición.  Tal especulación científica para la época, tenía su base en la noción de átomo geométrico. Dicha noción tiene su origen en el  considerar que un segmento de línea, un área o un volumen está compuestos por un número grande pero finito de átomos indivisibles. El cálculo del volumen era entonces la suma de los volúmenes de todos los átomos que le componían. Así por ejemplo, Demócrito estableció correctamente la fórmula del volumen de un cono y de una pirámide. Introduciendo la noción de estratificación en la matemática mediante el concepto de átomo geométrico, que hoy utilizamos en la sumas integrales.
Quizás el mayor conocimiento del método atomístico que se tiene es debido a las críticas que se le señalaron. Entre las más importantes y conocidas están las de Zenón de Elea (490-430 a. C.), quien elaboró un conjunto de paradojas que ponen de manifiesto las incongruencias que surgen de considerar el espacio como suma de puntos. Con las paradojas de Zenón se evidenciaba que si se buscaban demostraciones exactas y soluciones lógicas a los problemas de estratificación era imposible utilizar el infinito mediante la concepción atomística. Para lograr estas demostraciones es necesario considerar elementos de paso al límite al menos implícitamente, pero esto se consiguió  mucho después.
Probablemente la más famosa de todas las paradojas sea la de Aquiles y la tortuga que se reproduce a continuación:

Aquiles y una tortuga realizan una carrera de un stadion plano. El stadion  es una unidad de medida para distancias utilizada en la Grecia antigua, aquí para simplificar consideraremos que son  aproximadamente 200 metros planos.
Sabemos que Aquiles, apodado el de los pies ligeros, es un excelente corredor. Supongamos que Aquiles  es 10 veces más rápido que la tortuga. Para la carrera de un stadion plano, Aquiles le da a la tortuga una ventaja de medio stadion (100 metro).   La posición de Aquiles en un tiempo t la denotaremos por A(t) y la posición de la  tortuga por T(t), de esa forma al inicio A(0)=0 y T(0)=100.
Si Aquiles tarda  9,9 segundos  en recorrer los primeros 100 metros, entonces A(9,9)=T(0) < T(9,9), ya que la tortuga en igual tiempo ha adelantado hasta la posición T(9,9). Para llegar a la posición T(9,9) desde la meta, Aquiles invierte un tiempo t_1=9,9+ 1/10=10 segundos y se tiene que  A(10)=T(9,9) < T(10), pues la tortuga ha continuado su trayecto. Repitiendo el razonamiento anterior, podemos concluir intuitivamente que es imposible que Aquiles alcance al la tortuga.

La respuesta es la siguiente: si Aquiles llega a la posición T(0) en 9,9 segundos, recorrerá la distancia entre T(0) y T(9,9) en 0,1 segundo, la distancia entre T(9,9) y T(10) en en 0.01 segundos y así sucesivamente. En conclusión Aquiles alcanza a la tortuga en:

El error de la intuición está en suponer que la suma de infinitas cantidades positivas debe ser necesariamente infinito.

Álgebra Geométrica

Pitágoras de Samos(580-520 a. C.) y sus seguidores (los pitagóricos) realizaron aportes significativos en Matemáticas, Astronomía y Música. Partiendo de la recopilación de hechos concretos que tenían como base los problemas prácticos relacionados con la necesidad de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas, lograron producir resultados abstractos que unieron en sistemas teóricos. La Aritmética, como conjunto de conocimientos relacionados con las propiedades generales de las operaciones con números naturales se fue separando como una rama independiente y sometieron la Geometría a un proceso de abstracción y sistematización.

El descubrimiento de la existencia de irracionales mediante la imposibilidad de expresar la diagonal de un cuadrado como múltiplo y/o parte de sus lados les indujo a considerar que existen más segmentos que números. Para dar respuesta a la necesidad de una teoría que abarca magnitudes racionales e irracionales crearon un método de cálculo geométrico general conocido como Álgebra Geométrica. Así la suma era interpretada como adición de segmentos, el producto de a por b como rectángulo de lados a y b, etc.

El Álgebra Geométrica alcanzó su máximo esplendor en Elementos de Euclides de Alejandría (365-300 a. C.) y Cónicas de Apolonio de Perga (247-205 a. C.), con la restricción a la regla y el compás como únicos medios auxiliares posibles en las construcciones geométricas. En correspondencia con el ideal de recta y circulo como perfección de lo recto y lo curvo, según Platon (427-348 a. C.). Bajo este método de cálculo geométrico la resolución de ecuaciones cuadráticas fue vista como problema de anexión de áreas y las identidades algebraicas como conjunto de posiciones geométricas, según muestran los siguientes ejemplos:

I.- Método de anexión de áreas para la resolución de la ecuación lineal α.β = δ .x.

1. Construimos el rectángulo ABOH de lados α y β.
2. Anexamos el BCDO de lados α y δ.
3. Se prolongan la diagonal de BCDO y el lado AH hasta su intersección en G.
4. Con G construimos el rectángulo DEFO, cuyo lado DE es la solución.

II.- Solución de la ecuación x² + β² =2 α x. 

1. Trazamos el segmento OA de longitud α.
2. Por uno de los extremos de OA se traza perpendicularmente el segmento OB de longitud β.
3. Tomando el compás con abertura α, apoyados en B se determina el punto C.
4. La solución de la ecuación es el segmento CA.

Nota: Por el teorema de Pitágoras (α-x)² + β² = α² , lo que es equivalente a la ecuación original.