Diofanto de Alejandría y el Álgebra Sincopada

 

Diofanto de Alejandría (≈200-284 a.C.), a menudo llamado el "padre del álgebra", es una de las figuras más enigmáticas y transformadoras de la matemática antigua. Aunque vivió en el siglo III d.C., su enfoque rompió con la tradición geométrica griega para sentar las bases de lo que hoy conocemos como análisis algebraico. 

Mientras que predecesores como Euclides abordaban los problemas numéricos desde una perspectiva geométrica basada en líneas y áreas, Diofanto revolucionó la disciplina al centrarse puramente en los números. Su obra cumbre, Arithmetica, reúne 130 problemas dedicados a hallar soluciones exactas para ecuaciones tanto determinadas como indeterminadas. De su producción adicional, solo conservamos fragmentos de Sobre números poligonales, mientras que de su tratado Porismas (corolarios) no queda ningún ejemplar; su existencia solo se conoce gracias a las referencias que el propio autor incluyó en Arithmetica.

Antes de Diofanto, las matemáticas se escribían completamente con palabras ("Álgebra Retórica"). Él introdujo una forma de abreviatura o simbolismo  ("Álgebra Sincopada"). Utilizó símbolos específicos para representar la incógnita (que llamó arithmos) y sus potencias. Creó signos para la resta y la igualdad. Esto permitió que las operaciones fueran mucho más compactas y fáciles de seguir, un paso intermedio crucial hacia el "Álgebra Simbólica" moderna.

Ejemplo del uso de síncopes o abreviaturas en Arithmetica

Arithmetica de Diofanto

La Arithmetica de Diofanto se caracteriza por un tratamiento analítico de la teoría de números totalmente disruptivo para su época, centrándose en la búsqueda de los arithmos (el concepto primitiva de nuestras actuales incógnitas). A través de 130 problemas distribuidos en 13 libros de los que se han llegado hasta nosotros 5,  el autor aborda desde ecuaciones de primer grado hasta cuadráticas y casos especiales de cúbicas, estructurando su obra de manera progresiva: mientras el primer libro analiza 25 ecuaciones de una sola incógnita, el resto del tratado se sumerge en sistemas de segundo grado con dos y tres variables. Lejos de proponer algoritmos universales, Diofanto hace gala de un ingenio único al desarrollar métodos particulares y creativos para la resolución de cada desafío, aceptando exclusivamente como solución válida los números racionales positivos.

El problema 8 del libro II de Arithmetica. Descomponer un cuadrado en dos cuadrados.

En la historia de la ciencia, existen momentos en los que una simple anotación cambia el rumbo del conocimiento para siempre. Ese momento ocurrió en las páginas de la Arithmetica de Diofanto de Alejandría, específicamente en su Problema 8 del Libro II. Pero, ¿por qué un ejercicio de hace 1.800 años sigue siendo el más famoso de la historia?

El enunciado de Diofanto es sencillo: "Dividir un número cuadrado dado en dos cuadrados". Aunque suena a geometría, Diofanto lo llevó al terreno del álgebra y fue el primer intento sistemático de analizar las famosas "ternas pitagóricas" de forma puramente algebraica.

La verdadera explosión de fama ocurrió en 1637. El matemático francés Pierre de Fermat estudiaba una edición de la Arithmetica cuando, al llegar a este problema, se le ocurrió una pregunta audaz: ¿Y si el exponente fuera 3, 4 o 500?

Al margen de su libro, escribió en latín:

"Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a la segunda en dos potencias del mismo grado".

Fermat remató con una frase que torturaría a los científicos durante siglos.

"He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla".

Esa pequeña nota dio origen al Último Teorema de Fermat ($x^n+y^n=z^n$). Lo que comenzó como una lectura casual de Diofanto se convirtió en el "santo grial" de las matemáticas. Durante más de tres siglos, las mentes más brillantes del mundo intentaron resolverlo, impulsando en el camino el desarrollo de la teoría de números moderna. No fue hasta 1995 cuando Andrew Wiles logró finalmente demostrarlo.

Solución del problema 8 en  Arithmetica

Si deseamos descomponer 16 en dos cuadrados y suponemos que el primero es un aritmo (x=a), el otro tendrá 16 unidades menos un cuadrado de aritmo (16−a2), por tanto, 16 unidades menos un cuadrado de aritmo son un cuadrado (16−a2=y2).

Formemos un cuadrado de un conjunto cualquiera de aritmos (ka), disminuido en tantas unidades como tiene la raíz de 16 unidades ((ka−4)2), y sea el cuadrado de 2 aritmos menos 4 unidades (sea k=2 y entonces y2=16−a2=(2a−4)2).

Este cuadrado tendrá cuatro cuadrados de aritmo y 16 unidades menos 16 aritmos ((2a−4)2=4a2+16−16a), que igualaremos a 16 unidades menos un cuadrado de aritmo (4a2+16−16a=16−a2).

Sumando a uno y otro lado los términos negativos y restando los semejantes, resulta que 5 cuadrados de aritmo equivalen a 16 aritmos (5a2=16a) y, por tanto, un aritmo vale a=516​; luego uno de los números es a2=25256​ y otro 16−a2=25144​, cuya suma es 25400​, es decir 16 unidades y cada uno de ellos es un cuadrado.

Las Ecuaciones Diofánticas en Arithmetica

Su nombre ha quedado inmortalizado en las ecuaciones diofánticas. Se trata de ecuaciones con coeficientes enteros donde se buscan exclusivamente soluciones que también sean números enteros o racionales. Ejemplo clásico: $ax+by=c$. Estas ecuaciones son fundamentales hoy en día en áreas como la criptografía y la teoría de números.

Las ecuaciones diofánticas en la Arithmetica representan el primer estudio sistemático del análisis algebraico, centrándose en hallar soluciones numéricas exactas —tanto enteras como fraccionarias positivas— para problemas que hoy expresaríamos como ecuaciones polinómicas. A través de sus trece libros, Diofanto transita desde ecuaciones lineales simples hasta complejos sistemas de segundo y tercer grado, utilizando su innovador concepto de arithmos (incógnita) para transformar enunciados verbales en operaciones simbólicas. Su enfoque no buscaba fórmulas generales, sino que desplegaba un ingenioso abanico de métodos particulares para cada caso, sentando las bases de la teoría de números moderna y permitiendo resolver problemas de indeterminación que la geometría clásica no podía abordar. 

El "Epitafio de Diofanto"

Sobre la vida de Diofanto se tienen pocos datos, a excepción de la información que nos aporta el siguiente acertijo. Según se afirma este fue escrito por si mismo en su tumba, horas antes de morir:

¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto y los números pueden mostrar ¡oh milagro! Cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su feliz infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de bellos cubriose su barbilla y la séptima parte de su vida transcurrió en un matrimonio estéril.

Pasaron cinco años más y le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito, que entregó su existencia a la tierra, la cual duró tan solo la mitad de la de su padre.

Se dedicó Diofanto afligido, por entero al álgebra buscando consuelo en la misma, pero su pena era tan profunda que descendió a la sepultura sobreviviendo solo 4 años al deceso de su hijo. Dime ¿ Cuantos años vivió Diofanto?.

Haciendo uso de nuestro simbolismo si x es la cantidad de años que vivió Diofanto se tiene que: 

x = (1/6) x+ (1/12) x+ (1/7) x+ 5+(1/2) x+ 4, es decir x = 84 años.

Desarrollo ulterior de Álgebra Sincopada. 

Tras el hito de Diofanto, el álgebra sincopada actuó como un puente fundamental que permitió la transición hacia la modernidad. Durante siglos, matemáticos árabes como Al-Juarismi refinaron estos métodos, aunque a menudo regresaron a un estilo más retórico para garantizar la claridad de sus algoritmos. No fue sino hasta el Renacimiento tardío, con figuras como François Viète y René Descartes, cuando el sistema de abreviaturas diofánticas evolucionó finalmente hacia el álgebra simbólica que utilizamos hoy. Este proceso consistió en sustituir los síncopes (abreviaturas de palabras) por símbolos abstractos y universales, permitiendo que las matemáticas dejaran de describir operaciones con palabras para convertirse en un lenguaje puramente visual y operativo, capaz de abordar la complejidad del cálculo moderno. 

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Cómo escribir matemáticas

Escribir bien en matemáticas es una exigencia directa de su naturaleza lógica y deductiva, ya que en esta ciencia el lenguaje es el vehículo del rigor. La precisión en la redacción no es un adorno, sino la garantía de que el razonamiento sea válido; un error sintáctico o una ambigüedad formal invalidan la abstracción. Esta claridad debe sostenerse sobre una estructura jerárquica impecable, donde cada definición y teorema se encadene con el anterior de forma necesaria. Solo mediante la unión de un léxico exacto y una organización coherente se logra revelar la arquitectura interna del conocimiento, permitiendo que la verdad matemática sea verificable, universal y comprensible.

 Para dominar este arte, es fundamental consultar fuentes que definen los estándares de la comunidad científica. En tal sentido recomiendo las siguientes fuentes bibliográficas. En el momento de escribir esta comunicación se pueden descargar pinchando en la imagen correspondiente a cada libro.

 

"Cómo escribir matemáticas" de Steenrod, Halmos, Schiffer y Dieudonné: Un clásico que ofrece perspectivas profundas sobre la estética y la cortesía hacia el lector en la exposición técnica. Esta es la versión en español del original. 

 

 

 

 "Mathematical Writing" de Donald E. Knuth, Tracy Larrabee y Paul M. Roberts: Basado en un curso de Stanford, es la guía definitiva para entender cómo transformar ideas abstractas en textos técnicos elegantes y legibles. Texto en inglés.

 

 

 

"Manual de estilo de las publicaciones de la American Mathematical Society (AMS)": El recurso esencial para estandarizar la estructura, la notación y el formato en el ámbito profesional académico. Texto en inglés. 

 

 

"Writing Mathematical Papers in English" de Jerzy Trzeciak, una herramienta pragmática que proporciona el léxico y las estructuras funcionales necesarias para que el discurso matemático fluya con naturalidad y precisiónal escribir en inglés.  Texto en inglés. 

 

 

 

 Escritura matemática con LaTeX2e

 

"Edición de textos científicos con LaTeX. Composición, gráficos, diseño editorial y presentaciones beamer" de Walter Mora y Alexander Borbón es considerada una de las referencias más completas y didácticas en español para el dominio de LaTeX en el ámbito académico y profesional. El libro destaca por su enfoque integral: no se limita a la sintaxis básica de composición de textos, sino que profundiza en la creación de gráficos de alta calidad mediante PGF/TikZ, el diseño editorial avanzado para libros y la elaboración de presentaciones dinámicas con la clase Beamer. Texto en español.

La Teoría de la Perspectiva

 

"La Ciudad ideal", tempera sobre madera, pintada entre 1480 y 1490, cuyo  autor es  desconocido. Renacimiento italiano.

¿Qué es la perspectiva?

La perspectiva es el conjunto de métodos empleados en las artes gráficas para realizar  una representación, generalmente sobre una superficie plana (como el papel o un lienzo), de un motivo tal como es percibido por la vista, de forma que se pueda intuir su configuración tridimensional. En el sentido clásico, la perspectiva comprende los tres casos siguientes:

  Los primeros intentos por desarrollar un sistema de perspectiva comenzaron alrededor del siglo V a. C. en el arte de la Antigua Grecia, como parte del interés en producir la ilusión óptica de profundidad en los escenarios teatrales. Anaxágoras y Demócrito elaboraron teorías geométricas de la perspectiva para ser usadas en   los escenarios. El tema alcanzó tal relevancia que hasta el filósofo Platón  en La República comentó lo siguiente:

 `Así (a través de la perspectiva) se revela dentro de nosotros todo tipo de confusión; y esta es la debilidad de la mente humana sobre la cual se impone el arte de conjurar y engañar por la luz y la sombra y otros ingeniosos artificios, que tienen un efecto sobre nosotros como la magia.''

 Euclides en su Óptica,  introdujo una teoría matemática de la perspectiva, pero existe cierto debate sobre hasta qué punto coincide con la definición matemática moderna.

El renacimiento

 Con el renacimiento los artistas empiezan a buscar la sensación espacial a través de la observación de la naturaleza. Se logra la sensación de espacio mediante el uso metódico de la perspectiva cónica, donde las líneas paralelas de un objeto convergen hacia un determinado punto de fuga. El tamaño de las figuras se va reduciendo en función de la distancia, lo que provoca la ilusión óptica de profundidad.

A la izquierda pintura sin perspectiva en una ilustración de un manuscrito inglés de 1130. A la derecha el cuadro "Perspectiva falsa", una parodia del pintor  británico William Hogarth en 1754.

Entre los años 1416 y 1420, Filippo Brunelleschi (1377-1476),   para poder representar los edificios en perspectiva, realizó una serie de estudios descubriendo los principios geométricos que rigen la perspectiva cónica, una forma de perspectiva lineal basada en la intersección de un plano con un imaginario cono visual cuyo vértice sería el ojo del observador.

En 1509 se publicó De divina proportione (Sobre la proporción divina), una obra de Luca Pacioli (1447–1517) que además estaba ilustrada por Leonardo da Vinci (1452–1519). En este libro se explicaba y resumía cómo se utilizaba la perspectiva en la pintura, algo muy importante para los artistas de la época yse convierió en un manual de referencia sobre el tema. 

La última cena de Leonardo da Vinci, considerada una obra maestra de la perspectiva, donde el uso del punto de fuga y la profundidad espacial refuerzan la sensación de realismo y dirigen la mirada hacia la figura central de Cristo. 

Entre los siglos XV y XVI, la perspectiva siguió mejorando gracias, sobre todo, a las aportaciones de Leonardo da Vinci. En su Tratado de la pintura (aunque se publicó más tarde, en 1680), habló de la perspectiva del color, que consiste en que los colores se van suavizando y perdiendo intensidad cuanto más lejos están, y también de la perspectiva menguante, donde los objetos se ven cada vez menos nítidos a medida que se alejan.

Grabado en madera de Alberto Durero que muestra un artista estudiando un escorzo.

Por otro lado, Alberto Durero (1471–1528), una figura muy importante del Renacimiento en Alemania, también contribuyó mucho al desarrollo de la perspectiva. Además de su obra como pintor, destacó por sus estudios sobre el dibujo. En sus grabados se pueden ver imágenes muy detalladas que muestran cómo aplicaba en la práctica los métodos teóricos para representar modelos reales en un dibujo plano.

Hacia la geometría proyectiva

Desde un punto de vista teórico, los avances del Renacimiento culminaron con los estudios sobre la perspectiva, la óptica y la geometría proyectiva del arquitecto y matemático francés Girard Desargues, cuyas investigaciones ayudaron a unir de manera sólida el arte y las matemáticas. Más adelante, en 1715, el matemático británico Brook Taylor (1685–1731) publicó un tratado sobre perspectiva lineal que permitió que su enseñanza a los artistas se basara en las matemáticas que sustentan esta técnica. En esta misma línea teórica destacaron también Gaspard Monge, creador de la geometría descriptiva, y Jean-Victor Poncelet, quien recuperó y desarrolló la geometría proyectiva, sentando las bases para relacionar la geometría de la perspectiva con la técnica y con otras ramas de las matemáticas, como el álgebra. Finalmente, Otto Wilhelm Fiedler (1832–1912) definió de manera rigurosa el sistema de proyección central en su tesis doctoral de 1859, estableciendo los fundamentos matemáticos de la perspectiva cónica tal y como se conocen en la actualidad. 

El número de Hardy-Ramanujan

 

En 1918, el matemático británico G.H. Hardy  fue a visitar a Ramanujan, quien se encontraba convaleciente en un sanatorio en Putney, Inglaterra. Hardy, que no era muy dado a las conversaciones triviales, intentó romper el hielo mencionando el número del taxi en el que había llegado.

• Hardy dijo:    "Recuerdo que el número de mi taxi era el 1729. Me pareció un número bastante soso y esperaba que no fuera un mal presagio".
  
  
• Ramanujan, sin dudar un segundo, le respondió:    "¡No, Hardy! Es un número muy interesante. Es el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes".

A raíz de esta anécdota, el 1729 pasó a ser conocido  como el Número de Hardy-Ramanujan. Para cualquier mortal, el 1729 es solo un número de cuatro dígitos, pero para  Ramanujan  era un viejo amigo. La propiedad que identificó mentalmente en segundos es la siguiente:

$$1000+729=10^3+9^3=1729=12^3+1^3=1728+1.$$

Hardy, asombrado, le preguntó si conocía la respuesta al problema correspondiente para la cuarta potencia y él replicó, después de unos segundos de reflexión, que “el ejemplo que pedía no era obvio y que el primero de tales números debía ser muy grande''.

Efectivamente, su intuición era correcta. Años después, gracias a cálculos con ordenadores, se determinó que el número buscado era $$635318657 = 134^4 + 133^4 = 158^4 + 59^4.$$

La colaboración entre Godfrey Harold Hardy (1877-1947) y Srinivasa Ramanujan (1887-1920) representa uno de los encuentros más improbables y productivos de la historia de la ciencia: la unión entre el rigor académico de Cambridge y la intuición pura de un genio autodidacta indio. Durante cinco intensos años, Hardy actuó como el mentor y traductor del lenguaje "divino" de Ramanujan al lenguaje de la demostración formal, resultando en avances monumentales en la teoría de números, el análisis de series y las particiones. Su relación  dejó un legado de fórmulas que, décadas después de la muerte de Ramanujan, han resultado ser fundamentales para entender desde los cristales hasta los agujeros negros, demostrando que la belleza matemática puede ser un puente entre dos mundos opuestos. 

En la película El hombre que conocía al infinito (2015), protagonizada por Dev Patel (Ramanujan) y Jeremy Irons (Hardy), la escena del taxi es uno de los momentos más memorables, pero tiene matices distintos a la crónica real. La escena se siente mucho más emocional y culminante. El día que Ramanujan se disponía a regresar a la India, Hardy se retasa en llegar a despedirlo porque el taxista que le llevaba se había extraviado y culpa al taxi por ser el número 1729, al que  tilda de  número aburrido y la respuesta de Ramanujan es la ya conocida. Hacia el final del filme, se reitera nuevamente la escena cuando  J. E. Littlewood (1885-1977) intenta tomar un taxi en compañía de Hardy y este le sugiere el 1729. 

Números Taxicab

A raíz de esta anécdota, se origino  lo que los matemáticos llaman "Números Cabtaxi" (Ta(n)), que se definen como el número más pequeño que puede ser escrito como la suma de dos cubos positivos de n formas distintas. Los 5 primeros números Taxicab son los siguientes:

$$\begin{array}{rcl} \mathrm{Ta}(1)&=& 2 \\ & =& 1^3+1^3. \\ \mathrm{Ta}(2)&=& 1729\\ &=&1^3+12^3 =9^3+10^3. \\ \mathrm{Ta}(3)&=& 87539319\\ &=&167^3+436^3= 228^3+423^3 = 255^3+414^3.\\ \mathrm{Ta}(4)&=& 6963472309248 \\ &=&2421^3+19083^3 = 5436^3+18948^3 = 10200^3+18072^3 = 13322^3+16630^3.\\ \mathrm{Ta}(5)&=& 48988659276962496 \\ &=&8787^3+365757^3 =107839^3+362753^3 =205292^3+342952^3 \\ &=& 221424^3+336588^3 =231518^3+331954^3. \end{array}$$

Prostaféresis, el eslabón olvidado

 Durante los siglos XV y XVI se desarrolló en Europa el periodo de transición entre la Edad Media y la Edad Moderna conocido como el Renacimiento. Este tiempo marca el inicio de una nueva forma de organización social basada en estados nacionales centralizados y una economía mercantil y preindustrial, surgida como consecuencia de diversos adelantos tecnológicos.

 La principal línea de avance matemático se gestó en las crecientes ciudades mercantiles, bajo la influencia directa del comercio, la navegación, la astronomía y la topografía. Bajo este influjo, las matemáticas se desarrollaron inicialmente en dos direcciones fundamentales:

•  Por un lado, las relaciones comerciales  impulsaron   la necesidad de perfeccionar los procedimientos de  cálculo y el simbolismo algebraico,  sentando las bases del álgebra moderna.
•  Por otro lado, los avances en trigonometría fueron una consecuencia directa de la búsqueda de nuevas y mejores rutas comerciales. La necesidad de una navegación de altura (alejada de las costas) precisaba de conocimientos astronómicos rigurosos para la orientación en mar abierto. 

  El impacto en las matemáticas fue tal,  que  en un breve período de tiempo la trigonometría se separó de la astronomía,  se constituyo en un  sistema de conocimientos independiente y prácticamente con  los componentes que la conforman actualmente. Bajo estos nuevos conocimientos, fue posible la navegación lejos de las costas y en consecuencia el descubrimiento de América (1492), al primer viaje marítimo alrededor de Africa (1492) y alrededor del mundo (1519).

El nombre propio más relevante de la trigonometría en este periodo fue Johannes Müller, conocido como Regiomontanus  (traducción al latín de Königsberg, su ciudad natal). Su tratado  "De triangulis omnimodis" (triángulos de cualquier género), escrito en 1464 e impreso póstumamente en 1533, influyó notablemente en el desarrollo posterior de esta disciplina. La obra constaba de   cinco libros, en el primero da las definiciones básicas y  algunos axiomas que serán la base de los 56 teoremas que enunciará. En el segundo de los libros establece la Ley del seno y la emplea en la resolución de  problemas. Los libros III, IV y V tratan de trigonometría esférica.  Esta obra representó una introducción completa a la materia, cuya principal diferencia con los tratados actuales radica en la ausencia de una notación simbólica adecuada. Asimismo, Regiomontanus destacó por el cálculo de tablas trigonométricas de alta precisión, esenciales para los cálculos científicos de la época.

A finales del siglo XVI y principios del XVII, los astrónomos y navegantes se enfrentaron a una crisis de eficiencia en el cálculo: la precisión requerida por las nuevas observaciones astronómicas obligaba a trabajar con números de muchos dígitos, convirtiendo las multiplicaciones y divisiones en procesos extremadamente lentos y propensos al error humano. En un mundo sin medios mecánicos ni la existencia de los logaritmos (que no se popularizarían hasta después de 1614), surgió la necesidad de la próstaféresis.

Se llama  prostaféresis  de  aproximar la multiplicación y división de números mediante identidades trigonométricas. Durante el cuarto de siglo  que precedió a la introducción del los logaritmos, la prostaféresis fue  el único método conocido y aplicable a gran escala para aproximar rápidamente un producto de grandes números. El término prostaféresis, proviene de las palabras griegas prosthesis (adicción) y aphairesis (sustracción),  dos de los pasos del proceso.

 Al parecer fue el astrónomo egipcio  Ibn Yunus  (950-1009),  fue el primero en encontrar y emplear en cálculos astronómicos, la identidad trigonométrica:
$$ 2  \cos \left(\alpha\right) \cos \left(\beta\right)  =    \cos (\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta).\qquad (*)$$

Veamos un ejemplo de cálculo prostaferético,   calculando aproximadamente en producto entre 951 y 342:

1. Escalar a [-1,1]. Dividir ambos números por 1000 para desplazar la coma decimal tres lugares a la izquierda. Nos quedan -1<0,951<1 y -1<0,342<1.
2.  Calcular Arcocosenos. Con una tabla  se calcula $$\alpha=\arccos(0,342)\approx 70^{\circ}, \qquad \beta=\arccos(0,951)\approx 18^{\circ}.$$.
3. Suma y diferencia de ángulos. $$\alpha+\beta=88, \;\;\; \alpha-\beta=52.$$
4. Media de los cosenos.  $$\frac{\cos(52) + \cos(88)}{2} \approx 0.325280486.$$ 
5. Reescalar. Multiplicar el resultado anterior por 1000², es decir desplazar la coma decimal tantos lugares como lo hizo en el primer paso para cada uno de los factores, pero en sentido inverso.  
6.  Se obtiene el resultado  $$951 \times 342 \approx 325\,280, \text{ cuando el valor exacto  es } 325\,242, \quad \text{error}=38.$$

Por tanto, la larga multiplicación de dos números podría sustituirse por la búsqueda en tablas, la suma y la reducción a la mitad. Estas reglas fueron reconocidas ya a principios del siglo XVI por Johannes Werner (1480-1549)  en  su  obra  "De triangulis sphaericis libri quatuor" (Cuatro libros sobre triángulos esféricos) de 1510, pero esta permaneció en forma manuscrita y en gran medida desconocida hasta los tiempos modernos.

Paul Wittich (1546- 1586), un matemático de Silesia que trabajaba con Tycho Brahe (1546-1601), parece haber redescubierto el método alrededor de 1580. Brahe consideraba la técnica como un secreto comercial importante y se molestó cuando Wittich la reveló a otros astrónomos en 1584. Tycho Brahe quedó aún más consternado cuando Ursus (oso en latín) (también conocido como Nicholai Reymers  (1551-1600)) publicó el método como su propio descubrimiento en 1588.   Durante ese tiempo, la Prostaféresis fue ampliamente utilizada, principalmente en los campos de la astronomía y la navegación.

Los matemáticos   Joost Bürgi (1552-1632),   Christopher Clavius(1538-1612) ,  François Viète (1540-1603) y  John Napier (1550-1617), fueron algunos de los que contribuyeron a desarrollar y sistematizar el  método. En particular, tanto Wittich como Yunis y Clavius eran astrónomos y a los tres se les ha atribuido desde distintas fuentes el descubrimiento del algoritmo. Su partidario más conocido fue Tycho Brahe, quien lo utilizó exhaustivamente para realizar cálculos astronómicos sistemáticamente. La prostaféresis también fue utilizada por John Napier, más recordado por introducir los logaritmos que la acabarían sustituyendo a la prostaféresis. 

 La fórmula del producto de los cosenos (*) fue la más utilizada para estos menesteres, pero también eran conocidas las siguientes:

$$\begin{array}{rcl}
   \text{ Producto de  senos.}    \quad   2\operatorname{sen}\left(\alpha\right) \operatorname{sen} \left(\beta\right)&  = &   \cos(\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta).  \\
  \text{Productos mixtos.}   \quad  2\operatorname{sen}\left( \alpha\right) \cos \left(\beta\right)&  =  &  \operatorname{sen} (\alpha+\beta)+\operatorname{sen} (\alpha-\beta).   \\
  2\cos \left(\alpha\right) \operatorname{sen} \left(\beta\right)&  =  & \operatorname{sen}(\alpha+\beta)-\operatorname{sen} (\alpha-\beta).
\end{array}$$ 

El proceso era, en el mejor de los casos, engorroso y los matemáticos continuaron su búsqueda de técnicas más simples y potentes. Sus esfuerzos condujeron finalmente al desarrollo de logaritmos y de instrumentos capaces de proporcionar respuestas aproximadas pero adecuadas a problemas prácticos.

El descubrimiento de los logaritmos marcó la decadencia de la prostaféresis. Básicamente las fórmulas $$\log(\alpha\,\beta) = \log(\alpha)+\log(\beta), \quad \alpha\,\log(\beta) = \log\left(\beta^{\alpha}\right) \quad \text{y} \quad \log\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) = \log(\alpha)-\log(\beta),$$ certificaron la defunción del interés astronómico/matemático en la prostaféresis. aunque es justo reconocer que sus aplicaciones a la física la han  revitalizado. La regla de cálculo se inventó en la década de  1620, poco después de que John Napier publicara el concepto del logaritmo en 1614 y actuó como acelerante en el desuso de los métodos prostaferéticos. No se conocieron reglas de cálculo basadas en la prostaféresis. Sobre los logaritmos, P.S. Laplace dijo: "acortando los cálculos laboriosos, duplicó la vida de los astrónomos" .

Las fórmulas prostaferéticas con funciones hiperbólicas que mencionamos a continuación, no fueron conocidas en esa época pues dichas funciones  fueron introducidas en la década de los 1760s independientemente por el matemático italiano  Vincenzo Riccati (1707-1775) y  el matemático franco-alemán Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Para estas funciones,  se tienen las siguientes fórmulas prostaferéticas:$$
\begin{array}{rrcl}
 \text{Producto de cosenos hiperbólicos .}     &  2  \cosh \left(\alpha\right) \cosh \left(\beta\right)&  =   &   \cosh (\alpha-\beta)+\cosh(\alpha+\beta).  \\
   \text{Producto de  senos  hiperbólicos.}    &  2  \operatorname{senh}\left(\alpha\right) \operatorname{senh} \left(\beta\right)&  =    &   \cosh(\alpha-\beta)-\cosh (\alpha+\beta). \\
  \text{Productos mixtos.}     &  2 \operatorname{senh}\left( \alpha\right) \cosh \left(\beta\right)&  =    &    \operatorname{senh} (\alpha+\beta)+\operatorname{senh} (\alpha-\beta).  \\  &
2  \cosh \left(\alpha\right) \operatorname{senh} \left(\beta\right)&  =    &  \operatorname{senh}(\alpha+\beta)-\operatorname{senh} (\alpha-\beta).
\end{array}
$$

 La historia de la matemática —y de la ciencia en general— no es una línea recta de éxitos permanentes, sino una sucesión de herramientas útiles en su tiempo. Métodos como la prosthaphaeresis fueron esenciales cuando el cálculo directo era lento y costoso; resolvían problemas reales con los conocimientos disponibles entonces. Con el paso del tiempo, nuevos resultados, nuevas ideas y nuevas técnicas —como los logaritmos— hicieron esos métodos menos prácticos y acabaron relegándolos al olvido.

Este reemplazo no es accidental ni meramente cronológico: es una manifestación conjunta de lo histórico y lo lógico del conocimiento científico. Cada teoría y cada método surge de manera coherente a partir de los anteriores, responde a sus limitaciones y prepara el terreno para lo que vendrá después, aun cuando termine siendo superado. Que hoy estos procedimientos parezcan curiosidades olvidadas no les quita importancia; al contrario, revelan cómo el progreso científico se construye mediante aproximaciones sucesivas, donde incluso las soluciones abandonadas cumplen un papel esencial en la estructura del saber.

Aritmética con números romanos

En matemáticas, la relación entre forma y contenido es una danza simbiótica  entre el lenguaje simbólico y el significado conceptual. La forma se refiere al formalismo, la sintaxis y las reglas estructurales (como la notación numérica), mientras que el contenido representa las ideas, las estructuras lógicas y las realidades abstractas que esos símbolos intentan describir. La forma da rigor, sin una estructura formal precisa, las ideas matemáticas serían ambiguas y difíciles de comunicar o verificar. El contenido ofrece propósito, un conjunto de símbolos sin una interpretación lógica o aplicaciones espaciales/numéricas sería un juego vacío de reglas. Con frecuencia, un cambio en la forma revela nuevas facetas del contenido, permitiendo resolver problemas que antes parecían imposibles. 

La comparación entre la notación indo-arábiga y la romana es el ejemplo perfecto de cómo la forma condiciona drásticamente la manejabilidad del contenido. Mientras que el contenido (el valor numérico en sí) permanece inmutable, la estructura formal de cada sistema determina qué tan lejos puede llegar el pensamiento matemático. Recordemos los procedimientos que utilizamos para realizar las 4 operaciones aritméticas básicas y comparémoslos con los procedimientos que se describen más adelante. Los números son los mismos en uno y otro sistema, lo que es diferente es la simbología con la que los denotamos.

La siguiente reflexión de uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempo, refleja el propósito de esta publicación. 

 "Fue la India la que nos brindó el ingenioso método de expresar todos los números mediante diez símbolos, cada uno de los cuales recibía un valor de posición, así como un valor absoluto; una idea profunda e importante que ahora nos parece tan simple que ignoramos su verdadero mérito. Pero su misma simplicidad y la gran facilidad que ha proporcionado a los cálculos colocan nuestra aritmética en el primer puesto de los inventos útiles; y apreciaremos aún más la grandeza de este logro cuando recordemos que escapó al genio de Arquímedes y Apolonio, dos de los hombres más grandes de la antigüedad."

 Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

La nomenclatura numérica romana.

Aunque generalmente la escritura numérica en notación romana es conocida, comenzaremos por recordarla. Básicamente es un sistema de notación numérica alfabético no posicional. Los valores asignados a ciertas letras son los siguientes:  

$$I=1, \,V=5, \, X=10, \, L=50, \,C=100, \,D=500 \; \text{ y } \;M=100.$$

Los romanos no tenía símbolos para números mayores que 100, aunque en épocas más recientes se comenzó a utilizar una barra encima para denotar la cantidad representada por la letra multiplicada por 1000, por ejemplo $$\overline{V}= 5\,000.\; \overline{X}= 10\,000 \; \text{ y } \;\overline{C}= 100\,000. $$

La notación de cada número se regía por las siguiente reglas:

1. Si se escribe un número menor delante de otro mayor, significa que el segundo se le está restando el primero. Por ejemplo, XL=40, es decir 50-10=40.
2. Por el contrario si se escribe un numero mayor seguido de un número menor, se entiende que se están sumando. Por ejemplo, LX=60, es decir 50+10=60.
3. Símbolos iguales se pueden utilizar de hora consecutiva hasta  un máximo de tres veces. Por ejemplo, XXX=30.
4. No es posible restarle a un número, otro que sea menor que un décimo del valor del primero.  Por ejemplo, 99 se escribe XCIX y no IC.

Suma de números romanos.

La suma de números en nomenclatura romana se rige por la siguiente sucesión de indicaciones, que ejemplificamos realizando la suma de 145=CXLV más 79=LXXIX, la que en notación indo-arábiga es 224= CCXXIV:

$$\begin{array}{rr} & 145 \\ + & 79 \\ \hline & 224 \end{array}\\ \begin{array}{rcll} CXLV + LXXIX & = & CXXXXV+LXXVIIII & \text{1.- Convertir todas la diferencias en sumas.} \\ & = & CXXXXVLXXVIIII & \text{2.- Adjuntar las dos listas de simbolos.} \\ &= & CLXXXXXXVVIIII & \text{3.- Ordenar en forma decreciente los simbolos.} \\ & & & \text{4.- Hacer sumas internas de derecha a izquierda.} \\ &= &CLXXXXXXXIIII & \; \; \;\text{4.1.-Sustituir VV por X.} \\ &= &CLLXXIIII & \; \; \; \text{4.2.-Sustituir XXXXXXX por LXX.} \\ &= & CCXXIIII & \; \; \; \text{4.3.- Sustituir LL por C.} \\ & & & \text{5.- Convertir a resta o suma donde sea necesario.} \\ & = & CCXXIV & \; \; \;\text{Sustituir IIII en IV.} \\ \end{array}$$ 

Diferencia de de números romanos. 

 La diferencia de números romanos es algo más simple que la suma. Ejemplificaremos con la diferencia 145-79=66=LXVI. $$\begin{array}{rcll} CXLV - LXXIX & = & CXXXXV-LXXVIIII & \text{1.- Convertir todas la diferencias en sumas.} \\ &  & & \text{2.- Eliminar  los símbolos comunes a ambos números.} \\ &= &  CXX-LIIII &\; \; \;\text{2.1.- Eliminar  XX y V en ambos.} \\  &= &   LLXX-LIIII&\; \; \;\text{2.1.- Como L es el mayor símbolo de segundo valor,} \\  &= &   LXX-IIII &\; \; \;\text{expandimos C y eliminamos la L repetida.} \\  &= &   LXIIIIIIIIII-IIII&\; \; \;\text{2.3._ Siguiendo el procedimiento, expandimos X,} \\  &= &   LXIIIIII &\; \; \;\text{ y eliminamos las IIII repetidas.} \\  & & & \text{3.- Convertir a resta o suma donde sea necesario.} \\ & = & LXVI & \; \; \;\text{Sustituir IIIIII por VI.} \\\end{array}$$ 

Producto de números romanos.

El producto de números en notación romana es una operación mucho más compleja que las dos anteriores. Podemos pensar que el producto no es más que sumas sucesivas, pero esto es muy engorroso si tratamos con números grandes. El procedimiento que sigue, asume que dado un número romano, sabemos calcular la parte entera de su mitad (que por simplificar llamaremos mitad) y su  buplo. Como ejemplo realizaremos el producto de 57 * 21=1197, en números romanos LVII * XXI= MCXCVII.

1.- Construir la tabla de mitades y duplos.

Mitades		Duplos
LVII	(57)	XXI	(21)
XXVIII	(28)	XLII	(42)
XIV	(14)	LXXXIV	(84)
VII	(7)	CLXVIII	(168)
III	(3)	CCCXXXVI	(336)
I	(1)	DCLXXII	(672)

2.- Eliminar las filas donde las mitades son pares.

Mitades		Duplos
LVII	(57)	XXI	(21)
VII	(7)	CLXVIII	(168)
III	(3)	CCCXXXVI	(336)
I	(1)	DCLXXII	(672)

3.- Sumar los números que han quedado en la columna de la derecha, siguiendo el procedimiento de suma que hemos visto anteriormente.$$XXI+CLXVIII+CCCXXXVI+DCLXXII=MCXCVII.$$

La realización de esta operación paso a paso, según el procedimiento de suma visto anteriormente, se  deja al lector como ejercicio de reafirmación de dicho procedimiento. 

Cociente de números romanos.

El cociente de números romanos es la operación aritmética con mayores dificultades, ya que no existen reglas generales para poder calcularla. 

• Si la diferencia entre los números a dividir no era  significativamente grande, lo que se hacía era restar al dividendo el divisor reiteradamente hasta llegar a un número menor que el divisor (el resto). La cantidad de veces que hayamos restado será la división. Por ejemplo, para realizar la división  $$\frac{145}{57}=\frac{CXLV}{LVII},$$ lo que hacemos son las restas sucesivas:$$CXLV-LVII=LXXXVIII\;\; (88) , \;\;\;\; LXXXVIII-LVII=XXXI\;\; (31), \;\;\;\; XXXI<LVII$$
  Cociente II=2, pues hemos restado dos veces y resto XXXI. La realización de las dos diferencias anteriores, según el procedimiento para diferencias visto anteriormente, se  deja al lector como ejercicio.
• Otra variante consistía en previamente buscar factores comunes a dividendo y divisor, simplificar los dos números y aplicar el procedimientos anterior a los números simplificados que serían mucho menores. 

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Nota: Sugerimos al lector consultar en este blog el artículo El Sistema de Numeración MAYA.

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Infinito potencial vs. infinito actual

Carrera potencialmente sin fin del motorista

Desde que Anaximandro (c. 610 a.C..-c. 546 a.C.), discípulo de Tales de Mileto, introdujo el concepto de lo ilimitado, el infinito ha ocupado un lugar central en la historia de las matemáticas y de la filosofía. Desde la Antigüedad griega se estableció una distinción fundamental entre el infinito potencial y el infinito actual, diferencia que condicionó el desarrollo del pensamiento matemático clásico y que solo fue superada plenamente en la matemática moderna, tras la obra de Georg Cantor (1845-1918). Esencialmente el infinito potencial es una posibilidad de crecimiento sin límites (es un proceso nunca concluido), mientras que el infinito actual es un objeto, un conjunto o una totalidad completa en si misma.

El infinito potencial y el infinito actual representan dos formas distintas de concebir el infinito en matemáticas. Mientras el primero dominó el pensamiento antiguo y medieval, el segundo se convirtió en un pilar indispensable de la matemática moderna. La comprensión de esta distinción es clave para entender tanto las paradojas antiguas como los fundamentos actuales del análisis matemático. 

El infinito potencial

El infinito potencial se entiende como un proceso que nunca se completa, pero que puede prolongarse indefinidamente. No existe como una totalidad acabada, sino como una posibilidad siempre abierta. Esta concepción fue aceptada por Aristóteles y dominó la matemática griega clásica.

En el infinito potencial, en cada momento solo existe una cantidad finita, aunque siempre sea posible ir más allá. El infinito no está dado, sino que se manifiesta en la posibilidad de continuar, es el ``siempre se puede uno más''.

Ejemplos

1. La sucesión de los números naturales: 1, 2, 3, 4, .... No existe un último número natural, pero en cada paso solo se considera un conjunto finito de números.Los números son potencialmente infinitos porque siempre puedes sumar uno más, pero nunca tienes ``todos'' los números en la mano al mismo tiempo.
2. La división de un segmento: 1 → 1/2 → 1/4 → 1/8 → ... El segmento puede dividirse indefinidamente, pero nunca se obtiene una colección infinita de partes al mismo tiempo.

El infinito actual

El infinito actual concibe el infinito como una totalidad completa y existente. En este caso, el infinito no es solo una posibilidad, sino un objeto matemático sobre el que se puede razonar como un todo, es el ``todo completo ahora''. Esta concepción fue rechazada por Aristóteles, pero es fundamental en la matemática moderna.

Ejemplos. 

1. El conjunto de los números naturales: ℕ = {1, 2, 3, 4, ...}. Aquí el conjunto infinito es considerado como un objeto dado que contiene simultáneamente infinitos elementos. Ya están todos ahí, no hace falta ``ir contándolos''.
2.  Las  series infinitas, como: $$\sum_{n=1}^{\infty} (1/2)^n =1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + (1/2)^n+ ... = 1.$$ En este caso, la suma infinita es tratada como una totalidad con un valor finito, lo cual solo es posible aceptando el infinito actual.

El Hotel de Hilbert

Hilbert propuso este ejemplo precisamente para defender las matemáticas de Georg Cantor, quien fue el primero en tratar el infinito como una entidad completa con la que se puede operar matemáticamente. El ejemplo en detalle se puede ver en el post El Hotel de Hilbert de este blog.

Antes de ellos, la mayoría de matemáticos solo aceptaban el infinito potencial. Hilbert usó el hotel para demostrar que, aunque el infinito actual genera resultados que parecen absurdos a nuestra intuición humana (como 1 + ∞ = ∞), es lógicamente consistente y no tiene contradicciones internas.

El experimento mental de Hilbert requiere que el infinito sea actual por una razón mecánica fundamental de la paradoja:

1. El hotel ya está construido: No es un hotel al que le están agregando habitaciones constantemente (eso sería potencial). El hotel tiene infinitas habitaciones y están todas ahí simultáneamente.
2. La simultaneidad de las acciones: Cuando llega un nuevo huésped y el gerente dice:

   “Que todos los huéspedes de la habitación n se muevan a la n+1”

   Esa acción ocurre de golpe.
   • Si fuera infinito potencial, nunca terminarías de mover a los huéspedes (el huésped 1 espera al 2, el 2 al 3, etc., en una cadena eterna).
   • Para que la paradoja funcione, debes ser capaz de manipular la totalidad del conjunto infinito como una sola cosa completa. 

    

"El infinito, como ninguna otra cuestión, ha conmovido siempre tan profundamente el alma de los hombres; el infinito, como ninguna otra idea, ha estimulado y fecundado tan provechosamente la razón; pero también el infinito, más que ningún otro concepto, necesita ser aclarado."

David Hilbert (Sobre el infinito, 1925) 

  

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