Infinito potencial vs. infinito actual

Carrera potencialmente sin fin del motorista

Desde que Anaximandro (c. 610 a.C..-c. 546 a.C.), discípulo de Tales de Mileto, introdujo el concepto de lo ilimitado, el infinito ha ocupado un lugar central en la historia de las matemáticas y de la filosofía. Desde la Antigüedad griega se estableció una distinción fundamental entre el infinito potencial y el infinito actual, diferencia que condicionó el desarrollo del pensamiento matemático clásico y que solo fue superada plenamente en la matemática moderna, tras la obra de Georg Cantor (1845-1918). Esencialmente el infinito potencial es una posibilidad de crecimiento sin límites (es un proceso nunca concluido), mientras que el infinito actual es un objeto, un conjunto o una totalidad completa en si misma.

El infinito potencial y el infinito actual representan dos formas distintas de concebir el infinito en matemáticas. Mientras el primero dominó el pensamiento antiguo y medieval, el segundo se convirtió en un pilar indispensable de la matemática moderna. La comprensión de esta distinción es clave para entender tanto las paradojas antiguas como los fundamentos actuales del análisis matemático. 

El infinito potencial

El infinito potencial se entiende como un proceso que nunca se completa, pero que puede prolongarse indefinidamente. No existe como una totalidad acabada, sino como una posibilidad siempre abierta. Esta concepción fue aceptada por Aristóteles y dominó la matemática griega clásica.

En el infinito potencial, en cada momento solo existe una cantidad finita, aunque siempre sea posible ir más allá. El infinito no está dado, sino que se manifiesta en la posibilidad de continuar, es el ``siempre se puede uno más''.

Ejemplos

1. La sucesión de los números naturales: 1, 2, 3, 4, .... No existe un último número natural, pero en cada paso solo se considera un conjunto finito de números.Los números son potencialmente infinitos porque siempre puedes sumar uno más, pero nunca tienes ``todos'' los números en la mano al mismo tiempo.
2. La división de un segmento: 1 → 1/2 → 1/4 → 1/8 → ... El segmento puede dividirse indefinidamente, pero nunca se obtiene una colección infinita de partes al mismo tiempo.

El infinito actual

El infinito actual concibe el infinito como una totalidad completa y existente. En este caso, el infinito no es solo una posibilidad, sino un objeto matemático sobre el que se puede razonar como un todo, es el ``todo completo ahora''. Esta concepción fue rechazada por Aristóteles, pero es fundamental en la matemática moderna.

Ejemplos. 

1. El conjunto de los números naturales: ℕ = {1, 2, 3, 4, ...}. Aquí el conjunto infinito es considerado como un objeto dado que contiene simultáneamente infinitos elementos. Ya están todos ahí, no hace falta ``ir contándolos''.
2.  Las  series infinitas, como: $$\sum_{n=1}^{\infty} (1/2)^n =1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + (1/2)^n+ ... = 1.$$ En este caso, la suma infinita es tratada como una totalidad con un valor finito, lo cual solo es posible aceptando el infinito actual.

El Hotel de Hilbert

Hilbert propuso este ejemplo precisamente para defender las matemáticas de Georg Cantor, quien fue el primero en tratar el infinito como una entidad completa con la que se puede operar matemáticamente. El ejemplo en detalle se puede ver en el post El Hotel de Hilbert de este blog.

Antes de ellos, la mayoría de matemáticos solo aceptaban el infinito potencial. Hilbert usó el hotel para demostrar que, aunque el infinito actual genera resultados que parecen absurdos a nuestra intuición humana (como 1 + ∞ = ∞), es lógicamente consistente y no tiene contradicciones internas.

El experimento mental de Hilbert requiere que el infinito sea actual por una razón mecánica fundamental de la paradoja:

1. El hotel ya está construido: No es un hotel al que le están agregando habitaciones constantemente (eso sería potencial). El hotel tiene infinitas habitaciones y están todas ahí simultáneamente.
2. La simultaneidad de las acciones: Cuando llega un nuevo huésped y el gerente dice:

   “Que todos los huéspedes de la habitación n se muevan a la n+1”

   Esa acción ocurre de golpe.
   • Si fuera infinito potencial, nunca terminarías de mover a los huéspedes (el huésped 1 espera al 2, el 2 al 3, etc., en una cadena eterna).
   • Para que la paradoja funcione, debes ser capaz de manipular la totalidad del conjunto infinito como una sola cosa completa. 

    

"El infinito, como ninguna otra cuestión, ha conmovido siempre tan profundamente el alma de los hombres; el infinito, como ninguna otra idea, ha estimulado y fecundado tan provechosamente la razón; pero también el infinito, más que ningún otro concepto, necesita ser aclarado."

David Hilbert (Sobre el infinito, 1925) 

  

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Emmy Noether. La madre del álgebra moderna.

Amalie Emmy Noether nació en 1882 en Erlangen, Alemania. Fue la mayor de cuatro hermanos y la hija del reconocido matemático Max Noether y de Ida Amalia Kaufmann. Desde muy pequeña mostró un talento especial para las matemáticas, una pasión que marcaría el rumbo de toda su vida.

Aunque poseía grandes aptitudes para los idiomas y en 1900 aprobó el examen que le permitía enseñar a niñas, Emmy decidió desafiar los prejuicios de su tiempo. Optó por matricularse en matemáticas en la Universidad Friedrich-Alexander de Erlangen-Núremberg, donde la presencia femenina era casi inexistente: de los 986 estudiantes inscritos, solo dos eran mujeres.

Para poder asistir a las clases, tuvo que solicitar autorización por escrito a cada profesor. A pesar de todas estas dificultades, en 1907 consiguió obtener su doctorado en matemáticas, un logro excepcional para una mujer de su época.

Entre 1908 y 1915 enseñó en el Instituto Matemático de Erlangen sin recibir ningún salario. Durante esos años entró en contacto con el trabajo del matemático David Hilbert y colaboró con Ernst Sigismund Fischer. Fue entonces cuando Emmy desarrolló métodos fundamentales en álgebra abstracta, una contribución tan profunda que hoy se la reconoce como la madre del álgebra moderna.

En 1915, David Hilbert la invitó a enseñar en la Universidad de Gotinga. Sin embargo, varios profesores de la facultad de filosofía se opusieron a que recibiera el título de Privatdozent, necesario para impartir clases universitarias y aspirar a una cátedra. Indignado por la actitud de sus colegas, Hilbert respondió con una frase que se haría célebre:

"No veo que el sexo del candidato sea un argumento en contra de su admisión como Privatdozent. Después de todo, somos una universidad, no una casa de baños".

Para permitirle enseñar, Hilbert anunciaba las clases como si fueran impartidas por él junto a su asistente, la señora Noether, aunque en realidad solo Emmy estaba al frente del aula.

Los Noether Boys

Emmy Noether y un pequeño grupo de los “Noether Boys” se reúnen para una comida en el campo, cerca de Gotinga, en 1932. Emmy está de pie entre Otto Shilling, uno de sus estudiantes, y Olga Taussky. Otros invitados del grupo incluyen a Hans Schwerdtfeger, estudiante doctoral de Emmy (detrás de Olga), Ernst Witt y Paul Bernays (quinto y sexto desde la izquierda), y Paul Alexandroff y Erna Bannow (primero y segunda desde la derecha).

Los Noether Boys era el apodo cariñoso y respetuoso con el que se conocía al grupo de brillantes estudiantes de matemáticas, en su mayoría hombres, que se reunían en torno a Emmy Noether en la Universidad de Gotinga. Atraídos por su genialidad, su estilo innovador de enseñanza y el ambiente intelectual que fomentaba, muchos de ellos se convertirían más tarde en destacados matemáticos.

Entre sus alumnos y colaboradores más cercanos se encontraban:

• Bartel Leendert van der Waerden: Alumno directo de Emmy Noether en Gotinga. Fue uno de los principales divulgadores de sus ideas y autor del influyente libro Moderne Algebra, que consolidó el enfoque estructural del álgebra moderna impulsado por Noether.
• Wolfgang Krull: Alumno de Emmy Noether. Realizó aportaciones fundamentales al álgebra conmutativa, entre ellas la noción de dimensión de Krull, esencial en la teoría moderna de anillos.
• Ernst Witt: Alumno de Emmy Noether. Contribuyó de forma decisiva al álgebra y a la teoría de formas cuadráticas, siendo conocido por los vectores y anillos de Witt.
• Max Deuring: Alumno de Emmy Noether. Trabajó en teoría de números y geometría algebraica, especialmente en el estudio de curvas elípticas y funciones modulares.
• Richard Brauer: Cercano al círculo de Noether y fuertemente influenciado por su trabajo, aunque no fue alumno directo. Es una figura clave en la teoría de representaciones de grupos y en la teoría de álgebras centrales simples.
• Helmut Hasse: Colaborador y miembro del entorno matemático de Gotinga, influido por las ideas de Noether, pero no alumno directo. Destacó por sus contribuciones a la teoría de números algebraica y las leyes de reciprocidad.
• Emil Artin: Colega y colaborador cercano de Emmy Noether en Gotinga, aunque no fue su alumno. Es conocido por el teorema de reciprocidad de Artin y por su profunda influencia en la teoría de números moderna.

En la década de 1930, el ascenso del régimen nazi al poder alteró drásticamente la vida de Emmy y con ella el declive de los chicos de Noether. Curiosamente, en esta misma década surgió el grupo Bourbaki, lo que ilustra el cambio en la influencia matemática de Alemania a Francia.

El teorema de Noether

En aquellos años, Hilbert trabajaba intensamente en problemas relacionados con la teoría de la relatividad general desarrollada por Albert Einstein.

En 1918, Emmy publicó un artículo revolucionario en el que formuló dos teoremas fundamentales. Uno de ellos pasaría a la historia como el teorema de Noether, demostrando que las leyes de la física son invariantes y que las simetrías están directamente relacionadas con las leyes de conservación de la naturaleza. Este descubrimiento se convirtió en uno de los pilares de la física moderna y sigue siendo esencial en la actualidad.

No fue hasta 1919 cuando Emmy obtuvo oficialmente la habilitación para enseñar matemáticas en la Universidad de Gotinga, aunque aún tendría que esperar un año más para recibir un salario.

Una enseñanza diferente

El estilo de enseñanza de Emmy era muy distinto al de sus colegas masculinos. Sus clases se basaban en largas discusiones con los estudiantes y en el análisis colectivo de problemas matemáticos concretos. Algunos alumnos se sintieron profundamente inspirados por esta metodología y se convirtieron en admiradores incondicionales, mientras que otros rechazaron este enfoque.

A pesar de ello, Emmy fue siempre una profesora comprometida y generosa, llegando incluso a animar a sus estudiantes a utilizar sus ideas para impulsar sus propias carreras académicas. En 1932, Emmy Noether y Emil Artin recibieron el Premio Memorial Ackermann–Teubner por sus importantes contribuciones a las matemáticas.

Exilio en los Estados Unidos

En abril de 1933, el gobierno de Hitler aprobó una ley que retiraba el derecho al trabajo a los funcionarios judíos, y como mujer judía, Emmy perdió su puesto en la Universidad de Gotinga. Durante un tiempo continuó enseñando en su propio apartamento, pero finalmente se vio obligada a emigrar a los Estados Unidos a finales de 1933. Allí aceptó un puesto en el Bryn Mawr College de Pensilvania, una institución dedicada en ese momento exclusivamente a la educación de mujeres.

En abril de 1935, a Emmy Noether le diagnosticaron un tumor abdominal. Falleció el 14 de abril de 1935, apenas cuatro días después de una operación que parecía haber sido exitosa.

Emmy Noether está considerada una de las mentes más brillantes de la historia de las matemáticas. Sin embargo, desarrolló su carrera en una época en la que la ciencia y las matemáticas eran vistas casi exclusivamente como campos masculinos. Sus contribuciones a las matemáticas son tan profundas y duraderas que hoy se la considera una de las matemáticas más importantes de todos los tiempos.

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Lectura recomendada. 

Tent, M. B. W. Emmy Noether: The Mother of Modern Algebra. Wellesley, MA: A K Peters/CRC Press, 2008.

Las paradojas del mentiroso, el barbero o la manos que se dibujan y la paradoja de Russell

 Bertrand  Russell (1872-1970) fue un  matemático,filósofo, lógico y escritor británico, ganador del Premio Nobel de Literatura. Realizó aportes fundamentales a la matemática principalmente en el ámbito de la lógica  y los fundamentos de las matemáticas. Su contribución más influyente fue el desarrollo de la lógica formal junto con Alfred North Whitehead en Principia Mathematica (1910–1913), obra en la que intentaron demostrar que todas las verdades matemáticas podían derivarse de principios lógicos, sentando las bases del logicismo. Además, sus trabajos ayudaron a clarificar conceptos como número, proposición y función, influyendo decisivamente en la matemática moderna, la lógica simbólica y la filosofía de las matemáticas. Russell descubrió numerosas paradojas que atrajeron  la atención en los círculos matemáticos de la época, pero, curiosamente, tan sólo una de ellas acabó llevando su nombre. En carta al lógico alemán Gottlob Frege de 1902,  Russell formula lo siguiente:

Llamemos Conjunto Normal a cada uno de aquellos conjuntos que no se contiene a si mismo y Conjunto Singular  a aquellos conjuntos que se contiene a si mismo. Notemos que un conjunto dado es normal o singular, no hay otra alternativa, ya que una tercera posibilidad queda excluida. Sea C el conjunto de todos los conjuntos normales,  ¿C es Normal o Singular?

 Obviamente si C fuera normal, no lo sería, y recíprocamente. La paradoja,  revelaba la  inconsistencias en la teoría ingenua de conjuntos, lo que motivó el desarrollo de sistemas axiomáticos más rigurosos.

La paradoja de Russell es una reformulación para la teoría de conjuntos de la paradoja del mentiroso o paradoja de Epiménides de Cnosos (Siglo VII-VI a.C.), que ya era conocida en mundo griego de la antigüedad. Se dice que Epiménides exclamó: “¡Esta afirmación  es falsa!”. claramente si la afirmación es verdadera, entonces es falsa, y si es falsa, entonces es verdadera. Luego, cualquiera sea la asunción sobre su veracidad, estaremos en una contradicción. Una variante de esta paradoja en dos oraciones es la siguiente: “La siguiente  afirmación es verdadera.La  afirmación anterior es falsa”. Cada enunciado por si mismo tiene sentido, pero, combinados, crean una contradicción.  

 La litografía de  “Manos que se dibujan” (Drawing Hands, 1948) de M. C. Escher, que se representa   en la siguiente imagen, es una ilustración visual de esta paradoja.

 Notemos que cada mano por separado tiene sentido, pero es la consideración de ambas a la vez lo que origina la paradoja visual

Probablemente la variación de la paradoja de Russell más conocida sea la del único barbero que hay en un poblado aislado y pequeño: 

 

En el poblado, el barbero afeita a todas las personas que no se afeitan ellos mismos. 
¿Se afeita el barbero a sí mismo?

Entonces el barbero se afeitará a si mismo si solo si no se afeita a si mismo, lo cual es un sinsentido. Claramente, esto no es más que un juego de palabras,  pero cuando se trata del concepto matemático de conjunto, no es posible evadir este problema lógico. 

Se pueden enunciar diferentes paradojas del lenguaje, considerándolas juegos de palabras sin significado, pero aplicadas a los conceptos básicos de las  matemáticas motivaron  los trabajos  de David Hilbert, Kurt Gödel y Alan Turing, entre otros grandes pensadores, sobre los fundamentos de esta ciencia. 

 

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 Este post está basado en el artículo: 

• Gregory J. Chaitin. Ordenadores, paradojas y fundamentos de las matemáticas, Investigación y Ciencia, julio 2023. 

La demostración del Teorema de Pitágoras por Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci (1452-1519), uno de los grandes genios de la historia, destaca no solo por su extraordinario talento artístico, sino también por sus aportes a la ciencia, la ingeniería y la filosofía. Aunque su nombre esté asociado a obras icónicas como La Gioconda y La Última Cena, su legado abarca mucho más que el arte. Fue un verdadero hombre del Renacimiento, cuya curiosidad insaciable lo llevó a explorar y sobresalir en diversas áreas del conocimiento.

Leonardo nunca recibió una educación formal en matemáticas y jamás llegó a dominar el álgebra, sin embargo, sí gozaba de una notable intuición espacial y geométrica; ésta se halla presente en múltiples aspectos de su obra. Su falta de conocimiento teórico fue compensada por su talento visual para el espacio. Se trata de una demostración visual por congruencia mediante sustracción, basada en el siguiente diagrama:

Demostración. 

• Dado que, en esa figura, los cuadriláteros IFGH, IFBA, CJDA y JCBE son congruentes, se deduce que los hexágonos ABFGHI y ACBEJD tienen áreas iguales. 
• Pero el hexágono ABFGHI está compuesto por los cuadrados de los catetos del triángulo rectángulo ABC junto con dos triángulos congruentes con el triángulo ABC; y el hexágono ACBEJD está compuesto por el cuadrado de la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC junto con dos triángulos congruentes con el triángulo ABC. 
• De ello se deduce que la suma de los cuadrados de los catetos del triángulo rectángulo ABC es igual al cuadrado de la hipotenusa.

La demostración de Leonardo da Vinci está  contenida en uno de sus cuadernos que se conserva en el Museo del Louvre.

 

El axioma de elección y la paradoja de Banach-Tarski

I.- El Axioma de Elección

Ernst Zermelo
(1871-1953)

Uno de los postulados de la matemática contemporánea mas controvertidos, sino el que más, es el Axioma de Elección, enunciado en 1904 por el matemático alemán Ernst Zermelo. Su formulación es simple e "intuitiva"

"Dada una colección de conjuntos no vacíos cualesquiera, existe otro conjunto que contiene un elemento elegido de cada uno de esos conjuntos"

Es obvio que el procedimiento de elección puede llevarse a cabo si la colección está formada por un número finito de conjuntos o si existe alguna regla bien determinada que nos permita elegir un único elemento de cada conjunto de la colección. No obstante, el axioma tiene su mayor relevancia cuando la colección está formada por infinitos conjuntos. 

 El matemático inglés Bertrand Russell (1872-1970) ilustró acertadamente, de manera informal, este hecho con la siguiente parodia:

Un lord inglés caprichoso e infinitamente rico tenía infinitos trajes, zapatos, sombreros, etc. Un día ordenó a su mayordomo:
- Walter, quiero que pongas una fila de zapatos en el pasillo, de forma que haya un zapato de cada uno de mis pares.
Naturalmente, el pasillo era infinitamente largo. Walter quedó pensativo, y en seguida ordenó a los infinitos criados que tomaran de cada par de zapatos el correspondiente al pie izquierdo, y que los pusieran en fila en el pasillo. Así cumplió Walter la orden, pero al día siguiente, el lord se lo puso más difícil:

- Walter , quiero que pongas en el pasillo un calcetín de cada uno de mis pares de calcetines.
Después de reflexionar, Walter respondió:
-My lord, para hacer eso necesito el axioma de elección.

Zermelo introdujo el Axioma de Elección para demostrar el Principio de Buen Ordenamiento,  que hoy sabemos es equivalente al axioma. El principio, es un resultado no menos  polémico que el axioma y afirma que en todo conjunto no vacío se puede establecer un orden similar al que conocemos para los números naturales, es decir dados dos elementos distintos cualesquiera podemos saber cual es el mayor (o el menor) y que todo subconjunto contiene un "primer elemento" (elemento minimal).
Hoy en día, el Axioma de Elección  es generalmente aceptado y utilizado  sin reservas por la mayoría de los matemáticos. Aunque existen  corrientes de pensamiento que lo rechazan o que estudian su repercución  en otros resultados contradictorios. Su acceptación se debe a que  como consecuencia del mismo se pueden demostrar teoremas muy importantes el  de  Tychonoff  en Topología, el  de  Hahn-Banach  en Análisis Funcional,  así  como  la  propia fundamentación  del  Análisis  No-Standard  y el Teorema de Banach-Tarski al que dedicamos la segunda parte de este post.

 

II.- La paradoja de Banach-Tarski

El Teorema original fue enunciado y demostrado en 1924 por los matemáticos polacos S. Banach y A. Tarski en el artículo  "Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes",   Fundamenta Mathematicae 6, 244–277. El siguiente enunciado es una versión informal del teorema para facilitar su comprención.

  Teorema de Banach-Tarski. Dada una esfera (maciza) en el espacio tridimensional, existe una descomposición de dicha esfera en un número finito  de trozos sin intersección, de modo que, aplicando "movimientos oportunos" a una parte de ellas, podemos obtener una esfera idéntica a la primera y los mismo   podemos hacer con las partes restantes para obtener otra  esfera idéntica a las dos anteriores.

 

Obviamente si hablamos de que cada una de las partes es "medible", sólidos en el sentido tradicional, los movimientos oportunos (rotaciones y translaciones) que se realizan claramente conservan el volumen. Pero en este caso cada una de los trozos desgajados de la esfera es un  "conjunto no medible" y en consecuencia no tiene puede conservar una propiedad que no tiene (el volumen). La construcción de cada uno de los trozos  se basa en el Axioma de Elección, para realizar una cantidad no numerable de elecciones arbitrarias. 

En la demostración original, Banach y Tarski, utilizarón una descomposición de la esfera en ocho trozos, hoy sabemos que el menor número de trozos que se puede utilizar en la descomposición es cinco. Aunque el teorema contradice la intuición (por lo que le llamamos paradoja) su  demostración es rigurosa y no contiene errores.

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Al lector avanzado que se interese en el tema le recomiendo

1.- Stan Wagon, The Banach–Tarski Paradox, Cambridge University Press, 1994. 
2.- Marta Macho-Stadler, ¿Puede una rana hacerse tan grande como un buey? Banach y Tarski responden. 

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Pitagoras, los pitagóricos y los números irracionales

 Autor: Gilberto Días Reyes

 

Grupo de pitagóricos celebrando la salida del sol. Himno al sol naciente, Fyodor Bronnikov (1827-1902; óleo)

Pitágoras y los pitagóricos

Que nadie, por sus dichos o por sus actos,
te conmueva para que hagas o digas
nada que no sea lo mejor para ti.
                       Versos Áureos – Pitágoras.

Pitágoras de Samos, aproximadamente 570 – 490 AC, fue el fundador y principal exponente de una de las escuelas - corrientes filosóficas, junto con la jónica y la ateniense que estuvieron en auge en la Antigua Grecia entre los siglos VII AC hasta nuestra era. En particular la escuela pitagórica se enmarca entre los siglos VI-V AC, aunque su influencia, sobre todo matemática, durara durante muchos siglos después, casi hasta nuestros días.
Durante su periodo de esplendor se produce un proceso de recopilación de hechos matemáticos y la aparición de los primeros sistemas teóricos. Para los pitagóricos eran conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples e introdujeron las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas. Junto con la demostración geométrica del Teorema de Pitágoras fue demostrado el hecho de la existencia de la serie ilimitada de las ternas de números pitagóricos.

Pitágoras asistió a lecciones de Anaximandro, discípulo de Tales y se cree que Pitágoras visito a Tales siendo este ya muy anciano. Tales recomendó a Pitagoras que viajara por todo el mundo conocido incluyendo India, para ampliar sus conocimientos y conocer otras culturas, aunque  no hay evidencias ciertas de estos viajes si se acepta que recorrió Egipto lo que contribuyo de manera notable en su formación.
La sociedad pitagórica era esencialmente religiosa, con una enorme influencia en la cultura, y en menor medida en la política, de su época. Sus intereses no solo se limitaron a las matemáticas, si no además a la medicina, filosofía, ética y la cosmología en general. Las ideas y principios de esta escuela tuvieron una influencia significativa en pensadores posteriores cono Platón y Aristóteles y sobre todo en el desarrollo posterior de las matemáticas.

No se conservan escritos o documentos de Pitágoras así como biografía de sus contemporáneos, de ahí que los datos verificables sobre su vida son muy escasos. El hecho de que la escuela practicaba el secretismo y la vida comunal de manera muy estricta, y que sus miembros solían atribuir todos sus descubrimientos a su fundador, ha contribuido a esta “niebla” sobre los descubrimientos originales y atribuibles al propio Pitágoras.
Sus principales concepciones se pueden resumir en: en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática; la filosofía puede usarse para la purificación espiritual; el alma puede elevarse para unirse con lo divino; ciertos símbolos son de naturaleza mística; todos los miembros de la hermandad deben guardar absoluta lealtad y secretismo.

Los números irracionales y los pitagóricos

En la esencia de la filosofía pitagórica todo lo existente debía ser explicado en términos de proporciones y relaciones numéricas. La armonía del cosmos, la música y el orden natural se consideraban regidos por razones matemáticas. Para ellos, cada aspecto del mundo podía ser explicado usando combinaciones de números racionales (aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos enteros. Su sistema, al igual que su filosofía, se basaba en la perfección y previsibilidad de estos números.

El descubrimiento de los irracionales generó un dilema de gran trascendencia para los pitagóricos, tanto que se considera que lo mantuvieron oculto durante todo el tiempo que pudieron. Esta postura refleja el miedo de los pitagóricos a que su cosmovisión matemática se derrumbara. La idea de que existían números que escapaban al control de la razón era inaceptable para ellos. Se intuye que el primer irracional descubierto debió ser √2 al considerar la diagonal de un cuadrado de lado uno. El descubrimiento de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos se atribuye al pitagórico Hipaso de Metaponto, al menos fue este quien reveló el secreto de la existencia de tales números que escapaban al orden y la razón establecida. Según la leyenda esta acción de Hipaso fue castigada con la muerte, cuenta la leyenda que fue arrojado al mar por la borda de un barco por haber divulgado el secreto.

Si existían magnitudes que no podían expresarse como razones de números naturales (o enteros), entonces el universo no era completamente predecible. Había caos en medio de la perfección.

Durante generaciones este conflicto marco el desarrollo de las matemáticas, en particular la teoría de números. Fue Euclides, 300 AC, quien desarrolló una teoría más completa de los irracionales. En el Libro X de sus Elementos brinda una detallada clasificación de las "magnitudes irracionales”, mostrando cómo se comportan.

Lo que comenzó como un cálculo simple terminó cambiando la historia de la matemática. El descubrimiento de √2 abrió la puerta a toda una familia de números irracionales, desde π hasta e, que hoy son esenciales para entender la naturaleza, la física y la tecnología moderna.

La primera mujer matemática

Usualmente se considera a Hipatia de Alejandría como la primera matemática, fundamentalmente porque se tienen registros confiables sobre su vida y obra. No obstante, en 1690, el historiador francés Gilles Ménage identificó a 27 pitagóricas mencionadas en textos antiguos. Entre ellas, algunas fuentes afirman que Téano de Crotona (siglo VI a.C.) pudo haber sido realmente la primera mujer dedicada a las matemáticas.

Pitágoras de Samos, tiene que huir de su ciudad natal para escapar de la tiranía de Polícrates y el legendario atleta Milón lo acoge en Crotona, al sur de Italia. Milón fue un legendario atleta olímpico, admirado por su destreza en todo el mundo griego, ganador de seis coronas en los juegos, pero a la vez era un estudioso de la filosofía y las matemáticas. Era también un admirador de Pitágoras, así que le proporcionó los medios para fundar su escuela, la Fraternidad Pitagórica, en la que vivieron y trabajaron cientos de sus discípulos.

Milón tenía una hija llamada Téano, y no dudó en mandarla a estudiar a la escuela de su protegido. Así habría comenzado la relación amorosa que convirtió a Téano en la esposa de Pitágoras, que se cree era 30 años mayor. Se la supone autora de una serie de obras, que no han llegado a nosotros, aunque sí hay fragmentos que se le atribuyen. Téano pasó a ser miembro de la escuela pitagórica, que no hacía distinción entre hombres o mujeres. Entre sus contribuciones más significativas se encuentran tratados sobre los poliedros y la proporción áurea.

De su trabajo Sobre la piedad, se conserva este texto referido al proyecto de matematizar fenómenos naturales que había llevado a cabo Pitágoras:

"He oído decir que los griegos pensaban que Pitágoras afirmaba que todo había sido engendrado por el Número. Pero esta afirmación nos perturba: ¿cómo nos podemos imaginar cosas que no existen y que pueden engendrar? Él no dijo que las cosas nacen del número, sino que en el número reside el orden esencial, y las cosas participan de ese orden."

La Fraternidad terminó de manera trágica, ya que tras una guerra entre ciudades estados, se desató una ola de descontento en Crotona contra Milón y Pitágoras, la escuela fue incendiada. Se cree que Pitágoras junto a varios de sus discípulos perecieron entre las llamas. Téano y sus hijas lograron salvarse, asumiendo el liderazgo de la escuela. Esta continuidad fue clave no sólo para continuar con las enseñanzas de Pitágoras en Grecia y en Egipto sino para sembrar la semilla de lo que sería la Academia de Platón.