Pitagoras, los pitagóricos y los números irracionales

 Autor: Gilberto Días Reyes

 

Grupo de pitagóricos celebrando la salida del sol. Himno al sol naciente, Fyodor Bronnikov (1827-1902; óleo)

Pitágoras y los pitagóricos

Que nadie, por sus dichos o por sus actos,
te conmueva para que hagas o digas
nada que no sea lo mejor para ti.
                       Versos Áureos – Pitágoras.

Pitágoras de Samos, aproximadamente 570 – 490 AC, fue el fundador y principal exponente de una de las escuelas - corrientes filosóficas, junto con la jónica y la ateniense que estuvieron en auge en la Antigua Grecia entre los siglos VII AC hasta nuestra era. En particular la escuela pitagórica se enmarca entre los siglos VI-V AC, aunque su influencia, sobre todo matemática, durara durante muchos siglos después, casi hasta nuestros días.
Durante su periodo de esplendor se produce un proceso de recopilación de hechos matemáticos y la aparición de los primeros sistemas teóricos. Para los pitagóricos eran conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples e introdujeron las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas. Junto con la demostración geométrica del Teorema de Pitágoras fue demostrado el hecho de la existencia de la serie ilimitada de las ternas de números pitagóricos.

Pitágoras asistió a lecciones de Anaximandro, discípulo de Tales y se cree que Pitágoras visito a Tales siendo este ya muy anciano. Tales recomendó a Pitagoras que viajara por todo el mundo conocido incluyendo India, para ampliar sus conocimientos y conocer otras culturas, aunque  no hay evidencias ciertas de estos viajes si se acepta que recorrió Egipto lo que contribuyo de manera notable en su formación.
La sociedad pitagórica era esencialmente religiosa, con una enorme influencia en la cultura, y en menor medida en la política, de su época. Sus intereses no solo se limitaron a las matemáticas, si no además a la medicina, filosofía, ética y la cosmología en general. Las ideas y principios de esta escuela tuvieron una influencia significativa en pensadores posteriores cono Platón y Aristóteles y sobre todo en el desarrollo posterior de las matemáticas.

No se conservan escritos o documentos de Pitágoras así como biografía de sus contemporáneos, de ahí que los datos verificables sobre su vida son muy escasos. El hecho de que la escuela practicaba el secretismo y la vida comunal de manera muy estricta, y que sus miembros solían atribuir todos sus descubrimientos a su fundador, ha contribuido a esta “niebla” sobre los descubrimientos originales y atribuibles al propio Pitágoras.
Sus principales concepciones se pueden resumir en: en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática; la filosofía puede usarse para la purificación espiritual; el alma puede elevarse para unirse con lo divino; ciertos símbolos son de naturaleza mística; todos los miembros de la hermandad deben guardar absoluta lealtad y secretismo.

Los números irracionales y los pitagóricos

En la esencia de la filosofía pitagórica todo lo existente debía ser explicado en términos de proporciones y relaciones numéricas. La armonía del cosmos, la música y el orden natural se consideraban regidos por razones matemáticas. Para ellos, cada aspecto del mundo podía ser explicado usando combinaciones de números racionales (aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos enteros. Su sistema, al igual que su filosofía, se basaba en la perfección y previsibilidad de estos números.

El descubrimiento de los irracionales generó un dilema de gran trascendencia para los pitagóricos, tanto que se considera que lo mantuvieron oculto durante todo el tiempo que pudieron. Esta postura refleja el miedo de los pitagóricos a que su cosmovisión matemática se derrumbara. La idea de que existían números que escapaban al control de la razón era inaceptable para ellos. Se intuye que el primer irracional descubierto debió ser √2 al considerar la diagonal de un cuadrado de lado uno. El descubrimiento de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos se atribuye al pitagórico Hipaso de Metaponto, al menos fue este quien reveló el secreto de la existencia de tales números que escapaban al orden y la razón establecida. Según la leyenda esta acción de Hipaso fue castigada con la muerte, cuenta la leyenda que fue arrojado al mar por la borda de un barco por haber divulgado el secreto.

Si existían magnitudes que no podían expresarse como razones de números naturales (o enteros), entonces el universo no era completamente predecible. Había caos en medio de la perfección.

Durante generaciones este conflicto marco el desarrollo de las matemáticas, en particular la teoría de números. Fue Euclides, 300 AC, quien desarrolló una teoría más completa de los irracionales. En el Libro X de sus Elementos brinda una detallada clasificación de las "magnitudes irracionales”, mostrando cómo se comportan.

Lo que comenzó como un cálculo simple terminó cambiando la historia de la matemática. El descubrimiento de √2 abrió la puerta a toda una familia de números irracionales, desde π hasta e, que hoy son esenciales para entender la naturaleza, la física y la tecnología moderna.

La primera mujer matemática

Usualmente se considera a Hipatia de Alejandría como la primera matemática, fundamentalmente porque se tienen registros confiables sobre su vida y obra. No obstante, en 1690, el historiador francés Gilles Ménage identificó a 27 pitagóricas mencionadas en textos antiguos. Entre ellas, algunas fuentes afirman que Téano de Crotona (siglo VI a.C.) pudo haber sido realmente la primera mujer dedicada a las matemáticas.

Pitágoras de Samos, tiene que huir de su ciudad natal para escapar de la tiranía de Polícrates y el legendario atleta Milón lo acoge en Crotona, al sur de Italia. Milón fue un legendario atleta olímpico, admirado por su destreza en todo el mundo griego, ganador de seis coronas en los juegos, pero a la vez era un estudioso de la filosofía y las matemáticas. Era también un admirador de Pitágoras, así que le proporcionó los medios para fundar su escuela, la Fraternidad Pitagórica, en la que vivieron y trabajaron cientos de sus discípulos.

Milón tenía una hija llamada Téano, y no dudó en mandarla a estudiar a la escuela de su protegido. Así habría comenzado la relación amorosa que convirtió a Téano en la esposa de Pitágoras, que se cree era 30 años mayor. Se la supone autora de una serie de obras, que no han llegado a nosotros, aunque sí hay fragmentos que se le atribuyen. Téano pasó a ser miembro de la escuela pitagórica, que no hacía distinción entre hombres o mujeres. Entre sus contribuciones más significativas se encuentran tratados sobre los poliedros y la proporción áurea.

De su trabajo Sobre la piedad, se conserva este texto referido al proyecto de matematizar fenómenos naturales que había llevado a cabo Pitágoras:

"He oído decir que los griegos pensaban que Pitágoras afirmaba que todo había sido engendrado por el Número. Pero esta afirmación nos perturba: ¿cómo nos podemos imaginar cosas que no existen y que pueden engendrar? Él no dijo que las cosas nacen del número, sino que en el número reside el orden esencial, y las cosas participan de ese orden."

La Fraternidad terminó de manera trágica, ya que tras una guerra entre ciudades estados, se desató una ola de descontento en Crotona contra Milón y Pitágoras, la escuela fue incendiada. Se cree que Pitágoras junto a varios de sus discípulos perecieron entre las llamas. Téano y sus hijas lograron salvarse, asumiendo el liderazgo de la escuela. Esta continuidad fue clave no sólo para continuar con las enseñanzas de Pitágoras en Grecia y en Egipto sino para sembrar la semilla de lo que sería la Academia de Platón.