Las paradojas del mentiroso, el barbero o la manos que se dibujan y la paradoja de Russell

 Bertrand  Russell (1872-1970) fue un  matemático,filósofo, lógico y escritor británico, ganador del Premio Nobel de Literatura. Realizó aportes fundamentales a la matemática principalmente en el ámbito de la lógica  y los fundamentos de las matemáticas. Su contribución más influyente fue el desarrollo de la lógica formal junto con Alfred North Whitehead en Principia Mathematica (1910–1913), obra en la que intentaron demostrar que todas las verdades matemáticas podían derivarse de principios lógicos, sentando las bases del logicismo. Además, sus trabajos ayudaron a clarificar conceptos como número, proposición y función, influyendo decisivamente en la matemática moderna, la lógica simbólica y la filosofía de las matemáticas. Russell descubrió numerosas paradojas que atrajeron  la atención en los círculos matemáticos de la época, pero, curiosamente, tan sólo una de ellas acabó llevando su nombre. En carta al lógico alemán Gottlob Frege de 1902,  Russell formula lo siguiente:

Llamemos Conjunto Normal a cada uno de aquellos conjuntos que no se contiene a si mismo y Conjunto Singular  a aquellos conjuntos que se contiene a si mismo. Notemos que un conjunto dado es normal o singular, no hay otra alternativa, ya que una tercera posibilidad queda excluida. Sea C el conjunto de todos los conjuntos normales,  ¿C es Normal o Singular?

 Obviamente si C fuera normal, no lo sería, y recíprocamente. La paradoja,  revelaba la  inconsistencias en la teoría ingenua de conjuntos, lo que motivó el desarrollo de sistemas axiomáticos más rigurosos.

La paradoja de Russell es una reformulación para la teoría de conjuntos de la paradoja del mentiroso o paradoja de Epiménides de Cnosos (Siglo VII-VI a.C.), que ya era conocida en mundo griego de la antigüedad. Se dice que Epiménides exclamó: “¡Esta afirmación  es falsa!”. claramente si la afirmación es verdadera, entonces es falsa, y si es falsa, entonces es verdadera. Luego, cualquiera sea la asunción sobre su veracidad, estaremos en una contradicción. Una variante de esta paradoja en dos oraciones es la siguiente: “La siguiente  afirmación es verdadera.La  afirmación anterior es falsa”. Cada enunciado por si mismo tiene sentido, pero, combinados, crean una contradicción.  

 La litografía de  “Manos que se dibujan” (Drawing Hands, 1948) de M. C. Escher, que se representa   en la siguiente imagen, es una ilustración visual de esta paradoja.

 Notemos que cada mano por separado tiene sentido, pero es la consideración de ambas a la vez lo que origina la paradoja visual

Probablemente la variación de la paradoja de Russell más conocida sea la del único barbero que hay en un poblado aislado y pequeño: 

 

En el poblado, el barbero afeita a todas las personas que no se afeitan ellos mismos. 
¿Se afeita el barbero a sí mismo?

Entonces el barbero se afeitará a si mismo si solo si no se afeita a si mismo, lo cual es un sinsentido. Claramente, esto no es más que un juego de palabras,  pero cuando se trata del concepto matemático de conjunto, no es posible evadir este problema lógico. 

Se pueden enunciar diferentes paradojas del lenguaje, considerándolas juegos de palabras sin significado, pero aplicadas a los conceptos básicos de las  matemáticas motivaron  los trabajos  de David Hilbert, Kurt Gödel y Alan Turing, entre otros grandes pensadores, sobre los fundamentos de esta ciencia. 

 

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 Este post está basado en el artículo: 

• Gregory J. Chaitin. Ordenadores, paradojas y fundamentos de las matemáticas, Investigación y Ciencia, julio 2023. 

La demostración del Teorema de Pitágoras por Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci (1452-1519), uno de los grandes genios de la historia, destaca no solo por su extraordinario talento artístico, sino también por sus aportes a la ciencia, la ingeniería y la filosofía. Aunque su nombre esté asociado a obras icónicas como La Gioconda y La Última Cena, su legado abarca mucho más que el arte. Fue un verdadero hombre del Renacimiento, cuya curiosidad insaciable lo llevó a explorar y sobresalir en diversas áreas del conocimiento.

Leonardo nunca recibió una educación formal en matemáticas y jamás llegó a dominar el álgebra, sin embargo, sí gozaba de una notable intuición espacial y geométrica; ésta se halla presente en múltiples aspectos de su obra. Su falta de conocimiento teórico fue compensada por su talento visual para el espacio. Se trata de una demostración visual por congruencia mediante sustracción, basada en el siguiente diagrama:

Demostración. 

• Dado que, en esa figura, los cuadriláteros IFGH, IFBA, CJDA y JCBE son congruentes, se deduce que los hexágonos ABFGHI y ACBEJD tienen áreas iguales. 
• Pero el hexágono ABFGHI está compuesto por los cuadrados de los catetos del triángulo rectángulo ABC junto con dos triángulos congruentes con el triángulo ABC; y el hexágono ACBEJD está compuesto por el cuadrado de la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC junto con dos triángulos congruentes con el triángulo ABC. 
• De ello se deduce que la suma de los cuadrados de los catetos del triángulo rectángulo ABC es igual al cuadrado de la hipotenusa.

La demostración de Leonardo da Vinci está  contenida en uno de sus cuadernos que se conserva en el Museo del Louvre.