La Teoría de la Perspectiva

 

"La Ciudad ideal", tempera sobre madera, pintada entre 1480 y 1490, cuyo  autor es  desconocido. Renacimiento italiano.

¿Qué es la perspectiva?

La perspectiva es el conjunto de métodos empleados en las artes gráficas para realizar  una representación, generalmente sobre una superficie plana (como el papel o un lienzo), de un motivo tal como es percibido por la vista, de forma que se pueda intuir su configuración tridimensional. En el sentido clásico, la perspectiva comprende los tres casos siguientes:

  Los primeros intentos por desarrollar un sistema de perspectiva comenzaron alrededor del siglo V a. C. en el arte de la Antigua Grecia, como parte del interés en producir la ilusión óptica de profundidad en los escenarios teatrales. Anaxágoras y Demócrito elaboraron teorías geométricas de la perspectiva para ser usadas en   los escenarios. El tema alcanzó tal relevancia que hasta el filósofo Platón  en La República comentó lo siguiente:

 `Así (a través de la perspectiva) se revela dentro de nosotros todo tipo de confusión; y esta es la debilidad de la mente humana sobre la cual se impone el arte de conjurar y engañar por la luz y la sombra y otros ingeniosos artificios, que tienen un efecto sobre nosotros como la magia.''

 Euclides en su Óptica,  introdujo una teoría matemática de la perspectiva, pero existe cierto debate sobre hasta qué punto coincide con la definición matemática moderna.

El renacimiento

 Con el renacimiento los artistas empiezan a buscar la sensación espacial a través de la observación de la naturaleza. Se logra la sensación de espacio mediante el uso metódico de la perspectiva cónica, donde las líneas paralelas de un objeto convergen hacia un determinado punto de fuga. El tamaño de las figuras se va reduciendo en función de la distancia, lo que provoca la ilusión óptica de profundidad.

A la izquierda pintura sin perspectiva en una ilustración de un manuscrito inglés de 1130. A la derecha el cuadro "Perspectiva falsa", una parodia del pintor  británico William Hogarth en 1754.

Entre los años 1416 y 1420, Filippo Brunelleschi (1377-1476),   para poder representar los edificios en perspectiva, realizó una serie de estudios descubriendo los principios geométricos que rigen la perspectiva cónica, una forma de perspectiva lineal basada en la intersección de un plano con un imaginario cono visual cuyo vértice sería el ojo del observador.

En 1509 se publicó De divina proportione (Sobre la proporción divina), una obra de Luca Pacioli (1447–1517) que además estaba ilustrada por Leonardo da Vinci (1452–1519). En este libro se explicaba y resumía cómo se utilizaba la perspectiva en la pintura, algo muy importante para los artistas de la época yse convierió en un manual de referencia sobre el tema. 

La última cena de Leonardo da Vinci, considerada una obra maestra de la perspectiva, donde el uso del punto de fuga y la profundidad espacial refuerzan la sensación de realismo y dirigen la mirada hacia la figura central de Cristo. 

Entre los siglos XV y XVI, la perspectiva siguió mejorando gracias, sobre todo, a las aportaciones de Leonardo da Vinci. En su Tratado de la pintura (aunque se publicó más tarde, en 1680), habló de la perspectiva del color, que consiste en que los colores se van suavizando y perdiendo intensidad cuanto más lejos están, y también de la perspectiva menguante, donde los objetos se ven cada vez menos nítidos a medida que se alejan.

Grabado en madera de Alberto Durero que muestra un artista estudiando un escorzo.

Por otro lado, Alberto Durero (1471–1528), una figura muy importante del Renacimiento en Alemania, también contribuyó mucho al desarrollo de la perspectiva. Además de su obra como pintor, destacó por sus estudios sobre el dibujo. En sus grabados se pueden ver imágenes muy detalladas que muestran cómo aplicaba en la práctica los métodos teóricos para representar modelos reales en un dibujo plano.

  

 La Anamorfosis o perspectiva con distorsión

 La anamorfosis, o perspectiva con distorsión, es una técnica artística y una ilusión óptica que deforma una imagen mediante proyecciones geométricas. A simple vista, la representación parece confusa o desproporcionada; sin embargo, al observarla desde un punto de vista específico o a través de un espejo cilíndrico, la imagen se revela de forma clara y proporcionada.

Esta técnica transforma la percepción visual, generando la impresión de tridimensionalidad en superficies bidimensionales. Fue especialmente popular entre los años 1550 y 1850, cuando se valoraba como una muestra de virtuosismo técnico y dominio de la perspectiva.

A la izquierda, anamorfosis catóptrica en un cuadro del siglo XVIII y a la derecha la portada del disco No Earthly Connection de  Rick Wakeman en 1976. 

Existen dos tipos principales de anamorfosis:

• Anamorfosis perspectiva: requiere situarse en un ángulo preciso para apreciar la imagen correctamente, como ocurre en el arte urbano de artistas como Julian Beever.
• Anamorfosis catóptrica: emplea espejos (cilíndricos o cónicos) colocados sobre la imagen distorsionada para reflejar la forma correcta.

Anamorfosis perspectiva, mural de CarlosAlberto_GH en Palenque, México: "Regreso a casa" celebra la reintroducción de la Guacamaya roja en la selva palencana.

En la actualidad, la anamorfosis es ampliamente utilizada en el 3D Street Art, donde se aprovecha para crear la ilusión de objetos tridimensionales sobre superficies planas.

Desarrollo ulterior hacia la geometría proyectiva

Desde un punto de vista teórico, los avances del Renacimiento culminaron con los estudios sobre la perspectiva, la óptica y la geometría proyectiva del arquitecto y matemático francés Girard Desargues, cuyas investigaciones ayudaron a unir de manera sólida el arte y las matemáticas. Más adelante, en 1715, el matemático británico Brook Taylor (1685–1731) publicó un tratado sobre perspectiva lineal que permitió que su enseñanza a los artistas se basara en las matemáticas que sustentan esta técnica. En esta misma línea teórica destacaron también Gaspard Monge, creador de la geometría descriptiva, y Jean-Victor Poncelet, quien recuperó y desarrolló la geometría proyectiva, sentando las bases para relacionar la geometría de la perspectiva con la técnica y con otras ramas de las matemáticas, como el álgebra. Finalmente, Otto Wilhelm Fiedler (1832–1912) definió de manera rigurosa el sistema de proyección central en su tesis doctoral de 1859, estableciendo los fundamentos matemáticos de la perspectiva cónica tal y como se conocen en la actualidad. 

El número e

El número  e (aproximadamente \(\mathbf{e \approx 2.7182818284\dots}\) ) es una de las constantes más importantes de las matemáticas. A diferencia de \(\pi \), no nació de la geometría, sino de la curiosidad sobre el crecimiento y el interés compuesto.  

Es curioso notar que, después del "2.7", el patrón 1828 se repite dos veces. Sin embargo, no se deje engañar: \(e\) es un número irracional, lo que significa que sus decimales son infinitos y no presentan un patrón periódico real a largo plazo.

Como vimos en el post Los Logaritmos, John Napier inventó estas herramientas en 1614 con el fin de facilitar los complejos cálculos astronómicos. Sus logaritmos poseían una base que, de manera intrínseca, dependía de   \(\frac{1}{e}\) ; si bien Napier no llegó a formalizar dicha constante de forma explícita, la construcción de sus tablas se fundamentó enteramente en ella. 

El Origen Financiero de \(e\)

El número \(e\) fue descubierto por Jacob Bernoulli (1654-1705) en 1683 mientras estudiaba cómo crecía una inversión si los intereses se capitalizaban de forma continua. Bernoulli planteó el siguiente límite:

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

Si inviertes 1€ al 100% de interés anual:

• Pago anual: 2,00€
• Pago mensual: 2,61€
• Pago diario: 2,7145€

Bernoulli, al analizar el interés compuesto, se dio cuenta de que si los intereses se acreditan de forma infinita (interés continuo), el crecimiento del capital se estabiliza en el valor límite 2,71828...

Jacob Bernoulli (1654-1705)

Aunque hoy recordamos a Jacob Bernoulli por descubrir el número \(e\) a través del interés compuesto, la obsesión final de Bernoulli fue la Spira Mirabilis (Espiral Maravillosa). Esta curva tiene una propiedad única: su forma no cambia a medida que crece.

La ecuación de la espiral logarítmica es \(r = a \,e^{b\,\theta}\). Fue tal su fascinación que pidió que grabaran esta espiral en su lápida con el lema:

"Eadem mutata resurgo" (Aunque cambiada, resurjo igual)

La ironía final fue que el cantero encargado de su tumba, desconociendo la diferencia matemática, esculpió una espiral de Arquímedes en lugar de una logarítmica. Mientras la de Bernoulli se expande exponencialmente (ligada a los logaritmos de Napier), la de Arquímedes mantiene siempre la misma distancia entre sus vueltas.

Desarrollo posterior

L. Euler (1707-1783), C.Hermite (1822–1901) y F. von Lindemann (1852–1939)

Fue el genio suizo Leonhard Euler (1707-1783) quien en 1727 le asignó la letra \(e\), posiblemente por la palabra exponencial. Euler no solo le dio nombre, sino que expandió sus propiedades de forma increíble:

• Demostró que es un número irracional.
• Descubrió su desarrollo en serie infinita:
$$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dots$$
• Demostró  que la función exponencial \(f(x) = e^x\) es su propia derivada ( \(\frac{d}{dx} e^x = e^x\)). Esto significa que su tasa de cambio (pendiente) en un punto es exactamente igual a su valor en ese punto.
• Creó la llamada Identidad de Euler, \(e^{i\pi} + 1 = 0\), es considerada la ecuación más bella de las matemáticas porque conecta cinco de los números más importantes.

A diferencia de los números racionales o incluso de algunos irracionales como \(\sqrt{2}\) (que es solución de \(x^2 - 2 = 0\)), \(e\) es un número trascendente. Esto implica que no existe ningún polinomio:

\[ a_n e^n + a_{n-1} e^{n-1} + \dots + a_1 e + a_0 = 0 \]

donde los coeficientes \(a_i\) sean números enteros. En 1873, Charles Hermite (1822–1901) publicó la primera demostración de la trascendencia de \(e\). Su método se basó en el análisis de una forma específica de aproximación racional (conocida hoy como aproximantes de Padé) y el uso de identidades integrales para demostrar que \(e\) escapa a cualquier estructura algebraica finita.

Un dato curioso es que  Hermite demostró la trascendencia de  \(e\), pero confesó que no tenía el valor de intentar lo mismo con  \(\pi\) 

Tras la demostración de Hermite, el matemático Ferdinand von Lindemann (1852–1939) llevó el método un paso más allá y en 1882, demostró que \(\pi\) también es trascendente. Su demostración cerró definitivamente un enigma de más de 2,000 años: la cuadratura del círculo. Al probar que \(\pi\) es trascendente, demostró matemáticamente que es imposible construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado utilizando únicamente regla y compás. 

El Día del número \(e\) se celebra el 7 de febrero de cada año, es decir, 2/7 en el formato de fecha en inglés (mes/día), ya que esta notación hace referencia aproximada al valor de \(e ≈ 2.718\dots\). 

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