El axioma de elección y la paradoja de Banach-Tarski

I.- El Axioma de Elección

Ernst Zermelo
(1871-1953)

Uno de los postulados de la matemática contemporánea mas controvertidos, sino el que más, es el Axioma de Elección, enunciado en 1904 por el matemático alemán Ernst Zermelo. Su formulación es simple e "intuitiva"

"Dada una colección de conjuntos no vacíos cualesquiera, existe otro conjunto que contiene un elemento elegido de cada uno de esos conjuntos"

Es obvio que el procedimiento de elección puede llevarse a cabo si la colección está formada por un número finito de conjuntos o si existe alguna regla bien determinada que nos permita elegir un único elemento de cada conjunto de la colección. No obstante, el axioma tiene su mayor relevancia cuando la colección está formada por infinitos conjuntos. 

 El matemático inglés Bertrand Russell (1872-1970) ilustró acertadamente, de manera informal, este hecho con la siguiente parodia:

Un lord inglés caprichoso e infinitamente rico tenía infinitos trajes, zapatos, sombreros, etc. Un día ordenó a su mayordomo:
- Walter, quiero que pongas una fila de zapatos en el pasillo, de forma que haya un zapato de cada uno de mis pares.
Naturalmente, el pasillo era infinitamente largo. Walter quedó pensativo, y en seguida ordenó a los infinitos criados que tomaran de cada par de zapatos el correspondiente al pie izquierdo, y que los pusieran en fila en el pasillo. Así cumplió Walter la orden, pero al día siguiente, el lord se lo puso más difícil:

- Walter , quiero que pongas en el pasillo un calcetín de cada uno de mis pares de calcetines.
Después de reflexionar, Walter respondió:
-My lord, para hacer eso necesito el axioma de elección.

Zermelo introdujo el Axioma de Elección para demostrar el Principio de Buen Ordenamiento,  que hoy sabemos es equivalente al axioma. El principio, es un resultado no menos  polémico que el axioma y afirma que en todo conjunto no vacío se puede establecer un orden similar al que conocemos para los números naturales, es decir dados dos elementos distintos cualesquiera podemos saber cual es el mayor (o el menor) y que todo subconjunto contiene un "primer elemento" (elemento minimal).
Hoy en día, el Axioma de Elección  es generalmente aceptado y utilizado  sin reservas por la mayoría de los matemáticos. Aunque existen  corrientes de pensamiento que lo rechazan o que estudian su repercución  en otros resultados contradictorios. Su acceptación se debe a que  como consecuencia del mismo se pueden demostrar teoremas muy importantes el  de  Tychonoff  en Topología, el  de  Hahn-Banach  en Análisis Funcional,  así  como  la  propia fundamentación  del  Análisis  No-Standard  y el Teorema de Banach-Tarski al que dedicamos la segunda parte de este post.

 

II.- La paradoja de Banach-Tarski

El Teorema original fue enunciado y demostrado en 1924 por los matemáticos polacos S. Banach y A. Tarski en el artículo  "Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes",   Fundamenta Mathematicae 6, 244–277. El siguiente enunciado es una versión informal del teorema para facilitar su comprención.

  Teorema de Banach-Tarski. Dada una esfera (maciza) en el espacio tridimensional, existe una descomposición de dicha esfera en un número finito  de trozos sin intersección, de modo que, aplicando "movimientos oportunos" a una parte de ellas, podemos obtener una esfera idéntica a la primera y los mismo   podemos hacer con las partes restantes para obtener otra  esfera idéntica a las dos anteriores.

 

Obviamente si hablamos de que cada una de las partes es "medible", sólidos en el sentido tradicional, los movimientos oportunos (rotaciones y translaciones) que se realizan claramente conservan el volumen. Pero en este caso cada una de los trozos desgajados de la esfera es un  "conjunto no medible" y en consecuencia no tiene puede conservar una propiedad que no tiene (el volumen). La construcción de cada uno de los trozos  se basa en el Axioma de Elección, para realizar una cantidad no numerable de elecciones arbitrarias. 

En la demostración original, Banach y Tarski, utilizarón una descomposición de la esfera en ocho trozos, hoy sabemos que el menor número de trozos que se puede utilizar en la descomposición es cinco. Aunque el teorema contradice la intuición (por lo que le llamamos paradoja) su  demostración es rigurosa y no contiene errores.

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Al lector avanzado que se interese en el tema le recomiendo

1.- Stan Wagon, The Banach–Tarski Paradox, Cambridge University Press, 1994. 
2.- Marta Macho-Stadler, ¿Puede una rana hacerse tan grande como un buey? Banach y Tarski responden. 

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Pitagoras, los pitagóricos y los números irracionales

 Autor: Gilberto Días Reyes

 

Grupo de pitagóricos celebrando la salida del sol. Himno al sol naciente, Fyodor Bronnikov (1827-1902; óleo)

Pitágoras y los pitagóricos

Que nadie, por sus dichos o por sus actos,
te conmueva para que hagas o digas
nada que no sea lo mejor para ti.
                       Versos Áureos – Pitágoras.

Pitágoras de Samos, aproximadamente 570 – 490 AC, fue el fundador y principal exponente de una de las escuelas - corrientes filosóficas, junto con la jónica y la ateniense que estuvieron en auge en la Antigua Grecia entre los siglos VII AC hasta nuestra era. En particular la escuela pitagórica se enmarca entre los siglos VI-V AC, aunque su influencia, sobre todo matemática, durara durante muchos siglos después, casi hasta nuestros días.
Durante su periodo de esplendor se produce un proceso de recopilación de hechos matemáticos y la aparición de los primeros sistemas teóricos. Para los pitagóricos eran conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples e introdujeron las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas. Junto con la demostración geométrica del Teorema de Pitágoras fue demostrado el hecho de la existencia de la serie ilimitada de las ternas de números pitagóricos.

Pitágoras asistió a lecciones de Anaximandro, discípulo de Tales y se cree que Pitágoras visito a Tales siendo este ya muy anciano. Tales recomendó a Pitagoras que viajara por todo el mundo conocido incluyendo India, para ampliar sus conocimientos y conocer otras culturas, aunque  no hay evidencias ciertas de estos viajes si se acepta que recorrió Egipto lo que contribuyo de manera notable en su formación.
La sociedad pitagórica era esencialmente religiosa, con una enorme influencia en la cultura, y en menor medida en la política, de su época. Sus intereses no solo se limitaron a las matemáticas, si no además a la medicina, filosofía, ética y la cosmología en general. Las ideas y principios de esta escuela tuvieron una influencia significativa en pensadores posteriores cono Platón y Aristóteles y sobre todo en el desarrollo posterior de las matemáticas.

No se conservan escritos o documentos de Pitágoras así como biografía de sus contemporáneos, de ahí que los datos verificables sobre su vida son muy escasos. El hecho de que la escuela practicaba el secretismo y la vida comunal de manera muy estricta, y que sus miembros solían atribuir todos sus descubrimientos a su fundador, ha contribuido a esta “niebla” sobre los descubrimientos originales y atribuibles al propio Pitágoras.
Sus principales concepciones se pueden resumir en: en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática; la filosofía puede usarse para la purificación espiritual; el alma puede elevarse para unirse con lo divino; ciertos símbolos son de naturaleza mística; todos los miembros de la hermandad deben guardar absoluta lealtad y secretismo.

Los números irracionales y los pitagóricos

En la esencia de la filosofía pitagórica todo lo existente debía ser explicado en términos de proporciones y relaciones numéricas. La armonía del cosmos, la música y el orden natural se consideraban regidos por razones matemáticas. Para ellos, cada aspecto del mundo podía ser explicado usando combinaciones de números racionales (aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos enteros. Su sistema, al igual que su filosofía, se basaba en la perfección y previsibilidad de estos números.

El descubrimiento de los irracionales generó un dilema de gran trascendencia para los pitagóricos, tanto que se considera que lo mantuvieron oculto durante todo el tiempo que pudieron. Esta postura refleja el miedo de los pitagóricos a que su cosmovisión matemática se derrumbara. La idea de que existían números que escapaban al control de la razón era inaceptable para ellos. Se intuye que el primer irracional descubierto debió ser √2 al considerar la diagonal de un cuadrado de lado uno. El descubrimiento de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos se atribuye al pitagórico Hipaso de Metaponto, al menos fue este quien reveló el secreto de la existencia de tales números que escapaban al orden y la razón establecida. Según la leyenda esta acción de Hipaso fue castigada con la muerte, cuenta la leyenda que fue arrojado al mar por la borda de un barco por haber divulgado el secreto.

Si existían magnitudes que no podían expresarse como razones de números naturales (o enteros), entonces el universo no era completamente predecible. Había caos en medio de la perfección.

Durante generaciones este conflicto marco el desarrollo de las matemáticas, en particular la teoría de números. Fue Euclides, 300 AC, quien desarrolló una teoría más completa de los irracionales. En el Libro X de sus Elementos brinda una detallada clasificación de las "magnitudes irracionales”, mostrando cómo se comportan.

Lo que comenzó como un cálculo simple terminó cambiando la historia de la matemática. El descubrimiento de √2 abrió la puerta a toda una familia de números irracionales, desde π hasta e, que hoy son esenciales para entender la naturaleza, la física y la tecnología moderna.