La obra matemática de Arquímedes

Desde las arenas de Siracusa, surgió una mente que no se limitó a observar el mundo, sino que lo descifró mediante leyes inmutables. Mientras otros buscaban respuestas en los mitos, él las halló en la geometría del círculo y el equilibrio de las pesas. Su legado no fue una simple herencia de fórmulas, sino la creación de un nuevo lenguaje para la realidad. Newton dijo "Si he logrado ver más lejos, ha sido porque he subido a hombros de gigantes", al mencionar a Arquímedes en clases me gusta presentarlo con la siguiente frase: 

"En la historia de las matemáticas abundan  genios que alcanzaron la gloria alzándose sobre hombros de gigantes. Arquímedes, en cambio, no tuvo hombros sobre los que subir; él fue quien cimentó el suelo que todos ellos transitaron."

Este post lo dedicamos a  dar una descripción breve de cada uno de aquellos  tratados que han llegado hasta nuestros días. En probablemente en orden cronológico la lista es la siguiente: 

1. Sobre el equilibrio de las figuras planas, I y II.
2. Cuadratura de la parábola. 
3. Sobre la esfera y el cilindro, I y II.
4. Sobre las espirales. 
5. Sobre los conoides y los esferoides. 
6. Sobre los cuerpos flotantes, I y II. 
7. Medición de un círculo.
8. El contador de arena.
9. El Método.

La edición definitiva de las obras de Arquímedes se debe a L. Heiberg, quien en 1906 protagonizó uno de los hallazgos más fascinantes de la ciencia: el manuscrito de El Método. Esta obra, que se creía perdida, sobrevivió oculta en un palimpsesto del siglo XIII en Constantinopla; es decir, un pergamino donde el texto original  fue raspado para escribir, encima otro, en este caso un libro de oraciones del siglo XIII. El palimpsesto era una práctica usual para reutilizar un preciado pergamino. A pesar de la dificultad para leer bajo la nueva escritura, Heiberg logró descifrar este tratado revolucionario. Gracias a este rescate, El Método recuperó su lugar legítimo como la última y más brillante joya en la corona científica de Arquímedes.

1.- Sobre el equilibrio de las figuras planas, I y II

En "Sobre el equilibrio de las figuras planas, I y II", Arquímedes  establece los fundamentos matemáticos de la estática al formular rigurosamente la ley de la palanca y desarrollar el concepto de centro de gravedad. En el Libro I demuestra que los cuerpos están en equilibrio cuando los pesos son inversamente proporcionales a sus distancias al punto de apoyo y calcula el centro de gravedad de figuras como segmentos, triángulos y paralelogramos; en el Libro II amplía estos métodos al estudio de figuras curvas, especialmente el segmento de parábola, utilizando procedimientos geométricos que anticipan ideas del cálculo integral. 

2.- Cuadratura de la parábola

En "Cuadratura de la parábola", Arquímedes demuestra que el área de un segmento parabólico es igual a cuatro tercios del área del triángulo inscrito que tiene la misma base y altura. Para ello utiliza el método de agotamiento, construyendo una sucesión infinita de triángulos cada vez más pequeños cuya suma forma una progresión geométrica, anticipando así procedimientos propios del cálculo integral. La obra es un ejemplo sobresaliente del rigor geométrico griego y como la anterior, un  antecedentes  del cálculo infinitesimal. 

 

3.- Sobre la esfera y el cilindro, I y II

En "Sobre la esfera y el cilindro (I y II)", Arquímedes estudia las relaciones geométricas entre la esfera y el cilindro que la circunscribe, estableciendo resultados sorprendentes para su época. Demuestra que el volumen y el área de la superficie de una esfera son exactamente dos tercios del volumen y del área del cilindro circunscrito, incluyendo las bases, y proporciona pruebas rigurosas mediante el método de exhaución. Estas investigaciones no solo reflejan su maestría matemática y su intuición geométrica, sino que también subrayan la elegancia y precisión de sus descubrimientos, lo que llevó a que Arquímedes mismo pidiera que se representara un cilindro y una esfera en su tumba como homenaje a este logro.

 

4.- Sobre las espirales

El contenido de este trabajo ya se ha tratado en el post "Sobre Espirales" de Arquímedes y el cálculo de tangentes. En "Sobre las espirales", se estudian las propiedades de la espiral que hoy lleva el nombre de Arquímedes, generada por un punto que se mueve con velocidad uniforme a lo largo de una recta que gira también uniformemente alrededor de un punto fijo. En la obra determina tangentes a la curva y calcula áreas relacionadas con la espiral mediante métodos geométricos rigurosos, aplicando procedimientos cercanos al método de agotamiento. El tratado destaca por combinar cinemática y geometría, ampliando el estudio griego más allá de las curvas clásicas como la circunferencia y anticipando técnicas que luego serían fundamentales en el cálculo. 

5.- Sobre los conoides y los esferoides 

El tratado "Sobre los conoides y los esferoides" de Arquímedes es una obra fundamental de la matemática griega en la que el autor estudia los volúmenes y propiedades de sólidos curvos generados por la rotación de figuras planas, como parábolas e hipérbolas, alrededor de un eje. En este trabajo, Arquímedes demuestra, mediante rigurosos razonamientos geométricos y el método de exhaución (antecedente del cálculo integral), cómo calcular el volumen de estos sólidos —como los paraboloides y esferoides— y establece comparaciones precisas entre ellos y figuras más simples como el cilindro o el cono. La obra destaca por su profundidad teórica y por anticipar conceptos clave del cálculo infinitesimal, mostrando la extraordinaria capacidad de Arquímedes para combinar intuición geométrica y demostración formal.

6.- Sobre los cuerpos flotantes, I y II. 

En "Sobre los cuerpos flotantes, I y II", Arquímedes establece los fundamentos de la hidrostática al demostrar que un cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido desalojado, principio que hoy lleva su nombre. En estos tratados analiza las condiciones de equilibrio de los cuerpos flotantes y sumergidos, especialmente de formas geométricas regulares como el segmento de paraboloide, determinando cuándo flotan y en qué posición lo hacen según la relación entre su peso y el del líquido. Mediante razonamientos geométricos rigurosos, Arquímedes no solo explica por qué los objetos flotan o se hunden, sino que también estudia su estabilidad, sentando así las bases científicas para la física de los fluidos.

 

 7.- Medición de un círculo 

En "Medición de un círculo", Arquímedes presenta una de las aproximaciones más precisas de la Antigüedad al valor de π, demostrando que la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo está comprendida entre  3(10/71)  (aprox. 3.1408) y 3(1/7)   (aprox. 3.1429). Para lograrlo, emplea el método de exhaución, inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares de hasta 96 lados alrededor de un círculo, lo que le permite acotar progresivamente su perímetro y estimar su longitud con gran exactitud. Además, demuestra que el área del círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base es la circunferencia y cuya altura es el radio, sentando así bases fundamentales para el desarrollo posterior de la geometría y el cálculo.

8.- El contador de arena (arenario)

 

En "El contador de arena", Arquímedes se propone demostrar que es posible expresar numéricamente cantidades extremadamente grandes, como el número de granos de arena que podrían llenar el universo conocido en su época. Para ello desarrolla un innovador sistema de numeración capaz de representar cifras mucho mayores que las contempladas por la notación griega tradicional, introduciendo órdenes sucesivos de magnitud. Además, parte del modelo cosmológico de Aristarco de Samos para estimar el tamaño del universo y realizar sus cálculos, combinando así matemática y astronomía. La obra no solo exhibe su genialidad aritmética, sino que también amplía los límites conceptuales sobre el infinito y la representación de números enormes.

9.- El Método

 En "El Método", Arquímedes expone una estrategia heurística basada en principios mecánicos para descubrir resultados geométricos, especialmente áreas y volúmenes de figuras curvas. A través de la idea de equilibrar figuras en una balanza imaginaria, compara secciones infinitesimales de distintos cuerpos y deduce relaciones que luego demuestra rigurosamente por métodos geométricos tradicionales, como el de exhaución. En esta obra revela cómo utilizaba razonamientos físicos como herramienta preliminar de investigación matemática, anticipando conceptos cercanos al cálculo integral y mostrando el proceso creativo detrás de sus demostraciones formales.

 

Mientras que los "Elementos" de Euclides fueron una compilación de los resultados de sus predecesores, cada uno de los tratados de Arquímedes constituye una aportación original e inédita al saber matemático.

 La obra de Arquímedes trasciende su tiempo por la profunda combinación de intuición, rigor matemático y visión científica que la caracteriza. Sus estudios sobre geometría, hidrostática y mecánica no solo sentaron las bases del cálculo y la física moderna, sino que también inspiraron a generaciones de matemáticos, ingenieros y científicos a explorar los límites del conocimiento. Arquímedes demostró que la abstracción matemática podía aplicarse al mundo real, desde el movimiento de cuerpos flotantes hasta la medición de volúmenes complejos. Como dijo Galileo Galilei, 

“No hay ningún punto del universo que no deba obedecer a los principios que Arquímedes ha descubierto”

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Antecedentes del Cálculo Infinitesimal de Newton y Leibniz

Cuando se habla del nacimiento del cálculo infinitesimal, los nombres de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz suelen aparecer como los grandes protagonistas. Y con razón: ambos desarrollaron, de forma independiente en el siglo XVII, los métodos sistemáticos que hoy reconocemos como cálculo diferencial e integral. Si queremos ser precisos, ellos no fueron “inventores” en el sentido de crear algo completamente nuevo, sino arquitectos intelectuales que organizaron y consolidaron siglos de intuiciones matemáticas. El cálculo infinitesimal no nació en un instante, sino que fue el resultado de una larga evolución histórica. Ambos comprendieron algo fundamental: que los problemas de tangentes (derivadas) y los de áreas (integrales) estaban profundamente conectados. Esta conexión, conocida hoy como el teorema fundamental del cálculo, fue el verdadero acto fundacional.

Premisas históricas

El nacimiento del cálculo no fue un evento aislado, sino el resultado de una convergencia de necesidades técnicas y avances teóricos. Estas motivaciones pueden clasificarse en dos grandes grupos:

1. Premisas Internas (Desarrollo Teórico).
   Estas premisas se refieren a la evolución propia del pensamiento matemático y sus herramientas conceptuales:
   
   
   Evolución del Álgebra y la Geometría: La introducción de las cantidades variables y el desarrollo del método de coordenadas permitieron una transición fundamental hacia la abstracción. Esto facilitó la maduración de la idea de dependencia funcional, permitiendo que las curvas dejaran de ser figuras estáticas para entenderse como el rastro de un punto en movimiento.
   
   
   Recuperación del Legado Clásico: Se produjo una profunda revisión y profundización en las ideas infinitesimales de los matemáticos griegos. Figuras como Arquímedes, Eudoxio, Leucipo y Demócrito aportaron las primeras nociones sobre el infinito y el método de exhaución, que sirvieron de base para los métodos de indivisibles del siglo XVII.
   
   
2. Premisas Externas (Necesidades Prácticas).
   Estas premisas responden a los retos que la ciencia y la tecnología de la época planteaban a los matemáticos:
   
   

   Problemas Mecánico-Físicos: La necesidad de comprender fenómenos naturales como la caída libre de los cuerpos, el cálculo preciso en el lanzamiento de proyectiles y el complejo movimiento de los planetas exigía herramientas capaces de medir el cambio instantáneo.

   
   Problemas Mecánico-Geométricos: Surgió la urgencia de resolver cuestiones prácticas sobre el equilibrio y la forma, tales como la determinación de centros de gravedad y el cálculo exacto de áreas y volúmenes de cuerpos irregulares.

   
   Problemas Geométricos Puros: El estudio avanzado de nuevas curvas requería métodos sistemáticos para hallar rectas tangentes y determinar valores extremos (máximos y mínimos), problemas que los métodos geométricos tradicionales ya no podían resolver con eficiencia.

Problemas de TANGENTES

"Sobre Espirales" de Arquímedes y el cálculo de tangentes.

• Apolonio de Perga (190 a.C.) construyo las tangentes a las cónicas. Arquímedes (287-212 a.C.) hizo lo propio para las espirales, que ya hemos tratado en el post "Sobre Espirales" de Arquímedes y el cálculo de tangentes. Sin embargo, el punto de vista griego era estático: la tangente era la recta que cortaba a la curva, dejándola a un lado. No había, pues, proceso de paso al límite. 
  
  
• Fermat (1601-1665) creó un método para hallar la tangente a una curva definida por un polinomio: y = P_n(x) = a₀ + a₁x + ··· + a_nxⁿ. Este método, que en realidad no hacía ninguna referencia al paso al límite, se apoyaba en el siguiente razonamiento: si P_n(x) es un polinomio, entonces P_n(x + h) - P_n(x) es un polinomio en h divisible por h, de modo que se hace la división y se eliminan los términos en h, obteniéndose así la ecuación de la recta tangente. Cabe observar que este sistema es el utilizado hoy en día para calcular derivadas por los estudiantes de bachillerato que no manejan con soltura el concepto de límite. El punto de vista de Fermat no es, por tanto, infinitesimal, aunque está realmente cercano, ya que al final acaba haciéndose h = 0 al eliminarse los términos en h.
  
  
• Descartes (1596-1650) afirma que el problema geométrico que más desea solucionar es el de las tangentes. Su procedimiento es todavía menos infinitesimal que el de Fermat y consiste en trazar la circunferencia con centro en el corte de la normal a la curva (en el punto que se considere) con el eje de abscisas y que pase por el punto en cuestión. Se impone la condición de que la circunferencia no corte a la curva en ningún otro punto y de esta manera se tiene como tangente la de la circunferencia en este punto. Este método es útil para curvas y = f(x) tales que (f(x))² sea un polinomio sencillo. Con él se retorna a la situación griega, completamente estática. 
  
  
• Isaac Barrow (1630-1677) parece que utiliza la idea de que la tangente es el límite de las secantes para aplicar el método de Fermat a curvas dadas en forma implícita: f(x, y) = 0. No obstante, Barrow seguía con la idea griega de que la tangente era la recta que cortaba a la curva en un solo punto.

Por otro lado, en esos mismos años (hacia 1650), se consiguió determinar la tangente a algunas curvas por métodos cinemáticos. Para ello se daba la curva en forma paramétrica (con parámetro el tiempo) y se interpretaba la velocidad como la suma (vectorial) de las velocidades según los ejes. Era, pues, necesario que los dos movimientos tuvieran buenas velocidades. De este modo se determinó la tangente a la cicloide, a la parábola y a la elipse.

Problemas de LONGITUDES, ÁREAS Y VOLUMEN

Método de exhaución utilizado por Arquímedes para calcular (223/71)<π <(22/7), inscribiendo un polígono de 96 lados en la circunferencia.

• En la Grecia clásica, Eudoxus of Cnidus desarrolló el método de exhaución o agotamiento, una técnica para calcular áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas. Más tarde, Arquimedes perfeccionó este método y logró resultados extraordinarios: áreas bajo parábolas, volúmenes de esferas y cilindros, e incluso aproximaciones muy precisas del número π. El espíritu era claramente infinitesimal: aproximar una magnitud mediante la suma de partes cada vez más pequeñas.
  
  A lo anterior debemos agregar una gran cantidad de métodos particulares, como  las Lúnulas de Hipócrates ya tratadas en este blog o la aplicación de la noción de átomo geométrico de Leucipo de Mileto (480- 420 a. C.) y su discípulo Demócrito de Abdera (460-370 a. C.).
• Kepler halló el volumen de casi un centenar de cuerpos de revolución, descomponiéndolos en partes indivisibles adecuadas a cada problema.
• Galileo (1564-1642) justificó que el espacio recorrido por un móvil es igual al área entre la curva de la velocidad y el eje del tiempo, unificando el problema de la longitud de una curva con el del área bajo otra.
• Los problemas de área entre la curva y el eje de abscisas (problemas de cuadratura) se estudiaron en múltiples casos particulares. Para llegar a probar la expresión de la integral anterior, fue necesario obtener previamente que: $$\frac{1}{n^{k+1}} \sum_{h=1}^{n} h^k \to_n \frac{1}{k+1}$$ (donde \(k\) es un número natural), lo que dio lugar a trabajos de Fermat, Pascal y Cavalieri. También se consiguió calcular esa integral en el caso en que el exponente es un número racional. El trabajo principal es de Wallis (1616-1703), que lo probó para \(n=1/q\). El resultado general es de  Fermat y  Torricelli (1608-1647).
• La rectificación (longitud de una curva) fue resuelta para casos específicos como la parábola semicúbica por Neil (1637-1670), la cicloide por Wren (1632-1723), y otras por Fermat. En 1668, Gregory (1638-1675) dio un método general.

Los INDIVISIBLES de Bonaventura Cavalieri

 

Bonaventura Cavalieri (1598-1647) fue un discípulo de  Galileo que utilizó de manera sistemática técnicas infinitesimales, a los que llamó indivisibles.

Descompuso las figuras en indivisibles de magnitud inferior. Así, para calcular volúmenes, cortaba los cuerpos y medía las áreas de las secciones.

Su postura puede resumirse en una frase que se le atribuye: "el rigor es cosa de los filósofos, no de los matemáticos". Estaba más interesado en los resultados prácticos de los cálculos que en la justificación última de lo que eran los indivisibles.

El llamado teorema de Cavalieri fue enunciado de la siguiente forma:

"Si dos cuerpos sólidos tienen la misma altura y al hacer secciones paralelas a la base las áreas de las secciones están siempre en una proporción fija, entonces en esa misma proporción están los volúmenes".

Su justificación la hizo transformando un sólido en otro mediante la transformación de las secciones a lo largo de la altura. Geometría de los indivisibles, 1635.

Otro de sus resultados fue la fórmula que hoy se escribe en la forma:

$$\int_0^a x^n dx= \frac{a^{n+1}}{n+1}$$
y que obtuvo estudiando el cuerpo engendrado al girar la curva de ecuación \(y=x^n\) entorno al eje de abscisas. Evidentemente, el resultado general lo conjeturó, tras haberlo demostrado para valores pequeños de \(n\).

Los problemas de EXTREMOS

• Pappus de Alejandría (siglo IV d. C.), en el Libro V de su Colección Matemática, realizó un estudio profundo sobre los problemas extremales (máximos y mínimos), conocidos históricamente como problemas isoperimétricos. Su aporte más célebre es la explicación de la "inteligencia de las abejas", donde probó que el hexágono regular es el polígono más eficiente para teselar el plano, ya que maximiza el área de almacenamiento de miel utilizando el mínimo perímetro de cera.

•  El primer trabajo sobre este problema es de Kepler (1571-1630), quien tuvo que diseñar cubas de vino de manera que tuvieran la máxima capacidad, lo cual motivó su estudio sobre la cuestión. Encontró que el paralelepípedo de base cuadrada y volumen máximo inscrito en una esfera es el cubo (lo obtuvo midiendo muchas formas distintas).
  
  Lo significativo es su comentario de que, al acercarse al valor máximo, para un cambio fijo en las dimensiones, el volumen crece cada vez más lentamente. La lectura actual de este hecho es que la derivada se anula en un máximo relativo: \( f'(x) = 0 \).
  
  
• Fermat parece que da un método de hallar extremos por medio de lo que él denomina pseudoigualdades. Afirma que en un punto se alcanza un máximo si para un incremento infinitesimal de la variable la función no varía. La esencia es semejante a la ya comentada sobre el problema de la tangente.

Entender estos antecedentes no disminuye la grandeza de Newton y Leibniz; al contrario, nos permite apreciar mejor la magnitud de su logro: transformaron una colección de técnicas ingeniosas en una teoría coherente que cambiaría para siempre la matemática, la física y nuestra comprensión del mundo.

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