Comprando un teorema: La historia tras la regla de L'Hôpital

Guillaume François Antoine de l'Hôpital
(marqués de l'Hôpital y de Sainte-Mesme)
(1661-1704)

En los cursos básicos de cálculode todo el mundo, la conocida como Regla de L'Hôpital es una herramienta indispensable. Todo estudiante que se enfrenta al cálculo diferencial aprende pronto esta elegante fórmula que permite resolver la molesta indeterminación \(\frac{0}{0}\) al calcular el límite de un cociente de funciones derivables:

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)} \quad \text{donde } f(a) = g(a) = 0 \text{ y } g'(a) \neq 0$$

(Formulación moderna del teorema para la resolución de indeterminaciones de la forma 0/0.)

Sin embargo, detrás de esta fórmula anterior se esconde una de las historias más singulares de la ciencia: un relato victorioso de mecenazgo, acuerdos financieros de confidencialidad y una disputa por la autoría intelectual que tardó más de dos siglos y medio en resolverse por completo.

Para comprender este enigma debemos viajar a finales del siglo XVII, una época de ebullición intelectual en Europa. En los años 1684 y 1686, el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz había publicado dos breves artículos en los que presentaba al mundo erudito una herramienta revolucionaria: el cálculo infinitesimal. Entre las pocas personas que comprendieron de inmediato el inmenso potencial de este nuevo lenguaje se encontraba Guillaume François Antoine de L'Hospital (o de L'Hôpital), un noble francés y marqués fascinado por las matemáticas.

Consciente de que no poseía el genio ni la dedicación suficiente para dominar por sí mismo aquel fascinante pero complejo sistema, el marqués de L'Hôpital decidió contratar a un tutor de primer nivel. Entre 1691 y 1692 acogió en su residencia de París y más tarde en su finca de campo al joven matemático y físico suizo Johann Bernoulli (ver la entrada La Dinastía Matemática de los Bernoulli), un talento excepcional que dominaba el cálculo leibniziano como nadie más en la época. Durante esos meses, Bernoulli le impartió lecciones privadas y le transmitió los avances más recientes de la disciplina.

Johann Bernoulli (1667-1748)

Cuando Bernoulli regresó a su Basilea natal, la relación entre ambos no se interrumpió, sino que tomó un giro financiero inusual. En aquel momento, Bernoulli era un científico brillante pero sin recursos económicos, recién casado y desesperado por encontrar un empleo estable. Viendo la oportunidad perfecta, el marqués de L'Hôpital le envió una propuesta por carta el 7 de marzo de 1694.

En dicha carta, el noble le ofrecía una sustanciosa pensión de 300 libras anuales (prometiendo aumentarla pronto) a cambio de un compromiso de exclusividad matemática. L'Hôpital no le exigía dedicación exclusiva, sino que le pedía ocasionalmente algunas horas de su tiempo para trabajar en los problemas que él le enviase. No obstante, el contrato incluía dos cláusulas de confidencialidad estrictas: Bernoulli debía comunicarle al marqués todos sus nuevos descubrimientos y se comprometía firmemente a no compartir copias de sus notas ni hallazgos con nadie más, mencionando explícitamente que no quería que se hiciesen públicos.

«Le daré con gusto una pensión de trescientas libras... Prometo aumentar pronto esta pensión... No tengo la insensatez de solicitarle todo su tiempo, sino que solo le pediré que me dedique ocasionalmente algunas horas de su tiempo para trabajar en lo que le pida y también para comunicarme sus descubrimientos, con la solicitud de no mencionárselos a otros.»
— Fragmento de la carta enviada por L'Hôpital a Bernoulli el 7 de marzo de 1694.

Para el joven científico suizo, aquella bolsa de dinero cayó literalmente del cielo. Aunque la carta de respuesta de Bernoulli se perdió, se sabe por la correspondencia posterior que aceptó gustosamente las condiciones el 22 de julio de 1694. Fue precisamente en esa misma carta del 22 de julio donde Bernoulli expuso formalmente a su mecenas la regla geométrica para resolver la indeterminación \(\frac{0}{0}\). El razonamiento de Bernoulli era elegantemente geométrico. Consideró dos curvas, \(y = f(x)\) y \(y = g(x)\), que se intersecan en el mismo punto \(P\) del eje de abscisas, de modo que en \(x = a\) se cumple que \(f(a) = g(a) = 0\). Al desplazarse una pequeña distancia \(h\), el cociente \(\frac{f(a+h)}{g(a+h)}\) se aproxima al cociente entre las diferenciales de ambas funciones, de modo que en el límite se obtiene:

$$\text{En palabras de Bernoulli: } \quad \text{Valor en el límite } = \frac{\text{diferencial del numerador}}{\text{diferencial del denominador}}$$

(Razonamiento original de Bernoulli expresado en su carta de julio de 1694)

Para ilustrar su hallazgo, Bernoulli proporcionó en sus cartas ejemplos concretos que evidenciaban la aplicación práctica de su regla. Uno de los más destacados consistía en evaluar para \(x = a\) la función:

$$y = \frac{a\sqrt{ax} - x^2}{a - \sqrt{ax}} \quad \implies \quad \text{cuyo resultado exacto es } y = 3a$$

Dos años más tarde, en 1696, vio la luz un libro histórico: Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, firmado por el marqués de L'Hôpital. Fue el primer libro de texto impreso en la historia dedicado al cálculo diferencial. En el ítem n.º 163 del libro aparecía de forma destacada la regla para resolver la indeterminación \(\frac{0}{0}\). Los ejemplos utilizados en el texto eran idénticos a los de Bernoulli, salvo pequeñas modificaciones. Por ejemplo, L'Hôpital transformó el ejemplo anterior en la siguiente variante:

$$y = \frac{a^2 - ax}{a - \sqrt{ax}} \quad \implies \quad \text{obteniendo como resultado } y = 2a, $$ que no es más que una adaptación realizada por L'Hôpital en su obra de 1696 a partir del ejemplo de Bernoulli

Página 145 con el item n.º 163 (la regla de L'Hôpital) en su versión original

En el prefacio de la obra, L'Hôpital expresó un agradecimiento genérico a Leibniz y a Bernoulli, indicando que se había servido libremente de sus descubrimientos y devolviéndoles abiertamente el crédito que quisieran reclamar. Sin embargo, no precisó en ningún momento qué teoremas específicos pertenecían a Bernoulli. Atado por el contrato financiero y el cobro regular de su pensión, Bernoulli mantuvo un silencio educado en público mientras el marqués estuvo con vida.

Tras la muerte de L'Hôpital en 1704, Bernoulli se sintió libre de su compromiso y reclamó públicamente la autoría de la regla para \(\frac{0}{0}\). No obstante, la comunidad matemática de la época recibió sus afirmaciones con escepticismo. Bernoulli se había ganado con los años la reputación de ser un hombre mezquino y codicioso, por lo que muchos pensaron que simplemente intentaba arrebatarle el mérito al difunto marqués sin aportar pruebas tangibles.

El misterio permaneció sin resolver durante siglos, hasta que dos hallazgos documentales en el siglo XX le devolvieron la justicia histórica a Bernoulli. En 1922 se descubrió y publicó el manuscrito original de Bernoulli sobre cálculo diferencial redactado entre 1691 y 1692, cuya estructura e ideas coincidían ampliamente con la obra de L'Hôpital. Finalmente, en 1955, la publicación de la correspondencia privada de Bernoulli sacó a la luz la carta de 1694 con los términos exactos del pacto económico y la demostración original de la regla.

 Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, 1696

No obstante es justo reconoce que Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, inicialmente publicado de forma anónima en 1696 por el marqués de L'Hôpital —aunque fundamentado esencialmente en las lecciones impartidas por Johann Bernoulli—, posee una trascendencia histórica incalculable al ser considerado el primer manual o libro de texto sistemático de cálculo diferencial de la historia. Su publicación supuso un hito fundamental en la democratización del conocimiento científico: estructuró y clarificó las complejas e incipientes ideas sobre los infinitesimales desarrolladas por Gottfried Wilhelm Leibniz y los hermanos Bernoulli, transformando un cuerpo telemático disperso y de difícil acceso en una disciplina matemática didáctica, coherente y aplicable. Además de inmortalizar la célebre regla de L'Hôpital para la resolución de indeterminaciones, el tratado sirvió como el principal puente de aprendizaje para generaciones de matemáticos durante el siglo XVIII, estableciendo la notación y las bases metodológicas que consolidaron al cálculo como la herramienta científica definitoria de la Edad Moderna.

A la luz de esta verdad histórica, ¿deberíamos rebautizar el teorema como "Regla de Bernoulli"? El historiador de las matemáticas Dirk J. Struik argumentó con contundencia que no. En primer lugar, la célebre familia suiza ya cuenta con numerosos teoremas, ecuaciones y principios que llevan su nombre (debidos a Jakob, Johann y Daniel Bernoulli).

En segundo lugar, Struik señala que si la ciencia pretendiera rebautizar todas las reglas y teoremas basándose strictly en las leyes de la prioridad histórica, la nomenclatura científica caería en un caos absoluto:

El Teorema de Pitágoras era perfectamente conocido y aplicado por los matemáticos babilonios más de un milenio antes de la época de Pitágoras; las famosas Ecuaciones de Cauchy-Riemann del análisis complejo fueron desarrolladas previamente por Jean d'Alembert y Leonhard Euler; el Teorema de Taylor ya había sido anticipado por James Gregory y posiblemente por matemáticos indios hacia el año 1500; el célebre Triángulo de Pascal era utilizado por el matemático chino Yang Hui en el siglo XIII; y el llamado Método de Horner para ecuaciones algebraicas era manejado con destreza por Chhin Chiu-shao siglos antes de Horner.

Frecuentemente, los nombres que quedan grabados en la historia de la ciencia pertenecen a aquellas personas que, mediante su esfuerzo explicativo o editorial, lograron que esos conocimientos se volvieran populares, accesibles y comprendidos por la comunidad.

En este sentido, el marqués de L'Hôpital merece un lugar de honor. Pagó legítimamente por las lecciones y descubrimientos de Bernoulli, los organizó con impecable claridad pedagógica y los puso a disposición del mundo. Su libro no solo fue el primero impreso sobre la materia, sino que poseía una calidad tan excepcional que se mantuvo como la obra de referencia para aprender cálculo diferencial durante más de medio siglo, contando con traducciones al inglés y latín y reediciones hasta 1790.

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Esta entrada está basada en el artículo: Struik, D. J. (1963). «The Origin of L'Hôpital's Rule». The Mathematics Teacher, 56(4), 257–260.

De Riemann a Lebesgue: la evolución del concepto de integral

El concepto de integral definida atravesó una fascinante transformación histórica, evolucionando desde los métodos geométricos de la Antigüedad —como el método de exhaustión de Eudoxo y Arquímedes para calcular áreas mediante aproximaciones—, pasando por las ideas puramente geométricas de los «indivisibles» de Bonaventura Cavalieri en el siglo XVII, hasta alcanzar su primer gran hito con las formulaciones infinitesimales de Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Sin embargo, el siglo XIX exigió una transición crítica impulsada por el auge del rigor analítico de Augustin-Louis Cauchy y Karl Weierstrass, lo que hizo imprescindible fundamentar la integración sobre una definición precisa basada en el concepto formal de límite. Este esfuerzo cristalizó a mediados del siglo XIX con la integral de Riemann y su aproximación mediante sumas de rectángulos, continuó con la generalización de Thomas Joannes Stieltjes al introducir funciones integradoras de peso, y alcanzó su forma moderna a comienzos del siglo XX con la integral de Henri Lebesgue y la teoría de la medida, un desarrollo motivado en gran parte por el estudio de las series de Fourier y la necesidad teórica de integrar funciones «patológicas» con conjuntos densos de discontinuidades. 

Bernhard Riemann (1826-1866), Thomas Joannes Stieltjes (1856-1894) y Henri Léon Lebesgue (1875-1941)

1. La integral de Riemann (mediados del siglo XIX)

Bernhard Riemann (1826–1866) introdujo su definición en su Habilitationsschrift de 1854, titulada Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (“Sobre la representabilidad de una función mediante una serie trigonométrica”), presentada en Gotinga bajo la influencia de Dirichlet. El trabajo se publicó póstumamente en 1868.

Riemann partió del trabajo de Cauchy (quien había formalizado la integral para funciones continuas mediante sumas de Riemann–Cauchy) y de las investigaciones de Dirichlet sobre la convergencia de series de Fourier. Dirichlet había mostrado que funciones continuas a trozos (con un número finito de discontinuidades) admitían desarrollo en series de Fourier. Riemann buscó ampliar el alcance a funciones con discontinuidades más numerosas.

Definición clave. Se considera una función acotada \(f\) en un intervalo \([a,b]\). Se toma una partición

\[ P = \{a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\} \]

y se forman las sumas de Riemann

\[ S(f,P,\xi) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i - x_{i-1}), \]

donde \(\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]\). La integral existe si el límite de estas sumas existe cuando la norma de la partición (la longitud del subintervalo más largo) tiende a cero, independientemente de la elección de los puntos \(\xi_i\).

Riemann dio un criterio de integrabilidad (en términos de la oscilación de la función en los subintervalos) y construyó ejemplos de funciones Riemann-integrables con un conjunto denso de discontinuidades. Esto superaba las limitaciones de Cauchy y permitía tratar muchas funciones que aparecían en el análisis de Fourier.

Sin embargo, la integral de Riemann tenía debilidades importantes:

• No caracteriza fácilmente la clase de funciones integrables (esto se resolvió más tarde con la condición de Lebesgue: una función acotada es Riemann-integrable si y solo si es continua casi en todas partes, es decir, el conjunto de discontinuidades tiene medida cero).
• Se comporta mal con límites: el límite de una sucesión de funciones Riemann-integrables no necesariamente es Riemann-integrable, y no siempre se puede intercambiar límite e integral.
• El teorema fundamental del cálculo falla en casos patológicos. En 1881, Vito Volterra construyó un ejemplo de una función derivable con derivada acotada pero no Riemann-integrable.

Gaston Darboux (1875) reformuló la definición mediante sumas superiores e inferiores, lo que es la versión que se enseña habitualmente hoy bajo el nombre de “integral de Riemann”.

2. La integral de Riemann–Stieltjes (finales del siglo XIX)

En 1894, Thomas Joannes Stieltjes (1856–1894) introdujo una generalización natural mientras estudiaba el problema de los momentos: dada una sucesión de números \(\{\mu_n\}\), encontrar una distribución de masas \(\alpha\) tal que

\[ \int_0^\infty x^n \, d\alpha(x) = \mu_n. \]

Stieltjes reemplazó el incremento \(x_i - x_{i-1}\) por \(\alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})\), donde \(\alpha\) es una función de variación acotada (o monótona creciente). La suma de Riemann–Stieltjes es

\[ \sum f(\xi_i) \bigl[\alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})\bigr]. \]

Cuando \(\alpha(x) = x\), se recupera la integral de Riemann.

Esta integral unifica el tratamiento de distribuciones continuas y discretas (sumas ponderadas) y resulta especialmente útil en análisis funcional (teorema de representación de Riesz: el dual de \(C[a,b]\) se identifica con las integrales de Riemann–Stieltjes respecto a funciones de variación acotada) y en probabilidad (expectativas respecto a funciones de distribución).

La integral de Riemann–Stieltjes hereda muchas de las limitaciones de la de Riemann (problemas con discontinuidades comunes de \(f\) y \(\alpha\), comportamiento con límites, etc.), pero sirvió de puente conceptual hacia teorías más generales.

3. La integral de Lebesgue (principios del siglo XX)

Henri Lebesgue (1875–1941) resolvió las deficiencias principales de la teoría de Riemann. En 1901 publicó Sur une généralisation de l’intégrale définie y en 1902 presentó su tesis doctoral Intégrale, longueur, aire, donde desarrolló la teoría de la medida de Lebesgue y la integral asociada.

Lebesgue partió de los trabajos de Camille Jordan (contenido de Jordan) y Émile Borel (medida de Borel y conjuntos Borelianos). Construyó una medida (la medida de Lebesgue) que asigna “longitud” de manera coherente a una clase mucho más amplia de subconjuntos de \(\mathbb{R}\) (los conjuntos medibles de Lebesgue), incluyendo conjuntos que no son intervalos ni uniones contables de ellos.

La diferencia conceptual fundamental

La diferencia esencial entre ambas integrales se entiende mejor mediante una metáfora que el propio Lebesgue empleó:

«Tengo que pagar una cierta suma que he reunido en mi bolsillo. Saco los billetes y monedas y se los doy al acreedor en el orden en que los encuentro hasta alcanzar el total. Esto es la integral de Riemann. Pero puedo proceder de otra manera: después de sacar todo el dinero de mi bolsillo, ordeno los billetes y monedas según su valor y pago los montones uno tras otro. Esto es mi integral.»

En términos matemáticos:

• Riemann particiona el dominio (el eje \(x\)). Divide el intervalo \([a,b]\) en subintervalos pequeños y en cada uno elige un valor de la función \(f(\xi_i)\). Multiplica ese valor por la longitud del subintervalo y suma. El área se aproxima sumando “rectángulos verticales”.
• Lebesgue particiona el rango (el eje \(y\)). En lugar de preguntarse “¿cuánto vale la función en este pequeño intervalo de \(x\)?”, se pregunta “¿en qué conjunto de \(x\) la función toma valores entre \(y_k\) y \(y_{k+1}\)?”. Luego multiplica ese valor \(y_k\) por la medida (“longitud”) del conjunto donde ocurre, y suma.

Visualmente: Riemann corta la región bajo la curva en tiras verticales finas; Lebesgue la corta en tiras horizontales y mide cuánto “ancho” tiene cada altura.

Construcción formal (esbozo)

Para una función \(f \geqslant 0\) medible:

1. Se comienza con funciones simples: funciones que toman solo un número finito de valores. Si \[ \varphi = \sum_{k=1}^n c_k \, \mathbf{1}_{E_k}, \] donde los \(E_k\) son conjuntos medibles disjuntos y \(\mathbf{1}_{E_k}\) es la función característica de \(E_k\), entonces se define \[ \int \varphi \, d\mu = \sum_{k=1}^n c_k \, \mu(E_k). \] Aquí \(\mu(E_k)\) es la medida de Lebesgue del conjunto \(E_k\) (su “longitud” generalizada).
2. Para una función medible no negativa arbitraria \(f\), se aproxima por una sucesión creciente de funciones simples \(\varphi_n \uparrow f\) y se define \[ \int f \, d\mu = \lim_{n\to\infty} \int \varphi_n \, d\mu \] (el límite puede ser \(+\infty\)).
3. Para funciones de signo variable se descompone \(f = f^+ - f^-\) y se exige que ambas partes tengan integral finita.

Esta construcción permite integrar muchas más funciones que Riemann. El ejemplo clásico es la función de Dirichlet:

\[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in \mathbb{Q}, \\ 0 & \text{si } x \notin \mathbb{Q}. \end{cases} \]

Esta función es discontinua en todo punto. No es Riemann-integrable en ningún intervalo (las sumas superiores siempre valen la longitud del intervalo y las inferiores valen 0). Sin embargo, es Lebesgue-integrable: el conjunto de los racionales tiene medida cero, por lo que \(\int f = 0\).

Ventajas decisivas de la integral de Lebesgue

• Toda función Riemann-integrable (acotada en un intervalo compacto) es Lebesgue-integrable y las integrales coinciden.
• Se pueden intercambiar límites e integrales bajo condiciones muy generales (teorema de la convergencia monótona y teorema de la convergencia dominada). Esto es fundamental en el análisis moderno y en la teoría de series de Fourier.
• El teorema fundamental del cálculo se restablece de forma mucho más general: toda función absolutamente continua es la integral indefinida de su derivada (que existe casi en todas partes).
• Proporciona el marco natural para la teoría de la probabilidad moderna (una variable aleatoria es una función medible, la esperanza es una integral de Lebesgue) y para los espacios de funciones \(L^p\), base del análisis funcional.

Lebesgue también combinó su teoría con la de Stieltjes, dando lugar a la integral de Lebesgue–Stieltjes (desarrollada plenamente por Johann Radon y otros), que generaliza ambas.

La trayectoria Riemann \(\to\) Riemann–Stieltjes \(\to\) Lebesgue refleja el paso de una teoría anclada en particiones del dominio y sumas de áreas de rectángulos a una teoría basada en la medida de conjuntos y el “agrupamiento por valores”. Riemann respondió a las necesidades de las series de Fourier de mediados del siglo XIX; Stieltjes amplió el concepto para problemas de momentos y análisis funcional; Lebesgue, a comienzos del XX, proporcionó el marco robusto y general que domina el análisis real, la teoría de la medida y gran parte de la matemática aplicada contemporánea.La “teoría de la integración” propiamente dicha es, en gran medida, una creación del siglo XX, aunque el concepto de área bajo una curva sea milenario. 

El matemático estadounidense de origen croata William Feller (1906-1970), conocido por sus contribuciones a la teoría de la probabilidad, expresó:

«Cualquiera que intente trabajar en la teoría de la probabilidad moderna sin la integral de Lebesgue se encontrará pronto en la posición de un hombre que intenta construir un rascacielos utilizando solo ladrillos y barro sin estructura de acero.»

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Lecturas complementarias: 

• Antecedentes del Cálculo Infinitesimal de Newton y Leibniz.
• Newton, Leibniz y la invención de cálculo infinitesimal.
• La obra matemática de Arquímedes.
• Lúnulas de Hipócrates. 

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La evolución del concepto de FUNCIÓN

El concepto de función constituye una de las columnas vertebrales sobre las que se asienta el análisis matemático moderno y la modelización del mundo físico. Sin embargo, su definición actual no es fruto de un destello aislado de genialidad, sino el resultado de un largo y fascinante proceso de maduración intelectual que abarca varios siglos. Lo que comenzó en la Antigüedad como una mera intuición sobre la relación entre magnitudes físicas o datos en tablas astronómicas, pasó por la geometría analítica del siglo XVII y las fórmulas algebraicas del Siglo de las Luces, hasta enfrentar las paradojas de las «funciones patológicas» en el siglo XIX. Esta necesidad constante de rigor impulsó su metamorfosis desde una noción basada en curvas trazables y expresiones numéricas, hasta convertirse en la estructura sumamente abstracta, rigurosa y versátil que hoy entendemos dentro de la teoría de conjuntos.

1. La Antigüedad y el Período Pre-Cálculo (Tablas y Relaciones)

En las civilizaciones antiguas (como Babilonia, Grecia y Egipto), no existía una definición explícita ni una notación para las funciones. Sin embargo, se utilizaba la idea de dependencia entre magnitudes.

• Babilonia: Crearon tablas astronómicas y matemáticas con valores correlacionados (como tablas de cuadrados o raíces), manejando tablas de «entrada y salida» de forma implícita.
• Grecia Clásica: Matemáticos como Claudio Ptolomeo elaboraron tablas de cuerdas (antecesoras de las funciones trigonométricas) para predecir movimientos astronómicos.
• Edad Media: Nicole Oresme (siglo XIV) dio un paso crucial al representar gráficamente cómo una magnitud física (como la velocidad) variaba con respecto a otra (como el tiempo), introduciendo por primera vez la representación de «formas» mediante coordenadas geométricas.

2. El Siglo XVII: La Geometría Analítica y el Nacimiento del Cálculo

El siglo XVII transformó la forma de entender la variabilidad geométrica mediante el álgebra.

• René Descartes y Pierre de Fermat: Introdujeron la geometría analítica. Al relacionar ecuaciones algebraicas como \(y = f(x)\) con curvas en un plano, establecieron que una relación algebraica determinaba una curva geométrica.
• Gottfried Wilhelm Leibniz: En 1673, utilizó formalmente por primera vez la palabra «función» (functio) para referirse a cualquier cantidad ligada a una curva, como la pendiente, la longitud de una subtangente o la coordenada de un punto.
• Isaac Newton: Trabajó el concepto desde la física bajo el nombre de fluentes y fluxiones, representando cómo las cantidades cambian continuamente con el tiempo.

3. El Siglo XVIII: Expresiones Analíticas y la Notación Moderna

Durante el Siglo de las Luces, las funciones se concibieron casi exclusivamente como fórmulas o expresiones algebraicas.

• Johann Bernoulli (1718): Definió una función de una variable como una «cantidad compuesta de alguna manera por esa variable y constantes».
• Leonhard Euler: En su obra Introductio in analysin infinitorum (1748), adoptó la definición de Bernoulli y popularizó la célebre notación \(f(x)\). Para Euler, una función debía poder escribirse mediante una combinación analítica (sumas, potencias, senos, logaritmos, etc.).
• Joseph-Louis Lagrange: Llevó esta visión al extremo, intentando reducir todo el cálculo analítico a series de potencias.

4. El Siglo XIX: El Rigor Analítico y las Funciones «Patológicas»

El concepto puramente analítico colapsó en el siglo XIX debido al estudio de fenómenos físicos concretos.

• Jean-Baptiste Joseph Fourier (1822): Al estudiar la propagación del calor, demostró que funciones discontinuas o definidas «a trozos» podían representarse mediante sumas infinitas de senos y cosenos (series de Fourier). Esto rompió la idea de que una función era una sola expresión analítica continua.
• Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1837): Formuló una definición mucho más amplia y rigurosa, desvinculada de las fórmulas: «Si a cada valor de \(x\) le corresponde un único valor de \(y\), entonces \(y\) es función de \(x\)». Para demostrarlo, propuso la famosa función de Dirichlet (que vale \(1\) en los racionales y \(0\) en los irracionales), una función imposible de dibujar o expresar analíticamente en una sola fórmula clásica.
• Karl Weierstrass y Georg Cantor: Se descubrieron funciones continuas pero no derivables en ningún punto (como la función de Weierstrass), lo que obligó a separar definitivamente el concepto de función de la intuición geométrica de una curva trazable a mano.

5. El Siglo XX: Teoría de Conjuntos y Abstracción Total

Con el nacimiento de la teoría de conjuntos, el concepto alcanzó su forma moderna y totalmente abstracta.

• Nicolas Bourbaki (década de 1930): El colectivo de matemáticos franceses definió la función de forma puramente conjuntista: Una función \(f\) de un conjunto \(A\) en un conjunto \(B\) es un subconjunto del producto cartesiano \(A \times B\) tal que para cada \(x \in A\), existe un único \(y \in B\) tal que el par ordenado \((x, y) \in f\).

Foto tomada en el Congreso de Bourbaki de 1938 en Dieulefit. De izquierda a derecha: Simone Weil (acompañando a su hermano André), Charles Pisot, André Weil (oculto), Jean Dieudonné (sentado), Claude Chabauty, Charles Ehresmann y Jean Delsarte.

A partir de este punto, el concepto de función se liberó definitivamente de las ataduras de los números, las fórmulas algebraicas y la intuición del espacio geométrico visual. La formulación conjuntista no solo aportó un rigor inquebrantable al análisis, sino que amplió de forma ilimitada el alcance de las matemáticas: una función pasó a ser una regla de correspondencia abstracta capaz de mapear cualquier tipo de entidad matemática, desde vectores, matrices y conjuntos hasta operadores, espacios abstractos o incluso otras funciones. Esta flexibilidad conceptual transformó a las funciones en el lenguaje universal de las ciencias modernas, permitiendo modelar desde la física cuántica y las estructuras algebraicas más avanzadas hasta los algoritmos de aprendizaje automático y la teoría de la computación.

El matemático alemán Felix Klein (1849-1925), defensor incansable del rigor y la pedagogía matemática, destacó la centralidad de este concepto al afirmar:

«El concepto de función debe ser el alma de la enseñanza de las matemáticas; es el concepto que une todas las partes del análisis y las conecta con la geometría y las aplicaciones físicas.»

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12 de mayo: Día Internacional de las Mujeres en Matemáticas

El Día Internacional de las Mujeres en las Matemáticas se celebra cada 12 de mayo, fecha que conmemora el nacimiento de Maryam Mirzakhani (12 de mayo de 1977 – 14 de julio de 2017), célebre matemática iraní y profesora de la Universidad de Stanford.

En 2014, Mirzakhani hizo historia al convertirse en la primera mujer y la primera persona iraní en recibir la Medalla Fields, uno de los máximos reconocimientos de las matemáticas, que se concede cada cuatro años a matemáticos que cumplen el límite de edad establecido —no haber cumplido 40 años el 1 de enero del año del Congreso Internacional de Matemáticos—. Mirzakhani fue distinguida por sus extraordinarias contribuciones a la dinámica y la geometría de las superficies de Riemann y sus espacios de módulos.

Tras su fallecimiento prematuro por cáncer en 2017, el Comité de Mujeres de la Sociedad Matemática Iraní propuso que el 12 de mayo, día de su nacimiento, se convirtiera en una fecha de celebración de las mujeres en las matemáticas. La propuesta fue presentada y aprobada por los participantes del World Meeting for Women in Mathematics (WM)², celebrado en Río de Janeiro en 2018. Posteriormente, distintas organizaciones internacionales de mujeres matemáticas se unieron para impulsar esta iniciativa, que busca visibilizar las contribuciones de las investigadoras, abordar las desigualdades de género y fomentar la participación de niñas y mujeres en las matemáticas.

Para comprender la relevancia del galardón recibido por Mirzakhani, conviene recordar que Alfred Nobel no estableció un premio para las matemáticas. Por ello, la comunidad matemática internacional ha desarrollado diversas distinciones de máximo nivel. Entre ellas destacan:

•   Medalla Fields (desde 1936): propuesta por el matemático canadiense John Charles Fields, se concede cada cuatro años a un máximo de cuatro matemáticos por sus logros sobresalientes y por la promesa de futuros avances. Los galardonados deben cumplir el límite de edad establecido por el reglamento.
  Lista de galardonados: https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal
  
  
•  Premio Abel (desde 2003): instituido por el Gobierno de Noruega en memoria del matemático Niels Henrik Abel, reconoce contribuciones de extraordinaria importancia en las matemáticas y se concede anualmente. Es uno de los principales reconocimientos internacionales de la disciplina y está acompañado de una importante dotación económica.
  Lista de galardonados: https://abelprize.no/winners

A estos reconocimientos se suman otras importantes distinciones internacionales, como el Premio Gauss, la Medalla Chern, el Premio Abacus —anteriormente denominado Premio Nevanlinna—, el Premio Shaw, los Breakthrough Prizes y los Premios del Milenio del Clay Mathematics Institute. 

 

Maryam Mirzakhani, Maryna Viazovska, Hong Wang y Karen Uhlenbeck

Además de Maryam Mirzakhani, hasta 2026 otras tres mujeres han recibido uno de los dos reconocimientos que tradicionalmente se consideran entre los máximos galardones individuales de las matemáticas:

• Karen Uhlenbeck (Premio Abel, 2019): matemática estadounidense reconocida por sus contribuciones fundamentales al análisis geométrico, las ecuaciones en derivadas parciales y la física matemática.
  
  
• Maryna Viazovska (Medalla Fields, 2022): matemática ucraniana reconocida por demostrar que la red (E_8) proporciona el empaquetamiento más denso de esferas idénticas en ocho dimensiones, así como por sus contribuciones a problemas relacionados de análisis de Fourier.
  
  
• Hong Wang (Medalla Fields, 2026): matemática estadounidense de origen chino especializada en análisis armónico y teoría geométrica de la medida. Fue reconocida por sus contribuciones al local smoothing, la teoría de restricción de Fourier, los conjuntos de Falconer y Furstenberg, y por importantes avances en el problema de Kakeya en tres dimensiones, realizados, entre otros trabajos, junto con Joshua Zahl. Sus resultados contribuyeron a los avances que llevaron a la demostración de la conjetura de Kakeya en tres dimensiones.

 La historia de estas matemáticas demuestra que el talento no entiende de fronteras ni de género, pero también pone de manifiesto que todavía queda camino por recorrer para alcanzar una participación plenamente igualitaria en esta disciplina. Celebrar el 12 de mayo es, por tanto, mucho más que recordar a Maryam Mirzakhani: es reconocer las aportaciones de las mujeres a las matemáticas, visibilizar nuevos referentes para las generaciones más jóvenes y reivindicar una ciencia en la que todas las personas puedan desarrollar su curiosidad, su creatividad y su talento. Porque las matemáticas también se escriben con nombres de mujer.

 

Sofía Kovalévskaya: La primera gran matemática de la era moderna

Sofía Vasílievna Kovalévskaya (nacida Korvin-Krukóvskaya; Moscú, 15 de enero de 1850 – Estocolmo, 10 de febrero de 1891) fue una destacada matemática, escritora y pionera rusa cuyas contribuciones al análisis, las ecuaciones diferenciales parciales y la mecánica la convirtieron en una de las figuras más relevantes de las matemáticas del siglo XIX. Se consagró como la primera mujer en obtener un doctorado en matemáticas en el sentido moderno, una de las primeras en formar parte del consejo editorial de una revista científica de primer nivel y la primera en ocupar una cátedra universitaria de matemáticas en la Europa moderna.

Nacida en el seno de una familia noble en Moscú, su padre, Vasili Vasílievich Korvin-Krukovski, era teniente general de artillería del ejército imperial ruso que se retiró a la finca familiar de Políbino (región de Pskov) cuando Sofía tenía unos ocho años. Su madre, Elizaveta Fiódorovna Schubert, procedía de una familia de intelectuales de origen alemán, cuyo propio padre había sido matemático y astrónomo. Segunda de tres hermanos —con una hermana mayor, Anna (Aniuta), y un hermano menor—, Sofía recibió una sólida educación con institutrices nativas de inglés, francés y alemán, mostrando un talento precoz para las matemáticas. Una conocida anécdota relata que las paredes de su habitación infantil estaban empapeladas con hojas de apuntes de cálculo del matemático Mijaíl Ostrogradski procedentes de los estudios de su padre, lo que despertó su curiosidad por el análisis infinitesimal mucho antes de su instrucción formal. Así, junto a la tutoría privada en ciencias, matemáticas e idiomas poco habitual para las mujeres de su clase social, inició una formación que trascendía el estándar femenino centrado en las artes y las lenguas.

Frente a la prohibición zarista que impedía a las mujeres estudiar en las universidades o viajar solas al extranjero, Sofía se vio influida por el movimiento nihilista defensora de la igualdad y la educación. Para sortear las restricciones legales, ideó con su hermana un plan y contrajo en 1868, a los 18 años, un matrimonio de conveniencia —inicialmente ficticio— con Vladímir Onufrievich Kovalévski, un joven paleontólogo, editor y traductor de Darwin al ruso con ideas radicales, lo que le otorgó el pasaporte necesario para abandonar Rusia.

La pareja viajó a Viena y posteriormente a Alemania. En 1869, Sofía ingresó mediante permisos especiales en la Universidad de Heidelberg, donde cursó estudios con profesores como Leo Königsberger, Paul du Bois-Reymond y el físico Hermann von Helmholtz. Al trasladarse a Berlín en 1870 y chocar contra la negativa institucional de admitir mujeres, acudió a Karl Weierstrass, reputado como el «padre del análisis matemático moderno». A pesar de la reticencia inicial del profesor, este le planteó diversos problemas complejos para evaluar su nivel; asombrado por su rapidez e intuición genial, Weierstrass decidió impartirle clases particulares en su domicilio durante cuatro años de trabajo intensivo.

De esa etapa fructífera surgieron tres memorias científicas elaboradas por Sofía: una sobre ecuaciones diferenciales parciales, otra sobre la forma de los anillos de Saturno y una tercera sobre integrales elípticas (o abelianas). Presentadas en 1874 ante la Universidad de Gotinga como tesis doctoral, la investigación sobre ecuaciones en derivadas parciales derivó en el célebre teorema de Cauchy-Kovalévskaya, el cual establece condiciones de existencia y unicidad de soluciones analíticas para una clase amplia de dichos sistemas (ampliando el caso particular estudiado previamente por Augustin Louis Cauchy). En 1874, gracias a la decidida intervención y mecenazgo de Weierstrass, la universidad le concedió el doctorado summa cum laude in absentia (sin examen oral ni asistencia formal), convirtiéndola en la primera mujer doctora en matemáticas de la era moderna.

Con la titulación obtenida, regresó a Rusia y su matrimonio con Vladímir se transformó en una unión real, fruto de la cual nació en 1878 su hija Sofía Vladímirovna (Fufa). Establecidos en San Petersburgo, Sofía no pudo ejercer la docencia dada la vigencia de las restricciones de género. La pareja terminó por separarse definitivamente en 1881 y, dos años después, en 1883, Vladímir se suicidó agobiado por severos problemas financieros derivados de un negocio petrolero.

Gösta Mittag-Leffler y Karl Weierstrass, los mecenas de la Kovalévskaya

Tras la muerte de su esposo, Sofía aceptó en 1883 la invitación de Gösta Mittag-Leffler —matemático sueco y también discípulo de Weierstrass— para incorporarse como profesora interina (y más tarde titular) en la recién fundada Universidad de Estocolmo, donde impartió su primera lección en el semestre de invierno de 1883-1884. En 1884 pasó a formar parte del consejo editorial de la prestigiosa revista Acta Mathematica, siendo de las pioneras en asumir una función de ese calibre en una publicación científica relevante. Finalmente, en 1889 obtuvo la cátedra permanente (profesora ordinaria), convirtiéndose en la primera mujer en la Europa moderna en alcanzar tal posición académica en matemáticas.

Su contribución más aclamada de esta época fue el estudio del movimiento de un cuerpo rígido pesado alrededor de un punto fijo. En 1888 obtuvo el Premio Bordin de la Academia de Ciencias de París en un concurso a ciegas gracias a su memoria sobre este problema, en la que descubrió el caso integrable denominado la peonza (o trompo) de Kovalévskaya, uno de los escasos ejemplos de movimiento de un sólido rígido totalmente integrable junto a los formulados por Euler y Lagrange. La calidad de la obra motivó que la dotación económica del premio fuera duplicada. Asimismo, entre 1888 y 1889 fue elegida miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de Rusia, honor ostentado por primera vez por una mujer.

En el ámbito personal y académico, la relación entre Sofía Kovalévskaya y Karl Weierstrass constituye una alianza intelectual y humana histórica. A pesar de los 35 años de diferencia de edad y del rol inicial del profesor como mentor tutelar, las cartas intercambiadas a lo largo de más de dos décadas de constante correspondencia revelan un profundo afecto, un respeto recíproco y una marcada dependencia matemática mutua. Paralelamente a su labor científica, Sofía destacó como escritora: publicó Recuerdos de la infancia, la novela La muchacha nihilista (o La nihilista), la obra teatral La lucha por la felicidad (coescrita con Anna Charlotte Leffler) y diversos artículos periodísticos. Su vida estuvo atravesada por la tensión constante entre su compromiso con la emancipación femenina, sus exigencias científicas y las dificultades personales marcadas por la soledad o el anhelo de Rusia. En sus últimos años inició un vínculo sentimental con el sociólogo Maxim Kovalevski (pariente lejano de su marido), con quien planeaba casarse.

En febrero de 1891, al regresar de un viaje, contrajo una neumonía complicada por gripe que le causó la muerte en Estocolmo a los 41 años, en plena madurez creativa y científica. Fue enterrada en el cementerio de Norra begravningsplatsen en la capital sueca. Tras su prematuro fallecimiento, un devastado Weierstrass destruyó la mayor parte de los escritos que ella le había enviado, si bien las cartas de su autoría lograron sobrevivir. Sofía Kovalévskaya dejó así un doble legado: el de una científica de primer orden —cuyo teorema de Cauchy-Kovalévskaya y estudio de la peonza de Kovalévskaya continúan siendo pilares fundamentales en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales y la mecánica— y el de un símbolo perdurable en la lucha por el libre acceso de las mujeres a la ciencia y la educación superior.

Hipatia de Alejandría: entre la leyenda y la historia

Posible representación de Hipatia 
de Alejandría en el fresco La escuela 
de Atenas, de Rafael Sanzio.

Hipatia de Alejandría (c. 355-415 d.C.) fue una de las figuras intelectuales más notables de la Antigüedad tardía: filósofa neoplatónica, matemática, astrónoma y maestra de excepcional prestigio. Hija de Teón de Alejandría, miembro del Museo, escritor y filósofo interesado en textos herméticos, órficos, matemáticos y astronómicos, recibió de su padre una formación rigurosa que ella misma amplió y superó. Teón transmitió a su hija el legado de los grandes predecesores alejandrinos —matemáticos y astrónomos— y juntos trabajaron en la edición y comentario de obras fundamentales. La erudición de ambos se asentaba sobre esa tradición secular de la escuela de Alejandría.

Hipatia ha pasado a la historia popular como el icono del pensamiento pagano frente al cristianismo y de la ciencia frente a la superstición. La imagen de su muerte, presentada como orquestada por la Iglesia católica, fue reiterada y dramatizada por novelistas e historiadores como Edward Gibbon. Incluso Voltaire, Bertrand Russell y Carl Sagan reprodujeron una versión que se aleja considerablemente de lo que las fuentes antiguas permiten reconstruir. Lo que se ha repetido durante siglos no es más que una leyenda consolidada.

La leyenda

Según la versión más difundida, la creciente Iglesia cristiana consolidaba su poder e intentaba extirpar la influencia y la cultura paganas. Hipatia se encontraba en el epicentro de estas fuerzas. Cirilo, arzobispo de Alejandría, la despreciaba por su estrecha amistad con el gobernador romano y porque personificaba la cultura y la ciencia, que la Iglesia primitiva identificaba en gran medida con el paganismo. A pesar del riesgo, ella continuó enseñando y publicando hasta que, en el año 415, cuando se dirigía a trabajar, cayó en manos de una turba fanática de feligreses de Cirilo. La arrancaron del carruaje, rompieron sus vestidos y, armados con conchas marinas, la desollaron arrancándole la carne de los huesos. Sus restos fueron quemados, sus obras destruidas y su nombre olvidado.

«La creciente iglesia cristiana estaba consolidando su poder e intentando extirpar la influencia y la cultura paganas. Hipatia estaba sobre el epicentro de estas poderosas fuerzas sociales. Cirilo, el arzobispo de Alejandría, la despreciaba por la estrecha amistad que ella mantenía con el gobernador romano y porque era un símbolo de cultura y ciencia, que la Iglesia primitiva identificaba en gran parte con el paganismo. A pesar del grave riesgo que ello suponía, continuó enseñando y publicando, hasta que en el año 415, cuando iba a trabajar, cayó en manos de una turba fanática de feligreses de Cirilo. La arrancaron del carruaje, rompieron sus vestidos y, armados con conchas marinas, la desollaron arrancándole la carne de los huesos. Sus restos fueron quemados, sus obras destruidas, su nombre olvidado.»

— Carl Sagan, serie Cosmos, capítulo 13

En la película Ágora (2009) la exageración es todavía mayor: una turba de cristianos arrasa con toda la civilización y la cultura antigua, trayendo la decadencia y el horror. Hipatia, presentada erróneamente como «directora de la Biblioteca de Alejandría», aparece como mártir de la ciencia y de la libertad de pensamiento frente a la estrechez mental de los cristianos.

Representación imaginaria del asalto contra Hipatia por Louis Figuier, en Vies des savants illustres (1866)

 La investigación histórica

La historiadora María Dzielska, catedrática de Historia Antigua en Cracovia, publicó una biografía exhaustiva y documentada (Hipatia de Alejandría, Madrid, Siruela, 2009) en la que confronta las fuentes antiguas con las leyendas posteriores. Dzielska señala que la versión más trillada —una filósofa pagana, joven y hermosa, despedazada en 415 por monjes o por cristianos en general— no se basa en las fuentes antiguas, sino en una larga tradición literaria e historiográfica. La mayoría de estas obras presentan a Hipatia como víctima inocente del naciente fanatismo cristiano y su asesinato como señal de la desaparición, junto con los dioses griegos, de la libertad de investigación.

¿Qué se sabe realmente más allá del mito?

Hipatia  según el pintor checo-alemán Alfred Seifert en 1888

Hipatia nunca fue directora de la Biblioteca de Alejandría. No había nacido cuando esta fue incendiada por Julio César, saqueada por Aureliano en el 273 y terminada de destruir por Diocleciano en el 297. El cristianismo fue perseguido hasta el edicto de Milán del año 313, cuando Constantino puso fin a las persecuciones. La religión cristiana no se convirtió en oficial ni se impuso de manera definitiva hasta el reinado de Teodosio (381). Por tanto, los cristianos no destruyeron la gran Biblioteca, ni el Imperio Romano era «cristiano» en los años en que esta desapareció.

Sí es cierto que en el año 391, por orden del emperador Teodosio, se destruyó lo que quedaba del templo del Serapeo, donde Diocleciano había erigido su gran columna. La destrucción de este templo por parte de los cristianos tenía una motivación clara: era el símbolo del poder del emperador que los había perseguido con crueldad y de la religiosidad pagana.

Hipatia no era una pagana activa. Simpatizaba con el cristianismo y protegía a sus estudiantes cristianos. De hecho, dos de sus discípulos llegaron a ser importantes obispos de la Iglesia. Su muerte no tuvo que ver con la ciencia ni con la filosofía en sí mismas, sino que fue una de las tantas víctimas de las querellas políticas que enfrentaron en Egipto, durante el siglo V, al prefecto romano Orestes y al patriarca Cirilo. Este último no estuvo involucrado de manera directa en el asesinato. Muchos de los que apoyaban a Cirilo participaron en la difusión de rumores contra Hipatia, precisamente porque era una mujer influyente y cercana a Orestes. La horda que terminó cruelmente con su vida pertenecía a una de las corrientes fanáticas que también asesinaron a algunos obispos. No se puede negar que quienes mataron a Hipatia eran cristianos, pero tampoco se puede afirmar la existencia de un complot eclesiástico al estilo de las novelas de Dan Brown.

Ni la religión pagana, ni la filosofía griega, ni las ciencias desaparecieron con la muerte de Hipatia. Los mayores desarrollos de la escuela de Alejandría se alcanzaron a comienzos del siglo VI. Tampoco murió joven: tenía alrededor de sesenta años.

Los orígenes de la leyenda negra

Aunque la atribución directa del crimen a Cirilo la realizó el escritor pagano Damascio en su Vida de Isidoro a comienzos del siglo VI, el primero que escribió sobre el asesinato fue Sócrates Escolástico en el siglo V. Este letrado servía al patriarca de Constantinopla, Néstorio, enemigo de Cirilo de Alejandría. Siglos más tarde surgiría la leyenda negra completa en los escritos del deísta John Toland (1720). Toland, que había sido católico irlandés, se hizo protestante y terminó militando en la masonería dentro de la Gran Logia de Londres. Escribió:

«Hipatia, o la historia de una de las damas más hermosas, virtuosas, cultas y distinguidas en todos los aspectos; que fue despedazada por el clero de Alejandría para satisfacer el orgullo, la envidia y la crueldad de su arzobispo, común pero inmerecidamente llamado san Cirilo.»

Voltaire completó el cuadro afirmando que se trató de «un asesinato bestial perpetrado por los sabuesos tonsurados de Cirilo, con una banda de fanáticos a sus espaldas». Escritores británicos como Edward Gibbon y Charles Kingsley consolidaron la misma versión. Bertrand Russell, en su Historia del pensamiento occidental, llegó a decir, refiriéndose al patriarca Cirilo, que «el motivo principal de su fama es el linchamiento de Hipatia».

Lo que podemos saber

Según la rigurosa investigación de María Dzielska, Hipatia nació alrededor del año 355 d.C. y murió en 415, a unos sesenta años de edad. Su padre, Teón, miembro del Museo, fue un escritor y filósofo cuya erudición —y la de su hija— se basaba en los eminentes predecesores alejandrinos, matemáticos y astrónomos. La filosofía constituyó uno de los grandes intereses de Hipatia.

 Sinesio de Cirene (370-414)

Gracias a los recuerdos de su discípulo Sinesio de Cirene, conservados en su correspondencia, conocemos mucho más sobre su docencia filosófica que sobre sus investigaciones matemáticas y astronómicas. En su hogar de Alejandría creó un círculo intelectual formado por discípulos que acudían a estudiar de forma privada, algunos durante muchos años. Estos jóvenes procedían de Alejandría, de otros lugares de Egipto, y también de Siria, Cirene y Constantinopla. Pertenecían a familias acomodadas e influyentes. En torno a su profesora formaban una comunidad basada en el sistema platónico de las ideas y en lazos interpersonales. Llamaban «misterios» a los conocimientos que les transmitía su «guía divina». Los mantenían secretos, negándose a compartirlos con personas de rango social inferior, a las que consideraban incapaces de comprender las cuestiones divinas y cósmicas. El camino por el que Hipatia los dirigía hacia la divinidad era indescriptible: requería esfuerzos mentales y de voluntad, fortaleza ética y el deseo de lo infinito; su término era el silencio, el éxtasis mudo, una contemplación imposible de expresar.

Las clases privadas de Hipatia y sus conferencias públicas incluían también matemáticas y astronomía, disciplinas que preparaban la inteligencia para la especulación en niveles epistemológicos más elevados. Poseía gran autoridad moral. Todas las fuentes concuerdan en que fue un modelo de valor ético, rectitud, veracidad, dedicación cívica y proezas intelectuales. La virtud más admirada por sus contemporáneos era su autodominio (sofrosine), que coloreaba tanto su conducta como sus cualidades más íntimas. Se manifestaba en la abstinencia sexual (permaneció virgen hasta el final de su vida), la modestia en el vestir (el manto filosófico), la moderación en el modo de vida y una actitud prudente con sus alumnos y con los poderosos.

La muerte de Hipatia y su contexto político

Hipatia, representada por el pintor inglés

Charles W. Mitchell en 1885.

Un largo conflicto entre las facciones cristianas de Egipto alcanzó proporciones alarmantes en los años 414-415. Orestes, amigo de Hipatia y prefecto romano, resistió obstinadamente los intentos del patriarca Cirilo de reducir el campo de acción del poder civil. Se mantuvo intransigente incluso cuando Cirilo intentó una reconciliación. Surgieron sospechas entre los partidarios de Cirilo de que Hipatia, amiga del prefecto, había instigado y apoyado su resistencia. El patriarca se sintió amenazado y personas de distintos grupos ligados a la Iglesia decidieron ayudarlo. Los monjes atacaron a Orestes y los colaboradores de Cirilo prepararon con habilidad y difundieron rumores acerca de los estudios de Hipatia relacionados con la magia y la hechicería.

El forcejeo entre el patriarca y el prefecto en materia de poder político y de la influencia de la Iglesia sobre los asuntos seculares terminó con la muerte de la filósofa. Personas al servicio de Cirilo la despedazaron. Se trató de un asesinato político provocado por conflictos que venían de antiguo. Mediante este acto criminal se eliminó a una poderosa partidaria de Orestes. El propio Orestes no sólo renunció a la lucha contra el patriarca, sino que abandonó Alejandría para siempre. La facción eclesiástica paralizó a sus oponentes por el miedo y pacificó la ciudad; sólo los concejales trataron —con escasos resultados— de intervenir ante el emperador.

La muerte de Hipatia no estuvo relacionada con la política antipagana emprendida por Cirilo y su iglesia en aquel momento. En cualquier caso, habría sido difícil atacarla o perseguirla en razón de su paganismo, porque, a diferencia de otros filósofos de la época, no era una pagana activa ni devota. No cultivaba la filosofía teúrgica neoplatónica, no visitaba templos ni se oponía a que se convirtieran en iglesias cristianas. De hecho, simpatizaba con el cristianismo y protegía a sus alumnos cristianos. Gracias a su tolerancia y a su extraordinario conocimiento de las cuestiones metafísicas, los ayudaba a alcanzar la integridad espiritual y religiosa. Dos de sus alumnos fueron consagrados obispos. Los paganos y los cristianos que estudiaban con ella se reunían en un clima de amistad. Durante el gobierno de Teófilo, el predecesor de Cirilo, la Iglesia no dificultó sus actividades en la ciudad, en reconocimiento a sus ideas y a su posición. En consecuencia, los seguidores de Cirilo, privados de la oportunidad de atacarla esgrimiendo su paganismo, tuvieron que acusarla de brujería y de magia negra.

No podemos, por lo tanto, unirnos a quienes lloran a Hipatia como «la última de los helenos» o mantienen que su muerte supone la desaparición de la ciencia y la filosofía alejandrinas. La religiosidad pagana no expiró con Hipatia, como tampoco lo hicieron las matemáticas ni la filosofía griegas. La escuela alejandrina logró sus mayores éxitos a finales del siglo V y comienzos del VI.

Principales aportes matemáticos

Hipatia no parece haber realizado descubrimientos matemáticos originales revolucionarios. La época era de declive en la investigación creativa en el mundo grecorromano. Destacó, en cambio, como excelente editora, comentarista, compiladora y maestra. Su trabajo preservó y hizo accesibles textos fundamentales de álgebra, geometría y astronomía matemática. Fue la matemática más destacada de su tiempo en el mundo grecorromano. Su muerte en 415 se considera simbólicamente el fin de la gran tradición matemática alejandrina iniciada con Euclides, aunque en realidad esa tradición continuó.

Hipatia junto a su padre, el matemático y astrónomo Teón de Alejandría, quien fue el último director de la Biblioteca de Alejandría

Sus aportes se centran en la transmisión y clarificación del conocimiento matemático griego clásico, especialmente en álgebra (Diofanto) y geometría de las cónicas, junto con la mejora de textos euclidianos y ptolemaicos. Colaboró estrechamente con su padre Teón en varias de estas labores.

1.  Comentario a la Arithmetica de Diofanto. La Arithmetica de Diofanto (siglo III d.C.) se considera una obra fundacional del álgebra. Hipatia comentó y amplió esta colección de problemas de ecuaciones algebraicas, tanto determinadas como indeterminadas, con soluciones enteras o racionales. Incluyó nuevos problemas, soluciones alternativas y verificaciones detalladas. Algunos estudiosos, como Paul Tannery, sugieren que partes de los manuscritos griegos o árabes que han sobrevivido pueden derivar de su comentario o de material interpolado por ella. Su trabajo ayudó a mostrar que la aritmética va más allá del simple cálculo y facilitó la conservación de la obra.
2.  Comentario a las Cónicas de Apolonio de Perga. Apolonio de Perga (siglo III a.C.) había escrito un tratado avanzado sobre las secciones cónicas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Hipatia realizó un tratado o comentario de carácter divulgativo y pedagógico sobre esta obra. Aunque el texto se ha perdido, se considera que facilitó el acceso a esta geometría compleja, que más tarde influiría de manera decisiva en la geometría analítica y en la astronomía de los siglos posteriores.
3.  Colaboración con su padre Teón. 

• Participó en la revisión y edición de los Elementos de Euclides. La versión de Teón —con probable colaboración de Hipatia— se convirtió en la base de casi todas las ediciones posteriores hasta la Edad Moderna. Simplificó dificultades que podían encontrar los estudiantes y realizó pequeñas adiciones orientadas a la claridad pedagógica.
•  Editó o revisó el comentario de Teón al Libro III del Almagesto (Syntaxis Mathematica) de Claudio Ptolomeo. El propio Teón lo indica de forma explícita: «edición controlada por la filósofa Hipatia, mi hija».
•  Contribuyó al Canon Astronómico (o tablas astronómicas), posiblemente una revisión o mejora de las Tablas Prácticas (Handy Tables) de Ptolomeo, con cálculos actualizados de los movimientos celestes.

Se le atribuye también el conocimiento práctico de instrumentos como el astrolabio plano (utilizado para la cartografía celeste) y el hidroscopio o aerómetro (para medir densidades), aunque no los inventó. Algunos autores han especulado sobre posibles ediciones de textos de Arquímedes, pero la evidencia es más débil.

Los excesivos reduccionismos ideológicos nos llevan a contar la historia sin matices, sin tener en cuenta el contexto ni a tomar conciencia de nuestros propios prejuicios. Ir a las fuentes para conocer mejor el pasado y comprender su complejidad exige honestidad intelectual y el deseo de saber: abrirse a repensar lo ya pensado, no para confirmar las propias convicciones, sino para pensar con mayor amplitud. La tentación fundamentalista —tanto desde ámbitos creyentes como desde posturas cientificistas— constituye un gran obstáculo para comprender que la historia es mucho más compleja que nuestras rápidas y cómodas simplificaciones.

Hipatia fue una maestra de excepcional prestigio moral e intelectual, hija y colaboradora de Teón de Alejandría. Su muerte fue un asesinato político en el marco de las luchas de poder entre el prefecto Orestes y el patriarca Cirilo, no el final de la ciencia ni de la filosofía antiguas. Reconocer esta complejidad no disminuye su figura; al contrario, permite situarla con mayor justicia en su tiempo y valorar con rigor tanto su labor docente como su contribución a la transmisión del saber matemático y filosófico.  El matemático e historiador de la ciencia Michael Deakin escribió: 

"Su legado intelectual se sostiene sobre tres pilares: su capacidad para sintetizar las matemáticas griegas complejas, su labor docente inspiradora y su férrea defensa de la racionalidad científica frente al oscurantismo."  

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